数学八年级(上)同步评估题(四) 第十二章 轴对称(12.3等腰三角形)
八年级数学上册 第十二章 轴对称 12.2.2 用坐标表示轴对称课后作业试题
八年级数学上册第十二章轴对称用坐标表示轴对称课后作业人教新课标版◆B〔2a，2〕，B〔2，2〕关于y轴对称，那么a=_____．3．根据以下各点的坐标变化，判断它们进展了怎样的运动？〔1〕A〔-5，1〕→B〔5，1〕；〔2〕C〔2，3〕→ D〔2，-1〕；〔3〕E〔-1，5 〕→ F〔2，5〕；〔4〕G〔5，-1〕→ H〔-5， 1〕．6．如图，从图Ⅰ到图Ⅱ是进展了平移还是轴对称变换？•假如是轴对称，找出对称轴；假如是平移，是怎样的平移？7．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A〔-4，2〕，B〔-2，-1〕，C〔-1，3〕．利用关于坐标轴对称的特点，分别作出△ABC关于x轴对称的△A ′B ′C ′，和△ABC 关于y 轴对称的△A ′′B ′′C ′′，并写出△A ′B ′C ′，△A ′′B ′′C ′′的三个顶点的坐标．◆C8．如图，△ABC 的顶点分别为A 〔-2，3〕，B 〔-4，1〕，C 〔-1，2〕，分别作出△ABC 关于直线x=2和直线y=-1对称的图,并写出对称点的坐标。
◆预习〔预习教材P49——50〕1．如图1，△ABC 中，AB=AC ，∠A=70°，那么∠B=______．2．如图2.等腰三角形的一个底角等于40°，那么顶角为____．3.请你说明：等腰三角形的两个底角相等。
：如图，AB=AC.求证：∠B=∠C 70°B C 40°A B C 图1 图2证明：作底边的中线AD，那么_______在⊿ABD和⊿ACD中，AB=____,CBD=____ ,AD=____.∴⊿ABD≌⊿ACD〔_____〕∴∠B=_____.于是等腰三角形的______________，得证。
〔简写成“_______________〞〕4.等腰三角形的_______________、_______________、_______________互相重合。
学年八年级数学上册第十三章轴对称.等腰三角形同步练习含解析新版新人教版
第十三章轴对称13.3 等腰三角形〔练习〕一、单项选择题〔共10小题〕1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．以下四个图中，能正确表示它们之间关系的是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】根据各类三角形的概念即可解答.【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．应选：C．【点睛】此题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.2．直角三角形中，30角所对的直角边长是2厘米，那么斜边的长是( )A．2厘米B．4厘米C．6厘米D．8厘米【答案】B【解析】由于在直角三角形中30°角所对的直角边长是斜边的一半，根据条件即可求出斜边的长．【详解】∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，∴斜边的长是4厘米．应选B．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，如果直角三角形的一个锐角为30°，那么它所对的直角边长度是斜边的一半．3．〔2022·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中〕如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD,那么∠A的度数是〔〕A．18°B．24°C．30°D．36°【答案】D【解析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，那么∠BDC＝2x，∠C＝180x2︒-，可得2x＝180x2︒-，解得：x＝36°，那么∠A＝36°，应选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．4．〔2022·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中〕一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是〔〕A．13 B．17 C．22 D．17或22【答案】C【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：①假设4为腰长，9为底边长，由于4＋4＜9，那么三角形不存在；②9为腰长，那么符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9＋9＋4＝22．应选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．5．〔2022·龙口市第五中学初一期中〕如图，三个等边三角形如图放置，假设∠1=70°，那么∠2+∠3=〔〕A．110°B．105°C．100°D．95°。
人教版数学八年级上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 同步练习题
人教版数学八年级上册第13章轴对称 13.3 等腰三角形同步练习题(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形．(4)等腰三角形是等边三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个9. 若等腰三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，则其周长是_____________．10．等腰三角形有一个角是36度，则它的底角的度数是______________．11. 如图，∠A＝36°，∠1＝72°，∠2＝36°，图中等腰三角形有____________．12. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 .13. 如图，△ABC中，AB＝AC，D，E为BC上两点，AD＝AE，求证：BD＝CE.14. 如图，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠EOD 的度数．15. 如图．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，AB＝4 cm，求∠BCD 和BC、BD、AD的长．16. 如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，DC ＝6 cm，求AC的长．17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)如果把AD改为△ABC的中线或高(其他条件不变)，请判断(1)中结论是否依然成立？(不要求证明)参考答案1---8 BCBBD CBD9. 15_cm10. 72°，72°或36°，36°11. △AB D，△CBD，△ABC_12. 50°13. 证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，同理BF＝CF.∵BD＝BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE.14. ∠CBD＝30°∠BOE＝60°∠BOC＝120°∠EOD＝120°15. ∠BCD＝30°，BC＝2 cm，BD＝1 cm，AD＝3 cm16. 连接BD，AC＝9 cm.17. (1)证明：∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝2∠E，又∵AD＝DE，∴∠E＝∠DAC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E，∴∠ACB＝∠BAC，∴BA＝BC，又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形(2)解：当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立。
2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)
人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）； （3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。
八年级数学上册知识梳理(11—12章)
