金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点12 导数的应用

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2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第十二章第4讲直接证明与间接证明Word版含答案

第 4 讲直接证明与间接证明一、知识梳理1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和剖析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公义等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立，这类证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法 (顺推证法 )．(2)剖析法：一般地，从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件(已知条件、定理、定义、公义等)，这类证明方法叫做剖析法．剖析法又称为：执果索因法(逆推证法 )．2．间接证明反证法：假定原命题不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，从而证了然原命题建立，这样的证明方法叫做反证法．常用结论1．剖析法是执果索因，其实是找寻使结论建立的充足条件；综合法是由因导果，就是找寻已知的必需条件．2．用反证法证题时，第一否认结论，否认结论就是找出结论反面的状况，而后推出矛盾，矛盾能够与已知、公义、定理、事实或许假定等相矛盾．二、教材衍化1．关于随意角θ，化简cos4 θ－ sin4 θ＝ ( )A ． 2sin θB． 2cos θC．sin 2 θD． cos 2θ分析：选 D. 由于 cos4θ－ sin4θ＝ (cos2θ－ sin2θ)(cos2θ＋ sin2θ)＝ cos2θ－ sin2θ＝ cos 2θ，应选 D.2．设 m＝ 1＋3， n＝ 2 2，则 m 与 n 的大小关系是 ()A ． m＞ n B． m≥ nC．m＜n D． m≤ n分析：选 C.法一： m2－ n2＝ (1＋3)2－ (2 2) 2＝ 4＋2 3－ 8＝ 2 3－ 4＝12－16＜ 0，又 m＞ 0， n＞ 0.所以 m＜ n，应选 C.法二：假定 m≥ n，即 1＋3≥ 2 2.则有 (1＋3)2≥ (22)2，即 4＋2 3≥8，即 2 3≥4，即 3≥ 2，即 3≥ 4，明显错误，所以 m＜ n，应选 C.一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思想过程是由因导果，逐渐找寻已知的必需条件．()(2)剖析法是从要证明的结论出发，逐渐找寻使结论建立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否认，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不可以与假定矛盾．()(5)经常用剖析法找寻解题的思路与方法，用综合法显现解决问题的过程．()答案： (1)√(2) ×(3) ×(4)×(5)√二、易错纠偏常有误区(1)“起码”否认犯错；(2)应用剖析法找寻的条件不充足．1．用反证法证明命题“三角形三个内角起码有一个不大于60°”时，应假设．答案：三角形三个内角都大于60°2．若用剖析法证明“设 a>b>c 且 a＋ b＋ c＝ 0，求证 b2－ ac< 3a”，则索的因是(填序号 )．①a－ b>0；② a－c>0；③ (a－b)( a－c)>0 ；④ (a－ b)(a－ c)<0.分析：由 a>b>c 且 a＋ b＋ c＝0，可得 b＝－ a－ c，a>0，c<0，要证b2－ ac< 3a，只要证( －a－ c)2－ ac<3a2，即证 a2－ ac＋ a2－ c2>0，即证，a( a－c)＋ ( a＋ c)( a－ c)>0，即证 (a－c)( a －b)>0.答案：③综合法 (师生共研 )(2019 高·考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， D ，E 分别为 BC， AC 的中点， AB＝ BC.求证： (1)A1B1∥平面 DEC 1；(2)BE⊥C1E.【证明】(1)由于 D， E 分别为 BC， AC 的中点，所以 ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB∥A1B1，所以 A1B1∥ ED .又由于 ED平面DEC1，A1B1?/平面DEC1，所以 A1B1∥平面 DEC 1.(2)由于 AB＝ BC， E 为 AC 的中点，所以 BE⊥ AC.由于三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 C1C⊥平面 ABC.又由于 BE平面ABC，所以C1C⊥ BE.由于 C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以 BE ⊥平面 A1ACC 1.由于 C1E平面A1ACC1，所以BE⊥ C1E.综合法证题的思路与方法(一题多解 )在△ ABC 中，设a ，b ， c分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线 bx ＋ ycos A ＋cos B ＝ 0 与 ax ＋ ycos B ＋ cos A ＝ 0 平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcos B － acos A ＝ 0，由正弦定理可知sin Bcos B － sin Acos11πA ＝ 0，即 2sin 2B － 2sin 2A ＝ 0，故 2A ＝ 2B 或 2A ＋ 2B ＝ π，即 A ＝ B 或 A ＋B ＝ 2.若 A ＝ B ，则πa ＝b ， cos A ＝ cos B ，两直线重合，不切合题意，故 A ＋ B ＝，即△ ABC 是直角三角形．2法二：由两直线平行可知 bcos B － acos A ＝ 0，b 2＋c 2 －a 2a 2＋ c 2－b 2由余弦定理，得 a ·＝ b · ，2bc2ac所以 a 2(b 2＋ c 2－ a 2) ＝ b 2(a 2＋ c 2－ b 2)，所以 c 2(a 2－ b 2)＝ (a 2＋ b 2)( a 2－ b 2)，所以 (a 2－ b 2)(a 2＋ b 2－ c 2) ＝0，所以 a ＝ b 或 a 2＋ b 2＝c 2.若 a ＝b ，则两直线重合，不切合题意，故 a 2＋ b 2＝ c 2，即△ ABC 是直角三角形．剖析法 (师生共研 )△ ABC 的三个内角A，B，C 成等差数列， A，B， C 的对边分别为a，b， c.求证：1＋a＋ b1b＋ c3＝ a＋ b＋ c.11 3【证明】要证＋＝，即证a＋b＋c＋a＋b＋c＝ 3，也就是证 c ＋a＝ 1，a＋ b b＋ c a＋ b b＋ c只要证 c(b＋ c)＋ a(a＋ b)＝ (a＋ b)(b＋ c)，需证 c2＋ a2＝ ac＋ b2.又△ ABC 三个内角A， B， C 成等差数列，故 B＝ 60°，由余弦定理，得 b2＝c2＋ a2－ 2accos 60°，即 b2＝ c2＋ a2－ ac，故 c2＋ a2＝ ac＋b2建立．于是原等式建立．剖析法的证题思路先从结论下手，由此逐渐推出保证此结论建立的充足条件，而当这些判断恰好都是已证的命题 (定义、公义、定理、法例、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．[提示 ]要注意书写格式的规范性．a＋ mb已知 m>0，a，b∈R ，求证：1＋m 2a2＋ mb2.≤1＋m证明：由于 m>0 ，所以 1＋ m>0.所以要证原不等式建立，只要证 (a＋ mb)2≤ (1＋ m) ·(a2＋ mb2 )，即证 m(a2－ 2ab＋ b2)≥ 0，即证 (a－ b)2≥ 0，而 (a－b)2≥0 明显建立，故原不等式得证．反证法 (师生共研 )1 1设 a>0， b>0，且 a＋ b＝a＋b.证明：(1)a＋ b≥ 2；(2)a2＋a<2 与 b2＋ b<2 不行能同时建立．11a＋ b【证明】由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝ 1，有 a＋ b≥ 2ab＝ 2，即 a＋ b≥ 2.(2)假定 a2＋ a<2 与 b2＋ b<2 同时建立，则由 a2＋ a<2 及 a>0，得 0<a<1；同理，0<b<1，进而 ab<1，这与 ab＝ 1 矛盾．故 a2＋ a<2 与 b2＋ b<2 不行能同时建立．反证法证明数学命题的步骤应用反证法时，当原命题结论反面有多种状况时，要对结论的反面的每一种状况都进行议论，进而达到否认结论的目的．已知 a， b， c，d∈ R，且 a＋ b＝ 1， c ＋d＝ 1， ac＋ bd>1. 求证： a， b，c， d 中起码有一个是负数．证明：假定a， b，c， d 都是非负数，由于a＋b＝ c＋ d＝ 1，所以 (a＋ b)( c＋d)＝ 1，即ac＋ bd＋ ad＋ bc＝ 1，又 ac＋ bd＋ad＋ bc≥ ac＋bd，所以 ac＋ bd≤ 1，与题设矛盾，故假定不建立，故 a， b， c，d 中起码有一个是负数．