2014年中考复习 专题一 合情推理
2.1.1合情推理
2、类比推理
考察以下事例中的推理： （1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸 的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因， 据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的； （2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构 类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着 丰富的石油；
…
----歌德巴赫猜想
归纳推理的一般步骤： 1.通过观察个别情况发现某些相同性质； 2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。 一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的 一般性命题就越可能为真。
(二)活学活用:
例1 用推理的形式表示等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前 n项和Sn的归纳过程。 解：对等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前1，2，3，4， 5，6项和分别进行计算： S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = 1=12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1+3+5+7+9= 25 = 52 1+3+5+7+9+11=36=62
, f (9) 9 2 9 41 131 , f (10) 102 10 41 151
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数。 ----------------------------------------------------------------------
一轮复习：合情推理与演绎推理(教师版)
内部资料仅供学习严禁外传违者必究引发成长动力个性化教学辅导教案学生姓名年 级学 科授课老师日 期上课时间课 题合情推理与演绎推理教学目标1．掌握合情推理和演绎推理的相关知识点；2．灵活应用相关知识解决实际问题．复习检查1(1)当x ＞0时，则f (x )＝的最大值为________．(2)已知log a ＋log b ≥1，则3＋9的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．22a b 答案 (1)1 (2)18 (3)10解答 (1)∵x ＞0，当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．(2)由log a ＋log b ≥1得log (ab )≥1，即ab ≥2，∴3＋9＝3＋3≥2×3(当且仅当3＝3，即a ＝2b 时取等号)． 又∵a ＋2b ≥2≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3＋9≥2×3＝18.即当a ＝2b 时，3＋9有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.222a b a 2b a 2b a b 2a b 2(1)设x ，y 满足约束条件则z ＝x －2y 的取值范围为________．1知人善教 激发兴趣 塑造能力【归纳推理】命题角度1 数字的归纳命题角度2 式子的归纳(2)已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为________．答案 (1)[－3,3] (2)－1解答 (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线y＝过点B(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点A(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax＋y＝0，可知当平移到与直线2x－2y＋1＝0重合，即a＝－1时，目标函数z＝ax＋y的最小值有无数多个．问题定位3【例1】设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t]＝2，…，[t]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是( )A．3 B．4 C．5 D．62n答案B解答 由[t]＝1，得1≤t＜2；由[t]＝2，得2≤t＜3；[t]＝4，得4≤t＜5，所以2≤t＜.由[t]＝3，得3≤t＜4，所以6≤t＜4.由[t]＝5，得5≤t＜6，与6≤t＜4矛盾，故正整数n的最大值是4.224423355554【例2】]观察下列等式：…2引发成长动力命题角度3 图形的归纳【类比推理】【演绎推理】照此规律，答案解答 观察前4个等式，由归纳推理可知5【例3】如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b ，点(1，－1)处标b ，点(0，－1)处标b ，点(－1，－1)处标b ，点(－1,0)处标b ，点(－1,1)处标b ，点(0,1)处标b ，…，以此类推，则b 处的格点的坐标为________．1234567963答案 (16,13)解答观察已知点(1,0)处标b ，即b ，点(2,1)处标b ，即b ，点(3,2)处标b ，即b ，…，由此推断点(n ，n －1)处标b ，因为961＝31×31时，n ＝16，故b 处的格点的坐标为(16,15)，从而b 处的格点的坐标为(16,13)．11×193×3255×5(2n －1)×(2n －1)9619636【例4】若等差数列{a }的公差为d ，前n 项的和为S ，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{b }的公比为q ，前n 项的积为T ，则等比数列的公比为( )A. B ．q C. D.n n n n 2答案C解答7【例5】数列{a }的前n 项和记为S ，已知a ＝1，．证明：n n 13知人善教 激发兴趣 塑造能力(1)数列是等比数列；(2)S ＝4a .n ＋1n 答案解答 (1)∵a ＝S －S ，∴(n ＋2)S ＝n (S －S )，即nS ＝2(n ＋1)S ，(小前提) 故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知＝4a (n ≥2)，(小前提)又a ＝3S ＝3，S ＝a ＋a ＝1＋3＝4＝4a ，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S ＝4a .