).(, ,, SAS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与).(, , ,ASA DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与 AC BFED图2八年级数学上册知识梳理第十一章 全等三角形11.1 全等三角形1.能够 的两个图形叫做全等形。
两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在位置无关。
2.能够 的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等三角形中互相重合的顶点叫做对应 ，重合的角叫做对应 ，重合的边叫做对应 。
3.全等三角形的表示：全等用符号 表示，读作 。
4.全等三角形的性质有：（1）全等三角形的 相等；（2）全等三角形的 相等。
5.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小 ，平移、翻折、旋转前后的两个图形 。
11.2 三角形全等的判定 三角形全等的识别方法 1.如图1，用文字表述“SSS ”： 。
2.如图1，用文字表述“SAS ”： 。
3.如图1，).(, , , SSS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与 A F E D C B 图1).(, , ,AAS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与用文字表述“ASA ”： 。
4.如图1，用文字表述“AAS ”： 。
5.如2，用文字表述“HL ”： 。
判断两个三角形全等的常见思路如下表：11.3角平分线的性质1.定义：角平分线是把一个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的尺规作图作法。
（见课本P19）3.角平分线的性质（1）性质：角的平分线上的点到两边的 相等。
（2）符号语言：如图3，).(, , HL DEF ABC DEF Rt ABC Rt ∆≅∆∴⎩⎨⎧==∆∆ 中，与ODCPBA图3).( D,OB PD C OP AOB 角平分线的性质于，于上，在射线，点平分∴⊥⊥∠OA PC P OP（3）应用角平分线性质解题的格式的两边的距离相等）。
八年级数学人教版上册同步练习5轴对称(单元检测)(解析版)
13.5轴对称（单元检测）一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知A、B是两个定格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．具体如图所示：故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．，连结BF，2．(本题3分)如图，AD是ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE DFCE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C∆≅∆，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判【分析】根据“SAS”可证明CDE BDF断；由于AE与DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠=∠，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．ECD FBD∆的中线，【详解】AD是ABCCD BD∴=，∠=∠，=，CDE BDFDE DF∴∆≅∆，所以④正确；()CDE BDF SAS∴=，所以①正确；CE BF∵与DE不能确定相等，AE∆面积不一定相等，所以②错误；ACE∴∆和CDE∆≅∆，CDE BDF∴∠=∠，ECD FBD∴，所以③正确；BF CE//故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5种判定方法是解题的关键．3．(本题3分)如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（）A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋【答案】B【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．【详解】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：∴最后落入2号球袋,故选B.【点评】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．4．(本题3分)下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；③等腰三角形的两底角相等；④等腰三角形两底角的平分线相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；③等腰三角形的两底角相等；正确；④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．故选D．点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．，D是BC中点，下列结论，不一定正确的是（）5．(本题3分)如图，△ABC中，AB ACA ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．【详解】∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．(本题3分)等腰三角形ABC 中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【分析】根据已知条件中的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，则需分两种情况讨论．【详解】根据题意，如图所示：①当AC+12AC=15，解得AC=10，所以底边长=12-12×10=7； ②当AC+12AC=12，解得AC=8， 所以底边长=15-12×8=11． 所以底边长等于7或11．故选：B ．【点评】考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键抓住在已知条件没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，需采用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形．7．(本题3分)如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1，P 2交 OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 的周长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】 试题分析：根据对称图形的性质可得：PM=1P M ，PN=2P N ，则△PMN 的周长=PM+MN+PN=1P M+MN+2P N=1P 2P =6．考点：对称的性质8．(本题3分)如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ） A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【分析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A ，利用“等角对等边”可得其为等腰三角形．【详解】如图，DC 平分∠ACE ，且AB ∥CD ，∴∠ACD =∠DCE ，∠A =∠ACD ，∠B =∠DCE ，∴∠B =∠A ，∴△ABC 为等腰三角形．故选B ．【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 9．(本题3分)将点A (2，3)向左平移2个单位长度得到点A’，点A’关于x 轴的对称点是A’’，则点A’’的坐标为（ ）A ．(0，－3)B ．(4，－3)C ．(4，3)D ．(0，3)【答案】A【详解】试题解析：∵点A （2，3）向左平移2个单位长度得到点A′，∴点A′的横坐标为2-2=0，纵坐标不变，即点A′的坐标为（0，3）．点A ′关于x 轴的对称点是A ″，则点A ″的坐标为（0，-3）.故选A ．10．