对偶原理在电路教学中的应用
电工学(雷勇)-第三章
–
(2) 对独立回路，以回路电流为未知量，列写 KVL方程； (3)解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支 路电压、电流。
例1:以网孔电流为变量，列KVL方程：
R1i1 R3 (i1 i2 ) ua
R2i2 R3 (i1 i2 ) ub
例2：含有理想电流源电路的回路电流法 解法一：选网孔作为独立回路列写方程：
is
b
G b
满足：
us is R
1 G R
请注意这两种模型中电源的参考方向：电压源的 正极性端与电流源电流流出端一致。
例1 利用电源的等效变换，化简图示电路。
例2 含受控源的电路的化简。 解：含受控源的电路，同样可以用电源的等效 变换
(2 1 2)I I 6 0
I 1A
例3：含有受控源电路的回路电流法
解：对受控源的处理与独立源相同
4i1 6(i1 i2 ) u x 20
i2 ux 4
辅助方程
ux 2(i1 i2 )
3.4 叠加原理
有n个独立源存在的含源线性网路，当只有第i 个独立源单独作用，其它独立源均不作用（不 作用的电压源短路，不作用的电流源断路）， 这时得到的响应假设为ki（该响应可以是任意支 路或元件的电压或电流），所有独立源同时作 用时的总响应假设为kT。叠加定理可描述为： 总响应是每个独立源分别单独作用时响应的叠 加。即：
解：和电流源串联的元件是 虚元件，在列节点方程时必 须把它去掉。 3A 2 3 2 2V
1
1.5u n1 u n 2 0.5u n 3 1 u n1 2.5u n 2 u n 3 0 0.5u u 2u 1 n1 n2 n3
理想运算放大器“虚短虚断”描述问题分析
理想运算放大器“虚短虚断”描述问题分析吉培荣;陈成;吉博文;李海军【摘要】本文根据理想运算放大器的原始定义和对偶原理,指出将理想运算放大器的特性描述(归纳)为“虚短虚断”存在问题,提出可用“假短真断(虚短实断)”描述(归纳)理想运算放大器特性;对与理想运算放大器和实际运算放大器特性描述相关的问题进行了分析和讨论,给出了一些意见和建议.【期刊名称】《电气电子教学学报》【年(卷),期】2017(039)001【总页数】3页(P106-108)【关键词】实际运算放大器;理想运算放大器;虚短虚断;假短真断(虚短实断);对偶原理【作者】吉培荣;陈成;吉博文;李海军【作者单位】三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌442002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌442002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌442002;宜昌供电公司,湖北宜昌443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌442002【正文语种】中文【中图分类】TM13;TN711在电子电气工程领域，有许多实际器件，如电阻器、电容器、电池等；在电路理论中，有许多理想元件，如理想电阻、理想电容、理想电压源等。
理想元件是定义出来的，其特性可用精确的数学语言描述。
理想元件与实际器件是完全不同的两类事物。
理想运算放大器是一种理想电路元件，其主要特性用文字可表述为“两个输入端上的电流为零，两个输入端之间的电压为零”。
对于这一特性，中文电路理论文献普遍将其描述(归纳)为“虚短虚断”，笔者认为这种描述(归纳)存在问题，描述(归纳)为“假短真断(虚短实断)”才为合理[1]。
