综合四(含答案)

共6页 综合练习四

- 1 - DB

C

OA

综合练习（四） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）i为虚数单位，复数11i的虚部是 A．12 B．12 C．1i2 D . 1i2 （2）已知集合23Mxx，lg(2)0Nxx，则MN A. (2,) B. (2,3) C. (2,1] D. [1,3) （3）已知向量3,4,6,3OAOB，2,1OCmm.若//ABOC，则实数m的值为 A．3 B．17 C．35 D．35 （4）在极坐标系中，直线1cos2与曲线2cos相交于,AB两点, O为极点，则AOB的大小为 A．3 B．2 C．3 D．6 （5）在下列命题中， ①“2”是“sin1”的充要条件；②341()2xx的展开式中的常数项为2； ③设随机变量～(0,1)N,若(1)Pp，则1(10)2Pp． 其中所有正确命题的序号是 A．② B．③ C．②③ D．①③ （6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示， 体的体积为 A. 4 B. 42 C. 62 D. 8 （7）抛物线22ypx（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为 抛物线上的两个动点，且满足120AFB.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则||||MNAB的最大值为( ) A. 33 B. 1 C. 233 D. 2 （8）已知函数*()21,fxxxN.若*0,xnN，使000()(1)()63fxfxfxn成立，

则称0(,)xn为函数()fx的一个“生成点”.函数()fx的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）在等比数列na中，32420aaa，则3a ，

nb为等差数列，且33ba，则数列nb的前5项和等于 .

（10）在ABC中， a，b，c分别为角A，B,C所对的边的边. 已知角A为锐角，且3sinbaB,则tanA . （11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .

（12）如图，圆O是ABC的外接圆， 过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D.

若3CD，2ABAC， 则线段AD的长是 ；圆O的半径是 .

（13）函数)(xf是定义在R上的偶函数，且满足(2)()fxfx.当[0,1]x时，()2fxx.若在区间[2,3]上方程2()0axafx恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 共6页 综合练习四

- 2 - （14）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆2240xxy（2≤x≤4）上的一个动点，点

C在线段OA的延长线上．当20OAOC时，则点C的纵坐标的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）

已知函数231()sinsin222xfxx（0）的最小正周期为. （Ⅰ）求的值及函数()fx的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x时，求函数()fx的取值范围.

（16）（本小题满分13分） 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率； （Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率； （Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，，试求随机变量X=的分布列与数学期望EX． （17）（本小题满分14分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC， 2PAAD．四边形ABCD满足BCAD，ABAD，1ABBC．点,EF分别为侧棱,PBPC上的点，且 PEPFPBPC． （Ⅰ）求证：EF平面PAD； （Ⅱ）当12时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数，使得平面AFD平面PCD？若存在， 试求出的值；若不存在，请说明理由． （18）（本小题满分13分） 已知函数2()(2)ln22fxxaxaxa，其中2a． （Ⅰ）求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）若函数()fx在0,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. （19）（本小题满分14分） 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点3(1,)2,离心率为32，点A为其右顶点.过点(10)B，作直线l与椭圆C相交于,EF两点，直线AE，AF与直线3x分别交于点M，N. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求EMFN的取值范围.

（20）（本小题满分13分） 设1210(,,,)xxx是数1,2,3,4,5,的任意一个全排列，定义

1011()|23|kkkSxx

，其中111xx.

（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)，求()S的值； （Ⅱ）求()S的最大值； （Ⅲ）求使()S达到最大值的所有排列的个数.

P

D A

B C

F E 共6页 综合练习四

- 3 - 综合练习四答案

一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A D A C C D A B 二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）

答案 2，10 24 20 1,2 22(,)

53 [5,5]

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）31cos1()sin222xfxx

31sincos22xx sin()6x. „„„„„„„„„„„„„„„„4分 因为()fx最小正周期为，所以2. „„„„„„„„„„„„6分 所以()sin(2)6fxx. 由222262kxk，kZ，得36kxk. 所以函数()fx的单调递增区间为[,36kk]，kZ. „„„„„„8分 （Ⅱ）因为[0,]2x，所以72[,]666x， „„„„„„„„„„„„„10分 所以1sin(2)126x. „„„„„„„„„„„„„„„12分 所以函数()fx在[0,]2上的取值范围是[1,12]. „„„„„„„„„„„13分

（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则

21()42PA． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．„„„„„„„„„„3分 （Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数． 由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以0041344111111()1[()()()]222216PBCC． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．„„„„„7分 （Ⅲ）由题意可知，，的可能取值为1,01，,2，所以随机变量X的可能取值为2,101,，，,24． 21(2)448PX=； 21(1)448PX=； 77(0)4416PX=； 21(=1)448PX； 21(=2)448PX； 11(=4)4416PX． 所以随机变量X的分布列为 X 2 1 0 1 2 4

P 18 18 716 18 18 116

所以1171111()2101881688164EX=24．„„„„„„„„13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，PEPFPBPC，

所以 EFBC． 因为BCAD，所以EFAD． 而EF平面PAD，AD平面PAD， 共6页 综合练习四

- 4 - 所以EF平面PAD． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（Ⅱ）因为平面ABCD平面PAC， 平面ABCD平面PACAC，且PAAC， 所以PA平面ABCD. 所以PAAB，PAAD． 又因为ABAD， 所以,,PAABAD两两垂直． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1ABBC，2PAAD， 所以0,0,01,0,0,AB, 1,1,0,0,2,0,0,0,2CDP．

当12时，F为PC中点，

所以11(,,1)22F, 所以11(,,1),(1,1,0)22BFCD． 设异面直线BF与CD所成的角为，

所以11|(,,1)(1,1,0)|322cos|cos,|3111244BFCD，

所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为33．„„„„„„„„„„„„„9分 （Ⅲ）设000(,,)Fxyz，则000(,,2),(1,1,2)PFxyzPC．

由已知PFPC，所以000(,,2)(1,1,2)xyz， 所以000,,22.xyz 所以(,,22)AF． 设平面AFD的一个法向量为1111(,,)xyzn，因为0,2,0AD, 所以110,0.AFADnn 即1111(22)0,20.xyzy 令1z，得1(22,0,)n． 设平面PCD的一个法向量为2222(,,)xyzn，因为0,2,2,1,1,0PDCD,

所以220,0.PDCDnn 即2222220,0. yzxy 令21x，则2(1,1,1)n． 若平面AFD平面PCD，则120nn，所以(22)0，解得23． 所以当23时，平面AFD平面PCD．„„„„„„„„„„„„„„„„14分 （18）（本小题满分1 3分） 解：函数定义域为0xx， 且(2)(1)()2(2).axaxfxxaxx„„„„2分

①当0a，即02a时，令()0fx，得01x，函数()fx的单调递减区间为(0,1)， 令()0fx，得1x，函数()fx的单调递增区间为(1,). ②当012a，即02a时，令()0fx，得02ax或1x， 函数()fx的单调递增区间为(0,)2a，(1,). 令()0fx，得12ax，函数()fx的单调递减区间为(,1)2a.