[基础题组练 ]1． (2020 ·阳示范高中联考衡(二 )) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a， b， c 中恰有一个是偶数”的正确假定为()A ．自然数a， b， c 中起码有两个偶数B．自然数a，b， c 中起码有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b， c 都是奇数D ．自然数 a ， b ， c 都是偶数分析：选 B. “ 自然数 a ， b ，c 中恰有一个是偶数 ”说明有且只有一个是偶数，其否认是“ 自然数 a ， b ， c 均为奇数或自然数 a ， b ， c 中起码有两个偶数 ”．2．剖析法又称执果索因法，已知 x>0，用剖析法证明x时，索的因是 ()1＋ x<1＋ 2A ． x 2>2B ． x 2>4C ．x 2>0D ． x 2>11＋ x<1＋ x，只要证 ( 1＋ x)2< 1＋ x22分析：选 C.由于 x>0，所以要证，即证 0<x，即22 4证 x 2 >0，明显 x 2>0 建立，故原不等式建立．3．在△ ABC 中， sin Asin C ＜ cos Acos C ，则△ ABC 必定是 () A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确立分析：选 C. 由 sin Asin C ＜ cos Acos C 得cos Acos C － sin Asin C ＞0，即 cos(A ＋C)＞ 0，所以 A ＋C 是锐角，π 必是钝角三角形．进而 B ＞，故△ ABC21 xa ＋ b，B ＝ f(2ab4．已知函数 f(x) ＝， a ， b 是正实数， A ＝ fab)，C ＝ f ，则 A ，2 2a ＋ bB ，C 的大小关系为 ()A ．A ≤B ≤C B ． A ≤C ≤ B C ．B ≤ C ≤ AD ． C ≤ B ≤A分析：选 A. 由于a ＋ b≥ ab ≥2ab，又 f(x)＝ 1 x在 R上是减函数，所以 fa ＋ b2a ＋ b222ab≤f( ab)≤ f a ＋ b ，即 A ≤ B ≤ C.5．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f(x)单一递减，若 121x ＋ x >0 ，则 f(x ) ＋f(x 2)的值 ()A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正当D ．没法确立正负分析：选 A. 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f(x)是减少的，可知 f(x)是 R 上的减函数，由 x 1＋ x 2>0，可知 x 1>－ x 2， f(x 1)<f(－ x 2)＝－ f(x 2)，则 f(x 1 )＋ f(x 2)<0.6．用反证法证明命题“若 x2－( a＋ b)x＋ ab≠ 0，则 x≠ a 且 x≠ b”时，应假定为．分析：“ x≠ a 且 x≠ b”的否认是“ x＝a 或 x＝ b”，所以应假定为 x＝ a 或 x＝ b.答案： x＝ a 或 x＝b7．设 a＝3＋ 2 2， b＝ 2＋7，则 a， b 的大小关系为．分析： a＝3＋ 2 2， b＝ 2＋7，两式的两边分别平方，可得 a2＝ 11＋ 4 6， b2＝ 11＋47，明显 6< 7，所以 a<b.答案： a<b8．(2020 赣·州模拟 )假如 a a＋ b b＞ a b＋ b a，则 a，b 应知足的条件是．分析： a a＋ b b＞ a b＋b a，即 ( a－ b)2 ( a＋ b)＞ 0，需知足 a≥ 0，b≥ 0 且 a≠ b.答案： a≥ 0， b≥ 0 且 a≠b9．在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 sin Asin B＋ sin Bsin C＋ cos 2B ＝1.(1)求证： a，b， c 成等差数列；2π(2)若 C＝3，求证： 5a＝ 3b.证明：(1) 由已知得 sin Asin B＋ sin Bsin C＝ 2sin2 B，由于 sin B≠ 0，所以 sin A＋ sin C＝2sin B，由正弦定理，有 a＋ c＝ 2b，即 a， b，c 成等差数列．2π222 2(2)由 C＝3， c＝ 2b－ a 及余弦定理得 (2b－ a) ＝ a ＋ b ＋ab，即有 5ab－ 3b ＝ 0，即 5a ＝3b.10．已知四棱锥S-ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB＝ SD＝2， SA＝ 1.(1)求证： SA⊥平面 ABCD ；(2)在棱 SC 上能否存在异于S，C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD？若存在，确立 F 点的位置；若不存在，请说明原因．解： (1)证明：由已知得SA2＋ AD 2＝ SD2，所以 SA⊥ AD.同理 SA⊥ AB.又 AB∩ AD＝A， AB平面ABCD，AD平面 ABCD ，所以 SA⊥平面 ABCD .(2)假定在棱 SC 上存在异于 S ， C 的点 F ，使得 BF ∥ 平面 SAD.由于 BC ∥AD ， BC?/ 平面 SAD.所以 BC ∥平面 SAD ，而 BC ∩ BF ＝ B ，所以平面 FBC ∥ 平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，所以假定不建立．所以不存在这样的点F ，使得 BF ∥ 平面 SAD.[综合题组练 ]1．已知 a ， b ， c ∈ R ，若 b c b c≥－ 2，则以下结论建立的是 ()·>1 且＋a a a a A ． a ，b ，c 同号B ．b ， c 同号， a 与它们异号C ．a ， c 同号， b 与它们异号D ． b ， c 同号， a 与 b ， c 的符号关系不确立b cb c分析：选 A.由 ·>1 知a 与同号，a aab c >0，不等式 b c≥－ 2 明显建立，若 >0且 a ＋ aa abc <0，则－ b >0，－ c>0，若 <0且 a a aa－b＋－c≥ 2－b－cb＋ ca a a·a >2，即a a<－ 2，b c b且c，即 a， b，c 同号．这与＋≥－2矛盾，故 >0 >0a a a a2．( 应用型 )(一题多解 ) 若二次函数 f(x)＝ 4x2－ 2(p－ 2)x－ 2p2－ p＋ 1 在区间 [ － 1，1]内至少存在一点 c，使 f(c)＞0，则实数 p 的取值范围是．分析：法一 (补集法 ) ： f(x)在区间 [－ 1， 1]内起码存在一点 c.使 f(c)>0 ，该结论的否认是关于区间 [－ 1，1]内的随意一点 c，都有 f(c)≤ 0，f（－ 1）＝－ 2p2＋ p＋ 1≤ 0，3，令解得 p≤－ 3 或 p≥f（ 1）＝－ 2p2－ 3p＋9≤ 0， 23故知足条件的p 的取值范围为－3，2 .法二 (直接法 )：依题意有f( － 1)＞ 0 或 f(1) ＞ 0，即 2p2－ p－ 1＜ 0 或 2p2＋ 3p－ 9＜0，得－1＜ p＜ 1 或－ 3＜ p＜3，2 2故知足条件的p 的取值范围是－3，32.答案：－3，323．已知二次函数f(x)＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象与x 轴有两个不一样的交点，若f(c)＝ 0，且 0<x<c 时， f(x)>0.(1)证明：1a是 f(x)＝ 0 的一个根；1(2)试比较a与 c 的大小．解： (1)证明：由于 f(x) 的图象与 x 轴有两个不一样的交点，所以 f(x)＝ 0 有两个不等实根x1，x2，由于 f(c)＝ 0，所以 x1＝ c 是 f(x)＝ 0 的根，又 x1 2 c，x ＝a1 1所以 x2＝≠ c，1所以是 f(x)＝ 0 的一个根．1 1(2)假定a<c，又a>0，由 0<x<c 时， f(x)>0，知 f 1>0 与 f1＝ 0 矛盾，a a所以1≥ c，又由于1≠ c，所以1>c.a a a4． (综合型 ) 若 f(x) 的定义域为 [a， b] ，值域为 [ a，b]( a＜b)，则称函数 f(x)是[ a， b]上的“四维光军”函数．(1)设 g(x)＝1x2－ x＋3是 [1， b]上的“四维光军”函数，求常数 b 的值；2 2(2)能否存在常数1是区间 [a，b]上的“四维光军”函数？a，b(a＞－ 2)，使函数 h(x)＝x＋2若存在，求出a， b 的值；若不存在，请说明原因．解： (1)由已知得g(x)＝12(x－ 1)2＋ 1，其图象的对称轴为x＝1，所以函数在区间[1 ， b] 上是增添的，由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b) ＝b，即1b2－ b＋3＝ b，22解得 b＝ 1 或 b＝ 3.由于 b＞ 1，所以 b＝ 3.1(2)假定函数h( x)＝x＋2在区间 [a， b]( a＞－ 2)上是“四维光军”函数，1由于 h(x)＝在区间(－2，＋∞ )上是减少的，h（ a）＝ b，1 ＝ b，a＋2所以有即h（ b）＝ a， 1 ＝ ab＋ 2解得 a＝ b，这与已知矛盾．故不存在．。

