因式分解专项强化训练(2020年整理).pptx
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《因式分解》因式分解PPT-北师大版八年级数学下册
4．1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过 程．
2 了解因式分解的意义, 以及它与整式乘法的相互关 系．
3 感受因式分解在解决相关问题中的作, 属于因式分解的是( D )
A.a(x－y)＝ax－ay
B.x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C.(x＋1)(x＋3)＝x²＋4x＋3 D.x³－x＝x(x＋1)(x－1)
2.因式分解的结果是2x(x－3)的多项式是( C)
A.6x－2x²
B.2x²＋6x
C.2x²－6x
D.－2x²－6x
3.若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1), 则m, n的值分别为( D )
A.2, 3 B.－2, 3 C.2, －3 D.－2, －3
A.m²＋3(m＋3)＝(m＋3) ² C.m²＋3(2m＋3)＝(m＋3)²
B.m²＋3(m＋6)＝(m＋3) ² D.m²＋3(2m＋6)＝(m＋3) ²
强化训练
2． 小马虎在一次因式分解练习中, 一不小心弄脏了一部分, x2＋x－6＝(x＋ 3)(x－■), 你能帮他确定污染部分是多少吗?
解:设污染部分为a, 由整式乘法, 得 (x＋3)(x－a) ＝x2＋3x－ax－3a ＝x2＋(3－a)x－3a． 由题意可知, －3a＝－6, 所以a＝2．
（2）(y－3)²＝ y²－6y＋9 ;
（3）3x(x－1)＝ 3x²－3x ;
（4）a(a＋1)(a－1)＝ a³－a .
根据上面的算式填空:
（1）m²－16＝( m＋4 )( m－4 );
（2）y²－6y＋9＝( y－ 3 )²;
（3）3x²－3x＝( 3x )( x－1 );
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过 程．
2 了解因式分解的意义, 以及它与整式乘法的相互关 系．
3 感受因式分解在解决相关问题中的作, 属于因式分解的是( D )
A.a(x－y)＝ax－ay
B.x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C.(x＋1)(x＋3)＝x²＋4x＋3 D.x³－x＝x(x＋1)(x－1)
2.因式分解的结果是2x(x－3)的多项式是( C)
A.6x－2x²
B.2x²＋6x
C.2x²－6x
D.－2x²－6x
3.若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1), 则m, n的值分别为( D )
A.2, 3 B.－2, 3 C.2, －3 D.－2, －3
A.m²＋3(m＋3)＝(m＋3) ² C.m²＋3(2m＋3)＝(m＋3)²
B.m²＋3(m＋6)＝(m＋3) ² D.m²＋3(2m＋6)＝(m＋3) ²
强化训练
2． 小马虎在一次因式分解练习中, 一不小心弄脏了一部分, x2＋x－6＝(x＋ 3)(x－■), 你能帮他确定污染部分是多少吗?
解:设污染部分为a, 由整式乘法, 得 (x＋3)(x－a) ＝x2＋3x－ax－3a ＝x2＋(3－a)x－3a． 由题意可知, －3a＝－6, 所以a＝2．
（2）(y－3)²＝ y²－6y＋9 ;
（3）3x(x－1)＝ 3x²－3x ;
（4）a(a＋1)(a－1)＝ a³－a .
