经济数学基础(10秋)模拟试题(一)

经济数学基础（10秋）模拟试题（一）

2010年12月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．

(A) 2

)()(x x f =，x x g =)( (B) 1

1)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1

(C) 2ln x y =，x x g ln 2)(= (D) x x x f 2

2cos sin )(+=，1)(=x g 2.下列结论中正确的是（ ）．

(A) 使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 (B) 若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点 (C) x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点

(D) x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0

3.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）． (A) 32

+=x y (B) 42

+=x y

(C) 22+=x y (D) x y 4=

4.设A 是n m ?矩阵，B 是t s ?矩阵，且B AC T

有意义，则C 是（ ）矩阵．

(A) n s ? (B) s n ? (C) m t ? (D) t m ?

5.若n 元线性方程组AX =0满足秩n A =)(，则该线性方程组（ ）． (A) 有无穷多解 (B) 有唯一解 (C) 有非0解 (D) 无解

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.函数???<≤-<≤-+=2

0,10

5,

2)(2

x x x x x f 的定义域是 ．

2.曲线y =)1,1(处的切线斜率是 ．

3. =?

-x x d e

d 2

．

4.若方阵A 满足 ，则A 是对称矩阵．

5.线性方程组AX b =有解的充分必要条件是 ．

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

1. 设x y x

tan e

5-=-，求y '．

2. 计算定积分

?

2π0

d sin x x x ．

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

3. 已知B AX =，其中????

??????=??????????=108532,1085753321B A ，求X ． 4. 设齐次线性方程组

???

??=+-=+-=+-0

830352023321

321321x x x x x x x x x λ， λ为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其一般解．

五、应用题（本题20分）

设某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为402)(+='x x C （万元/百台）．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．

经济数学基础（10秋）模拟试题（一）答案

（供参考）

2010年12月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.D 2.D 3.C 4.A 5.B

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

1. ]2,5(--

2. 2

1 3. x x d e 2- 4. T

A A = 5. 秩=A 秩)(A

三、微积分计算题（每小题10分，共20分） 1. 解：由微分四则运算法则和微分基本公式得

)(tan )e ()tan e (55'-'='-='--x x y x x

x

x x

25cos 1

)5(e -

'-=-

x

x

2

5cos 1

e 5-

-=- 2. 解：由分部积分法得

??

+-=2π0

2π0

2π0

d cos cos d sin x x x x x x x

2π0

sin 0x +=

1= 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 3. 解：利用初等行变换得

????

??????------→??????????10552001321000132

11001085010753001321

??????????----→??????????---→121100255010364021121100013210001321 ????

??????-----→121100255010146001 即

????

?

?????-----=-1212551461

A

由矩阵乘法和转置运算得

????

??????--=????????????????????-----==-1282315138

1085321212551461

B A X

4. 解：因为

??

????????---→??????????---61011023

183352231λλ

????

?

?????---→??????????---→500110101500110231λλ

所以，当5=λ时方程组有非零解．

一般解为

???==32

3

1x x x x （其中3x 为自由未知量）

五、应用题（本题20分）

解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 ?

+=

?64

d )402(x x C =6

4

2)40(x x += 100（万元）

又

x c x x C x C x ?+'=

d )()(=x

x x 36

402++

=x x 36

40++

令 0361)(2=-='x

x C ， 解得6=x ．又该问题确实存在使平均成本达到最低的产量，所以，当6=x 时可使平均成本达到最小．

经济数学基础（10秋）模拟试题（二）

2010年12月

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设x

x f 1

)(=

，则=))((x f f （ ）． A ．x 1 B ．21x

C ．x

D ．2

x

2．已知1sin )(-=

x

x

x f ，当（ ）时，)(x f 为无穷小量． A ．x →0 B ．1→x C ．-∞→x D ．+∞→x 3. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．

A ．)(d )(x F x x f x

a =? B ．)()(d )(a F x F x x f x

a -=?

C ．

)()(d )(a f b f x x F b

a

-=?

D ．)()(d )(a F b F x x f b a

-='?

4．以下结论或等式正确的是（ ）．

A ．若

B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若A

C AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵

D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠

5．线性方程组???=+=+0121

21x x x x 解的情况是（ ）．

A. 有无穷多解

B. 只有0解

C. 有唯一解

D. 无解

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设2

1010)(x

x x f -+=，则函数的图形关于 对称．

7．函数2

)1(3-=x y 的驻点是________． 8．若

c x F x x f +=?)(

d )(，则?=--x f x x d )

e (e ．

9．设矩阵?

?

??

??-=3421A ，I 为单位矩阵，则T

)(A I -＝ ． 10．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为????

??????--=000020103211A 则此方程组的一般解为 ．

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．设x x y 2e ln -+=

，求y d ．

12．计算积分

?