本文对此相关问题进行分析和讨论。
运算放大器常用的模型有两种，一种用图1(a)的符号表示，其模型如图1(b)所示，该模型能直接反映实际运放的输入电阻、输出电阻、差模电压放大倍数等参数，本文称其为运算放大器的直接模型；另一种用图1(c)的符号表示，其模型如图1(d)所示，本文称其为运算放大器的理想模型，对应的即为理想运算放大器这一理想元件。
基于CDIO教育模式的电路课程教学研究与实践
、
关于 “ 电路”课程教学体系改革的思考
目前， 国际化的 Ｃ Ｉ Ｄ Ｏ高等 工程 教育模 式已经 逐渐 影 响 述 相 关元 器件 （ Ｒ、Ｌ、Ｃ和运 算放 大器 的集成 电路 ）时，适 到 我国各大高校 工科的教 育理 念。Ｃ Ｉ Ｃ ｎ ｅｖ － ｓｇ － Ｄ Ｏ（ ｏ ｃｉｅ Ｄｅｉｎ 时导入相应 的实 物图片，使学生 能够 把理论分析 和实际器 件联 Ｉ ｌｍｅ ｔ ｍｐｅ ｎ－Ｏｐ ｒ ｔ）代表 着 构 思 一设 计 一实 施 一运 行 ， ｅ ａｅ 它是 由麻 省理 工学 院和 瑞典 三所 顶尖 的理 工学院 组成 的工程 育 理念 和可操 作 的实 施体系 。Ｃ Ｏ教 育模 式具 有 国际先 进 ＤＩ 系起来 。
三，课程教学的改革与实践
１教 学从 实际 出发 ， 用多媒 体 技 术 引入 相应 的实物 图片，循 ． 利
甚至对一些 比较抽象 的电路概 念也无法理解 。这和我们国家提
工程意识教学中所要适 当补充的标相 去甚远 ，也正是在 电路课程 的 序 渐近 地 加 强和拓 展
中国 电力教育 ＣＥ Ｅ Ｐ
—
Ｄ Ｉ Ｏ 编码 ： ０ ３６ ／ ． ｓ ．０ ７ ０ ７ ．０ ０２ ．４ １ ．９ ９ ｊ ｓｎ １０ — ０ ９２ １ ．２０ ２ ｉ
基于 Ｃ ＤＯ教育模式的电路课程教学研究与实践 Ｉ
张 国平 付 贵 阳 马永 力
摘要 ： 文章介 绍了Ｃ １ Ｄ０的内容和可供其他 院校借鉴的五个方面的教学经验，并如何分析利用现 代教育技 术把 国际化的 Ｃ Ｉ Ｄ Ｏ高等工 程教育理念应用于电路课 程的教 学实践中，实现教育过程的最优化。 关键词 ：电路 ； 改革 ； Ｄ 工程教育 Ｃ１ ０； 作者简 介 ： 张国平 （９ ９ ） １６ － ，男，江西南昌人 ，江西师范大学理 电学院，讲师，通信与信息系统专业硕士，主要研究方向 ：电 子技 术应用与教 学研究 ； 贵阳 （９ ０ ） 男，江西高安人 ，江西师范大学理 电学院，讲师，工学博士，主要研 究方向 ： Ｐ 导航 。（ 付 １８ － ， ＧＳ 江西
论述学习迁移理论在电路课程教学的应用
论述学习迁移理论在电路课程教学的应用作为教师，对每一类学科的研究，对每一门课程的教学，都会或多或少、自觉或不自觉地应用到学习的迁移。
而电路课程理论性强、逻辑严密，若重视学习的迁移，设计合理的“先行组织者”，将对教学效果大有裨益。
1学习迁移理论在日常生活中我们可以观察到：学会了一种外文，有助于掌握另一种外文；学会了骑自行车，有助于学习驾驶摩托车……这些都是我们常见的学习迁移的现象。
心理学中的所谓迁移，指的是“一种学习对另一种学习的影响”。
简而言之，就是举一反三，温故知新。
迁移有正负之分。
凡是一种学习对另一种学习起促进作用，就叫正迁移，否则则为负迁移。
我们教师面向学生的教学工作都是为了实现正迁移，这就需要针对学生们的认知结构，也即他们头脑里的知识结构开展工作，设计合理清晰的“先行组织者”便成了当务之急。
所谓“先行组织者”，指的是学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。