(本题3分)已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ； （2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（ ）A ．BAD CAD ∠=∠B ．△BCD 是等边三角形C ．AD 垂直平分BCD ．ABDC S AD BC =【答案】D 【分析】根据作图过程及所作图形可知BD BC CD ==，得出△BCD 是等边三角形；又因为AB AC =，,BD CD AD AD ==，推出ABD ACD ≅，继而得出BAD CAD ∠=∠；根据，BAD CAD ∠=∠，可知AD 为BAC ∠的角平分线，根据三线合一得出AD 垂直平分BC ；四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和，为12AD BC ⋅． 【详解】∵BD BC CD ==∴△BCD 是等边三角形故选项B 正确；∵AB AC =，,BD CD AD AD ==∴ABD ACD ≅∴BAD CAD ∠=∠故选项A 正确；∵BAD CAD ∠=∠，AB AC =∴据三线合一得出AD 垂直平分BC故选项C 正确；∵四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD △的面积之和 ∴12ABCD S AD BC =⋅ 故选项D 错误．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．11．(本题3分)如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．7D ．6【答案】D【分析】延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.【详解】如图，延长AD 、BC 交于点G∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒∴BAD G ∠=∠AB BG ∴=，D 是AG 的中点∵//DE BG∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线 ∴12,22EF BC BG DE === 又∵2EF DF =∴1DF =∴3DE EF DF =+=∴26BG DE ==∴6AB =故选：D.【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.12．(本题3分)如图，AB ⊥AC ，CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线，AG ∥BC ，AG ⊥BG ，下列结论：①∠BAG ＝2∠ABF ；②BA 平分∠CBG ；③∠ABG ＝∠ACB ；④∠CFB ＝135°，其中正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题目(共12分)13．(本题3分)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．【答案】12【分析】根据平移的性质得2BB '=，4A B AB ''==，=60A B C B ∠''∠=︒，则可计算624B C BC BB '=-'=-=，则4A B B C ''='=，可判断A B C ''△为等边三角形，继而可求得A B C ''△的周长．【详解】ABC 平移两个单位得到的A B C '''，2BB ∴'=，AB A B =''，4AB =，6BC =，4A B AB ∴''==，624B C BC BB '=-'=-=，4A B B C ∴''='=，又60B ∠=︒，60A B C ∴∠''=︒，A B C ∴''是等边三角形，A B C ∴''的周长为4312⨯=．故答案为：12．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．(本题3分)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∠A =25°，D 是AB 上一点，将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于_____．【答案】40°．【详解】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．15．(本题3分)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．【答案】18【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．【详解】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠MOB，∴BM＝OM，同理CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案为：18．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．16．(本题3分)如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若，则BC的长是_____．【解析】【分析】由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．【详解】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=180362︒-︒=72°，∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，∴∠CEB=72°，∴，【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．三、解答题(共72分)17．(本题8分)用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．【答案】（1）其他两边分别为4和7；（2）y ＝2时，x ＝8，y ＝4时，x ＝7，y ＝8时，x ＝5．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出答案．（2）设等腰三角形的三边长为x 、x 、y ，根据题意可知y ＜9，y 是2的倍数，从而可求出答案．【详解】（1）当等腰三角形的腰长为4，∴底边长为18﹣4×2＝10，∵4+4＜10，∴4、4、10不能组成三角形，当等腰三角形的底边长为4，∴腰长为（18﹣4）÷2＝7，∵4+7＞7，∴4、7、7能组成三角形，综上所述，其他两边分别为4和7．（2）设等腰三角形的三边长为x 、x 、y ，由题意可知：2x +y ＝18，且2x ＞y ，∴y ＜9，∵x ＝18y 2-＝9﹣y 2，x 与y 都是整数， ∴y 是2的倍数，∴y ＝2时，x ＝8，y ＝4时，x ＝7，y ＝8，x ＝5．【点评】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 18．(本题8分)如图，一个四边形纸片ABCD ，90B D ∠=∠=︒，把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边上的'B 点，AE 是折痕．（1）判断'B E 与DC 的位置关系，并说明理由；（2）如果130C ∠=︒，求AEB ∠的度数．【答案】（1）B′E ∥DC ，理由见解析；（2）65°【分析】（1）由于AB '是AB 的折叠后形成的，可得90AB E B D ∠'=∠=∠=︒，可得B′E ∥DC ； （2）利用平行线的性质和全等三角形求解．【详解】（1）由于AB '是AB 的折叠后形成的，90AB E B D ∠'=∠=∠=︒，//B E DC ∴'；（2）折叠，ABE ∴∆≅△AB E '，AEB AEB ∴∠'=∠，即12AEB BEB ∠=∠'， //B E DC '，130BEB C ∴∠'=∠=︒，1652AEB BEB ∴∠=∠'=︒． 【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边上的B ′点，则ABE ∆≅△AB E '，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．19．(本题8分)如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE.【答案】见解析【分析】如图，过点 A 作 ⊥AP BC 于 P ，根据等腰三角形的三线合一得出BP=PC ，DP=PE ，进而根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出BD=CE ．