根据上面的算式填空:
（1）m²－16＝( m＋4 )( m－4 );
（2）y²－6y＋9＝( y－ 3 )²;
（3）3x²－3x＝( 3x )( x－1 );
因式分解PPT课件(北师大版)
第四章 因式分解
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
一元二次方程因式分解法.ppt
解： （[ a + b)x - (a - b)][(a - b)x - (a + b)] = 0
x1 =
a- b， a+ b
x2 =
a+ b a- b
解下列于x的方程：
1. x2 - (2a + 1)x + a2 + a = 0
2. (a2 - b2 )x2 - 2(a2 + b2 )x + a2 - b2 = 0(a2 - b2 ? 0)
而右边等于零;即一元二次方程可以转化为 A·B=0的形式
2.因式分解法解一元二次方程的本质就是降次
转化为解两个一元一次方程
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
思考：
注：运用因式分解法的前提是方程右边为零。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
练一练练一练解：源自x 0或x 8原方程的根为x1 0，x2 8
例2：(x 3) x(x 3) 0
解： (x 3)(1 x) 0
得：x 3 0或1 x 0
x 3或x 1
原方程的根为x1 3，x2 1
例3：x2 4 0
解：(x 2)(x 2) 0
x20 或 x20
平方差公式
x 2 或 x 2
原方程的根为x1 2，x2 2
例4：(x 2)2 2 0
解：(x 2 2)(x 2 2) 0
x 2 2 0或 x 2 2 0
x 2 2 或 x 2 2
x 3 或 x -2
原方程的根为x1 3, x2 2
例7： 0.1x2 1.2 0.4x
经典因式分解练习题100道(20200731143224).pdf
62.) 9x5－35x3－4x =______________________________
63.若(2x)n- 81 = (4x2+9)(2x+3)(2x-3)，那么 n 的值是 (
)
64.) 若 9x2- 12xy+m 是两数和的平方式，那么 m 的值 (
)
65) 把多项式 a4- 2a2b2+b4 因式分解的结果为 (
=_______________________________________________
56.) 8－2x2=__________________________ 57.) x4－1 =____________________________ 58.) x2＋4x－xy－2y＋4
74.） 2x 3 y 2 与 12 x6 y 的公因式是＿ ________________
35.） x2－25 =________________________
=_______________________________________________
36.） x2－20x＋100=__________________________
54.) (x2－3x)＋(x－3) 2
37.） x2＋4x＋3 =_____________________________
=__________________________________________ 5.） 2x2－(a－2b)x－ab
=_________________________________________ 6.） a4－9a2b2 =_______________________________ 7.） x3＋3x2－4 =______________________________ 8.） ab(x2－y2)＋xy(a2－b2)
苏科版数学七年级下册第9章《因式分解》方法归纳 (共41张PPT)
以进行如上的因式分解。
即：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
x
a
x
b
x2 ax＋bx=(a＋b)x ab
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，
借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 2x －6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
【例】 把下列各式分解因式.
课堂精讲 (1)25m2-n2; 原式=(5m+n)(5m-n)
(2)(x-y)2-1; 原式=(x-y+1)(x-y-1)
(3)16x-25x3y2; 原式=x(4+5xy)(4-5xy)
(4)x4-16. 原式=(x2+4)(x+2)(x-2)
随堂检测
1.将x2﹣16分解因式正确的是（ B ）
1.计算：852﹣152=（ D ）
A．70 B．700
C．4900 D．7000
2.下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（ D ）
A．x2﹣xy
B．x2+xy
C．x2+y2
D．x2﹣y2
3.分解因式：x2﹣4=
．
4.若x2﹣9=（x﹣3）（（x+x2+）a）（，x﹣则2a）= ．
3
课堂精讲 知识点.利用平方差公式分解因式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数 的和与这两个数的差的积. (1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2逆用， 即为因式分解的平方差公式. (2)公式中所说的“两个数”是a,b，而不是a 2,b 2，其 中a,b可以是单项式，也可以是多项式. (3)平方差公式的特点：①左边是二项式，两项都能写 成平方的形式，且符号相反；②右边是两个数的和与这 两个数的差的积，凡是符合平方差公式特点的二项式， 都可以运用平方差公式分解因式，如x 2-y 2,a 2-1,4x 29,(b+c) 2- 4(a-b) 2 等.
即：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
x
a
x
b
x2 ax＋bx=(a＋b)x ab
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，
借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 2x －6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
【例】 把下列各式分解因式.
课堂精讲 (1)25m2-n2; 原式=(5m+n)(5m-n)
(2)(x-y)2-1; 原式=(x-y+1)(x-y-1)
(3)16x-25x3y2; 原式=x(4+5xy)(4-5xy)
(4)x4-16. 原式=(x2+4)(x+2)(x-2)
随堂检测
1.将x2﹣16分解因式正确的是（ B ）
1.计算：852﹣152=（ D ）
A．70 B．700
C．4900 D．7000
2.下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（ D ）
A．x2﹣xy
B．x2+xy
C．x2+y2
D．x2﹣y2
3.分解因式：x2﹣4=
．
4.若x2﹣9=（x﹣3）（（x+x2+）a）（，x﹣则2a）= ．
3
课堂精讲 知识点.利用平方差公式分解因式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数 的和与这两个数的差的积. (1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2逆用， 即为因式分解的平方差公式. (2)公式中所说的“两个数”是a,b，而不是a 2,b 2，其 中a,b可以是单项式，也可以是多项式. (3)平方差公式的特点：①左边是二项式，两项都能写 成平方的形式，且符号相反；②右边是两个数的和与这 两个数的差的积，凡是符合平方差公式特点的二项式， 都可以运用平方差公式分解因式，如x 2-y 2,a 2-1,4x 29,(b+c) 2- 4(a-b) 2 等.
