2013年高考数学第一轮复习单元第15讲 等比数列

1 2013年高考数学第一轮复习单元 第15讲 等比数列

一．【课标要求】 1．通过实例，理解等比数列的概念； 2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系 二．【命题走向】 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具 预测2013年高考对本讲的考察为： （1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力 三．【要点精讲】 1．等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naqq数列对于数

列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21。（注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等

比数列的通项公式知：若{}na为等比数列，则mnmnaqa。 3．等比中项 如果在ba与中间插入一个数G，使bGa,,成等比数列，那么G叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,naaaa的前n项和是nS123naaaa，当1q时，

qqaSnn1)1(1 或11nnaaqSq；当q=1时，1naSn（错位相减法）。

说明：（1）nSnqa,,,1和nnSqaa,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。 四．【典例解析】 题型1：等比数列的概念

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：四个命题中只有最后一个是真命题。 命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；

命题2中可知an+1=an×21，an+1an，即an+1>an，此时该数列为递增数列； 2

命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有acb2，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac，则成为不必要也不充分条件。 点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。 例2．命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列； 命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列； 命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列； 上述三个命题中，真命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解： 由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则12aa=a，

即baaa)1(=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。 由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。 由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。 点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是

an=,11nnSSa时当时当21nn，正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。 题型2：等比数列的判定

例3．已知等比数列na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是( )

（Ａ）,1 （Ｂ）,01, （Ｃ）3, （Ｄ）,13, 【解1】：∵等比数列na中21a ∴当公比为1时，1231aaa，33S ； 当公比为1时，1231,1,1aaa，31S 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；

【解2】：∵等比数列na中21a ∴312321111Saaaaqqqq

∴当公比0q时，3111123Sqqqq； 当公比0q时，3111121Sqqqq ∴3,13,S 故选D； 点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。 例4．设nS为数列{}na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数．

（I） 求1a及na；（II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值． 3

解（Ⅰ）当1,111kSan，12)]1()1([,2221kknnnknknSSannnn（） 经验，,1n（）式成立， 12kknan （Ⅱ）mmmaaa42,,成等比数列，mmmaaa422.， 即)18)(12()14(2kkmkkmkkm，整理得：0)1(kmk， 对任意的Nm成立， 10kk或 题型3：等比数列的通项公式及应用 例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 解：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；

解得a=2，q=3或a=92，q=－5；故所求的等比数列为2，6,18或92，－910，950。 点评：第一种解法利用等比数列的基本量qa,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。

例6．等比数列{na}的前n项和为nS， 已知对任意的nN ，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且

1,,bbr均为常数)的图像上.

（1）求r的值； （11）当b=2时，记 1()4nnnbnNa 求数列{}nb的前n项和nT 解:因为对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.所以得nnSbr,当1n时,11aSbr, 当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,

又因为{na}为等比数列, 所以1r, 公比为b, 所以1(1)nnabb （2）当b=2时，11(1)2nnnabb, 111114422nnnnnnnba 则234123412222nnnT

3451212341222222nnnnnT

相减,得23451212111112222222nnnnT

31211(1)112212212nnn





12311422nnn 所以113113322222nnnnnnT



例7．已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和 （Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜ 【思路】由11 (1) (2)nnanassn可求出nnab和，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出nnab和后，进而得到nc，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法 4

解：(1)由于114as 当2n时, 221(22)[2(1)2(1)]4nnnassnnnnn*4()mannN 又当xn时11(26)(2)nnnmmbTTb12nnbb 数列nb项与等比数列,其首项为1,公比为1211()2nnb

(2)由(1)知22111116()2nnCabn2(1)121221116(1)()(1)21216()2nnnnnCnCnn 由21(1)112nnCnCn得即221012nnn即3n 又3n时2(1)212nn成立,即11nnCC由于0nC恒成立. 因此,当且仅当3n时, 1nnCC 点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可 例8．设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分别求出｛an｝及｛bn｝的前10项的和S10及T10； 解：∵｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32． 已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3，∴b3＝2a3，a3＝b32．得 b3＝2b32．

∵b3≠0 ∴b3＝21，a3＝41．由a1＝1，a3＝41知｛an｝的公差为d＝83，

∴S10＝10a1＋8552910d．由b1＝1，b3＝21知｛bn｝的公比为q＝22或q＝22． 当q＝22时，)22(32311)1(10110qqbT，当q＝22时，)22(32311)1(10110qqbT。 点评：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。 题型5：等比数列的性质 例9．（1）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（ ） （A）33 （B）72 （C）84 （D）189 解：（1）答案：C；解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，