【详解】如图，过点A 作⊥AP BC 于 P ．∵AB AC =，∴BP PC =；∵AD AE =，∴DP PE =，∴BP DP PC PE -=-，∴BD=CE ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．20．(本题8分)如图所示，一个四边形纸片ABCD ，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在AD 边上的B′点，AE 是折痕．（1）试判断B′E 与DC 的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB 的度数．【答案】（1）B 'E//DC ；（2）∠AEB=65°【分析】（1）先由折叠性质可知90AB E B '∠=∠=︒，再由∠D=90°可得AB E D ∠'=∠，进而求解即可； （2）先运用平行线的性质可得130B EB C ∠=∠='︒，再由折叠的性质可得AEB AEB '∠=∠，进而求解即可．【详解】（1）B 'E ∥DC由折叠可知∠A B 'E=∠B=90°∵∠D=90°∴∠A B 'E=∠D∴B 'E ∥DC（2）∵B′E ∥DC∴∠B'EB=∠C=130°由折叠可知∠AEB=∠AE B'，∴∠AEB=12∠B'EB=12×130°=65°故答案为：65°【点评】本题主要是折叠的性质以及平行线的判定和性质，根据折叠的性质，找到折叠后相等的角和边；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．21．(本题8分)如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR 分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．【答案】（1）4，1；（2）5【分析】（1）利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题；（2）利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．【详解】（1）∵P，Q关于OA对称，∴OA垂直平分线段PQ，∴MQ＝MP＝4，∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．（2）∵P，R关于OB对称，∴OB垂直平分线段PR，∴NR＝NP＝4，∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握轴对称的性质属于中考常考题型． 22．(本题10分)如图，点O 是等边ABC 内一点，AOB 110∠=，BOC α∠=．将BOC 绕点C 逆时针旋转60得ADC ，连接OD ．()1求证：DOC 是等边三角形；()2当AO 5=，BO 4=，α150=时，求CO 的长； ()3探究：当α为多少度时，AOD 是等腰三角形．【答案】()1证明见解析；()23CO =；()3125α=、110α=或140α=．【分析】()1由旋转的性质可以知道CO CD =，D 60OC ∠=，可判断COD 是等边三角形； ()2由()1可知D 60OC ∠=，当α150=时，90ADO ADC CDO ∠∠∠=-=，可判断AOD 为直角三角形； ()3?根据AOD 是等腰三角形，推出两腰相等，分三种情况进行讨论，利用旋转和全等的性质即可得出答案. 【详解】()1∵将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC ，∴BOC ADC ≅，D 60OC ∠=，∴CO CD =．∴COD 是等边三角形；()2∵ADC BOC ≅，∴4DA OB ==，∵COD 是等边三角形，∴60CDO ∠=，又150ADC ∠∠α==，∴90ADO ADC CDO ∠∠∠=-=，∴AOD 为直角三角形．又5AO =，4AD =，∴3OD =，∴3CO OD ==；()3若AOD 是等腰三角形，所以分三种情况：①AOD ADO ∠∠=②ODA OAD ∠∠=③AOD DAO ∠∠=，∵110AOB ∠=，60COD ∠=，∴36011060190BOC AOD AOD ∠∠∠=---=-，而BOC ADC ADO CDO ∠∠∠∠==+，由①AOD ADO ∠∠=可得60BOC AOD ∠∠=+，求得125α=；由②ODA OAD ∠∠=可得11502BOC AOD ∠∠=-求得110α=；由③AOD DAO ∠∠=可得2402BOC AOD ∠∠=-，求得140α=； 综上可知125α=、110α=或140α=．【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰（边）三角形的判定与性质，掌握图形的关系是解题的关键.23．(本题10分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC=125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数.【答案】70°、40°.【详解】试题分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ⊥BC ，再求出∠CDE ，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE ，根据角平分线的定义求出∠ACB ，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．试题解析：∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∵∠ADC=125°，∴∠CDE=55°，∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=70°，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．24．(本题12分)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．【详解】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形．∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形．∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD．∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∠AFB是△ADF的外角．∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°．∴∠AFB=90°．如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．∴∠ACE=∠DCB．又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°．∴∠AFB=60°．故填120°，90°，60°．（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．∴∠ACE=∠DCB．∴∠CAE=∠CDB．∴∠DFA=∠ACD．∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．（3）∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中，则△ACE≌△DCB（SAS）．则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路．祝福语祝你考试成功!。
八年级上第06讲 轴对称及等腰三角形 讲义测试题(含答案)【精品】