金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点33 直线的位置关系

专题33 直线的位置关系（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．二、两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．三、距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d四、对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．考向一两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135o ，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A【解析】Q 直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，∴直线1l 的斜率：141138k +==-+，Q 直线2l 的倾斜角为135o ，∴直线2l 的斜率2tan1351k ==-o ，121k k ∴⋅=-，12l l ∴⊥.故选A.典例2 若直线310x y ++=与直线2(1)10x a y +++=互相平行，则a 的值为 A ．4 B ．43-C ．5D ．53-【答案】C【解析】直线310x y ++=的斜率为13-，在纵轴上的截距为13-，因此若直线310x y ++=与直线()2110x a y +++=互相平行，则一定有直线()2110x a y +++=的斜率为13-，在纵轴上的截距不等于13-，于是有2113a -=-+且1113a -≠-+，解得5a =，故选C ．【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程求解即可.1．“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知直线1:210l x y +-=，2:0l x ay a ++=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l ⊥时，求过直线1l 与2l 的交点，且与原点的距离为1的直线l 的方程.考向二两直线的相交问题1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例3 已知直线l 经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P ，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l 的方程.【解析】方法一：由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩,解得{x =2y =1,即点P 的坐标为(2,1), 因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l 的斜率为32, 由点斜式得直线l 的方程为3x-2y-4=0.方法二：由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩,解得{x =2y =1,即点P 的坐标为(2,1)，因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l 的方程为3x-2y+c =0，把点P 的坐标代入得3×2-2×1+c =0，解得c =-4.故直线l 的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l 的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0, 因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直,所以2413λλ++·(-23)=-1,解得λ=1.故直线l 的方程为3x-2y-4=0.3．当k 为何值时，直线32y x k =+-与直线114y x =-+的交点在第一象限？考向三距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例4 （1）若点A (2，3)，B (－4，5)到直线l 的距离相等，且直线l 过点P (－1,2)，则直线l 的方程为_________；（2）若直线m 被两直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为m 的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．【答案】（1）x ＋3y －5＝0或x ＝－1；（2）15°或75°【解析】（1）方法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝－1，点A ，B 到直线l 的距离相等，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0．=|3k －1|＝|－3k －3|，解得k ＝13-．∴直线l 的方程为y －2＝13-(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0．综上，直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1．方法二：当AB ∥l 时，有k l ＝k AB ＝13-，直线l 的方程为y －2＝13-(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0．当l 过AB 的中点时，由AB 的中点为(－1,4)，得直线l 的方程为x ＝－1．综上，直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1．（2）显然直线l 1∥l 2，直线l 1，l 2之间的距离d ==设直线m 与l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |=，过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |=d ，在Rt ABC △中，sin ∠ABC =||1||2AC AB ==，所以∠ABC =30°，又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°，故直线m 的倾斜角θ =15°或75°．4．若直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则两直线间的距离为 AB．C． D5．已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是 A ．(1,1)- B ．(1,0)- C ．(0,1)-D ．(2,1)-考向四对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．典例5 已知直线l :3x-y+3=0,求:（1）点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标; （2）直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程.【解析】设P (x ,y )关于直线l :3x-y+3=0的对称点为P'(x',y'). ∵k PP'·k l =−1， ∴y y x x'-'-·3=-1， ① 又PP'的中点在直线3x-y+3=0上， ∴3·2x x '+-2y y'++3=0. ②联立①②，解得43953435　③　④x y x x y y -+-⎧'=⎪⎪⎨++⎪'=⎪⎩.（1）把x =4,y =5代入③④,得x'=-2,y'=7, ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P'的坐标为(-2,7).（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x ,y ，得关于l 对称的直线方程为4393432055x y x y -+-++--=，即7x+y+22=0.6．与直线210x y -+=关于x 轴对称的直线方程为 A ．210x y ++= B ．210x y --= C ．210x y +-= D ．210x y -+=7．已知点P 为直线34y x =上任意一点，12(5,0),(5,0)F F -，则12PF PF -的取值范围是 A ．[0,8) B ．[2,10]C ．[3,6]D ．[0,+∞）考向五直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例6 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组31104100x y x y --=⎧⎨++=⎩得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m －2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0. 由于m 取值的任意性，所以2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，解得x ＝2，y ＝－3.所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过定点(2，－3)．8．已知点()20A ，，点()20B -，，直线l ：()()3140x y λλλ++--=（其中λ∈R ）．（1）求直线l 所经过的定点P 的坐标；（2）若分别过A ，B 且斜率为3的两条平行直线截直线l 所得线段的长为43，求直线l 的方程．1．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0 B ．x −3y ＋13=0 C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=02．过点(1,1)E 和点(1,0)F -的直线与过点,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线的位置关系是 A ．平行 B ．重合 C ．平行或重合D ．相交或重合3．在平面直角坐标系内有两个点()4,2A ，()1,2B -，若在x 轴上存在点C ，使π2ACB ∠=，则点C 的坐标是 A ．(3,0) B ．(0,0) C ．(5,0)D ．(0,0)或(5,0)4．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2- B ．4- C ．6-D ．8-5．若点102（，）到直线:300l x y m m ++=>（），则m = A ．7 B ．172C ．14D ．176．若直线l 1:y =k (x−4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点 A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(−2,4)D ．(4,−2)7．点P （-3，4）关于直线x +y -2=0的对称点Q 的坐标是 A ．()2,1- B ．()2,5- C ．()2,5-D ．()4,3-8．若三条直线30x y +-=，10x y -+=，50mx ny +-=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为A BC ．D ．9．设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为 A ．2 B ．2- C ．3D ．3-10．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A ．2，12 B 2C ，12D ，14 11．已知点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,则(14)m +(12)n 的最小值为A ．-3B ．3C ．16D ．412．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 13．已知直线1l ：20kx y k +--=恒过点M ，直线2l ：1y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为(4,6).当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为 A ．27(,)55-- B ．23(,)55- C ．1712(,)55D ．127(,)5514．若直线2x +ay −7=0与直线(a −3)x +y +4=0互相垂直，则实数a = . 15．若直线1:2l y kx k =+-与直线2l 关于直线1y x =-对称，则直线2l 恒过定点________． 16．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则√x 2 ＋ y 2的最小值等于__________.17．一张坐标纸对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，若点()6,8C 与点(),D m n 重叠，则m n +=__________． 18．设()2,P n n是函数2y x=图象上的动点，当点P 到直线1y x =-的距离最小时，n =_________.19．一条光线从()3,2A )发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点()1,6B -，则反射光线所在直线的斜率为________．20．已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是 . 21．已知直线l 1:x −2y +4=0与l 2:x +y −2=0相交于点P（2）设直线l 3:3x −4y +5=0，分别求过点P 且与直线l 3平行和垂直的直线方程.22．已知直线l 1:ax +3y +1=0,l 2:x +(a −2)y +a =0. （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值；（2）当l 1//l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离.23．在△ABC 中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.（2）求直线BC 的方程.24．光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()1,1B . （1）求点()2,3A 关于直线l 对称点的坐标；（2）求反射光线所在直线的一般式方程．25．已知直线:2310l x y -+=，点(1,2)A --.求：（1）直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；（2）直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的方程.26．已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.（1）若l1⊥l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.（2）是否存在实数a,b,使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.27．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2.（1）求a的值.（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；③P点到l1的距离与P点到l3若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.1．【答案】A【解析】当1a =时，直线()2110a x ay +++=的斜率为3-，直线330ax y -+=的斜率为13，则两直线垂直；当0a =时，两直线也垂直，所以“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的充分不必要条件，故选A. 【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212l l k k ⇔=∥；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【解析】（1）因为12l l ⊥，所以20a +=，故2a =-.