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)n ＋1n ＋1n n n ＋1n n ＋1n n 212121n ＋1n 原因分析学科分析教学目标教学重点知识类型 （ ）陈述性知识 （ ）程序性知识 （ ）策略性知识必要条件教学起点学习类型（ ）上位学习 （ ）下位学习 （ ）并列组合学习学生分析学习动机 （ ）内部动机 （ ）外部动机感官特点 （ ）偏视觉 （ ）偏听觉 （ ）偏触觉(偏动觉) （ ）混合型认知方式（ ）场依存型 （ ）场独立型4引发成长动力考点1 合情推理考点2 演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：教学方法 （ ）讲授法 （ ）练习法 （ ）讨论法 （ ）演示法 （ ）归纳法 （ ）举例法 （ ）联系法 （ ）实验法 （ ）演绎法 （ ）_____精准突破步骤教师活动学生活动激活旧知呈现新知指导建构内化新知5知人善教 激发兴趣 塑造能力[必会结论]1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．巩固练习8将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )A ．809 B ．852C ．786D ．893答案A 解答 选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝20＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.29若{a }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a ＋(n －p )a ＋(p －m )a ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b }，有__________________．n p m n n 答案解答 设{b }的首项为b ，公比为q ，则n 110已知函数f (x )＝＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．答案解答 ∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，∴令f ′(x )＝，得x ＝， 当0<x ≤时，f ′(x )≤0，∴f (x )在上是减函数； 当x ≥时，f ′(x )≥0，∴f (x )在上是增函数．6引发成长动力核心规律1.合情推理的过程概括为―→―→―→2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．满分策略1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3.合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.【经典例题】总结优化11【例1】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a }是等和数列，且a ＝2，公和为5.(1)求a 的值；(2)求该数列的前n 项和S .n 118n 答案解答 解：(1)由等和数列的定义，数列{a }是等和数列，且a ＝2，公和为5，易知a ＝2，a ＝3(n ＝1,2…)，故a ＝3.(2)当n 为偶数时，S ＝a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )当n 为奇数时，S ＝S ＋a ＝综上所述：n 12n －12n 18n 12n 13n －124n n n －1n 12【例2】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图7知人善教 激发兴趣 塑造能力案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值．答案解答 (1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋42＝2n－2n＋1.(3)当n≥2时，8效果验证13下列说法正确的有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案C解答 只有②是错误的，因为演绎推理的结论的正误受大前提、小前提和推理形式正确与否的影响．14某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误答案C解答 ∵大前提的形式：“鹅吃白菜” 不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．15观察下列等式，1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10根据上述规律，1＋2＋3＋4＋5＋6＝( )A ．19B ．20C ．21D ．22332,3332,333323333332222答案C解答 因为1＋2＝31＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10等式的右端依次为(1＋2)，(1＋2＋3)，(1＋2＋3＋4)，所以1＋2＋3＋4＋5＋6＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝21，故选C.332,3332333322223333332216将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是( )答案A解答 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A.17有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案D解答 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.18已知，经计算得观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．答案解答 由题意f (2)＝可化为f (2)＝，f (4)>2可化为f (2)>，f (8)>2(5)可化为f (2)>，f (16)>3可化为f (2)>…，由归纳推理可得f (2)≥(n ∈N )．1234n *19在等差数列{a }中，若公差为d ，且a ＝d ，那么有a ＋a ＝a ，类比上述性质，写出在等比数列{a }中类似的性质：________.n 1m n m ＋n n 答案 在等比数列{a }中，若公比为q ，且a ＝q ，则a ·a ＝a n 1m n m ＋n解答 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a }中，若公比为q ，且a ＝q ，则a ·a ＝a .”n 1m n m ＋n 20下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案解答由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .∴总个数为21在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .答案解答 ∵△ABC为锐角三角形，∵y ＝sin x 在上是增函数， ∴sin A >sin ＝cos B ， 同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .22定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a }是等和数列，且a ＝2，公和为5. 求：(1)a 的值；(2)该数列的前n 项和S .n 118n答案解答 (1)由等和数列的定义，数列{a }是等和数列，且a ＝2，公和为5，易知a ＝2，a ＝3(n ＝1,2，…)，故a ＝3. (2)当n 为偶数时，S ＝a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )当n 为奇数时，综上所述，n 12n －12n18n 12n 13n －124n 强化提升23某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55答案D解答 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.24袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解答 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A 、D ；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.故选B.25若f (n )为n ＋1(n ∈N )的各位数字之和，如：14＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f (14)＝17；记f (n )＝f (n )，f (n )＝f (f (n ))，f (n )＝f (f (n ))，…，f (n )＝f (f (n ))，k ∈N ，则f (9)＝________.2*212132k ＋1k *2015答案11解答 9＋1＝82，f (9)＝10；10＋1＝101，f (9)＝f (f (9))＝f (10)＝2；2＋1＝5，f (9)＝f (f (9))＝f (2)＝5；5＋1＝26，f (9)＝f (f (9))＝f (5)＝8；8＋1＝65，f (9)＝f (f (9))＝f (8)＝11；11＋1＝122，f (9)＝f (f (9))＝f (11)＝5，所以{f (9)}从第3项开始是以3为周期的循环数列，因为2015＝2＋671×3，所以f (9)＝f (9)＝11.21221232243254265n 2015526在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．答案解答 如图，由射影定理得AD ＝BD ·DC ，AB ＝BD ·BC ，AC ＝DC ·BC ，故在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H .则证明：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE .222∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD， ∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，又易证CD⊥AE，故在Rt△ACD中，把②式代入①式，得。
高三数学(文)一轮复习课件：合情推理与演绎推理
1.合理推理
（1）归纳推理:由某类事物的 部分对象具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实概括出 一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到 整体,由个别 到 一般的推理. （2）类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理. （3）合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察 ，分析，比较， 联联想想，再进行 归纳，类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
项和 Sn 是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理. 【答案】B
2/18/2020
4.(2013·南京调研)将正奇数排列如图形式，其中第 i 行第 j 个数表示 aij(i ∈N*，j∈N*)，例如 a32＝9，若 aij＝2 013，则 i＋j＝____.
1
35
7 9 11
13 15 17 19 【解析】根据正奇数排列的…正三角图表知，2013 是第 1007 个奇数，应排 在 i 行(其中 i∈N*)，
2/18/2020【答案】62
5.对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 3×3 方格，接着
用中心和四个角的
5
个小正方形，构成如图
1
所示的几何图形，其面积 S1
5； 9
第二步，将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，
得到图
2；依此类推，到第
n
步，所得图形的面积 Sn
（2）(2014·济宁模拟)给出下列命题：
命题 1：点(1，1)是直线 y＝x 与双曲线 y＝ 1 的一个交点； x
合情推理，好一抹彩虹——浅谈初中数学教学中学生合理推理能力的培养
教学实践新课程NEW CURRICULUM针对高中生在高中数学复习教学中主动性不强、多解思路欠缺、缺乏概括梳理能力以及错题反思能力等诸多问题，提出了具体的解决对策。
通过在高中数学复习教学中开展交流、合作、探究、自主式的教学，使学生能够产生学习数学的兴趣，提升学生的数学成绩、学习积极性以及学习能力。
参考文献：［1］邵敏伟.总结高考命题规律,反思高三复习教学,探索未来命题趋势：从高考试卷分析上透析高三数学复习教学的有效性［J］.数学教学通讯，2015（12）：24-25.［2］孔凡哲，崔英梅，严家丽，等.科目分层凸显高中特色一以贯之突出课程本质：澳大利亚高中数学课程标准的最新特点及其对完善我国高中标准的启示［J］.全球教育展望，2014（03）：99-107［3］郑小勇.“心计手授，纲举目张”：从《二战后世界贸易体制的演变》一课管窥有效复习的板书设计［J］.高考：综合版，2014（07）：61-62.［4］邵文娟.构建“学为中心”的高三数学二轮复习课堂：以《函数图象与性质应用》的复习为例［J］.文理导航：中旬，2014（03）：2-5.•编辑鲁翠红正如牛顿所说的：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。
”在证明任何一个定理之前，先要猜想，在得到完全的证明之前，需要经过不断的尝试、检验、完善和修改自己的猜想，得出推测证明的思路。
在初中数学的教学中也应重视学生思维直觉探索性和发现性的培养，即学生合理推理能力的培养。
一、转变思想观念，提高师生认识，树立合理猜想的意识传统的教学思想和形式一直束缚着教师的思想和行为，同样也扼杀了学生合理推理的欲望，因此，要提高学生的合理推理能力，转变思想观念，提高师生认识是前提。