轴对称及等腰三角形【精品】【知识导图】一、导入复习预习提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．4.问题：如何作出线段的垂直平分线？要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．2．作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角12考点1二、知识讲解考点2考点3等腰三角形的概念等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________431例题2【答案】6cm【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______【答案】90°【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．3例题4【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD 的度数为°【答案】45【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，5例题6∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．例题7例题8如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．【答案】15【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．考点：轴对称的性质如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA ＝50°，则∠ABE的度数为．【答案】20°．【解析】试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN【答案】B【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．P2P1NMOPBA910例题11如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．故选D下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C12例题13【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A14下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A1证明等腰三角形三线合一。
八年级数学上册 第十二章 轴对称 12.2.2 用坐标表示轴对称课后作业试题
八年级数学上册第十二章轴对称用坐标表示轴对称课后作业人教新课标版本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
◆B 〔2a，2〕，B〔2，2〕关于y轴对称，那么a=_____．3．根据以下各点的坐标变化，判断它们进展了怎样的运动？〔1〕A〔-5，1〕→B〔5，1〕；〔2〕C〔2，3〕→ D〔2，-1〕；〔3〕E〔-1，5 〕→ F〔2，5〕；〔4〕G〔5，-1〕→ H〔-5， 1〕．6．如图，从图Ⅰ到图Ⅱ是进展了平移还是轴对称变换？•假如是轴对称，找出对称轴；假如是平移，是怎样的平移？7．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A〔-4，2〕，B〔-2，-1〕，C〔-1，3〕．利用关于坐标轴对称的特点，分别作出△ABC关于x轴对称的△A′本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；B ′C ′，和△ABC 关于y 轴对称的△A ′′B ′′C ′′，并写出△A ′B ′C ′，△A ′′B ′′C ′′的三个顶点的坐标．◆C8．如图，△ABC 的顶点分别为A 〔-2，3〕，B 〔-4，1〕，C 〔-1，2〕，分别作出△ABC 关于直线x=2和直线y=-1对称的图,并写出对称点的坐标。
◆预习〔预习教材P49——50〕1．如图1，△ABC 中，AB=AC ，∠A=70°，那么∠B=______．2．如图2.等腰三角形的一个底角等于40°，那么顶角为____．3.请你说明：等腰三角形的两个底角相等。
：如图，AB=AC.求证：∠B=∠C证明：作底边的中线AD ，那么_______70°AB C 40°A B C 图1 图2C在⊿ABD和⊿ACD中，AB=____,BD=____ ,AD=____.∴⊿ABD≌⊿ACD〔_____〕∴∠B=_____.于是等腰三角形的______________，得证。
第12章 三角形(基础过关)-2020-2021学年八年级数学上册单元测试定心卷(解析版)(京改版)
1 / 202020-2021学年八年级数学上册单元测试定心卷（京改版）第12章三角形（基础过关）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共28题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知三角形两边长分别为4 cm 和9 cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 ( ) A ．13 cm B ．6 cm C ．5 cm D ．4 cm 【分析】根据三角形边的性质即可【解答】解：第三边大于两边之和，小于两边之差 故选：B ．2．若△ABC 的∠A ＝60°，且∠B:∠C ＝2:1，那么∠B 的度数为 ( )A ．40°B ．80°C ．60°D ．120° 【分析】根据三角形内角和即可。
【解答】解：()40360180=÷-，80402=⨯=∠B故选：B ．3.下列交通标志中，轴对称图形的个数为（ ）2/ 20A.4个B.3个C. 2个D.1个 【分析】根据轴对称的定义 【解答】解：有3个轴对称图形 故选：B ．4．如图，已知∠MON 及其边上一点A.以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交OM ，ON 于点B 和C .再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点B .错误的结论是（ ）A. AOC ABC S S △△B. ∠OCB ＝90°C. ∠MON ＝30°D. OC ＝2BC【分析】根据中线及等边三角形的性质即可【解答】解：D 错误 故选：D ．5．如图，△ABC 中，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接BE ， 则∠BEC 的大小为（ ）A.40°B.50°C.80°D.100°【分析】根据垂直平分线的性质．【解答】解：∠BEC=80°故选：C．6．(四川绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( )A．0根B．1根C．2根D．3根【分析】根据三角形的稳定性即可【解答】解：可知1根就够故选：B．7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能．．说明AD是△ABC角平分线的是（）A.BD=CDB.∠ADB=∠ADCC.S1=S2D.AD=12 BC【分析】根据角平分线的定义即可【解答】解：角平分线平分这个角故选：D．8．已知等边三角形ABC. 如图，D CBA3/ 204/ 20（1）分别以点A ，B 为圆心，大于AB 21的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；（2）分别以点A ，C 为圆心，大于AC 21的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （3）作直线HL 交AC 于点E ； （4）直线MN 与直线HL 相交于点O ； （5）连接OA ，OB ，OC.根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB=2OE ； ②AB=2OA ； ③OA=OB=OC ；④∠DOE=120º， 正确的是( )A.①②③④B.①③④C.①②③D.③④ 【分析】根据作图即可得出 【解答】解：点O 为中心 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，图中以BC 为边的三角形的个数为 ．5 / 20【分析】根据三角形的定义即可 【解答】解：以BC 为边的三角形有4个 故答案为 410.如图，BE 与CD 交于点A,且∠C ＝∠D.添加一个条件： ，使得△ABC ≌△AED .【分析】已知一个角以及对顶角相等，再补充一条边即可 【解答】解：任意一组对应边相等即可 故答案为：不唯一．11. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，若∠ABC 与∠ACD 互补，CD=5，则BC 的长为 ．【分析】采用倍长线段的方法进行转换，利用外角及等腰三角形【解答】解：延长CD 、AB 交于点E ，则DE=CD=5，CE=10，易证BC=CE=10B6 / 20故答案为10．12.如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC=CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上.