第8章 机械优化设计实例

• 例如一架好的飞机，应该具有自重轻、净 载重量大，航程长，使用经济，价格便宜， 跑道长度合理等性能，显然这些都是设计 时追求的指标。但并不需要把它们都列为 目标函数，在这些指标中最重要的指标是 飞机的自重。因为采用轻的零部件建造的 自身重量最轻的飞机只会促进其它几项指 标，而不会损害其中任何一项。因此选择 飞机自重作为优化设计的目标函数应该是 最合适的了。
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
• 若一项工程设计中追求的目标是相互矛盾 的，这时常常取其中最主要的指标作为目 标函数，而其余的指标列为约束条件。也 就是说，不指望这些次要的指标都达到最 优，只要它们不致于过劣就可以了。 • 在工程实际中，应根据不同的设计对象， 不同的设计要求灵活地选择某项指标作为 目标函数。以下的意见可作为选择时的参 考。
第八章 机械优化设计实例
• 前面几章系统地介绍了机械优化设计的理 论和方法。本章将首先针对机械优化设计 实践中需要注意的问题介绍一些可供使用 的方法;接着通过对机床主轴结构优化设计、 齿轮减速器优化设计、平面连杆机构优化 设计等工程实例的分析，来说明在解决一 个工程实际问题时，建立优化设计数学模 型，选择适当的优化方法，编制计算机程 序，最终得出符合要求的优化设计结果等 问题。
三、进一步的考虑
• 这时常使用有限元法来计算系统的应力、变形、 自振频率等。有限元法是一种数值计算方法，它 能够精确地对大多数机械结构件进行结构分析， 但其计算量相当大。尤其是把它和优化方法结合 起来进行结构优化设计时，还需要多次地进行有 限元分析。这就不得不认真地研究怎样以尽可能 少的有限元分析次数而获得优化结果，它是结构 优化设计研究中的一个重要课题。目前，机械结 构优化设计已成为机械优化设计中的一个重要分 支，并且近年来其研究和应用已经取得了不少成 果。
• 优化方法的选择取决于数学模型的特点， 例如优化问题规模的大小，目标函数和约 束函数的性态以及计算精度等。在比较各 种可供选用的优化方法时，需要考虑的一 个重要因素是计算机执行这些程序所花费 的时间和费用，也即计算效率。
• 正确地选择优化方法，至今还没有一定的原则。 通常认为，对于目标函数和约束函数均为显函数 且设计变量个数不太多的回题，惩罚函数法较好; 对于只含线性约束的非线性规划问题，最适宜采 用梯度投影法，对函数易于求导的问题，以可利 用导数信息的方法为好，例如可行方向法;对求导 非常困难的问题则应选用直接解法，例如复合形 法;对于高度非线性的函数，则应选用计算稳定性 较好的方法，例如BFGS变尺度法和内点惩罚函 数法相结合的方法。
1.设计变量的选择
• 机械设计中的所有参数都是可变的，但是将所有的设计参 数都列为设计变量不仅会使问题复杂化，而且是没有必要 的。例如材料的机械性能由材料的种类决定，在机械设计 中常用材料的种类有限，通常可根据需要和经验事先选定， 因此诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数按选定材料 赋以常量更为合理;另一类状态参数，如功率、温度、应 力、应变、挠度、压力、速度、加速度等则通常可由设计 对象的尺寸、载荷以及各构件间的运动关系等计算得出， 多数情况下也没有必要作为设计变量。因此，在充分了解 设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响 程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化 优化设计问题。另外还应注意设计变量应当相互独立，否 则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困 难。
3.约束条件的确定
• 约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量 取值范围的限制条件。和目标函数一样，它们也 是设计变量的可计算函数。 • 如前所述，约束条件可分为性能约束和边界约 束两大类。性能约束通常与设计原理有关，有时 非常简单，如设计曲柄连杆机构时，按曲柄存在 条件而写出的约束函数均为设计变量的线性显函 数;有时却相当复杂，如对一个复杂的结构系统， 要计算其中各构件的应力和位移，常采用有限元 法，这时相应的约束函数为设计变量的隐函数， 计算这样的约束函数往往要花费很大的计算量。
• 编写计算机程序对于使用者来说，已经没 有多少工作要做了，因为已有许多成熟的 优化方法程序可供选择。使用者只需要将 数学模型按要求编写成子程序嵌入已有的 优化程序即可。 • 步骤4)和5)对机械设计工作者来说，通常 不存在原则上的困难，这一点将结合实例 来说明。
二、建立数学模型的基本原则
• 建立数学模型的基本原则是优化设计中的一个重 要组成部分。优化结果是否可用，主要取决于所 建立数学模型是否能够确切而又简洁地反映工程 问题的客观实际。在建立数学模型时，片面地强 调确切，往往会使数学模型十分冗长、复杂，增 加求解问题的困难程度，有时甚至会使问题无法 求解;片面强调简洁，则可能使数学模型过份失真， 以致失去了求解的意义。合理的做法是在能够确 切反映工程实际问题的基础上力求简洁。设计变 量、目标函数和约束条件是组成优化设计数学模 型的三要素，下面分别予以讨论。
2.目标函数的确定
• 目标函数是一项设计所追求的指标的数 学反映，因此对它最基本的要求是能够用 来评价设计的优劣，同时必须是设计变量 的可计算函数。选择目标函数是整个优化 设计过程中最重要的决策之一。
• 有些问题存在着明显的目标函数，例如一个没有 特殊要求的承受静载的梁，自然希望它越轻越好， 因此选择其自重作为目标函数是没有异议的。但 设计一台复杂的机器，追求的目标往往较多，就 目前使用较成熟的优化方法来说，还不能把所有 要追求的指标都列为目标函数，因为这样做并不 一定能有效地求解。因此应当对所追求的各项指 标进行细致的分析，从中选择最重要最具有代表 性的指标作为设计追求的目标。