第一步就是要转变教师的思想观念。
学校应开展相关的专题演讲或者名师座谈，亦或是组织教师进行校外进修等，来提高教师的思想觉悟和认识。
从而让教师从思想上认识到合理推理能力对于学生数学学习以及今后终身发展的深远影响，从行动上，能够积极学习，刻苦钻研教材，多看、多练，提高能力，多问、多学，取长补短，并善于总结各种解决问题的方法。
合情推理与演绎推理练习题(高考总复习)
第五节合情推理与演绎推理一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列说法正确的是()A．合情推理就是归纳推理B．合理推理的结论不一定正确，有待证明C．演绎推理的结论一定正确，不需证明D．类比推理是从特殊到一般的推理解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确．答案 B2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.方法2：特值验证法．n ＝2时，2n －1＝3,3n －1＝5，都不是4，故只有3n －2＝4，故选C.答案 C3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( )A.B. C. D.解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．答案 A4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V 1V 2＝127.答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确；选项B 、C 不是归纳推理，因此选A.答案 A6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中所有正确叙述的序号为( )A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________．解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__________个小正方形．解析 第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2＝28，即第6个图中有28个小正方形．答案 289．(2014·湖南五市十校联考)已知两个正数a ，b ，可按规则c ＝ab ＋a ＋b 扩充为一个新数c ，在a ，b ，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p >q >0，经过6次操作后扩充所得的数为(q ＋1)m (p ＋1)n －1(m ，n 为正整数)，则m ＋n 的值为________．解析 不妨设a >b >0，第一次扩充c 1＝ac ＋c ＋a ＝(a ＋1)c ＋(a ＋1)－1＝(a ＋1)(c ＋1)－1，第二次扩充c 2＝c 1c ＋c 1＋c ＝c 1(c ＋1)＋(c ＋1)－1＝(c 1＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)(c ＋1)2－1，第三次扩充c 3＝c 2c 1＋c 2＋c 1＝(c 2＋1)(c 1＋1)－1＝(a ＋1)(c ＋1)2(a ＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)2(c ＋1)3－1，……第六次扩充c 6＝(a ＋1)8(c ＋1)13－1，所以m ＋n ＝8＋13＝21.答案 21三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知函数f (x )＝x x ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *.求由归纳推理得到的函数f n (x )的解析式．解 f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f (x x ＋2)＝xx ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋22＝x (22－1)x ＋22，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f [x (22－1)x ＋22]＝x(22－1)x ＋22x (22－1)x ＋22＋2＝x (23－1)x ＋23，…，f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n (x >0，x ∈N *)． 11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，试求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n (n 为偶数)，52n －12 (n 为奇数).12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 方法1：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法2：(1)同解法1.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。
高中数学一轮复习课件：合情推理和演绎推理
• A．①② B．①③ • C．①②④ D．②④ • 解析：①是类比推理，②④是归纳推理， ③是非合情推理． • 答案：C
• 2．下面给出了关于复数的四种类比推理： • ①复数的加减法运算可以类比多项式的加 减法运算法则； • ②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z 的性质|z|2＝z2；
• 变式迁移 3 用三段论的形式写出下列演 绎推理． • (1)若两角是对顶角，则该两角相等，所 以若两角不相等，则该两角不是对顶角； • (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形， 所以，正方形的对角线相等；
• (4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．
• 解：(1)两个角是对顶角，则两角相等， 大前提 • ∠1和∠2不相等，小前提 • ∠1和∠2不是对顶角，结论 • (2)每一个矩形的对角线相等，大前提 • 正方形是矩形，小前提 • 正方形的对角线相等，结论
(2)设 a100＝2s0＋2t0，只需确定正整数 s0，t0，数列 {an}中小于 2t0 的项构成的集合为{2t＋2s|0≤s<t，s， t∈Z， t0≥2}． 由三角形数表构造及(1)可知从上面第一 行到 a100 所在行的上面一行共有元素个数为 C2t0 ＝ t0(t0－1) t0(t0－1) 1＋ 801 ，依题意得 ≤100，解得 t0≤ 2 2 2 <15，满足不等式的最大整数 t0＝14，因为 100－C2 14＝ s0＋1，由此解得 s0＝8， 所以 a100＝28＋214＝16640.