通过呈现“先行组织者”，给学习者已知的东西与需要知道的东西之间架设一道知识之桥，使他更有效地学习新材料。
2电路课程教学中的学习迁移任何一门课程，教师在教授学生相关知识的时候，如果能在对象熟知知识的基础上进行讲解，必将使教学过程深入浅出、讲授内容浅显易懂，对于电路这样一门逻辑缜密的课程尤为如此。
如果教师在讲授电路课程时只是照本宣科，结果将收效甚微。
相反，若能在讲授电路本身之前先呈现与之相关的高等数学、线性代数、复变函数等学生头脑中已有的相关知识（即所谓先行组织者），在这一搭建好的平台上进一步进行阐述，势必达到事半功倍的效果。
例证1：在进行独立变量法的讲解时，很多学生会提出问题：何为完备的变量？何为独立的变量？为什么通过解出这些变量就可得到所有需要求解的变量呢？面对这样的问题，如果照着书本上的概念讲解：所谓完备的变量，就是用这一组电流或电压变量可以算出电路中每一个电流和电压；所谓独立的变量，即这一组变量中的任一个不能用这一组中的其他变量来表示。
电路定理
定理的内容：由线性含源电阻性二端网络 N 传递给可变负载 RL 的功率为最大的条件是：负载 RL
应与网络 N 的戴维南等效电阻 Req 相等，即 RL = Req ，其最大功率为
Pmax
=
U
2 oc
4Req
一般，最大功率传输定理要与戴维南定理联合使用。
知识点 6 特勒根定理
特勒根定理是电路理论中的一个重要定理，它适用于任何集中参数电路，且与电路元件的性质
不存在诺顿等效电路。若 Geq ≠ ∞ ，诺顿等效电路总是存在的。
对于同一电路，当两种等效电路都存在时，二者是等效的，等效条件与电压源模型和电流
源模型的等效条件完全相同。
Req
+ uoc
−
isc
=
uoc Req
Geq
=
1 Req
→
isc
←
Geq
uoc
=
isc Geq
Req
=
1 Geq
知识点 5 最大功率传输定理
第四章 电路定理
一、 教学目标
本章讨论电路的性质。通过学习，使学生熟练掌握（1）叠加定理和齐性定理；（2）等效电源定 理和最大功率传输定理；掌握（1）替代定理；（2）互易定理；了解（1）特勒根定理；（2）对偶原 理。 1. 知识教学点
叠加定理和齐性定理 替代定理 等效电源定理和最大功率传输定理 特勒根定理和互易定理 对偶原理 2. 能力训练点 掌握线性电路的叠加定理和齐性定理内容，利用叠加定理和齐性定理分析线性电路。 掌握替代定理。 掌握戴维南定理和诺顿定理的内容和适用范围；了解定理的证明；会求解线性含源电路的 戴维南和诺顿等效电路；会分析最大功率问题。 掌握互易定理内容和适用范围；会应用互易定理分析线性纯电阻电路，特别是抽象电路。
D第四章电路定理
Uoc = Io Ro =
R R2 R0 = 1 R + R2 1
Us R 1
+ R1 Uoc (Us / R + Is )R R2 1 1 (R + R2 ) 1
Ro
(Io : 短路电流 sc ) 短路电流I (Uo : 开路电压 oc ) 开路电压U
(Ro :除源输入电阻 除源输入电阻) 除源输入电阻
R1
4-1 叠加定理
Us
R2
Is
=
+
Is =U′ +U′′
R2 R2R1 U s / R1 + I s U s R2 + R1 R2 I s U= = Us + = 1 1 R1 + R2 R1 + R2 R1 + R2 ( + ) R1 R2 U Us R 1 ′ I= = + Is = I ′ + I ′ R2 R1 + R2 R1 + R2
例 求各支路电流. 求各支路电流.