（2）当12l l ⊥时，即2a =-时，直线1l 与2l 的交点M 的坐标为43(,)55-，设过交点M 的直线为34()55y k x +=-（当直线的斜率不存在时显然不满足距离为1的条件），根据点1=，解得43k =. 所以直线l 的方程为4533y x =-. 3．【解析】由32114y x k y x =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩得()1215325k x k y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即两直线的交点坐标为()12132,55k k -⎛⎫+⎪⎝⎭， ()121053205k k ⎧->⎪⎪∴⎨+⎪>⎪⎩，解得：213k -<<.4．【答案】C【解析】由12l l ∥可得16232a a a=≠-，解得1a =-，所以1:60l x y -+=，22:03l x y -+=，则两条平行直线1l 与2l间的距离2|6|3d -==．故选C ． 5．【答案】B【解析】因为点B 在直线10x y ++=上运动，所以设点B 的坐标为(,1)x x --，由两点间的距离公式可知：AB =1x =-时，||AB 有最小B 的坐标是(1,0)-，故选B ． 6．【答案】A【解析】设对称直线上的点为(),P x y ，则其关于x 轴的对称点(),Q x y -在直线210x y -+=上，所以()210x y --+=，即210x y ++=，故选A ． 7．【答案】A【解析】当P 为坐标原点时，12PF PF =，此时120PF PF -=，为最小值. 设1F 关于34y x =对称的点为()1,F x y '，则：03154035242y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-⎪=⋅⎪⎩，解得1724,55F ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，此时11PF PF '=，又12240357455F Fk '+==+，得直线12F F '平行于34y x =，可知12,,P F F '必构成三角形，1212128PF PF PF PF F F ''∴-=-<==，即128PF PF -<，综上所述：[)120,8PF PF -∈. 故选A.8．【解析】（1）直线方程可化为：()430x y x y λ+-+-=，由40,30,x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点()1,3P .（260︒，又水平线段4AB =，所以两平行线间的距离为4sin60d =⋅︒= 而直线l被截线段长为所以被截线段与平行线所成的夹角为30︒，即直线l 与两平行线所成的夹角为30︒，所以直线l 的倾斜角为6030︒±︒30=︒或90︒．由（1），知直线l 过定点()1,3P ，则所求直线为1x =或333y x =-+．【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间的距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于λ的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间的距离公式，求得平行线间的距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.1．【答案】B【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0. 2．【答案】C【解析】由题意知：011112EF k -==--，14202MN k k k ==+，EF MN k k ∴=，当2k ≠时，EF 与MN 没有公共点，∥EF MN ∴，当2k =时，EF 与MN 有公共点()1,0-，∴EF 与MN 重合， ∴EF 与MN 平行或重合. 故选C. 3．【答案】D【解析】设()0,0C x ，则024AC k x =-，021BC k x =-，AC BC ∴⊥，则1AC BC k k ⋅=-，则：0022141x x ⋅=---，解得：00x =或05x =， C ∴点的坐标为()0,0或()5,0.故选D. 4．【答案】B【解析】∵直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，∴2145a -⨯=-，∴10a =， ∴直线420ax y +-=即为5210x y +-=．将点()1,c 的坐标代入上式可得5210c +-=，解得2c =-．将点()1,2-的坐标代入方程250x y b -+=得()2520b -⨯-+=，解得12b =-． ∴101224a b c ++=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值． 5．【答案】B31710,0,22m m m =+=±>∴=Q . 故选B. 6．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x−4)过定点(4,0)，所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y )，则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).7．【答案】B【解析】设点P （-3，4）关于直线l ：x +y -2=0的对称点Q 的坐标为(x ,y )，可得PQ 中点的坐标为（34,22x y -+），利用对称性可得：413PQ y k x -==+，且342022x y -++-=，解得：2x =-，y =5，∴点Q 的坐标为（-2，5）.故选B ． 8．【答案】A 【解析】联立3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1x =，2y =．∵三条直线30x y +-=，10x y -+=，50mx ny +-=相交于同一点， ∴25m n +=．则点(),m n 到原点的距离的最小值为原点到直线25x y +=的距离d ==故选A ． 9．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线1210l x y -+=：与直线230l mx y ++=：的交点为A ，M 为PQ 的中点，若12AM PQ =，则PA QA ⊥，即121210l l m ⊥∴⨯+-⨯=，（），解得2m =．故选A ． 10．【答案】A【解析】a b Q ，是方程20x x c ++=的两个实根，1a b ∴+=-，ab c =，两条直线之间的距离d =，()2241422a b abc d +--∴==，108c ≤≤Q ，11412c ∴≤-≤，21142d ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为2，12.故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 11．【答案】C【解析】因为点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,所以√m 2+(n −4)2=√(m +8)2+n 2,即2m+n =-6,又(14)m >0,(12)n >0,所以(14)m +(12)n ≥2√(14)m ·(12)n =2√(12)2m+n =2√(12)−6=16,当且仅当{2m +n =−6(14)m =(12)n ,即2m =n =-3时取等号.12．【答案】D【解析】因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=或4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=分别平行时，23m =，或43-，直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点时，23m =-，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 故选D. 13．【答案】C【解析】直线1l ：20kx y k +--=，即()120k x y -+-=，令10x -=，求得1x =，2y =，可得该直线恒过点()1,2M . 直线2l ：1y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为()4,6，故M 、N 都在直线2l ：1y x =-的上方．点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为()'3,0M ，则直线'M N 的方程为036043y x --=--，即618y x =-.联立6181y x y x =-⎧⎨=-⎩，求得175125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为1712,55⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ． 14．【答案】2【解析】由题得，2(a −3)+a ×1=0,解得a =2. 故答案为2. 15．【答案】()3,0【解析】Q 直线1:2l y kx k =+-经过定点()12，，点()12，关于直线1y x =-对称的点为()30，， ∴点()30，在直线2l 上，即直线2l 恒过定点()30，，故答案为()30，. 16．【答案】6013【解析】因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，所以√x 2 ＋ y 2表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离．所以√x 2 ＋ y 2的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离．容易计算6013d ==，即所求√x 2 ＋ y 2的最小值为6013．17．【答案】745【解析】设线段AB 的中点为N ，则点()42N ，，则对折后,对折直线l 的方程为260x y --=; 设直线CD 的方程为2'0x y C ++=，∵点()68C ，在直线CD 上，∴'22C =-，则直线CD 的方程为2220x y +-=;设直线CD 与直线l 的交点为M ，则解方程组2602220x y x y --=⎧⎨+-=⎩得345385x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即3438(,)55M ，745m n +=. 18．【答案】12【解析】()2,P n n是函数2y x =图象上的动点，则点P 到直线1y x =-的距离为d == ∴当12n =时，d 取得最小值．故答案为12．【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得n 的关系式，从而求得距离最小时n 的值． 19．【答案】−2【解析】如图所示：作A 点关于x 轴的对称点A '，则点A '在直线MB 上，由对称性可知()32A '-，，则光线MB 所在直线的斜率()62213A B k '--==---，故答案为2-.【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点A '在直线MB 上，是解题的关键. 20．【答案】2x-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l 1⊥AB 时,l 1,l 2之间的距离最大.∵A (2,1),B (0,2),∴k AB =-12,k l 1=2.则直线l 1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 21．【解析】（1）由 {x −2y +4=0x +y −2=0，得{x =0y =2 ，∴P(0,2).（2）与l 3平行直线方程y −2=34x ，即3x −4y +8=0. 与l 3垂直的直线方程y −2=−43x ，即4x +3y −6=0. 22．【解析】（1）由l 1⊥l 2知a +3(a −2)=0，解得a =32.（2）当12l l ∥时，有{a(a −2)−3=03a −(a −2)≠0,解得a =3， l 1:3x +3y +1=0,l 2:x +y +3=0，即l 2:3x +3y +9=0，所求距离为d =√32+32=4√23.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 23．【解析】（1）AC 边上的高为74460x y +-=，故直线AC 的斜率为47，所以直线AC 的方程为()4217y x -=+，即47180x y -+=，因为直线CM 的方程为211540x y -+=，所以21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，，解得66x y =⎧⎨=⎩，所以()66C ，. （2）设()00,B x y ，由M 为AB 中点，得M 的坐标为0012,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭，则0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得0028x y =⎧⎨=⎩，所以()2,8B ，又因为()6,6C ，所以直线BC 的方程为()866626y x --=--，即直线BC 的方程为2180x y +-=.24．【解析】（1）设点()23A ，关于直线l 的对称点为()000,A x y ，则0000312231022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得004,3x y =-=-，即点()23A ，关于直线l 的对称点为()04,3A --．（2）由于反射光线所在直线经过点()04,3A --和()1,1B ，所以反射光线所在直线的方程为()4115y x -=-即4510x y -+=. 25．【解析】（1）在直线m 上取一点(2,0)M ，则(2,0)M 关于直线l 的对称点M '必在m '上.设对称点为(,)M a b '，则2023102202123a b b a ⎧++⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，，设m 与l 的交点为N ，则由23103260x y x y ，-+=⎧⎨--=⎩得(4,3)N .又∵m '经过点(4,3)N ，∴由两点式得直线m '的方程为9461020x y -+=.（2）设(,)Q x y 为l '上任意一点，则(,)Q x y 关于点(1,2)A --的对称点为(2,4)Q x y '----. ∵Q '在直线l 上，∴2(2)3(4)10x y -----+=，即2390x y --=. 故直线l '的方程为2390x y --=.26．【解析】（1）由已知可得l 2的斜率存在,为k 2=1-a .若k 2=0,则1-a =0,a =1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=43(矛盾).∴此种情况不存在,∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.∵k2=1-a,k1=ab,l1⊥l2,∴k1k2=-1,即ab(1-a)=-1.①又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②由①②联立,解得a=2,b=2.（2）不存在,理由如下:∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在.又坐标原点到这两条直线的距离相等,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即4b=-b,该方程无实数解.∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.27．【解析】（1）l2的方程即为1202x y--=，∴l1和l2的距离d10 =，∴1722 a+=.∵a>0,∴a=3.（2）设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x−y+c=0=即c=132或c=116.∴2x0−y0+132=或2x0−y0+116=.若点P=∴x0−2y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.联立方程2x0−y0+132=和x0−2y0+4=0，解得x0=−3,y0=12,应舍去.由2x0−y0+116=与x0−2y0+4=0联立，解得x0=19,y0=3718.所以P(137,918)即为同时满足三个条件的点.【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的计算(含答案)