• 解析：两组对边分别平行类比可得三组对 面分别平行．一组对边平行且相等类比可 得两组对面分别平行且全等． • 答案：①三组对面分别平行 • ②两组对面分别平行且全等
a 【例 3】 已知函数 f(x)＝－ x (a>0 且 a≠1)， a＋ a 1 1 (1)证明：函数 y＝f(x)的图象关于点(2，－2)对称； (2)求 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
合情推理演绎推理专题练习及答案
合情推理、演绎推理 一、考点梳理：（略） 二、命题预测： 归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。
三、题型讲解：
1：与代数式有关的推理问题
例1、观察223322443223,abababababaabbababaababb进而猜想nnab 例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）„猜想第n个等式是： 。 练习:观察下列等式：332123，33321236，33332123410，„，根据上述规律，第五个．．．
等式．．为 。 解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．．
等式．．为333333212345621
。
练习：在计算“1223(1)nn”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项： 1(1)[(1)(2)(1)(1)],3kkkkkkkk由此得
112(123012),3123(234123),3„1(1)[(1)(2)(1)(1)].3nnnnnnnn
相加，得11223(1)(1)(2).3nnnnn 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)nnn”，其结果为 . 答案：1(1)(2)(3)4nnnn 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2
202020202020202020202020
一轮复习课时训练§9.1：合情推理与演绎推理
第九章§1：合情推理与演绎推理(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx)′＝－sinx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于 A ．f(x) B ．－f(x) C ．g(x) D ．－g(x)2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝33,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)23．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角数(如右图)： 则第七个三角形数是A ．35B ．36C ．37D ．384．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，3－3＋18＋3<211…，对于任意正实数a ，b ，使a ＋b<211成立的一个条件可以是A ．a ＋b ＝20B ．a ＋b ＝21C ．ab ＝20D ．ab ＝215．已知O 是△ABC 内一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 点是△ABC 的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．观察下列等式：C 15＋C 55＝23－2，C 19＋C 59＋C 99＝27＋23， C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25， C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________.7．将正偶数按下表排成5列：则8．根据三角恒等变换，可得如下等式：cosθ＝cosθcos2θ＝2cos2θ－1cos3θ＝4cos3θ－3cosθcos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ依此规律，猜测cos6θ＝32cos6θ＋acos4θ＋bcos2θ－1，则a＋b＝________.三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知{a n}的通项公式a n＝1(n＋1)2(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－a n)．计算f(1)，f(2)，f(3)的值并写出f(n)的表达式．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）某少数民族的刺绣有着悠历的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合理推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数，又f(x)是偶函数，所以g(x)是奇函数，故g(－x)＝－g(x)． 答案：D2．解析：由类比推理可知等号左边应有2n －1项，右边是(2n －1)2.答案：C3．解析：观察上述图形，归纳得：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.答案：B4．解析：由给出的三个不等式观察其特点易得a ＋b ＝21.答案：B5．解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →∴(OA →－OC →)·OB →＝0，∴CA →·OB →＝0 ∴CA ⊥OB ，同理，AB ⊥OC ，BC ⊥OA 故O 点为△ABC 的垂心． 