20

2d sin π

x x x ．

四、代数计算题（每小题15分，共50分）

13．设矩阵??

?

???=????

??=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 14．讨论当a ，b 为何值时，线性方程组???

??=-+=-+=+b

ax x x x x x x x 321

32131

2022无解，有唯一解，有无穷多解.

五、应用题（本题20分）

15．生产某产品的边际成本为C '(q )=8q (万元/百台)，边际收入为R '(q )=100-2q （万元/百台），其中q 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

经济数学基础（10秋）模拟试题（二）答案

（供参考） 2010年12月 一、

单项选择题（每小题3分，共15分）

1．C 2. A 3. B 4. C 5. D 二、填空题（每小题3分，共15分）

6. y 轴

7. x =1

8. c F x

+--)e ( 9. ??

?

???--2240 10．???=--=4243122x x x x x ，(x 3，4x 是自由未知量〕 三、微积分计算题（每小题10分，共20分） 11．解：因为 x x x

x x x

y 22e 2ln 21e 2)(ln ln 21---=

-'=

'

所以 y d x x

x x d )e 2ln 21(

2--=

12．解：

?

?

=2

2220

2

d sin 21

d sin ππ

x x x x x x

20

2cos 2

1

π

x -

==2

1

-

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 13．解：因为

????

??10530121??????--→13100121 ??

?

???--→13102501

即 ??

?

???--=???

???-132553211

所以，X =1

53213221-????????????=???

???--??????13253221=

??

?

???-1101 14．解：因为 ??

??

??????-----→??????????--42102220210

11201212101b a b a

??

??

??????-----→310011102101b a

所以当1-=a 且3≠b 时，方程组无解； 当1-≠a 时，方程组有唯一解；

当1-=a 且3=b 时，方程组有无穷多解. 五、应用题（本题20分）

15. 解：L '(q ) =R '(q ) -C '(q ) = (100 – 2q ) – 8q =100 – 10q 令L '(q )=0，得 q = 10（百台）

又q = 10是L (q )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故q = 10是L (q )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又

q q q q L L d )10100(d )(1210

12

10

??

-='=20)5100(12

102-=-=q q 18分

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 20分

经济数学基础（模拟试题1）

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．函数()

1lg +=

x x

y 的定义域是（ ）．

A ．1->x

B ．0≠x

C ．0>x

D ．1->x 且0≠x

2．函数sin ,0(),0

x

x f x x k x ?≠?

=??=? 在x = 0处连续，则k = ( )．

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2

3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A ．?+x x 1)d cos(2 B ．?

-x x x d 12

C ．?

x x x d 2sin D ．

?+x x x

d 12

4．设A 为23?矩阵，B 为32?矩阵，则下列运算中（ ）可以进行． A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T

5. 设线性方程组b AX =的增广矩阵为?????

???????------12422062110621104123

1，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设函数52)1(2

++=+x x x f ，则____________)(=x f ．

7．设某商品的需求函数为2

e

10)(p p q -

=，则需求弹性=p E ．

8．积分

=+?-1

122d )1(x x x

．

9．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X = ． 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53?矩阵，则≤)(A r ．

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．设x x y x

+=cos e

，求y d ． 12．计算积分 ?

x x x d 1

sin

2

．

四、代数计算题（每小题15分，共50分）

13．设矩阵A =??????????----12151131

1，计算 1)(-+A I ．

14．求线性方程组??

?

??=-+-=-+-=--12

61423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解．

五、应用题（本题20分）

15．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

模拟试题1答案及评分标准

（供参考）

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．D 2. C 3. C 4. A 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．42

+x 7. 2

p -

8. 0 9. 1

)(--B I 10．3 三、微积分计算题（每小题10分，共20分） 11．解：21

2cos 2

3cos 2

3

)sin (e

)()(cos e

x x x x y x

x

+-='+'=' 7分

x x x y x

d )e

sin 2

3(d 2cos 21

-= 10分 12．解：

c x x x x x x +=-=??

1cos )1(d 1sin d 1

sin

2

10分

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

13．解：因为 ??????????-=+021501310A I 5分 且 ??

??

??????---→??????????-11052000131001050

1100021010501001310

??????????-→112100001310010501??

??

??????-----→1121003350105610001 13分

所以 ????

?

?????-----=+-1123355610)

(1

A I 15分

14．解：因为增广矩阵

??????????----→??????????------=18181809990362112614236213352A ????

??????--→000011101401

10分

所以一般解为 ??

?+=+=1

1

43231x x x x （其中3x 是自由未知量） 15分

五、应用题（本题20分） 15．解：因为总成本函数为

?