《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数．（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++；（2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ；（4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -，所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=，故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-，所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+，由题意可得()12243n+=，解得5n =，所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+，令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+，所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+，因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+，即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。

易错点04 导数及其应用-备战2021年高考数学(文)一轮复习易错题(解析版)

易错点04 导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

01 导数与函数的单调性例1（2020•天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅰ）当3k-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【警示】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅰ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(Ⅰ) (i) 当k ＝6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值.（Ⅰ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x ＞1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t ＞1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【叮嘱】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．1．（2014新课标Ⅰ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【解析】∵，∴，∵在单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立， ∵，∴，所以，故选D ． 2．（2020•全国1卷）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.02 导数与函数的极（最）值例2．（2020•北京卷）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【警示】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，()ln f x kx x =-1()f x k x'=-()f x (1,)+∞1x >1()0f x k x '=-≥1k x≥(1,)+∞1x >101x<<k ≥1设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅰ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t ++==++，所以4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【叮嘱】求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

高三大一轮复习数学(文)教师用书：第三章导数及其应用 Word版含答案

§3.1 导数的运算及几何意义1．导数与导函数的概念(1)当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号 f ′(x 0)表示，记作 f ′(x 0)＝limx 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f x Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73解析：选B.∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 24．(2016·高考全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．求得(ln x ＋2)′＝1x ，′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 答案：1－ln 25．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：先利用函数奇偶性求出x >0时f (x )的解析式，再求切线方程．因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －1类型一导数的运算求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos xex. (4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.类型二导数的几何意义题点1 已知切点的切线方程问题(1)(2017·云南昆明一检)函数f (x )＝ln x －2x x的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析 f ′(x )＝1－ln x x2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 答案 C (2)曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．解析 ∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， ∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.答案 13题点2 未知切点的切线方程问题(1)(2017·山东威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1,0)， ∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 答案 B(2)(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析设函数y ＝f (x )图像上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可．y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)·f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.答案 A题点3 和切线有关的参数问题已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 答案 D导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢．2．(1)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.答案：－e(2)已知函数f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：依题意得2×1－3f (1)＋1＝0，即f (1)＝1，由切线的斜率k ＝23，则f ′(1)＝23，则f (1)＋f ′(1)＝53. 答案：53求曲线的切线方程条件审视不准致误(四)典例 (12分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况．易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②得，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要求该点是否为切点进行讨论．思想方法感悟提高1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程．1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．课时规范训练(时间：40分钟)1．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B.f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B.设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.4．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B.f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sinx 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.5. 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A.y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1ex＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7．已知f (x )＝x ln x ，若过曲线y ＝f (x )上的点P 的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：设P (m ，n )，易知f ′(x )＝1＋ln x ，则切线斜率为1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，∴n ＝m ln m ＝eln e ＝e. 答案：(e ，e)8．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．解析：先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.答案：99．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln xx 2＋1. 解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′＋(x ＋1)′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln x x 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.10．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.(时间：25分钟)11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278B ．－2C ．2D ．－278解析：选A.设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.12．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A.1nB ．1n ＋1C.nn ＋1D ．1解析：选B.对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，由切线与x 轴的交点横坐标为x n ，不妨设y ＝0，所以x n ＝nn ＋1，则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.答案：1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )>0，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是减少的．2．函数的极值如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值．3．函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数 f (x )在某个区间内恒有 f ′(x )＝0，则 f (x )在此区间内没有单调性．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√1．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1aD ．(－∞，a )解析：选A.由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a .2．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x解析：选A.函数在上为减函数，所以在上y ′≤0，经检验只有A 符合．故选A. 3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1.2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：选C.当k ＝1时，f ′(x )＝e x·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x＋e x －2)，显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取到极小值，故选C.4．(教材改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图像，则f (x )的极小值点的个数为________．解析：由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．答案：15．设1<x <2，则ln x x，⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x2x2的大小关系是________．(用“<”连接)解析：令f (x )＝x －ln x (1<x <2)，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数，∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln x x<1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x.又ln x2x2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝－x xx2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x<ln x 2x 2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2<ln x x<ln x 2x 2 课时1 导数与函数的单调性类型一不含参数的函数的单调性求函数f (x )＝ln xx的单调区间．解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1－ln x x2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．．类型二含参数的函数的单调性(2017·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a ＋1x－1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－12≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，此时f ′(x )＝1x ＋1－2x2，f ′(2)＝12＋1－24＝1.又因为f (2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2，所以切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，整理得x －y ＋ln 2＝0. (2)f ′(x )＝1x ＋a －1＋ax2＝ax 2＋x －a －1x 2＝ax ＋a ＋x －x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2. 此时，在(0,1)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在(1，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当－12≤a ＜0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a x －x 2.当－1＋a a ＝1，即a ＝－12时，f ′(x )＝－x －22x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当－12＜a ＜0时，－1＋a a >1，此时在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上，当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－12＜a ＜0时，f (x )在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上单调递增；当a ＝－12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．2．(2017·陕西西安模拟)讨论函数f (x )＝(a －1)·ln x ＋ax 2＋1的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．类型三利用函数单调性求参数(2017·辽宁锦州质检)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．在本例3(3)中，1．若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解：∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数， ∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －，g－，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－3]． 2．若g (x )在单调减区间为(－2，－1)，求a 的值．解：∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)， ∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3．若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．解：由引申探究1知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－22]，∴a 的范围是∪ 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．3．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，求下列条件下实数a 的取值范围． (1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2<3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为分类讨论思想研究函数的单调性(五)典例 (12分)(2017·甘肃兰州市、张掖市联考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．思维点拨依据g (x )的切线条件可得g ′(1)＝0得a ，b 关系，代g (x )后消去b ，对a 进行分类讨论确定g ′(x )的符号．(1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .由函数g (x )的图像在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝ax －x －x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1，当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a，由g ′(x )<0，得12a <x <1，若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2)本题求解先分a ＝0或a >0两种情况，再比较12a和1的大小．思想方法感悟提高1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性． 3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题的两种思路解决．1．f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2．注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点．课时规范训练(时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A.f ′(x )＝1－ln x x2，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． ∴f (a )>f (b )．3．已知f (x )＝x 3－ax 在上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0＜a ≤25或a ≥1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[)1，＋∞9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －x ＋1－f (x )在．(时间：25分钟)11．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C.f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x ＝e x，由题意知当x ∈时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－2a －－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.12．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)解析：选D.令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝fxx－f xxe2x＝f x －f xex<0，所以函数g (x )＝f xex是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)，即fe1<f1，fe2 016<f1，故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e2 016f (0)．13．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞14．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3)15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a －xx，当a >0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧gt ，g当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0时对任意t ∈恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，得m >－373.所以－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.课时2 导数与函数的极值、最值类型一用导数解决函数极值问题题点1 根据函数图像判断极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．答案 D题点2 求函数的极值(2017·山东济南模拟)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．题点3 已知极值求参数(1)(2017·广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案－7(2)(2017·福建福州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝⎛⎭⎪⎫2，103D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax＋1≤0恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数a 的取值范围应是⎝⎛⎭⎪⎫2，103.答案 C(1)求函数f (x )极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1．(1)(2015·高考陕西卷)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________．解析：由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .答案：y ＝－1e(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．解析：由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－a ＋x1＋x ，由题意得：f ′(1)＝0，即－2a －2a －1＝0，解得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.答案：－14类型二用导数求函数的最值已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减，所以，当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值；当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ；当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae.2．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14 B ．13 C.12D ．1解析：选D.由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.类型三函数极值和最值的综合问题(2017·四川德阳模拟)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)当x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在上的最小值．解因为f ′(x )＝x 2－a ， (1)当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1，又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1时符合题意． (2)①当a ≤0时，f ′(x )>0对x ∈(0,1)恒成立，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1. ②当a >0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，解得x ＝－a 或a . ⅰ.当0<a <1时，a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.ⅱ.当a ≥1时，a ≥1.x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .。