答案：A二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由题意：第一个2的指数总比同行组合数下标少2，故为24n －1.第二个2的指数为奇数，故为22n －1.又奇数行为相减，偶数行为相加，故有(－1)n .答案：24n －1＋(－1)n ·22n －17．解析：根据推断，奇数行都是从第2列到第5列，且每一行的每5列上的数可写成8的行数倍；而2008＝8×251，所以2 010是第252行第4列的数． 答案：252 48．解析：观察可得，每个等式右边的所有项的系数和为1，故32＋a ＋b －1＝1，解得 a ＋b ＝－30. 答案：－30三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：f(1)＝1－a 1＝1－122＝34＝1＋22×(1＋1)，f(2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝(1－122)(1－132)＝23＝46＝2×22×(2＋1)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝(1－122)(1－132)(1－1 42)＝58＝3＋22×(3＋1)，……猜想：f(n)＝n＋22(n＋1)，即f(n)＝(1－122)(1－132) (1)1(n＋1)2]＝12×32×23×43×…×nn＋1×n＋2n＋1＝n＋22n＋2.∴f(n)的表达式为f(n)＝n＋22(n＋1).10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.。
2014年中考专题分类讨论
当ＡＱ=AP时，△QAP为等腰直角三角 形，
即6－t=2t,解得t=2（秒）
Q
∴当t=2秒时， △QAP为等腰直角三 角形。
A
B P
四、运动变化中的分类讨论
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
3、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以 2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动时， 如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜t＜6）那么：
5、某班四个小组的人数如下：10、10、x、8已知这 组数据的中位数和平均数相等则 x = _______.
小结：含参变量的分类讨论
特征：问题中，含有 参数 （字母系数）
的．
基本对策：注意参数（字母系数）的不同
取值范围．
一、概念中的分类讨论
1、徒手画画：如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B， C的一点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与 △ABC 相似 ，满足这样条件的直线共有（ C）条。 A．1 B． 2 C． 3 D．4
y
符合条件的点T不存在
情况一： 当PTO 90 时
0
.0
P
A
x
T1 (2,0)
情况二： 当TPO 900时
5 T2 ( ,0) 2 1 T1 ( ,1) 2
T3 (0,5) T2 (2,4)
改为:点T在第四象限,请写出点T的坐标.
小结：图形不确定的分类讨论
特征：问题中，图形的 形状 是不确定的．
B
Q
C
B
H
C
B
t
H Q
C
四、运动变化中的分类讨论
浙江省城镇示范初中、衢州市名校——开化二中
2014中考数学复习题
2014中考数学复习题中考数学是检验学生数学基础知识和应用能力的重要环节。
以下是一套2014年中考数学复习题，旨在帮助学生巩固知识点，提高解题技巧。
一、选择题1. 下列哪个选项不是实数？A. -3B. √2C. πD. i2. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度为：A. 5B. 6C. 7D. 83. 如果一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式 \( b^2 - 4ac \) 小于0，那么这个方程：A. 有两个实根B. 有一个实根C. 没有实根D. 无法确定二、填空题4. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
5. 将分数 \( \frac{3}{4} \) 转换为小数，结果是______。
6. 一个圆的半径为5厘米，那么它的面积是______平方厘米。
三、解答题7. 解一元二次方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，求它的体积。
9. 已知一个正六边形的边长为a，求它的面积。
四、应用题10. 某工厂计划在一个月内生产一批零件，如果每天生产100个零件，那么30天可以完成。
但实际上，工厂在前15天每天只生产了90个零件，问剩余的15天每天需要生产多少个零件才能按时完成任务？11. 某班有50名学生，其中男生占60%，女生占40%。
如果班级要选出5名学生参加数学竞赛，并且要保证男女比例与班级比例相同，那么应该选出多少男生和女生？12. 某商店购进一批商品，进价为每件20元，标价为每件30元。
如果商店希望获得50%的利润，那么应该以什么价格出售这些商品？五、综合题13. 某公司计划在一年内完成一个项目，该项目的预算为1000万元。
如果公司在前6个月每月投入100万元，剩余的月份每月投入200万元，问公司是否能在一年内完成项目？14. 一个班级有40名学生，其中30%的学生数学成绩优秀，60%的学生数学成绩良好，剩余的学生数学成绩一般。