若想知道两点A ，B 的距离，只需要测量出线段 即可．【分析】根据三角形全等的性质 【解答】解：三角形全等则对应边相等 故答案为DE ．13.如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠CBD=α ，则∠A= （用含α的式子表示）．【分析】根据等腰三角形及垂线的性质即可．【解答】解：先求a C -︒=∠90，再根据三角形内角和即可 故答案为：2α ．14．如果等腰三角形的一个角比另一个角大30︒，那么它的顶角是 °． 【分析】根据三角形内角和以及等腰三角形的性质即可 【解答】解：这个大角可能是顶角也可能是底角 故答案为：︒40或︒80．7/ 2015．如图，D 是△ABC 内部的一点，AD=CD ，∠BAD=∠BCD ，下列结论中，①∠DAC=∠DCA ； ②AB=AC ；③BD ⊥AC ；④BD 平分∠ABC. 所有正确结论的序号是 ． 【分析】根据条件找出相应的边或角即可【解答】解：易证三角形全等，即可得到对应边以及对应角相等 故答案为：∠∠∠16．如图，∠ABC=60º，AB=3，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当△ABP 是钝角三角形时，t 满足的条件是 ．【分析】根据条件可知，先计算何时为直角三角形，分两种情况讨论【解答】解：当BP AP ⊥时，BP=23，可知当230<<t 时，△ABP 是钝角三角形 当BA AP ⊥时，BP=6，可知当6>t 时，△ABP 是钝角三角形故答案为230<<t 或6>t ． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分， 第27、28题，每小题7分，共68分）17．如图，已知AB=AC ，E 为AB 上一点，ED ∥AC ，ED=AE.8 / 20求证：BD=CD.【分析】利用平行找角，再证明三角形全等 【解答】证明：∠ED∠AC ，∠∠EDA=∠DAC ， ∠ED=AE ，∠∠EAD=∠EDA ．∠∠EAD=∠DAC ．在∠ADB 和∠ADC 中， ,,,AB AC DAB DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB∠∠ADC （SAS ）． ∠BD=CD ．18．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上BF=CE ，AC=DF ．（1）在下列条件 ①∠B=∠E ；②∠ACB=∠DFE ；③AB=DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是 ．EAD9 / 20EBD （2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A=∠D ．【分析】先找条件再证明 【解答】（1）∠∠∠（2）答案不惟一. 如添加条件∠∠ACB ＝∠DFE. 证明：∵BF=EC ，∴BF+CF=EC+CF. ∴BC=EF ．∵AC=DF ，∠ACB=∠DFE ， ∴△ABC ≌△DEF. ∴∠A=∠D.19.如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ，AD ＝AE.连接BD,CE,∠ABD ＝∠ACE. 求证：AB ＝AC.【分析】要证边相等，需证三角形全等 【解答】证明：∵∠BAC ＝∠DAE, ∴∠BAC －∠CAD ＝∠DAE －∠CAD. 即∠BAD ＝∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中,,BAD CAE ABD ACE AD AE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝∴△BAD ≌△CAE （AAS ）.10 / 20F EDCB AECD ∴ AB ＝AC.20.如图，点B 是线段AD 上一点，BC∠DE ，AB=ED ，BC=DB ．求证：∠ABC ∠ ∠EDB ．【分析】根据三角形全等的条件即可 【解答】证明：∠BC ∥DE ，∠∠ABC=∠D. 在∠ABC 和∠EDB 中， AB=ED ， ∠ABC=∠D ， BC=DB.∠∠ABC∠∠EDB （SAS ）.21．如图，∠A=∠D=90°，AB=DC ，AC 与DB 交于点E ，F 是BC 中点．求证：∠BEF=∠CEF ．【分析】要证角相等，需证三角形全等 【解答】证明：在∠AEB 和∠DEC 中，∠A=∠D ，11 / 20OlBA∠AEB=∠DEC ， AB=DC.∠∠AEB∠∠DEC （AAS ）.∠EB=EC. ∠F 是BC 中点， ∠∠BEF=∠CEF.22.2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区道路l 上建一个智能垃圾分类投放点O ，使得道路l 附近的两栋住宅楼Ａ，B 到智能垃圾分类投放点O 的距离相等．（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O 的位置； （2）确定点O 位置的依据为 ． 【分析】本题考查的是垂直平分线的做法以及性质 【解答】 解： （1）lBA12 / 20点O 为所求.（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.23．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程. 已知：线段m ，n 及∠O .求作：△ABC ，使得线段m ，n 及∠O 分别是它的两边和一角. 作法：如图,① 以点O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点M ,N ； ② 画一条射线AP ，以点A 为圆心，m 长为半径画弧，交AP 于点B ； ③ 以点B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ； ④ 画射线AD ；⑤ 以点A 为圆心，n 长为半径画弧，交AD 于点C ； ⑥ 连接BC ，则△ABC 即为所求作的三角形. 请回答:（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ；（2）∠A ＝∠O 的作图依据是；13 / 20（3）小红说小明的作图不全面，原因是 . 【分析】本题尺规作图的依据 【解答】（1）BD,MN;（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等； （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论. 24． 阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为∠ABC 中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ，AE=EF ．求证：AC=BF ．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一 如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC ≌△GDB ，再利用 AE=EF 可以进一步证得∠G=∠F AE =∠AFE =∠BFG ，从而证明结论.思路二 如图②，添加辅助线后并利 用AE=EF 可证得∠G=∠BFG= ∠AFE =∠F AE ，再依据AAS 可以进 一步证得△ADC ≌△GDB ，从而证明 结论.完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路一的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【分析】根据题意按要求作图【解答】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.②作BG＝BF交AD的延长线于点G.（2）答案不惟一.补图.25．如图，∠ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，延长AB至点E，使∠AEC=∠DAB．判断CE与AD的数量关系，并证明你的结论．14/ 2015 / 20【分析】证明线段的数量关系，需作相应的辅助线 【解答】 结论：CE ＝2AD.证明：延长AD 至点N 使DN ＝AD ，AN 交CE 于点M ，连接CN.∵∠DAB ＝∠AEC ，∴MA ＝ME. ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠DAB ，BD ＝CD ，∠1＝∠2＝90°. ∴△ABD ≌△NCD. ∴∠N ＝∠DAB. ∴CN ∥AE. ∴∠3＝∠AEC. ∴∠3＝∠N. ∴MC ＝MN. ∴CE ＝MC ＋ME＝MN ＋MA ＝AN ＝2AD.26．