勾股定理及各种证明方法

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思

个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理

命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。

勾股定理的逆定理

命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】（赵爽证明）

以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2

1ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.

∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.

∴ ∴ .

【证法2】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.

即， 整理得 .

【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴

ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

∴.∴.

【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 .

【证法5】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB.

∴AD∶AC = AC ∶AB，即 .

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，

从而有.∴ ，即

【证法6】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条

直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD+ ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴ .∴ .

【证法7】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.

如图，以B为圆心a为半径作圆，

交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a.

因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，

所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

=== ，

即，∴ .

【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴

= = r + r = 2r,即，∴ .

∴ ，

即，

∵ ，

∴ ，又∵ = = = = ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ .