高中数学概率与统计试题
十三、《概率与统计》变式题（命题人：广州市第三中学 刘窗洲）
审校人 张志红 1．（人教A 版选修2-3第66页例4） 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，求这名射手在 10 次射击中，
（1）恰有 8 次击中目标的概率； （2）至少有 8 次击中目标的概率 ？
变式1：某人参加一次考试，４道题中解对３道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为 ．
【解析】：他能及格则要解对４道题中解对３道或４道：解对３道的概率为：6.04.0)(3
3
4?=C A P ，解对4道的概率为：4
4
44
.0)(C B P =，且A 与B 互斥，他能及格的概率为
44
43344.06.04.0)(C C B A P +?=+．
变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
（1） 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2） 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
【解析】（I ）设A K 表示“第k 人命中目标”，k=1，2，3.
这里，A 1，A 2，A 3独立，且P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.6，P （A 3）=0.5. 从而，至少有一人命中目标的概率为 恰有两人命中目标的概率为
答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44．
（II ）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目
标”发生的概率为0.7，故所求概率为
答：他恰好命中两次的概率为0.441.
变式3：在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，
中国女排在每一局赢的概率为
,5
3
已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求： (1) 中国女排在这种情况下取胜的概率；
(2) 求本场比赛只打四局就结束的概率．（均用分数作答）
【解析】(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中
国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为.625
297
5352)53()53(2233=???+C (2) .125
51)53(53)5
2
(32
1
2=+?
?C
变式4： 一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数
j
i
为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求j i +. 【解析】设正面向上的概率为P,依题意:
()()32
2541511P P C P P C -=-,1-P=2P,
解得:3
1
=
P , 硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:
()
243403113112
3352
335=
??
? ??-??? ??=-C P P C . 2．（人教A 版选修2-3第77页例4）
随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数
X 的均值、方差和标准差。
变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为0.8，现在连续射击４次，求击中目标的次数ξ的概率分
布．
【解析】击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4。 当ξ=0时，()4
42.00C P ==ξ，
当ξ=1时，()3
1
1
42.08.01?==C P ξ，
当ξ=2时，()2
2
2
42.08.02?==C P ξ，
当ξ=3时，()1
3
3
42.08.03?==C P ξ，
当ξ=4时，()4
4
48.04C P ==ξ，
所以ξ的分布列为：
变式2：袋中有１２个大小规格相同的球，其中含有２个红球，从中任取３个球，求取出的３个球中红球个数ξ的概率分布．
【解析】ξ的所有可能的取值为：0，1，2．
当ξ=0时，()312
3
10
0C C P ==ξ，
当ξ=1时，()3
12210
121C C C P ==ξ， 当ξ=2时，()3
12
110
222C C C P ==ξ，
评述：312310C C +312
21012C C C +3
1211022
C C C =2201090120++=1． 变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率.
【解析】（1）ξ可能取的值为0，1，2。 2,1,0,)(3
6
34
2=?==-k C C C k P k
k ξ． 所以，ξ的分布列为
（2）由（1），ξ的数学期望为15
25150=?+?+?=ξ
E
（3）由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为
5
4)1()0()1(=
=+==≤ξξξP P P ．
变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对
2题才算合格.
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 【解析】（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=0×
301+1×103+2×21+3×61=5
9. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P(A)=310361426C C C C +=1202060+=32，P(B)=3
10
381228C C C C +=1205656+=1514. 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(B A ?)=P(A )P(B )=1－
32)(1－1514)=45
1
. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P(B A ?)=1－451=45
44
. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45
44. 方法二：
∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B) =
32×151+31×1514+32×1514=45
44. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45
44. 3．（人教A 版选修2-3第86页B 组2） 若 ~(5,1)X N ，求 (67)P X <<。
变式1：随机变量ξ服从正态分布N （0，1），如果P （ξ<1）=0.8413，求P （－1<ξ<0）.
【解析】∵ξ～N （0，1），
∴P （－1<ξ<0）=P （0<ξ<1）=Φ（1）－Φ（0）=0.8413－0.5=0.3413.
变式2：一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x （万元）分别服从正态分布N （8，32）和N （6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?
【解析】对第一个方案，有x ～N （8，32），于是P （x >5）=1－P （x ≤5）=1－F （5）=1－Φ（3
8
5-）=1－Φ（－1）=1－［1－Φ（1）]=Φ（1）=0.8413.
对第二个方案，有x ～N （6，22），于是P （x >5）=1－P （x ≤5）=1－F （5）=1－Φ（2
6
5-）=1－Φ（－0.5）=Φ（0.5）=0.6915.
相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.
变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N .已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表()()00x x P x <=φ
【解析】：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
【解答】（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，由条件知，
P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)10
70
90(
-＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，
参赛总人数约为
0228
.012
≈526（人）．
（Ⅱ）假定设奖的分数线为x 分，则 P(ξ≥x )＝1－P （ξ )1070( -x ＝526 50 ＝0.0951， 即Φ)1070( -x ＝0.9049，查表得10 70 -x ≈1.31，解得x ＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分． 4．（人教A 版选修2-3第100页例2） 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 y 与 x 之间 的回归方程。 变式1：为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表， (1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率； (2) 用变量y 与x 、z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； (3) 求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果. 参考数据：5.77=x ，85=y ，81=z ， 1050)(8 1 2 ≈-∑=i i x x ， 456)(8 1 2≈-∑=i i y y ， 550 )(8 1 2 ≈-∑=i i z z ， 688 ))((8 1 ≈--∑=i i i y y x x ， 755 ))((8 1 ≈--∑=i i i z z x x ， 7)?(8 1 2 ≈-∑=i i i y y ，94)?(8 1 2≈-∑=i i i z z ，5.23550,4.21456,4.321050≈≈≈. 解答：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是 8 3. ………………………………………………………………………………………………………3分 (2) 变量y 与x 、z 与x 的相关系数分别是 99.04 .214.32688 ≈?= r 、99.05.234.32755≈?= 'r . ……………………………………………5分 可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. …………………………6分 (3) 设y 与x 、z 与x 的线性回归方程分别是a bx y +=?、a x b z '+'=?. 根据所给的数据，可以计算出63.345.77*65.085,65.01050 688 =-=== a b ， 20.255.77*72.081,72.01050 755 =-='== 'a b . ……………………………………………………10分 所以y 与x 和z 与x 的回归方程分别是 63.3465.0?+=x y 、20.2572.0?+=x z . …………………………………………………………11分 又y 与x 、z 与x 的相关指数是98.0456712≈- =R 、83.0550 94 12≈-='R . ……13分 故回归模型63.3465.0?+=x y 比回归模型20.2572.0?+=x z 的拟合的效果好. …14分