如图，∠ABC 是等边三角形，△ADC 与∠ABC 关于直线AC 对称，AE 与CD 垂直交BC 的延长线于点E ，∠EAF=45º，且AF 与AB 在AE 的两侧，EF ⊥AF ． （1）依题意补全图形．321DM16 / 20（2）①在AE 上找一点P ，使点P 到点B ，点C 的距离和最短；②求证：点D 到AF ，EF 的距离相等．【分析】根据垂直平分线性质的应用 【解答】（1）补全图形，如图（2）∠如图，连接BD ，P 为BD 与AE 的交点.∠证明：连接DE ，DF.∠∠ABC ，∠ADC 是等边三角形，∠AC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ＝60°. ∵AE ⊥CD ， ∴∠CAE ＝21∠CAD ＝30°. P DAFDA∠∠CEA＝∠ACB－∠CAE＝30°.∴∠CAE＝∠CEA.∴CA＝CE.∴CD垂直平分AE.∴DA＝DE.∵EF⊥AF，∠EAF＝45°，∴∠FEA＝45°.∴∠FEA＝∠EAF.∴FA＝FE.∠∠FAD∠∠FED.∴∠AFD＝∠EFD.∴点D到AF，EF的距离相等.27.如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得∠ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角△ABC中，∠ACB=90°，如果12 CB AB=，那么∠BAC=30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由.BA17/ 2018 / 20【分析】本题是对命题的考察，需找出条件和结论 【解答】 解：此命题是真命题．证明：延长BC 至点D ，使得CD=BC ，∠∠ACB=90°，CD=BC∠AC 是线段BD 的垂直平分线， ∠AB=AD ．∠12CB AB =， ∠BD=AB ．∠∠ABD 是等边三角形．∠∠BAD=60°． ∠AC BD ⊥∠12BAC BAD ∠=∠=30°．28.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F ． （1）在图1中，依题意补全图形；（2）记DAC α∠=（45α<︒），求ABF ∠的大小；（用含α的式子表示） （3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明．D C B A19 / 20ACBFEDFED图1 备用图【分析】本题稍难，需先根据题意补充图形 【解答】（1）（2）连接AE由题意可知，,EAD CAD α∠=∠= AC =AE ， ∠902,BAE α∠=︒-∠AB=AC ， ∠AB=AE ，∠,ABE AEB ∠=∠BAD20 / 20∠180452BAEABF α︒-∠∠==︒+．（3）12EF BC =， 证明：由（2）可知45,AEB ABE α∠=∠=︒+ ∠.CBF α∠= ∠点C 关于直线AD 的对称点为点E ， ∠135,ACF AEF α∠=∠=︒- ∠90,BCF α∠=︒-∠90,CBF BCF ∠+∠=︒ ∠∠BCF 是直角三角形．∠∠ACE 是等边三角形， ∠30.α=︒ ∠30CBF ∠=︒ ∠1.2EF CF BC ==。
数学八年级上人教新课标第十二章轴对称测试题A
数学：第12章轴对称测试题A〔人教新课标八年级上〕一、选择题1. 〔2021年省青岛市〕以下图形中，轴对称图形的个数是〔〕Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．42.以下说法中错误的选项是〔〕A成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B关于某条直线对称的两个图形全等C全等的三角形一定关于某条直线对称D假设两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，那么该三角形的周长是〔〕A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm4．等腰三角形的顶角是80°，那么一腰上的高与底边的夹角是〔〕A．40°B．50°C．60°D．30°5．等腰三角形的一个外角是80°，那么其底角是〔〕A．100°B．100°或40°C．40°D．80°6.：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，那么直线AO与底边BC的关系为〔〕A．平行 B.AO垂直且平分BCC.斜交D.AO垂直但不平分BC7.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，那么∠A的度数是〔〕A.35°B.40°C.70 °D.110°8.以下表达正确的语句是( )A.等腰三角形两腰上的高相等B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.顶角相等的两个等腰三角形全等D.两腰相等的两个等腰三角形全等9．如图2，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•那么四个结论正确的选项是〔〕．①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.A．全部正确; B．仅①和②正确;C．仅②③正确; D．仅①和③正确10．△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，那么∠DAB=〔〕．A．30° B．45° C．60° D．15°二、填空题11. 如图,OE是∠AOB的平分线, AC⊥OB于点C, BD⊥OA于点D,那么关于直线OE对称的三角形有对.12 .从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是：那么该编码实际上是.13.在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=10cm ，CD=6cm ，那么点D 到AC的距离为______cm14.如图3，在△ABC 中BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB的角的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，那么△PDE 的周长是_______cm15.△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=36°，D 、E 是BC 上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC ，那么图中等腰三角形有______个 16.如图4，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，那么符合条件的点P 共有____个17．观察规律并填空：18．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•那么CD•的长度是_______． 三、解答题19.〔6分〕如图5，设点P 是∠AOB 内一个定点，分别画点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2交于点M ，交OB 于点N ，假设P 1P 2=5cm ，那么△PMN 的周长为多少？20. 〔6分〕等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两局部，•求这个等腰三角形的底边长．21.〔6分〕：如图6，D 、E 是△ABC 中BC 边上的两点，AD=AE ，要证明△ABE ≌△ACD ，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明22.〔6分〕如图7，：△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D 。
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数学八年级(上)同步评估题(四)
第十二章 轴对称(12.3等腰三角形)
一、选择题(每题4分，共40分)
1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为（ ）
Ａ．108° Ｂ．72° Ｃ．54° Ｄ．36°
2．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