解:设i5a = 1A ,则 设
120
i1
2 20
i3 i2
2 20
i5 i4
2 20
i4a = 1.1A i3a = i5a + i4a = 2.1A
26.2 i1a = i2a + i3a = 3.41A i2a = = 1.31A 20 uS = 2 × i1a + 20 × i2a = 33.02A 33.02 A
2、线性含源单口网络对外电路作用可等效为 、 一个理想电流源和电阻的并联组合。 一个理想电流源和电阻的并联组合。 其中： 其中： I0 Ro
电流源电流I 为该单口网络的短路电流I 电流源电流 0为该单口网络的短路电流 sc ； 电阻Ro为该单口网络的除源输入电阻 o. 电阻 为该单口网络的除源输入电阻R 说明： 说明： （1） 该定理称为等效电流源定理，也称为诺顿定 ） 该定理称为等效电流源定理， 理（Norton’s Theorem）； ） （2）由定理得到的等效电路称为诺顿等效电路， ）由定理得到的等效电路称为诺顿等效电路， Isc和Ro称为诺顿等效参数。 称为诺顿等效参数。
电路分析第四章 电路定理
Uoc = U1 + U2
= -104/(4+6)+10 6/(4+6)
= -4+6=2V I a
Ri
+
(2) 求等效电阻Ri
Rx
a
Ri b
Uoc – b (3) Rx =1.2时，I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A I= Rx =5.2时， Uoc /(Ri + Rx) =0.2A Rx = Ri =4.8时，其上获最大功率。
计算； 2 加压求流法或加流求压法。
3 开路电压，短路电流法。
2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏安特性等效)。 (4) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包 含在被化简的同一部分电路中。
21
第4章 电路定理
例1.
4 a Rx 6 + I b 10V
2.5A
10V 2 5V
?1A
?
这里替代后，两并联理想电压源 5V 5 1.5A 电流不确定，该支路不能被替代
14
第4章 电路定理
例.
3 + 1 Rx – U Ix + 0.5 0.5 若要使 I x 试求Rx。
1 8
I,
10V
–
I
0.5
解： 用替代：
1
1
I 0.5
8
I
1
0.5
又证:
ik
A
+ uk –
支 路 k
A
ik
+
–
uk
A
+ uk – uk
支 路 k
uk
电路的定理
3. 2 替代定理 (Substitution Theorem)
叠加定理只适用于线性电路， 叠加定理只适用于线性电路，这一节中将介绍另外 一个定理：替代定理。替代定理具有广泛的应用， 一个定理：替代定理。替代定理具有广泛的应用，可以 推广到非线性电路。 推广到非线性电路。 在一个线性或非线性的电路中，其中第 条支路的电 在一个线性或非线性的电路中，其中第K条支路的电 和电流I 为已知， 压Uk和电流 k为已知，则这条支路总能够由以下的任何 一个元器件去替代： 一个元器件去替代： 1）电压值为Uk的理想电压源； 电压值为 的理想电压源； 电流值为I 的理想电流源； 2）电流值为 k的理想电流源； 电阻值为U 的线性电阻元件R 3）电阻值为 k/Ik的线性电阻元件 k。 而替代后电路中全部的电压和电流均将保持不变， 而替代后电路中全部的电压和电流均将保持不变， 这就是替代定理。 这就是替代定理。
第3章 电路的定理 (Circuit Theorems)
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
叠加定理 替代定理 戴维南定理和诺顿定理 特勒根定理 互易定理 对偶原理
3.1 叠加定理 (Superposition Theorem) .
叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压 或电压)都是电路中 在线性电路中，任一支路电流 或电压 都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 各个独立电源单独作用时 ， 在该支路产生的电流 或电 的代数和。 压)的代数和。 的代数和
(a)所示电路分为两部分 如图（ 所示电路分为两部分， 解： 图(a)所示电路分为两部分，如图（b）和（c）， " 则 I 3 = I 3' + I 3
R2 50 50 5 × = × I = A = 0.714 A R2 R3 R2 + R3 10 + 5 × 20 5 + 20 R1 + 5 + 20 R2 + R3
数电第二讲 基本公式 基本定律及应用
例： A• B= A+B • 得
ABC = A + BC = A + B + C
由此反演律能推广到n个变量： 由此反演律能推广到n个变量：
A 1 • A 2 • … • A n = A1 + A 2 + … + A n A 1 + A 2 + … + A n = A1 • A 2 • … • A n
或非： 或非：条件
A、B、C任一 、 、 任一 具备， 具备，则F 不 发生。 发生。
F = A+B+C
A B C
≥1
F
异或：条件A、 异或：条件 、
B有一个具备， B有一个具备， 有一个具备 另一个不具备 发生。 则F 发生。
F= A ⊕ B ⊕C
A B C A B C
=1
F
同或： 同或：条件
A、B相同，则 、 相同 相同， F 发生。 发生。
§1.３ 基本逻辑运算 1.３
逻辑变量 取值： 逻辑0 逻辑1 逻辑0 和逻辑1 取值 ： 逻辑 0 、 逻辑 1 。 逻辑 0 和逻辑 1 不代表数值大小 仅表示相互矛盾、 数值大小， 不代表 数值大小 ， 仅表示相互矛盾 、 相互 对立的两种逻辑状态． 对立的两种逻辑状态． 两种逻辑状态 基本逻辑运算 与运算 或运算 非运算
AB + A C + BC = AB + AC + (A + A )BC
= AB(1 + C) + AC(1 + B)
= AB + AC =
等式右边
由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包 由此可以看出： 与或表达式中， 同一因子的 变量和反变量， 含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子 包含在第三个乘积项中， 包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的 公式可推广： 公式可推广： AB + AC + BCDE = AB + AC
对偶习题及答案
对偶习题及答案对偶习题及答案在学习过程中，偶尔会遇到一些难以理解或解决的问题。
这时候，偶习题就成为了一种很有用的工具。
偶习题是一种通过对比和对照来帮助学生理解和掌握知识的方法。
通过对偶习题的练习，学生可以更好地理解和应用所学的知识。
下面，我将给大家提供一些常见的偶习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、数学1. 偶习题：如果一个圆的半径是2，那么它的直径是多少？答案：直径是半径的两倍，所以直径为4。
2. 偶习题：如果一个矩形的长是5，宽是3，那么它的面积是多少？答案：面积等于长乘以宽，所以面积为15。
3. 偶习题：如果一个三角形的底边是6，高是4，那么它的面积是多少？答案：面积等于底边乘以高再除以2，所以面积为12。
二、科学1. 偶习题：如果一种物质的密度是2克/立方厘米，质量是8克，那么它的体积是多少？答案：体积等于质量除以密度，所以体积为4立方厘米。
2. 偶习题：如果一个物体的速度是10米/秒，时间是5秒，那么它的位移是多少？答案：位移等于速度乘以时间，所以位移为50米。
3. 偶习题：如果一个电路的电阻是10欧姆，电流是2安培，那么它的电压是多少？答案：电压等于电流乘以电阻，所以电压为20伏特。
三、语文1. 偶习题：如果一个句子中有主语和谓语，那么它是一个什么样的句子？答案：这是一个完整的句子，也称为陈述句。
2. 偶习题：如果一个句子中有一个或多个并列的谓语，那么它是一个什么样的句子？答案：这是一个复合句，也称为并列句。
3. 偶习题：如果一个句子中有一个或多个从句，那么它是一个什么样的句子？答案：这是一个复合句，也称为复合句。
通过以上的偶习题及答案，我们可以看到偶习题的作用是帮助学生巩固和应用所学的知识。
通过对比和对照，学生可以更好地理解和掌握知识点。
偶习题的设计应该具有一定的难度，既能考察学生的基础知识，又能激发学生的思维和创造力。
同时，偶习题的答案应该清晰明了，能够帮助学生纠正错误和加深理解。
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对偶原理在电路教学中的应用
【摘要】本文分析了电路中所存在的对偶现象，阐述了对偶原理在电路分析
时的应用，探讨了对偶原理及其在电路课程教学中及早建立对偶概念的必要性，
根据电路理论中对偶原理，并运用心理学的观点，闲述了对偶原理在电路教学中
的重要作用及应用时的关键点。
【关键词】对偶性原理；对偶元素；电路教学
1.引言
对偶，是客观世界中存在的一种特殊规律，其实质是指客观世界中两类变量
的性质和地位完全一致。若对某一变量的定理成立，应用对偶原理，其对偶元素
的对偶定理也成立。对偶性原理是认识事物和解决问题的一种简捷方便且行之有
效的分析方法。几乎所有的学科领域都会涉及到对偶性原理的研究和运用，电路
也一样，许多电路变量、电路元件、电路定律、定理及计算方法等都存在着明显
的对偶关系。在电路的教学过程中，及时给学生建立对偶的概念并引导他们正确
运用对偶原理，将能有效提高该课程的教学效率。
2.电路对偶特性的反映形式
电路中存在着“两类约束”。每一元件上电压电流之间的关系由元件的伏安关
系式来描述，它与元件自身特性有关，称为“元件约束”；在电路中，由于各元件
间的相互联接，必然又导致各元件的电流之间及电压之间存在一定的“约束”关
系，这类约束关系称之为“拓扑约束”或“结构约束”，表示这类约束关系的是基尔
霍夫定律，它包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。电路中的许多变量、
元件、结构及定律都是成对出现的，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特
性就称为电路的对偶性。电路的对偶性，存在于电路变量、电路元件、电路定律、
电路结构和电路方程之间的一一对应中。
1）电路元件对偶：电阻R—电导G；电感L—电容C；理想电压源—理想
电流源；实际电压源—实际电流源等；
2）电路结构对偶：串联与并联；开路与短路；回路与结点等；
3）电路定律对偶：电路定律是基于电路元件及结构的。前两者的对偶，必
然导致电路定律的对偶。例如欧姆定律：电阻R：u=Ri——电导G：i=Gu；基尔
霍夫定律：针对回路的KVL定律（ΣU=0）——针对结点的KCL定律（Σ I=0）；
4）电路方程式对偶：由于电路结构及电路定律的对偶，必然导致电路方程
式的对偶，从而方程的解必然对偶；
5）电路分析方法对偶：例如无源二端网络中，电阻串联与电导并联的计算
方法对偶；电源的连接中，电压源串联与电流源并联的计算方法对偶；回路电流
法与结点电压法的计算方法对偶等；
6）电路定理对偶：例如互易定理中电压源与电流源互易位置对偶；等效电
源定理中实际电压源模型与实际电流源模型对偶；戴维宁定理与诺顿定理对偶
等。
电路中存在着一系列的对偶关系，且是互为因果的，即对任何电路元件进行
两次对偶变换便得到原来的元件，其他各种对偶关系也是如此。此外，电路的对
偶特性及对偶方法只能用于平面电路，对非平面电路不适用；对偶电路仅仅相互
对偶，但彼此之间并不等效，但是两个等效电路的对偶电路彼此也是等效的；当
电路与其对偶的电路具有相同的线状图时，这种对偶称为自对偶。
3.对偶在电路教学实践中的应用
在电路教材中，对偶原理一般都是放在直流电阻电路的最后才提出的。其实，
在之对偶现象已比比皆是，若在教学过程中尽早引导学生理解并掌握这一原理，
将会增强课堂信息量，提高教学效率，提高学生的学习积极性和对电路探究的兴
趣；同时，还能吸引学生自觉探索课程内容之间存在的联系。因此，在电路教学