2.设计变量的尺度变换
• 当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定 的搜索方向上各自的灵敏度也相差很大。灵敏度 大的，则搜索变化快，否则相反。为了消除这种 差别，可以对设计变量进行重新标度，使它们成 为无量纲和规格化的设计变量，并称这种处理为 设计变量的尺度变换。具体做法是给原设计变量 xi乘以一个尺度变换因子ki，得到新的设计变量
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第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
• 圆柱齿轮减速器是一种使用非常广泛的机械传动装置。我 国目前生产的各种类型的减速器还存在着体积大、重量重、 承载能力低、成本高和使用寿命短等问题，与国外先进产 品相比还有相当大的差距。对减速器进行优化设计，选择 其最佳参数是提高承载能力、减轻重量和降低成本等各项 指标的一种重要途径。 • 减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u,输人转 速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某 项经济技术指标达到最优的设计参数。下面介绍建立减速 器优化设计数学模型时，如何选择设计变量、目标函数和 约束条件的一般原则。
第一节 应用技巧
• 一、机械优化设计的一般过程 • 机械优化设计的全过程一般可分为如下几个步骤: • 1)建立优化设计的数学模型。 • 2)选择适当的优化方法。 • 3)编写计算机程序。 • 4)准备必要的初始数据并上机计算。 • 5)对计算机求得的结果进行必要的分析。 • 其中建立优化设计数学模型是首要的和关键的一 步，它是取得正确结果的前提，下面将专门讨论 这个问题。
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第三节圆柱齿轮减速器的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
第四节 平面连杆机构的优化设计
3.约束条件的确定
• 在选取约束条件时应当特别注意避免出 现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束 必然导致可行域为一空集，使问题的解不 存在。另外应当尽量减少不必要的约束， 不必要的约束不仅增加优化设计的计算量， 而且可能使可行域缩小，影响优化结果。
三、数学模型的尺度变换
• 数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态， 使之易于求解的技巧。在多数情况下，数学模型 经过尺度变换后，可以加速优化设计的收敛，提 高计算过程的稳定性。下面分别对目标函数、设 计变量和约束函数的尺度变换作一简要介绍。 1.目标函数的尺度变换 • 在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使 函数性态恶化，此时不论采用哪一种优化方法， 其计算效率都不会高，而且会使计算很不稳定。 若对目标函数作尺度变换，则可大大地改善其性 态，加速优化计算的进程。
第四节 平面连杆机构的优化设计
• 本章结束
三、进一步的考虑
• 上述主轴优化设计中是把阶梯轴简化成当量直径的等截面 轴进行结构分析的，这只是一种近似分析方法，而其近似 程度往往不能令人满意。尤其是一些受力、形状和支承都 比较复杂的轴，不可能作出那样的简化，况且机床主轴的 设计还对其动力学性能提出一定的要求。 • 因此，将主轴简化后用材料力学公式进行分析的方法也不 能满足工程设计的需要。 • 图8-3所示的机床主轴为三支承系统，受有力和力矩的作 用。对其进行重量最轻结构优化设计，不仅对伸出端点的 挠度有要求，而且对主轴系统的第一阶自振频率也有要求。 对于这样复杂的系统，材料力学分析方法已显得无能为力 了。
• 对于一般的机械，可按重量最轻或体积最小的要 求建立目标函数;对应力集中现象尤其突出的构件， 则以应力集中系数最小作为追求的目标，对于精 密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立 目标函数。在机构设计中，当对所设计的机构的 运动规律有明确的要求时，可针对其运动学参数 建立目标函数;若对机构的动态特性有专门要求， 则应针对其动力学参数建立目标函数;而对于要求 再现运动轨迹的机构设计，则应根据机构的轨迹 误差最小的要求建立目标函数。
第二节 机床主轴结构优化设计
• 一、数学模型的建立 • 机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心 阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将 阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。下面以两支承 主轴为例说明其优化设计的全过程。 • 图8-2所示的是一个已经简化的机床主轴。在设计这 根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重; 一是主轴伸出端C点的挠度。对于普通机床，并不追求过 高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自 重最轻为目标，外伸端的挠度是约束条件。 • 当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。 即孔径d、外径D、跨距Z及外伸端长度a。由于机床主轴 内孔常用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定， 不能作为设计变量。故设计变量取为