2020年四川省成都地区中考数学第一部分系统复习第二讲因式分解(共37张PPT)
四位数等均可以用此记法，如a__ b__ c__ ＝100a＋10b＋c.
【基础训练】
(1)解方程填空：
______ ______
2
①若2x＋x3＝45，则 x＝____；
4 ————
————
②若 7 y － y 8 ＝26，则 y＝____；
7 ③若—t9—3—＋5——t8—＝13t1，则 t＝____；
课堂精讲
因式分解的应用 例 7 如图 1，有足够多的边长为 a 的小正方形(A 类)、长为 a，宽为 b 的长方形(B 类)以及边长为 b 的大正方形(C 类)，发现利用图 1 中的三种 材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图 2 可以解释为： (a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
课堂精讲
(1)取图1中的若干个(三种图形都要取到)拼 成一个长方形，使其面积为(2a＋b)(a＋2b)，在 如图4虚线框中画出图形，并根据图形回答(2a＋ b)(a＋2b)＝____________________； (2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼 成一个长方形，使其面积为a2＋5ab＋6b2. ①你画的图中需C类材料________张； ② 可 将 多 项 式 a2 ＋ 5ab ＋ 6b2 分 解 因 式 为 ____________________；
【分析】首先把 a2－b2－b 化成(a＋b)(a－b)－b，然后把 a－b＝12代入，求出算 式的值是多少即可．
【答案】14
课堂精讲
例5 四边形的四边顺次为a，b，c，d，且满 足a2＋b2＋c2＋d2＝2(ab＋cd)，则这个四边形一 定是( )
A．对角线互相垂直的四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线长相等的四边形 【分析】首先把a2＋b2＋c2＋d2＝2(ab＋cd)变形
2020版中考数学一轮复习人教版 课件：因式分解
【解析】 原式＝x(y2－4)＝x(y＋2)(y－2)． 10．(2018·威海)分解因式：－12a2＋2a－2＝ －12(a－2)2 .
【解析】 原式＝－12(a2－4a＋4)＝－12(a－2)2.
11．(2019·淄博)分解因式：x3＋5x2＋6x＝ x(x＋3)(x＋2) ． 【解析】 x3＋5x2＋6x＝x(x2＋5x＋6)＝x(x＋3)(x＋2)． 12．分解因式：x2－2x＋(x－2)＝ (x＋1)(x－2) ． 【解析】 原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)． 13．(2018·齐齐哈尔)分解因式：6(a－b)2＋3(a－b)． 解：6(a－b)2＋3(a－b) ＝3(a－b)[2(a－b)＋1] ＝3(a－b)(2a－2b＋1)．
【解析】 am2－9a＝a(m2－9)＝a(m＋3)(m－3)． 7．(2019·安徽芜湖二模)分解因式a3－6a2＋9a＝ a(a－3)2 . 【解析】 a3－6a2＋9a＝a(a2－6a＋9)＝a(a－3)2. 8．(2018·杭州)分解因式：(a－b)2－(b－a)＝ (a－b)(a－b＋1) ．
＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4 ＝5n2＋10 ＝5(n2＋2)． ∵n是整数， ∴n2＋2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数．
18．(2018·临安区)阅读下列题目的解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形 状． 解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，( ① ) ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，( ② ) ∴c2＝a2＋b2，( ③ ) ∴△ABC是直角三角形．
【解析】 先利用因式分解得到原式＝(4x2－y2)(x2－y2＋3x2)＝(4x2－y2)2，再把y ＝kx代入得到原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4，所以当4－k2＝±1时满足条件，然 后解关于k的方程即可．
【解析】 原式＝－12(a2－4a＋4)＝－12(a－2)2.
