2002年北京市第17届“迎春杯”数学竞赛试题及详解【圣才出品】

2002年北京市第17届“迎春杯”数学竞赛试题及详解

计算机交流试题

一、填空题1．计算：222111(1)(1)(1)2310-

--= 。

【答案】11

20【解析】原式111111(1)(1)(1)(1)(1)22331010=+-+-+- 111111(1)(1(1)(1)(1)(1)23102310=+++--- 341112923102310

=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3=4⨯31110⨯⨯ 12⨯2⨯39⨯⨯ 111210=⨯1120

=。2．先观察下列等式：

33129+=，

33312336++=，

33331234100+++=，

再计算：3333123100++++=

…。

【答案】25502500

【解析】这道题需要大胆的猜测，题中右侧都是平方数。293=，2366=，210010=，

而3322

1293(12)+===+，

33322123366(123)++===++，

333322123410010(1234)+++===+++，

猜想333322

123100(123100)505025502500++++=++++== 。3．如果关于x ，y 的方程组51x my x y +=⎧⎨

+=⎩的解是正整数，那么正整数m 的值为。

【答案】1或2【解析】因为x ，y ，m 都要是正整数。

由1x y +=，得x y <。

由5x my =+得5112x y x x x ≥+⋅>+⋅=。

所以502

x <<．故x 只能为1或2。(x ，y )只能是(1，2)或(2，3)。

代入5x my +=，得2m =或1m =。

故m 的值为l 或2。

4．如图．长方形ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =．甲、乙两只昆虫同时从A 点出发，沿长方形ABCD 的边爬行．甲沿AB 方向爬行，乙沿AD 方向爬行．当甲爬行到B 处时，乙爬行到E 处，这时三角形BCE 的面积恰好是梯形ABED 面积的一半．如果乙每分钟爬行4cm ，那么乙从A 点爬行到E 处用了分钟。

【答案】2

6【解析】如图，2BCE ABED S S ∆=梯形，即112()622

BC CE DE AB ⨯⨯⨯=+⨯，得到28(1)CE DE =+ 而8(2)

CE DE CD +== (1)(2)+得，316CE =，即163

CE =

(cm )。所以883DE CE =-=(cm )。故82611()(6)423346

T AD DE v =+÷=+÷==(分)。5．王英同学在春节后把得到的压岁钱1000元，用一年定期存款方式存入银行，年利率

2.255%，利息税20％．如果第二年存款到期时，她取出存款和利息，再把取出的存款、利息和新得到的压岁钱1000元一起用同样方式存入银行．假设六年内银行利率、利息税、压岁钱数没有变化，她每年存款方式也不变，那么六年后，王英同学在存款到期时，一共可取出存款和利息共

元。【答案】6389.55

【解析】仔细计算即可，设第n 年存款到期时，所得到的存款和利息为n S 元。210001000 2.25%1(120%)1018S =+⨯⨯⨯-=(元)；

320182018 2.25%1(120%)2054.32S =+⨯⨯⨯-=(元)；

43054.323054.32 2.25%1(120%)3109.30S =+⨯⨯⨯-=(元)；

54109.304109.30 2.25%1(120%)4183.27S =+⨯⨯⨯-=(元)；

65183.275183.27 2.25%1(120%)5276.57S =+⨯⨯⨯-=(元)；

76276.576276.57 2.25%1(120%)6389.55S =+⨯⨯⨯-=(元)。

第7年即6年到期时，一共可取出6389.55元。

【评注】年利息=本金×年利率×时间(年)．利息税=年利息×税率(20％)．最后可得本利和=本金＋年利息－利息税。

6．有一个数字钟，它显示的方式是:小时:分钟:秒数:月份／日期．例如:14:15:56:09／03是一种可能的显示．这个数字钟是24小时运行，从00:00:00到23:59:59，允许首位是0．如果要求0～9这十个数字在显示中都出现，那么在2002年中，最早出现的时间、日期为。

【答案】17:48:59:03/26

【解析】记时间为:::/ab cd ef gh ij 。

要使0～9都出现，则有以下限制：

02a ≤≤，09b ≤≤，05c ≤≤，09d ≤≤，05e ≤≤，09h ≤≤。

01g ≤≤，09h ≤≤，03i ≤≤，09j ≤≤。

且24ab ≤，12gh ≤，31ij ≤(不同月，ij 限制不同)。

可以大于5的数只有b ，d ，f ，h ，j

而6，7，8，9>5．所以b ，d ，f ，h ，j 中只有一个5≤。

要时间早，那么首先gh 尽量小，考虑5h ≤。

而5b >，说明2a ≠，1a ≤。

由01a ≤≤，知gh 01≠，

而5j >，则2i ≠，2i ≤。

这样，gh 也不能是02。

则取gh 03=，1a ≠，2i =。gh 尽量小之后，考虑ij 尽量小，则ij 26=。

再考虑ab ，ab 17=，其次cd 48=，ef 59=。

时间为：17:48:59:03／26．是符合条件最早出现的时间。

7．设A ，B ，C ，D 和A C +，B C +，B D +，D A +分别表示l ～8这八个正整数，那么A ，B ，C ，D 这四个数中最大的是

。

【答案】6

【解析】显然，A ，B ，C ，D 互不相等，且观察可见A ，B ，C ，D 四数地位平等．(意思是：任意交换两个字母的值，最后得到八个数不变)，则不妨设A C +是最大的，即8A C +=。

那么A C B C +>+⇒1A B >≥。A C A D +>+⇒1C D >≥。

所以，A C ≠，且A ，2C ≥。

不妨设A C >，则

1153A C =⎧⎨=⎩，2262

A C =⎧⎨=⎩若取11

53A C =⎧⎨=⎩，那么要使得最后8个数有l ，2，则B ，D 分别为1，2。这样，3B C C +==，重复，矛盾。

而2262

A C =⎧⎨=⎩时，取31

B D =⎧⎨=⎩，正好符合题意。所以，A ，B ，

C ，

D 这四个数中最大的数是6。

8．已知两个长方形的边长都是正整数，第一个长方形的长为a ，宽为b ；第二个长方形的长为c ，宽为d ．如果：