-=q q q C d )34()(=c q q +-322

5分 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即

C (q )=18322

+-q q 8分

又平均成本函数为 q

q q q C q A 18

32)()(+-==

12分 令 018

2)(2=-

='q

q A ， 解得q = 3 (百台) 17分 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 93

18

332)3(=+-?=A (万元/百台) 20分

经济数学基础（模拟试题2）

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．

A ．2

)()(x x f =，x x g =)( B ．1

1)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1

C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=

D ．x x x f 2

2cos sin )(+=，1)(=x g 2．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ ）．

A ．x

x

sin B ． 12+x x C ．2

1

e x - D ．)1ln(x +

3．若c x x f x

x

+-=?1

1

e d e

)(，则f (x ) =（ ）

． A ．

x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x

4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.

A ．

B B ．1+B

C ．I B +

D ．()I AB --1

5．设线性方程组b X A n m =?有无穷多解的充分必要条件是（ ）．

A ．m A r A r <=)()(

B ．n A r A r <=)()(

C ．n m <

D ．n A r <)(

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = ． 7

．曲线y =)1,1(处的切线斜率是 ．

8．

=+?x x x

d )1ln(d d

e 12

． 9．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．

10．设线性方程组b AX =，且??

??

??????+-→010********

1t A ，则__________t 时，方程组有唯一解．

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．设x y x

5sin cos e

+=，求y d ．

12．计算积分

?

e 1

d ln x x x ．

四、代数计算题（每小题15分，共50分）

13．设矩阵 A =??????--021201，B =??

???

?????142136，计算(AB )-1．

14．求线性方程组???

??=-+-=+-+-=-+0

352023024321

4321431x x x x x x x x x x x 的一般解．

五、应用题（本题20分）

15．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2

++=（万元）,

求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？

模拟试题2参考解答及评分标准

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

1．D 2. A 3. C 4. C 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 45q – 0.25q 2 7.

2

1

8. 0 9. n 10．1-≠ 三、微积分计算题（每小题10分，共20分） 11．解：因为 )(cos cos 5)(sin e

4sin '+'='x x x y x

x x x x

sin cos 5cos e

4sin -= 所以 x x x x y x

d )sin cos 5cos

e (d 4sin -=

12．解：

??

-=e 1

2

e

1

2e

1

)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x

4

14e d 212e 2e 12+=-=

?x x 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

13．解：因为AB =?

?

?

???--021201????

?

?????142136=?

?????--1412 (AB I ) =??

????-→????

??--1210011210140112

???

?

???

?→?

?????---→121021210

112101102 所以 (AB )-1

= ???

?

???

?12212

1

14．解：因为系数矩阵

??????????----→??????????-----=111011101201351223111201A ????

?

?????--→000011101201 所以一般解为??

?-=+-=4

324

312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）

五、应用题（本题20分） 15．解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

q q q C 625.0100)(2++=，625.0100

)(++=

q q

q C ， 65.0)(+='q q C ．

所以，1851061025.0100)10(2

=?+?+=C ，

5.1861025.010

100

)10(=+?+=

C ， 116105.0)10(=+?='C ．

（2）令 025.0100

)(2

=+-

='

q q C ，得20=q （20-=q 舍去）． 因为20=q 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.

经济数学基础（模拟试题3）

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．若函数x

x

x f -=

1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )． A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 2．曲线1

1

+=

x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）． A ．

21 B ．21- C ．3)1(21+x D ．3)

1(21+-x

3．下列积分值为0的是（ ）．

A ．?π

π-d sin x x x B ．?-+1

1-d 2

e e x x

x C ．?--1

1-d 2

e e x x

x D ．?-+ππx x x d )(cos 4．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T

＝（ ）．

A ．??????--5232

B ．??????--6321

C ．??????--6231

D ．??

????--5322

5. 当条件（ ）成立时，n 元线性方程组b AX =有解．

A. r A n ()<

B. r A n ()=

C. n A r =)(

D. O b = 二、填空题（每小题3分，共15分）

6．如果函数)(x f y =对任意x 1, x 2，当x 1 < x 2时，有 ，则称)(x f y =是单调减少的. 7．已知x

x

x f tan 1)(-=，当 时，)(x f 为无穷小量． 8．若

c x F x x f +=?)(

d )(，则x f x x )d

e (e --?= .

9. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X ． 10．设齐次线性方程组11???=m n n m O X A ，且)(A r = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．设x

x y --+=

1)

1ln(1，求)0(y '.

12．x x x d )2sin (ln +?

．

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

13．设矩阵 ??????-=021201A ，??????????=200010212B ，??

???

?????--=242216C ，计算)(T C BA r +．

14．当λ取何值时，线性方程组???