11．(2019·淄博)分解因式：x3＋5x2＋6x＝ x(x＋3)(x＋2) ． 【解析】 x3＋5x2＋6x＝x(x2＋5x＋6)＝x(x＋3)(x＋2)． 12．分解因式：x2－2x＋(x－2)＝ (x＋1)(x－2) ． 【解析】 原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)． 13．(2018·齐齐哈尔)分解因式：6(a－b)2＋3(a－b)． 解：6(a－b)2＋3(a－b) ＝3(a－b)[2(a－b)＋1] ＝3(a－b)(2a－2b＋1)．
【解析】 am2－9a＝a(m2－9)＝a(m＋3)(m－3)． 7．(2019·安徽芜湖二模)分解因式a3－6a2＋9a＝ a(a－3)2 . 【解析】 a3－6a2＋9a＝a(a2－6a＋9)＝a(a－3)2. 8．(2018·杭州)分解因式：(a－b)2－(b－a)＝ (a－b)(a－b＋1) ．
＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4 ＝5n2＋10 ＝5(n2＋2)． ∵n是整数， ∴n2＋2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数．
18．(2018·临安区)阅读下列题目的解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形 状． 解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，( ① ) ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，( ② ) ∴c2＝a2＋b2，( ③ ) ∴△ABC是直角三角形．
【解析】 先利用因式分解得到原式＝(4x2－y2)(x2－y2＋3x2)＝(4x2－y2)2，再把y ＝kx代入得到原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4，所以当4－k2＝±1时满足条件，然 后解关于k的方程即可．
2020春浙教版七年级数学下册课件：第4章 因式分解(B卷)(共32张PPT)
(2)从第②步到第③步，运用的数学公式是 ________； (3)用上述方法把a2－8a＋15分解因式． 解：(1)完全平方式； (2)平方差公式； (3)a2－8a＋15＝a2－8a＋16－1＝(a－4)2－1＝ (a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5).
22.(12分)阅读下列材料，然后解答问题： 分解因式：x3＋3x2－4. 解答：把x＝1代入多项式x3＋3x2－4，发现此多 项式的值为0，由此确定多项式x3＋3x2－4中有 因式(x－1)，于是可设x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋ mx＋n)，分别求出m，n的值，再代入x3＋3x2－ 4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，就容易分解多项式x3＋ 3x2－4.这种分解因式的方法叫“试根法”．
5．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是 (A ) A．x2－4x＋4 B．1＋16a2 C．4x2＋4x－1 D．x2＋xy＋y2
6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手 册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a ＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：华、 爱、我、中、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－ y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(C ) A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
(2)把求出的甲图中阴影部分面积与乙图中阴影 部分面积的差，甲图中阴影部分面积与乙图中 阴影部分面积的和，分别用因式分解表示．
解：(1)①甲图中阴影部分面积＝a2－b2，乙图 中阴影部分面积＝a2－ab，∴甲图中阴影部分 面积与乙图中阴影部分面积的差为a2－b2－(a2 －ab)＝ab－b2；②甲图中阴影部分面积与乙图 中阴影部分面积的和为a2－b2＋(a2－ab)＝2a2 －b2－ab；
解得mn＝＝－0，16，
2020版中考数学总复习优化设计：第2讲-整式运算及因式分解ppt课件2
(ab)3=a3b3是积的乘方应用.
方法点拨本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、
幂的乘方、积的乘方,熟练掌握幂的运算法则和性质是解题的关键.
考法1
考法2
考法3
考点必备梳理
考法4
考法5
考法必研突破
考题初做诊断
整式的运算
整式的运算涉及去括号、合并同类项、多项式乘法、乘法公式、
幂的运算等知识点,要注意掌握法则,注意运算顺序.
考法1
考法2
考法3
考点必备梳理
考法4
考法5
考法必研突破
考题初做诊断
因式分解
因式分解最常用的方法是提取公因式法和运用公式法.分解因式
不彻底是因式分解常见错误之一,分解因式的结果是否正确可以用
整式乘法来检验.
例5(2017贵州黔东南)在实数范围内因式分解:x5-4x=
.
答案 x(x2+2)(x+ 2)(x- 2)
考法1
考法2
考法3
考点必备梳理
考法4
考法5
考法必研突破
考题初做诊断
代数式求值 求代数式的值的步骤是先化简,再代入求值. 例2(2017河南)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y), 其中 x= 2+1,y= 2-1.
解原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy. 当 x= 2+1,y= 2-1 时,原式=9xy=9( 2+1)( 2-1)=9.
方法点拨先根据整式的运算法则化简后再代入求值.如果字母取 值是分数或负数时,那么做乘方运算或者性质符号前有运算符号的 都必须加上小括号.运算时要弄清楚运算符号,注意运算顺序.
因式分解总复习课件 PPT
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例2：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(y-x)(p+q)
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9
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提公因式法
2 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公 因式，如果有，先提公因式；如果没有 公因式；是两项式，则考虑能否用平方 差公式分解因式. 是三项式考虑用完全 平方式，最后，直到每一个因式都不能 再分解为止.
业精于勤荒于嬉； 行成于思毁于随。
THANKS
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公式法
3 公式法
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积 的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做运用公式法。
公式法
平方差公式 a2-b2 =(a+b)(a-b) 特征：两项、异号、平方形式
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
特征：三项、两数平方的和加 上（或减去）两数乘积的2倍
3.已知a b=2，求a2 b2 4b的值
3 公式法 a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2