金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点22 等比数列及其前n项和

专题22 等比数列及其前n 项和（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠．等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．4．等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x ay q q=⋅的图象上一些孤立的点． ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n 项和公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和的公式为111,1.(1),111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列123,,,,,n S S S S 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点．（2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1)1n n a q S q -=-，即11nn a S q q =-⋅-11a q +-，设11a m q=-，则上式可写成nn S mq m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．三、等比数列及其前n 项和的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列．（3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列；数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++成等比数列，公比为mq ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn m m S q S q-=-．（7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶．（9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零．考向一等比数列的判定与证明其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠.典例1 设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是 A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①②【答案】D【解析】设11n n a a q -=，①112=2n n a a q-，所以数列{}2n a 是等比数列；②222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列； ③11112111211222=2,222n n n n n n n n a a q a a qa q a q a a q -------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④122122121log ||log ||log ||log ||n n n n a a q a a q ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D.【名师点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.典例2 已知数列{}n a 满足()*2n n S a n n =-∈N .（1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()*13521n a a a a n ++++⋅⋅⋅+∈N.【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--. 【解析】（1）由1121S a =-得：11a =，因为()()11221n n n n S S a n a n --⎡⎤-=----⎣⎦()2n ≥，所以121n n a a -=+，从而由()1121n n a a -+=+得()11221n n a n a -+=≥+，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得21nn a =-，所以13521n a a a a ++++⋅⋅⋅+()()3212221n n +=++⋅⋅⋅+-+()()1214114n n +-=-+-232353n n +--=. 【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如1n n a a λμ+=+（1λ≠），在构造数列时，可在等式两边同时加上1μλ-构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到1n S -的表达式，两个式子相减即可得到n a 与1n a -的表达式；构造数列{1n a +}，即可证明{1n a +}为等比数列.（2）利用{1n a +}为等比数列，可求得{n a }的通项公式；将{n a }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和.考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. （1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n nn na q S a a qa q q qq≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q 和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．典例3 已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +等于 A ．B ．24C ．D ．48 【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =，所以()22281261061021224a a a q a q qa a +=+=+=⨯=，故选B ．典例4 各项都是正数的等比数列{}n a中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a aa a 的值为ABCD 【答案】B【解析】设{}n a 的公比为q（0,1q q >≠），根据题意可知321a a a =+，得210q q --=，解得12q =（负值舍去），而34451a a a a q +==+，故选B ．【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．数列}{n a 中，112,2n n a a a +==，n S 为}{n a 的前n 项和，若62n S =，则n =________．考向三求解等比数列的通项及前n 项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项)n N 且各项符号相同，则这个数列可设为1n，…，1n ；若所给等比数列的项数为21()n nN ，则这个数列可设为1n a q，…，,,aa aq q ，…，1n aq . 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便.3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101q a p -≠-时，数列{}1n q a p--是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．典例5 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42S S =5，则84S S 等于 A ．5 B ．16 C ．17D ．25【答案】C【解析】当公比1q =时，4225S S =≠，故公比不为1，当公比1q ≠时，()()4124221111511a q S q q S a q q --==+=--，∴24q =，∴()()81484411111711a q S q q S a qq--==+=--，故选C. 【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n 项和，注意对公比q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比q 进行分类讨论，利用前n 项和公式及条件，求出24q =，从而得到结果.典例6 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1*23()n n a n -∈=⨯N ；（2）2312nn n+--.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4．又∵a n ＞0， ∴q ＞0， ∴q ＝3，212a a q==． ∴11*123()n n n a a q n --⨯∈==N .（2）∵123n n b n -=⨯-，∴221()()13(1)213331232311322－n n nn n n n n S n -++++++++++⨯=-=-=---.3．已知等比数列{}n a 是递增数列，且15241742a a a a +＝，＝．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*＝n n b na n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．考向四等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·aq ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例7 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A ． B ．2 C ．1D ．2- 【答案】A【解析】由等比数列的性质知2117315998a a a a a a ===⇒=1179a a a ==，故选A . 典例8已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，20=60S ，则30S =_______．【答案】140【解析】方法1：由1020S =，20=60S ，易得公比1q ≠±，根据等比数列前n 项和的性质，可得020101011S q S q 2-=-，即010106011201q q q 2-==+-，解得102q =，又3030101011S q S q -=-，所以33012=72012S -=-，30140S =．方法2：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010S S q S =+，即10602020q =+，解得102q =，所以1030102020260140S S q S =+=+⨯=．方法3：根据等比数列前n 项和的性质，可知10S ，2010S S -，3020S S -成等比数列，则22010103020()()S S S S S -=-，即230(6020)20(60)S -=-，解得30140S =．4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则212822log log log a a a +++=A ．7B ．8C ．9D ．10考向五数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．典例9 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{+1}n a 是“平方递推数列”，且数列{lg(+1)}n a 为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(+1)nn n T b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使4032n S >成立的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）21n -；（3）2017．【解析】（1）由题意得212n n n a a a +=+，即211(1)n n a a ++=+，则是“平方递推数列”．对211(1)n n a a ++=+两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，所以数列{lg(+1)}n a 是以1lg(+1)1a =为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知1111lg(1)lg(+1)22n n n a a --++=⋅=，则12121(12)lg lg[(1)(1)(1)]lg(1)lg(1)lg(1)2 1.12n n n n n T a a a a a a ⨯-=+++=++++++==--（3）由（2）知11lg 2112()lg(+1)22nn n n n n T b a ---===-，111122221212n n n S n n --=-=-+-，又4032n S >，所以112240322n n --+>，即120172nn +>，又1012n <<，所以min 2017n =，故使4032n S >成立的n 的最小值为2017．5．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q （p ≤q 且p 、q ∈N *）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数f （n ）=q −p ，例如f （12）=4−3=1，则数列{f （3n ）}的前2019项和为______．1．在等比数列{}n a 中，若3764a a =，则5a 的值为 A ．8 B ．8± C ．4D ．16{}1n a +2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若135a a +=，2q ，则4S 等于A ．7B ．13C ．15D ．313．已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a += A ．7 B ．5 C ．5-D ．7-4．在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，则4a 等于 A ．9 B ．10 C ．27D ．815．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4D ．36．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，数列{}n a 满足点(n a ，)(1)n S n 在直线32y x =-上，则前5项和为 A ．21132 B ．21116 C ．21164D ．21132-7．在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗.据文献记载，古代有一座n 层的塔共挂了127盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，且底层的灯笼数与顶层的灯笼数之和为65，则塔的底层共有灯 A ．27盏 B ．81盏 C ．64盏D ．128盏8．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和是n S ，则“0q >”是“2016201820172S S S +>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S =A ．1024B ．1023C ．512D ．51111．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为________________． 12．已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==，则n a =________________．13．设各项都是正数的等比数列{n a }，S n 为前n 项和，且S 10=10，S 30=70，那么S 40=________________． 14．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）设()2log 1n n b a =-n 项和n T .15．已知等比数列{}n a 满足12311,39a a a =-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()11112231n n n n b n n +++=+++⨯⨯+，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.1．高考全国III 卷文数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．北京卷文科）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．4．江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =__________．5．高考全国I 卷文数）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 6．新课标全国I 文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．7．新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．8．高考全国II 卷文数）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．1．【答案】（1）见解析；（2）()221141322n n n ---. 【解析】（1）∵n n b a n =+， ∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+. 又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.（2）由（1）知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=+++=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【名师点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. （1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式特点选择分组求和法进行求和. 2．【答案】5【解析】因为12n n a a +=，所以12n na a +=，又因为12a =，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以由等比数列的求和公式得()2126212n nS ⨯-==-，解得5n =.【名师点睛】本题考查等比数列的定义以及等比数列的求和公式，属于简单题.求解本题时，由已知条件中112,2n n a a a +==，结合等比数列的定义可知数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解.3．【答案】（1）22n n a -=；（2）()11122n n n S -+-⋅=. 【解析】（1）由{}n a 是递增等比数列，1524151742a a a a a a =+==，，联立15151724a a a a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得151=2=8a a ⎧⎪⎨⎪⎩或15=81=2a a ⎧⎪⎨⎪⎩，∵数列{}n a 是递增数列，∴只有151=2=8a a ⎧⎪⎨⎪⎩符合题意，则45116a q a ==，结合0q >可得2q ，∴数列{}n a 的通项公式为22n n a -=. （2）由()*N n n b na n ∈＝，得22n n b n -⋅＝，∴112S =；那么10121222322n n S n --⨯+⨯+⨯++⋅＝，①则()21213221222122n n n S n n --=⨯+⨯++-+⋅+⨯，②②﹣①得：()()1022111111222222221222n n n n n n S n n n ------=-+++++⋅=+-⋅=-+⋅．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前n 项和.（1）先利用等比数列的性质，可分别求出15,a a 的值，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 4．【答案】B【解析】根据题意，等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则有182736454a a a a a a a a ====，所以42122282123456782log log log log ()log 4a a a a a a a a a a a +++==8=.故选B ．【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．5．【答案】31010−1【解析】由题意可知，当n 为偶数时，(3)0nf =，当n 为奇数时，12(3)23n n f -=⨯，则232019352019(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)f f f f f f f f ++++=++++1010110090110091010132323232(333)23113-=⨯+⨯++⨯=⨯+++=⨯=--.故答案为101031-．【名师点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用等比数列的求和公式计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题.1．【答案】B【解析】等比数列{}n a 中，237564a a a ==，58a ∴=±，故选B.【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.熟记等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅.2．【答案】C【解析】由题得()2115a q +=，即11a=，则4124815S =+++=.故选C.【名师点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算，考查等比数列的前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3．【答案】D【解析】∵{}n a 为等比数列，568a a =-，∴478a a =-，又472a a +=，∴47,a a 是方程2280x x --=的两个实根，∴4724a a =-⎧⎨=⎩，或4742a a =⎧⎨=-⎩，解得32q =-或12-，∴34110737a a a a q q +=+=-.故选D.【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 4．【答案】C【解析】由题意，在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，即111,3n na a a +==，可得数列{}n a 是首项11a =，公比3q =的等比数列，所以33411327a a q ==⨯=，故选C.【名师点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．【答案】C【解析】由等比数列的性质知()4412384510a a a a a a ==，所以128lg lg lg a a a +++()4128lg lg104a a a ===．故选C.6．【答案】B【解析】数列{}n a 满足点(n a ，)(1)n S n 在直线32y x =-上，则32n n S a =-，当1n =时，1132S a =-，得11a =，当2n 时，113232n n n n S S a a ---=--+，即133n n n a a a -=-，得123n n a a -=，即132n n a a -=，则数列{}n a 是首项11a =，公比32q =的等比数列，则前5项和为531[1()]211231612⨯-=-，故选B ．【名师点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项以及等比数列定义与与前n 项和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.求解时，先根据条件得32n n S a =-，再利用和项与通项关系得123n n a a -=，最后根据等比数列定义与与前n 项和公式得结果. 7．【答案】C【解析】设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列{}n a ，由已知得，11265,127,n n a a a a a +=⎧⎨+++=⎩所以()()1111265,12127,12n n a a -⎧+=⎪⎨-⎪=-⎩解得n =7，1a =1，所以67264a ==，故选C.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题型.求解时，先设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列{}n a ，由题意和等比数列的性质，列方程组，求解即可. 8．【答案】D【解析】由2016201820172S S S +>得20182017a a >，∴2017201611a qa q >，∴()2016110a q q ->，解得10,1a q >>或10,1a q <<．∴“2016201820172S S S +>”等价于“10,1a q >>或10,1a q <<”．故“0q >”是“2016201820172S S S +>”的既不充分也不必要条件．故选D ．【名师点睛】先求出“2016201820172S S S +>”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比q 有关外，还与数列的首项1a 有关．当10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列为递增数列；当10,01a q ><<或10,1a q <>时，数列为递减数列．9．【答案】B【解析】由题可得：11112a -==，21222a -==，31342a -==，41482a -==，515162a -==，依次类推可得：1*2()n n a n -=∈N ，所以{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，故1010101(12)21102312S ⨯-==-=-.故选B.【名师点睛】本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前n 项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题.求解时，依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第n 行各个数之和n a 的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出10S . 10．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比0,1q q >≠，6325S S -=，()()6311121511a q a qq q --∴-=--，()231315,111a q q q q -∴=∴>⇒>-，则96S S -()()()96361116311151111a q a qa qq qq q q q ---=-=⋅=----()3315110510201q q ⎡⎤=-++≥⨯=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当32q =，即q =∴96S S -的最小值为20，故选C ．【名师点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前n 项和公式求出96S S -，由数列的单调性可得1q >，根据基本不等式的性质求解即可. 11．【答案】2或−3【解析】因为等比数列{}n a 满足317S a =，所以212311111+77a a a a a a q a q a +=⇒++=，即21723或q q q ++=⇒=-.【名师点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和n S 以及通项公式.能够熟练地应用等比数列的前n 项和n S 以及通项公式是解决本题的关键.本题属于基础题. 12．【答案】()22nn +【解析】将19a =代入数列}n 的通项公式，可以得到数列}n 的首项为2，将236a =代入数列}n 的通项公式可以得数列}n 的第2项为4，所以数列}n 的公比422q ==，所以1222n n n -=⨯=，所以2n n =+，所以数列{}n a 的通项公式为()22n n a n =+，所以()22n n a n =+.【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列}n 是等比数列，将19a =、236a =分别代入，可以得到数列}n的公比2q =，从而求得通项公式n a . 13．【答案】150【解析】根据数列{n a }是等比数列，S n 为前n 项和，且S 10＝10≠0可得数列S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，因此有（S 20﹣S 10）2＝S 10（S 30﹣S 20），即（S 20﹣10）2＝10（70﹣S 20），故S 20＝﹣20或S 20＝30，又0n a >，∴S 20＞0，因此S 20＝30，S 20﹣S 10＝20，S 30﹣S 20＝40，故S 40﹣S 30＝80，S 40＝150．故答案为：150．【名师点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式的性质，属于基础题．根据数列{n a }是等比数列，S n 为前n 项和，且S 10＝10≠0可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30也成等比数列，即可得到结果． 14．【答案】（1）见解析；（2）1nn +. 【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =-，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ---⎡⎤-=+-+-=-+⎣⎦，即121n n a a -=-.()1121n n a a -∴-=-，即1121n n a a --=-， ∴数列{}1n a -是首项为−2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-，12n n a ∴=-，()22log 1log 2n n n b a n ∴=-==，()1111111n n b b n n n n +∴==-++， 1n n ⎛++- ⎝ 【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项.15．【答案】（1）113n a n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）()()141316nn -+-. 【解析】（1）设11n n a a q -=，依题意，有2121231131=9a a a q a a q ⎧==-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得111,3a q ==-.所以113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()()()111111=11223112231n n n n b n n n n n ⎡⎤+++=+++++++⎢⎥⨯⨯+⨯⨯+⎢⎥⎣⎦()11111=112231n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 记数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和为n S ，则 ()()()21=123333n n S n -+⨯-+⨯-++⨯-，()()()233323333nn S n -=-+⨯-+⨯-++⨯-.两式相减，得()()()()()()211341333334nn nnn S n n ---=+-+-++--⨯-=-⨯-.故()()141316nnn S -+-=.【名师点睛】本题主要考查了数列通项的求法以及数列前n 项和的求法.数列通项的求法常用的方法有：公式法、累加、累乘等.求数列前n 项和的常用的方法有：错位相减、裂项相消、分组求和等. （1）把2a 和3a 换成1a 和q 的关系即可.（2）首先利用裂项把n b 计算出来，再根据错位相减即可得出n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.1．【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.3．【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以()*12,n n a n n -=≥∈N，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1n n aq a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列. 4．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=．【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 5．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---．【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算．6．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n na n-=，所以a n =n ·2n -1．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{b n }的通项公式，借助于{b n }的通项公式求得数列{a n }的通项公式，从而求得最后的结果.7．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．8．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.。

