金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点12 导数的应用
专题12 导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a ，b )内：
（1）如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增;
（2）如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减;
（3）如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.
（3）函数f (x )在(a ，b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ，b )内恒成立，且()f x '在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=，不影响函数f (x )在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数y =f (x )，
（1）若在点x =a 处有f ′(a )=0，且在点x =a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x=a 为f (x )的极小值点，()f a 叫做函数f (x )的极小值.
（2）若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x=b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求()f x 在(,)a b 内的极值；
（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；
（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x )；
（2）确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；
（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1 若121x x >>，则
A ．1221e e x x x x >
B ．1221e e x x
x x <
C ．2112ln ln x x x x >
D ．2112ln ln x x x x <
【答案】A 【解析】①令()()e 1x f x x x =>，则()()21e 0x x f x x -'=>，∴()f x 在(1,)上单调递增，
∴当121x x >>时，1212
e e x x x x >，即1221e e x x x x >，故A 正确，B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln x g x x
-'=，令()0g x =，则e x =， 当1e x <<时，()0g x '>；当e x >时，()0g x '<，∴()g x 在()1,e 上单调递增，
在()e,+∞上单调递减，易知C ，D 不正确.
故选A ．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.
典例2 已知函数21()ln (1)12
f x a x x a x =++++. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.
【解析】由题意得：()f x 的定义域为(0,)+∞，
（1）当1a =-时，()21ln 12f x x x =-++，则()()2110x f x x x x x
-'=-+=>， ∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，
()f x ∴的单调递增区间为：()1,+∞.
（2）()()()()()()21110x a x a x a x a f x x a x x x x
+++++'=+++==>. ①当0a ≥时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，可知0a ≥满足题意；
②当0a <时，0a ->，
∴当()0,x a ∈-时，()0f x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，
()f x ∴在()0,a -上单调递减；在(),a -+∞上单调递增，不满足题意.
综上所述：[)0,a ∈+∞.
【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.
1．已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数()f x 极值的方法：
①确定函数()f x 的定义域．
②求导函数()f x '．
③求方程()0f x '=的根．
④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法
（1）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x )在区间(a ，b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ，b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其