??=+-=-+=++15421

31

321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解．

五、应用题（本题20分）

15． 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

参考答案（模拟试题3）

三、

单项选择题（每小题3分，共15分）

1．A 2. B 3. C 4. A 5. D 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. )()(21x f x f > 7. 0→x 8. c F x

+--)e ( 9. 11)(---C A D B 10．n – r

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．解：因为 2

)

1()]

1ln(1[)1(11

x x x x y --++---=' = 2)1()1ln(x x -- 所以 )0(y '=

2

)01()

01ln(--= 0

12．解：x x x d )2sin (ln +?

=??+-)d(22sin 21

d ln x x x x x =C x x x +--2cos 2

1

)1(ln

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

13．解：因为 C BA +T

=??????????200010212??????????-022011??????????--+242216

=??????????-042006??????????--+242216 =??????????200210 且 C BA +T

=????

?

?????→??????????001002200210

所以 )(T

C BA r +=2

14．解 因为增广矩阵 ????

??????--=150********λA ??????????---→261026101111λ????

?

?????--→λ00026101501 所以，当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： ??

?+-=-=261

532

31x x x x

(x 3是自由未知量〕

五、应用题（本题20分） 15．解：因为 C q ()=

C q q ()=05369800

.q q

++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800

q q

++'=0598002.-q

令'C q ()=0，即059800

2

.-

q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为

C ()140=0514*******

140

.?++=176 （元/件）

经济数学基础（模拟试题4）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列函数中为偶函数的是（ ）． A ．x x y -=2

B ．x

x y --=e

e

C ．1

1

ln

+-=x x y D ．x x y sin = 2．函数)

1ln(1

-=

x y 的连续区间是（ ）．

A ．），（），（∞+?221

B ．），（），∞+?221[

C ．）

，（∞+1 D ．），∞+1[ 3．设

c x

x

x x f +=

?

ln d )(，则)(x f =（ ）

． A ．x ln ln B ．

x x ln C ．2

ln 1x x - D ．x 2

ln 4. 设B A ,为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.

A.若O AB =，则必有O A =或O B =

B.若O AB ≠，则必有O A ≠,O B ≠

C.若秩O A ≠)(,秩O B ≠)(，则秩O AB ≠)(

D. 111

)

(---=B A AB

5．设线性方程组b AX =有惟一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）．

A ．无解

B ．只有0解

C ．有非0解

D ．解不能确定 二、填空题（每小题3分，共15分）

6．函数1

1

42++

-=

x x y 的定义域是 . 7．过曲线x y 2e -=上的一点（0，1）的切线方程为 ．

8．

x x d e 0

3?

∞

-= ．

9．设????

??????-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 10．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为

??

??

??????+-→110000012401

021d A

则当d = 时，方程组AX b =有无穷多解.

三、微积分计算题（每小题10分，共20分）

11．设2

e cos x x y --=，求y d ． 12．

x x

x d ln 112e 0

?

+

四、代数计算题（每小题15分，共30分）

13．设矩阵??????????=??????????--=521,322121011B A ，求B A 1

-．

14．求线性方程组???

??=-+-=+-+-=-+0

352023024321

4321431

x x x x x x x x x x x 的一般解．

五、应用题（20分）

15．已知某产品的销售价格p （单位：元／件）是销量q （单位：件）的函数p q

=-

4002

，而总成本为C q q ()=+1001500（单位：元）

，假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 参考答案（模拟试题4）

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．D 2. A 3. C 4. B 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分）

6. ]2,1()1,2[---Y

7. 12+-=x y

8. 3

1

9. 0 10．-1 三、微分计算题（每小题10分，共20分） 11．

解：因为2

2e x y x -'=+ 所以

2d (e )d x y x x = 12．解：

x x

x d ln 112

e 1

?

+=)ln d(1ln 112

e 1

x x

++?

=2e 1

ln 12x

+=)13(2-

四、代数计算题（每小题15分，共30分）

13．解：因为 ??????????--→??????????--102340011110001011100322010121001011 ??

????????----→??????????----→146100135010001011146100011110001011

????

??????-----→146100135010134001 即 ??????????-----=-1461351341A 所以 ????

??????--=????????????????????-----=-9655211461351341

B A

14．解：因为系数矩阵

??????????----→??????????-----=111011101201351223111201A ????

??????--→000011101201 所以一般解为??

?-=+-=4

324

312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）

五、应用题（20分）

15．解：由已知条件可得收入函数 R q pq q q ()==-4002

2

利润函数 )1500100(2

400)()()(2

+--=-=q q q q C q R q L 15002

3002

--=q q

求导得 '=-L q q ()300

令'=L q ()0得q =300，它是唯一的极大值点，因此是最大值点．

此时最大利润为 L ()3003003003002

1500435002

=?--=