金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点34 圆的方程

专题34 圆的方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. （2）能用圆的方程解决一些简单的问题.一、圆的方程注：当D 2+E 2－4F = 0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey+F = 0表示一个点(,)22D E--；当D 2+E 2－4F ＜0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0没有意义，不表示任何图形．二、点与圆的位置关系三、必记结论（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：2220()()()x a y b r r =->+-，其中a ，b 为定值，r 是参数； ②半径相等的圆系方程：2220()()()x a y b r r -->+＝，其中r 为定值，a ，b 为参数．考向一求圆的方程1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．典例1 求满足下列条件的圆的方程：（1）经过点P (5，1)，圆心为点C (8，－3)；（2）经过三点A (0，0)，B (1，1），C (4，2）.【答案】（1）()()228325x y -++=；（2）22860x y x y +-+=.【解析】（1）由两点间的距离公式可知，圆C 的半径长为5PC ==，因此，圆C 的方程为()()228325x y -++=.（2）设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将A 、B 、C 三点的坐标代入圆的方程，得02020420F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，所求圆的方程为22860x y x y +-+=.【名师点睛】本题考查圆的方程的求解，根据已知条件的类型选择圆的标准方程和一般方程求解，一般而言，确定圆心坐标与半径，选择圆的标准方程较为合适，计算三角形的外接圆方程，利用圆的一般方程较好，考查计算能力，属于中等题.（1）利用两点间的距离公式计算出圆的半径PC ，再写出圆C 的标准式方程；（2）设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将A 、B 、C 三点的坐标代入圆的方程，得三元一次方程组，求出D 、E 、F 的值，可得出所求圆的方程.1．以()()2,1,1,5A B -为半径两端点的圆的方程是 A ．()()222125x y ++-= B ．()()221525x y -+-=C ．()()222125x y ++-=或()()221525x y -+-= D ．()()22215x y ++-=或()()22155x y -+-=考向二与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．典例2 （1）已知圆C 1：（x +1）2+（y －1）2 =1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1=0对称，则圆C 2的方程为A ．22(())221x y +-+=B ．22(())221x y -++=C ．22(())221x y +++=D ．22(())221x y --+=（2）若圆（x +1）2+（y －3）2=9上相异两点P ，Q 关于直线kx +2y －4=0对称，则k 的值为_________．【答案】（1）B ；（2）2．【解析】（1）圆C 1的圆心为（－1，1），半径长为1，设圆C 2的圆心为（a ，b ），由题意得111022a b -+--=且1=1+1b a --，解得a =2，b =－2，所以圆C 2的圆心为（2，－2），且半径长为1，故圆C 2的方程为（x －2）2+（y +2）2=1．（2）已知圆（x +1）2+（y －3）2=9的圆心为（－1，3），由题设知，直线kx +2y －4=0过圆心，则k ×（－1）+2×3－4=0，解得k =2．2．已知圆22:230C x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C上，则a = A ．1 B ．2 C ．1-D ．2-考向三与圆有关的轨迹问题1．求轨迹方程的步骤如下：建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标,()M x y ．写集合：写出满足复合条件P 的点M 的集合(){}|M P M ．列式：用坐标表示()P M ，列出方程(),0f x y =．化简：化方程(),0f x y =为最简形式．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 2．求与圆有关的轨迹方程的方法典例3 已知Rt △ABC 中，()1,0A -，()3,0B ，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22230(0)x y x y +--=≠；（2）22(2)1(0)x y y -+=≠. 【解析】（1）设(),C x y ，则1AC y k x =+，3BC yk x =-， AC BC ⊥， 1·AC BC k k ∴=-，即131y yx x ⋅=--+，化简得：22230x y x +--=. ,,A B C 不共线， 0y ∴≠.故顶点C 的轨迹方程为：()222300x y x y +--=≠.（2）设(),M x y ''，()11,C x y ，由（1）知：()()22111140x y y -+=≠……①又()3,0B ，M 为线段BC 的中点，132x x +'∴=，12yy '=，即123x x '=-，12y y '=，代入①式，得：()()()2224240x y y '''-+=≠. 故M 的轨迹方程为：()()22210x y y -+=≠.【名师点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直线的位置关系得到点满足的方程，或利用动点坐标表示出已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线得到轨迹方程；易错点是忽略已知中的限制条件，未排除特殊点.（1）设(),C x y ，求得AC k 和BC k ，根据垂直关系可知斜率乘积为1-，根据三个顶点不共线，可知0y ≠，从而得到轨迹方程；（2）设(),M x y ''，()11,C x y ，利用中点坐标公式用x '，y '表示出C 点坐标，代入（1）中轨迹方程整理可得结果.3．已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.考向四与圆有关的最值问题对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．典例4 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==且0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合，舍去），故所求圆的方程为()()22112x y -++=，故选C.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题. 典例5 已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上．（1）求x y +的最大值和最小值；（2）求yx的最大值和最小值．【答案】（1）x y +1-，最小值为1；（2）y x的最大值为2-+最小值为2-. 【解析】（1）设t x y =+，则y x t -+＝，t 可视为直线y x t -+＝的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．1=，解得1t =或1t =．∴x y +1，最小值为1．（2）y x 可视为点(),x y 与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y kx =，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1=，解得23k =-+或23k =--．∴yx的最大值为2-2-．【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值（1）记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为||AO r -，最大为||AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；（3）记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． 2．与圆的代数结构有关的最值（1）形y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如22()()x a y b +--形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．4．平面上两个点为A (－1，0)，B (1，0)，O 为坐标原点，在圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0上取一点P ，则|AP|2＋|BP|2的最小值为________．1．若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是 A ．2m ≤ B ．2m < C ．12m <D ．12m ≤2．若直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴，则a 的值为 A ．1 B ．1- C ．2D ．2-3．对于a ∈R ，直线()1210a x y a -++-=恒过定点P ，则以P 为圆心，2为半径的圆的方程是 A ．224210x y x y +-++= B ．224230x y x y +-++= C ．224210x y x y ++-+=D ．224230x y x y ++-+=4．一个圆经过以下三个点110,2A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为A ．22211344x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2251344x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．P 为圆221x y +=上任一点，则P 与点(3,4)M 的距离的最小值是 A ．1 B ．4 C ．5D ．66．当圆2222220x y x ky k ++++=的面积最大时，圆心坐标是 A ．(0,1)- B ．(1,0)- C ．(1,1)-D ．(1,1)-7．点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．BC ．1D ．38．过点()1,1P 的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -=D ．340x y +-=9．已知点()1,,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．410．已知圆22:230C x y x +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存在点M ，使得0AM BM ⋅=，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是A ．3,22⎛ ⎝⎭B ．322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．32⎛ ⎝⎭D ．32⎫⎪⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系中，三点()0,0O ,()2,4A ，()6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是__________． 12．若实数x ，y 满足221(1)4x y ++=，则22x y +的最小值是________ . 13．已知P 在圆22:()(4)1C x a y a -+-+=上，点P 关于y 轴的对称点为A ，点P 关于y x =的对称点为B ，则||AB 的最小值为________________． 14．已知圆过点()1,2A -，()1,4B -．求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线240x y --=上的圆的方程．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，()0,0O .（1）在x 轴的正半轴上求一点M ，使得以OM 为直径的圆过A 点，并求该圆的方程; （2）在（1）的条件下，点P 在线段OM 内，且AP 平分OAM ∠，试求P 点的坐标.16．已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m ∈R ．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.17．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角△ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W ：2416x y +=，(0,)A t ，(4,0)B ，(0,2)C ，(4,0)D -为曲线W 上不同的四点.（1）求实数t 的值及△ABC 的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程.1．天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．1．【答案】C【解析】由题意得：半径5r ==.若()2,1A -为圆心，则所求圆的方程为：()()222125x y ++-=；若()1,5B为圆心，则所求圆的方程为：()()221525x y -+-=.本题正确选项为C.【名师点睛】本题考查圆的方程的求解，易错点是忽略两点可分别作为圆心，从而造成丢根，属于基础题.求解时，先利用两点间距离公式求得半径，分别在()2,1A -和()1,5B 为圆心的情况下写出圆的方程.2．【答案】D【解析】由题意可知：直线20x y -+=过圆心1,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭， 1202a ⎛⎫∴---+= ⎪⎝⎭，解得：2a =-.本题正确选项为D.【名师点睛】本题考查圆的性质，关键是能够根据圆的对称性判断出直线过圆心，将圆心坐标代入直线解得结果.3．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，由题意知0CM MP ⋅=，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3N . 由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥，因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，所以l 的方程为1833y x =-+.又OM OP ==O 到lPM =，所以POM △的面积为165. 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(),0F x y =；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入(相关点)法：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(),P x y 的轨迹方程．4．【答案】20【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，则|OP|∵A (－1，0)，B (1，0)，∴|AP|2＋|BP |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋2＝2|OP|2＋2. 要使|AP|2＋|BP |2取得最小值，需使|OP|2最小．将圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0化为(x －3)2＋(y －4)2＝4.∵点P 为圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4上的点，∴|OP|min ＝|OC|－r (r 为半径)．由(x －3)2＋(y －4)2＝4知圆心C (3，4)，r ＝2. ∴|OC|－r2＝5－2＝3，即|OP|min ＝3， ∴(|AP|2＋|BP |2)min ＝2×32＋2＝20. 故答案为：20.【名师点睛】和圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的.在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.1．【答案】C【解析】22111222x y m ⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示一个圆，所以102m -> ，解得12m <. 故选C.【名师点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题.求解时，先化为标准方程，根据半径必须大于零求解. 2．【答案】B【解析】圆的方程2220x y x +-=可化为()2211x y -+=，可得圆的圆心坐标为()1,0，半径为1，因为直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴，所以圆心()1,0在直线0x y a ++=上，可得101a a +==-，，即a 的值为1-. 故选B.【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a 的值. 3．【答案】A【解析】由条件知()1210a x y a -++-=，可以整理为()120,x y x a +-+-=故直线()1210a x y a -++-=过定点P ()2,1-，所求圆的方程为()()22214x y -++=，化为一般方程为224210x y x y +-++=．故选A ． 4．【答案】D【解析】设圆心坐标为()0,b ，半径为r ，则圆的方程为()222x y b r +-=，将12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -三点代入，得()222222110292b rb r b r ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得54b =，216916r =．∴圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 5．【答案】B【解析】因为()3,4M 在圆221x y +=外，且圆心与()3,4M 5=，又P 为圆221x y +=上任一点，所以P 与点()3,4M 的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为514-=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查定点到圆上的动点的距离问题，结合圆的的性质以及点到直线距离公式即可求解，属于基础题型.求解时，先确定点M 在圆221x y +=外，因此圆上的点到点M 的距离的最小值即等于圆心与M 的距离减去半径，进而可得出结果. 6．【答案】B【解析】因为2222220x y x ky k ++++=，所以222(1)()1x y k k +++=-，因此圆面积为2(1)πk -，0k ∴=时圆面积最大，此时圆心坐标为(1,0)-，故选B.【名师点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本化简求解能力.求解时，先列圆面积解析式，再根据圆面积最大时k 的值确定对应圆心坐标. 7．【答案】D【解析】圆x 2+y 2+kx +2y −4=0的圆心坐标为12k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，因为点M ，N 在圆x 2+y 2+kx +2y −4=0上，且点M ，N 关于直线l ：x −y +1=0对称，所以直线l ：x −y +1=0经过圆心，所以11042kk ＝，-++=．所以圆的方程为：x 2+y 2+4x +2y −4=03．= 故选D ．【名师点睛】本题考查圆的对称性，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k ，然后求出半径． 8．【答案】A【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点()1,1P 的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-，即方程为20x y +-=. 9．【答案】D【解析】设(),P x y ，PQ 的中点为()00,M x y ，因为点()00,M x y 在圆()2211x y +-=上，所以2211122x y m -+⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()22124x y m -++-=.将此方程与方程()()22244x a y a -+-+=比较可得()1242a a m =⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得4m =.故选D. 10．【答案】C【解析】由题得圆的方程为()(2211,x y -+-=()0,,B m -设(),,M x y 由于0AM BM ⋅=，所以()()222222,,0,0,,x y m x y m x y m m x y -⋅+=∴+-=∴=+由于22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，所以连接OC ，并延长和圆C 相交，交点即为M ，此时2m 最大，m 也最大.故选C.11．【答案】22620x y x y +--=【解析】设三角形OAB 的外接圆方程是220x y Dx Ey F ++++=，由点()0,0O ,()2,4A ，()6,2B 在圆上可得，0416240364620F D E D E =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得062F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故三角形的外接圆方程为22620x y x y +--=，故答案为22620x y x y +--=.【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可； ②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 12．【答案】14【解析】22x y +的几何意义是点（0，0）与圆()22114x y ++=上的点的距离的平方，点（0，0）到圆心（−1，0）的距离为1，则点（0，0）到圆上点的距离的最小值为1−r =1−12=12（r 为圆的半径），故22x y +的最小值为14. 故答案为：14. 【名师点睛】本题考查圆外点与圆上点的距离的最值问题，利用圆外点与圆心的距离加减圆半径即可得到最大和最小值.13．【答案】4【解析】因为圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=，所以(,4)C a a -，半径1r =．设点P 的坐标为(,)x y ，则由题可得(,)A x y -，(,)B y x ，所以||AB ===|OP （O 为坐标原点），又||OC ==≥2a =时取等号），所以点O 在圆C 外，所以||||1OP OC r ≥-≥（当且仅当2a =，O ，P ，C 三点共线时取等号），所以||4AB ≥-||AB 的最小值为44【名师点睛】本题主要考查了对称关系以及两点间的距离，圆上一动点到圆外一点距离的最值问题，属于中档题.设出P 的坐标为(,)x y ，根据对称性得,A B 坐标，根据两点间距离公式可得|AB OP =，判断点O 在圆C 外，由||||1OP OC r ≥-≥即可得结果.14．【答案】（1）x 2＋（y －1）2＝10；（2）（x －3）2＋（y －2）2＝20．【解析】（1）当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点（0,1）为圆心，半径r = 则所求圆的方程为x 2＋（y －1）2＝10．（2）解法1：直线AB 的斜率为k ＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0．由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C （3,2）．r ＝|AC |=．∴所求圆的方程为（x －3）2＋（y －2）2＝20．解法2：待定系数法设圆的方程为：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2．则.∴所求圆的方程为：（x －3）2＋（y －2）2＝20．15．【答案】（1）M ()5,0，2250x y x +-=；（2）5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）依题意设(),0M x ，以OM 为直径的圆过A 点，0OA AM ∴⋅=.又()()1,2,1,2OA AM x ==--，()()11220x ∴-⨯+⨯-=， 5x ∴=.∴该圆的圆心坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径52r =，故所求M 的坐标为()5,0，圆的方程为2250x y x +-=.（2）设P 的坐标为(),0a ，依题可得，直线OA 的方程为：20x y -=，直线AM 的方程为：250x y +-=. 因为AP 平分OAM ∠，所以P 点到直线OA 和AM的距离相等.=，得25a a =-，解得5a =-或53a =. 05a <<，53a ∴=，P ∴的坐标为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.16．【答案】（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆．【解析】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-.由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-，当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=+，又2MC yk x =+， 1AB MC k k ⋅=-，所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆． 17．【答案】（1）2t =-，22340x y x +--=；（2）2216x y +=；（3）22654x y +=. 【解析】（1）由题意得，2t =-.由于△ABC 为锐角三角形，外接圆就是△ABC 的最小覆盖圆. 设△ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则4201640420E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得304D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 所以△ABC 的最小覆盖圆的方程为22340x y x +--=. （2）因为DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，所以DB 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=. 又因为||||24OA OC ==<，所以点A ，C 都在圆内.所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=. （3）由题意，曲线W 为中心对称图形.设曲线W 上一点00(,)P x y ，则240016x y +=. 所以22200||OP x y =+，且022y -≤≤.故222422200000165||16()24OP x y y y y =+=-+=--+，所以当2012y =时，max ||OP =，所以曲线W 的最小覆盖圆的方程为22654x y +=. 【名师点睛】本题以新定义为背景，考查圆的方程的求解，考查数形结合思想，考查等价转化思想，属于中档题.（1）由题意，2t =-，利用三角形的外接圆即最小覆盖圆可得结果；（2）DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，易知A ，C 均在圆内；（3）由题意，曲线W 为中心对称图形.设00(,)P x y ，转求OP 的最大值即可.1．【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=.【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．。