中让学生及早建立对偶的概念并引导他们正确运用对偶关系至关重要。
（1）对偶概念的建立
电路课程的开始，复习了电压、电流这两个基本变量；教学中可基于这两个
基本变量引入对偶的概念，指明电流、电压是一对对偶变量，使得学生有一个初
步的印象；紧接着，在介绍基尔霍夫定律的时候，给出结点——网孔、网孔电流
——结点电压为对偶元素，同时指出KCL、KVL亦是一对对偶的定律；介绍电
路连接时，指明串联——并联是一对对偶的连接方式，给出对偶的概念并分析其
特点，进行总结。至此，学生脑中已意识到电路的基本变量和基本定律都是对偶
的，基本建立了对偶的概念。
（2）对偶概念的应用
及早建立起来的对偶的概念将会给后面的教学带来很多益处。例如，在电路
课程中，节点电压法和网孔电流法是一对对偶的分析法方法，其中节点——网孔、
节点电压——网孔电流、KCL方程——KVL方程等都是对偶的元素。在讲课时，
先介绍了网孔电流法，再讲节点电压法，推导其节点电压方程通式时，只讲清推
导思路，指出将支路电流用节点电压表示后带入KCL方程，整理后即可得到与
网孔电流方程相对偶的一组节点电压方程。经此一点，学生必恍然大悟，较好的
理解该方程建立的本质。
在电路课程中，戴维宁定理——诺顿定理、动态电路部分的RC串联电路
——GL并联电路、RLC串联电路——GCL并联电路、正弦交流电路部分的串联
谐振-并联谐振等内容均呈对偶关系。因此，在对偶的概念建立起之后，授课时
即可运用这种对偶关系促进教学。
（3）对偶概念的借鉴
电路中有些内容严格意义上说并不具有对偶性质，但也可以借鉴对偶的思
想，按照对偶的性质方法来记忆，更容易将知识记牢固。例如三相电路中星形负
载与三角形负载连接时相电压与线电压、相电流与线电流的关系：
星形负载连接：
三角形负载连接：
上述表达式中，可将两组公式看成对偶公式，每组公式中，可讲电压和电流
又看成对偶量，加深记忆。
4.几点运用对偶原理的体会
（1）利用对偶原理可增强知识的记忆
电路作为一门技术基础课，其目的就是让学员理解并记住电路的基本概念、
基本原理，学会运用它们分析具体的电路，通过对具体电路的分析，掌握不同类
型电路的工作特点及其分析方法。在教学中，充分运用电路的对偶关系，将会使
学员对基本概念、基本原理、基本分析方法及电路工作特点理解的更加深刻、记
忆更加牢固
（2）利用对偶原理可促进知识的正向迁移
学习的迁移是指一种学习对另一种学习的影响。凡是一种学习对另一种学习
起促进作用的，都是正向迁移，而一种学习对另一种学习起干扰或阻碍作用的，
则是负向迁移。
对偶关系，由于二者之间的相似性，在教与学的过程中可以形成学习的迁徙。
在电路课程教学中，应充分利用这种迁移效果来促进教学，但由于具体电路的工
作条件及我们分析电路的习惯等因素的作用，使得电路中对偶的一些关系的表现
形式也略有不同；由于思维定式的影响，对偶关系之间亦会产生负向迁移效果。
作为教员，应及时准确的引导学员避免负向迁移，恰当的利用已有的知识，促进
知识的正向迁移。
（3）利用对偶原理可以促进知识的融会贯通
随着教学的进行，不同分析域之间的对偶性也日渐增强，作为老师，此时及
时引导学生注意这种对偶关系的总结，最后得出结论：无论时域、频域、复频域，
电路的工作都是受到基尔霍夫定律和元器件伏安关系所约束的，这是电路理论的
根本所在。至此，学生对电路理论的认识有了质的飞跃，真正抓住了电路理论的
实质。
在电路课程教学中，要随时注意发掘并指明对偶现象和对偶规律，利用对偶
启发学生作对比分析，启发学生积极思考，帮助学生深入的掌握教学内容，一箭
双雕，触类旁通。
5.结束语
综上所述，在电路教学中利用对偶原理，可以使得电路的分析方法变的简单，
因为我们掌握了一些电路的分析方法之后，就可以根据对偶原理直接得出另外一
些与之对应的电路的分析方法。这对于电路课程的掌握、理解、记忆都将提供很
大的方便，也使得对电路的学习变得更为灵活。
参考文献
[1]邱关源.电路（第四版）[M].高等教育出版社，1999.
[2]周守昌.电路原理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1998.
[3]张景莹.大学心理学[M].清华大学出版社，1986.
[4]R.E.斯科特[美]郑翔等译.线性电路[M].高等教育出版社，1965.