3．从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长
等于三角形的（ ）
Ａ．两腰长的和 Ｂ．周长的一半 Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和
(第4题) (第5题) (第7题)
4. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A. 44° B. 68° C. 46° D. 22°
5．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
6．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（ ）
（1）这个三角形是锐角三角形； （2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等
边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7. 如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，
交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
(第8题) (第9题) (第10题)
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述
结论错误的是（ ）
A
B
C
D
E
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A. BD平分∠ABC B. △BCD的周长等于AB+BC
C. AD=BD=BC D. 点D是线段AC的中点
9. 如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，
点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个
动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A. 2.5秒 B. 3秒 C. 3.5秒 D. 4秒
10. 如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），
若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三
角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新
三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．9个
二、填空题(每题4分，共24分)
11. 等腰三角形的两边分别为5 cm和8 cm，则它的周长为________.
12. 已知等腰三角形的一个角的补角是100°，那么这个等腰三角形的顶角等于________.
13. 如图，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC•延长线上的一点，
且CN=CM，求BN的长为________.
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为 ．
(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)
15. 如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y=______．
16. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分
别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，
∠An+1BnBn+1=θn，则（1）θ1= ；（2）θn= ．
三、解答题（第17～22题分值各为5分、5分、6分、6分、7分、7分，共36分）
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，找出图中相等的角并说明理由．
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18. 如图是一座斜拉桥的剖面图.BC是桥路面，AD是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢
绳AB等于AC.大桥建成后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD很高，
无法直接测量钢绳AB、AC的长度.请你用两种不同的方法检验AB、AC的长度是否相等？
（检验工具为刻度尺、量角器；检验时，人只能站在桥面上）
19．如图，AB⊥AC，点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD．
（1）∠ACB=______，∠ADB=______．
（2）作∠ABD的平分线段交AD于点E，则∠AEB=_____；
（3）你所画的线段BE与图中哪一条线段相等？请说明理由．
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度数.
21. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
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22. 如图,点B、C、D三点在同一条直线上, △ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD
交CE于H,(1)求证: △BCE≌△ACD；(2)求证: CF=CH.
四、拓展题（10分）
23．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图①，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
（2）如图②，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．
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同步评估(四)参考答案
1.D 2. D 3. A 4. D 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. C
11. 18cm或21cm 12. 80°或20° 13. a 14. 72° 15. 3
16,（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=1802；
（2）设∠A2B2B1=y，则θ2+y=180°，θ1+2y=180°，∴θ2=11802；θn=11802n．
17．略． 18.（1）测量∠B=∠C.（2）AD⊥BC,且BD=CD. 19．（1）45°，22．5° （2）
45°（3）BE=ED 20.∠A =45°. 21.（1）∠ECD=∠A=36°；（2）BC=EC=5．
22．（1） ∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，∴ BC=AC， CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴
∠BCE=∠ACD=120°，∴ △BCE≌△ACD，（2） 由△BCE≌△ACD得∠CBE=∠CAD， ∵BC=CA
∠BCA=∠ECA=60°∴ △BCF≌△ACH，∴ CF=CH.
23. (1)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE=OF，•OB=OC，∴
Rt△OEB≌Rt△OFC，∴∠B=∠C，从而AB=AC．
（2）证明：如图，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F•分别是垂足，•
由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB
≌Rt△OFC中，∵OE=•OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC．∴∠OBE=∠OCF．又
由OB=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
（3）不一定成立．（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，•有AB=AC；
否则，AB≠AC，如图）