《金版学案》高考数学文科一轮复习课件1-2命题及其关系、充分条件与必要条件

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A．1 B．2 C．3 D．4
点评：由原命题写出其他三个命题时，应先将命题化为 “若p，则q”的形式，再利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命题．
考点探究
当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保
留大前提且不作改换．另外，在判断命题的真假时，如果不
易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假．
栏目链接
课前自修
基础回顾
一、命题
用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，栏
叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假
目
链
命题．
接
课前自修
二、四种命题的形式
原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．
逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．
栏目
否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结
课前自修
基础自测
1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( D )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
栏
C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
目链
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
接
解析：由逆否命题的变换可知，命题“若x2<1，则－ 1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，故选
高考总复习数学（文科）
第一章集合与常用逻辑用语
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
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考纲要求
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命
题，会分析四种命题的相互关系．

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专题12 导数的应用 1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.

一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a，b)内：（1）如果()0fx，函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果()0fx，函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果()=0fx，函数f (x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0fx(()0fx)是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必

要条件.例如，函数3()fxx在定义域(,)上是增函数，但2()30fxx. （3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()0fx(()0fx)在(a，b)内恒成立，且()fx

在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0fx，不影响函数f (x)在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值

1．函数的极值一般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧()0f 'x，右侧()0f 'x，则称x=a为f (x)的极小值点，()fa叫做函数f (x)的极小值. （2）若在点x=b处有()f 'b=0，且在点x=b附近的左侧()0f 'x，右侧()0f 'x，则称x=b为f (x)的极大值点，()fb叫做函数f (x)的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]ab上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，求fx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤为：（1）求fx在(,)ab内的极值；（2）将函数fx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]ab的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]ab内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是：考向一利用导数研究函数的单调性 1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式

()0fx

（()0fx）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f ′(x)；（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，()0fx时为增函数，()0fx时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义

域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点. 3．由函数fx的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上0fx(或0fx)(fx在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0fx(或()0fx)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知fx在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出fx的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利

用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.

典例1 若121xx，则 A．

1221eexxxx B．12

eexxxx C．

2112

lnlnxxxx D．2112lnlnxxxx

【答案】A

【解析】①令e1xfxxx，则21e0xxfxx，∴fx在(1,)上单调递增，

∴当121xx时，1212eexxxx，即1221eexxxx，故A正确，B错误. ②令ln1xgxxx，则21lnxgxx，令0gx，则ex，当1ex时，0gx；当ex时，0gx，∴gx在1,e上单调递增，在e,上单调递减，易知C，D不正确. 故选A．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 典例2 已知函数21()ln(1)12fxaxxax.

（1）当1a时，求函数()fx的单调递增区间；（2）若函数fx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围. 【解析】由题意得：fx的定义域为(0,)，

（1）当1a时，21ln12fxxx，则2110xfxxxxx， 当0,1x时，0fx；当1,x时，0fx，

fx的单调递增区间为：1,.

（2）21110xaxaxaxafxxaxxxx

.

①当0a时，0fx在(0,)上恒成立， fx在(0,)上单调递增，可知0a满足题意；

②当0a时，0a， 当0,xa时，0fx；当,xa时，0fx，

fx在0,a上单调递减；在,a上单调递增，不满足题意.

综上所述：

0,a.

【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.

1．已知函数

2()(1)ln1fxaxax.

（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212

()()4fxfxxx.

考向二利用导数研究函数的极值和最值 1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数fx极值的方法： ①确定函数fx的定义域． ②求导函数fx． ③求方程0fx的根． ④检查fx在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么fx在这个根处取得极小值；如果fx在这个根的左、右两侧符号不变，则fx在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数fx，求方程0fx的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用. （2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()fxa恒成立，只需min()fxa即可；()fxa恒成立，只需

max()fxa即可.

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.

典例3 若函数32()61fxxaxax有极大值和极小值，则a的取值范围是 A．1,2 B．,12, C．3,6 D．,36, 【答案】D 【解析】32()61fxxaxax，则2()326fxxaxa

因为()fx有极大值和极小值，所以2()3260fxxaxa有两个不等的实数根. 所以241260aa，即23180aa，解得3a或6a.

所以所求a的取值范围是(,3)(6,).

故选D. 【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数()fx有极大值和极小值，则()0fx有两个不等的实数根，答案易求.