最大公约数方法解题

用求最大公约数方法解题

江苏省江阴市：蒋仪

有些数学习题，在求解时有时会感到无从下手，这时可考虑用求最大公约数的方法进行求解。

例1、有一张长147厘米，宽105厘米，裁成长与宽之比为5∶3的长方形小纸条，怎样裁才能没有剩余而张数最少？

分析与解答：要使裁成的小纸的长与宽之比是5∶3，且裁时没有剩余，而纸的长147厘米只能被3而不能被5整除，纸的宽105厘米能被5整除，因此应将纸的长的一边作小纸的宽，将纸的宽的一边作小纸的长，这样可得：147÷3＝49，105÷5＝21，要使长方形纸没有剩余，并且要张数最少，即长与宽的厘米数要最大，而49与21的最大公约数是7，因此得所裁小纸张数是：[ 147÷（7×3）]×[ 105÷（7×5）] = 21（张）。

例2、现有252个红球，396个蓝球，468个黄球，把它们分别装在若干个袋子里，要求每个袋子里都有红、蓝和黄三种颜色的球，而且每个袋子里红球数相等，蓝球数相等，黄球数相等，问最多需要袋子多少只？每只袋子里各有红球、蓝球和黄球多少只？

分析与解答：要求最多需要袋子多少只，实际上是求每只袋子中最多能装相同数量的三种球各为多少只。因为252＝2×2×3×3×7 = 36×7；396＝2×2×3×3×11＝36×11；468＝2×2×3×3×13＝36×13，因此可得，最多需要袋子36只。每只袋子里有红球7只，蓝球11只，黄球13只。

例3：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的不是正方形，那么在剩下的纸片上

再剪去一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

分析与解答：这题如果用画图的方法进行求解显然较为麻烦，我们可考虑用分解质因数求出长和宽的最大公约数进而求解。

因为2002 = 11×13×7×2＝77×26；847＝11×7×11＝77×11，因此可得，这样按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是77毫米。