2013年高考数学总复习 6-1 数列的概念但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 1-3 充分条件与必要条件但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 1-3 充分条件与必要条件但因为测试新人教B版1.(文)(2011·福建文，3)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)(2011·大纲全国文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[答案] A[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b∴a>b＋1是a>b的充分条件又∵a>b⇒a－b>0⇒／a>b＋1∴a>b＋1不是a>b的必要条件∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．[点评]如a＝2＝b，满足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2时，a2>b2，但a>b不成立；a>b⇔a3>b3.故B、C、D选项都不对．2．(2011·湖南湘西州联考)已知条件p：a<0，条件q：a2>a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由a2>a得，a<0或a>1.所以q是p成立的必要不充分条件，其逆否命题綈p也是綈q的必要不充分条件3．(文)(2011·聊城模拟)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]k＝1时，圆心O(0,0)到直线距离d＝12<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线距离d＝|k|2<1，∴－2<k<2，故选A.(理)(2011·通化模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是() A．－3<m<1 B．－4<m<2C．0<m<1 D．m<1[答案] C[解析] 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0，即2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m －2)2－4×2(m 2－1)>0，解得－3<m <1，只有C 选项符合要求．[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m <1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集． 4．(文)(2011·太原模考)“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.(理)(2011·沈阳二中月考)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θcos θ＝－2sin θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.5．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是3m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1.∴“m ＝－1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件．6．(文)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2011·海南五校联考)下列说法错误．．的是( ) A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 [答案] A[解析] ∵sin θ＝12⇒θ＝k ·360°＋30°，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，∴“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．故选A.7．(2010·江苏省南通市调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.[答案] －23[解析] x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔ 1·m ＋(m ＋1)·2＝0， 得m ＝－23.8．给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． ②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是{a n }为递增数列的充分不必要条件．③已知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件． ④“m >n ”是“(23)m <(23)n ”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ①②[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y 21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题； ④∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当m >n 时，⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，反之，当(23)m <⎝⎛⎭⎫23n 时，有m >n ，因此m >n ⇔⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，故④是假命题．9．(2011·济南三模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r的取值范围是________．[答案] (0，125][解析] 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r ≤125. 10．(2010·浙江温州十校联考)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1<5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.11.(文)(2011·湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝3.故是充分不必要条件． [点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于－1,1，2，－2}，∴应选A.(理)(2011·杭州二检)已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B. 12．(文)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，a ⊥α，b ⊥β，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bb ⊥β，∴a ∥β或a ⊂β，∵a ⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a ⊥b ，故选C.(理)(2011·山东济宁一模)已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6[答案] D[解析] 由x －1x≤0，得0<x ≤1；∵p 是q 的充分条件，设A ＝(0,1]，B 是不等式4x ＋2x －m ≤0的解集，则A ⊆B ， ∴当x ∈A 时，不等式4x ＋2x －m ≤0恒成立， 由4x ＋2x －m ≤0得，m ≥4x ＋2x ＝(2x ＋12)2－14，因为0<x ≤1，所以m ≥(2＋12)2－14＝6，即m ≥6.13．(文)(2011·福建质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 注意到z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．当a >12时，有a ＋2>0,1－2a <0，故点M 在第四象限；反过来，当点M 在第四象限时，有a ＋2>0且1－2a <0，由此解得a >12.所以“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件，故选C.(理)(2011·宁夏三市联考)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.14．(文)(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.(理)(2011·黑龙江铁岭六校第二次联考)命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}，命题Q ：在△ABC 中，A >B 是cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真[答案] A[解析] 由lg[x (1－x )＋1]>0，得x (1－x )＋1>1， 解得0<x <1，即命题p 正确； 由cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)得，1＋A ＋π22<1＋B ＋π22，化简得sin A >sin B .因为A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，即命题q 不正确．15．(2011·日照模拟)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)a ＝1时，p ：x 2－4x ＋3<0，即p ：1<x <3，q ：⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3x <－4或x >2，即q ：2<x ≤3， 由p ∧q 为真知，2<x <3.(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0， 若a <0，则3a <x <a ，不合题意； 若a >0，则a <x <3a ，由题意知，a,3a )，∴⎩⎨⎧a ≤23a >3，∴1<a ≤2.*16.(2011·蚌埠质检)设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围； (2)证明：当x >0时，1＋ln x x≤1.[解析] (1)显然函数定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝1x －p ＝1－px x.当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p ∈(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：↗↘从上表可以看出：当p >0时，有唯一的极大值点x ＝1p.当p >0时在x ＝1p 处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ，此极大值也是最大值， 要使f (x )≤0恒成立，只需f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ≤0，即p ≥1. ∴p 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1.由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取最大值，即f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. 故当x >0时，1＋ln xx≤1.1．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.2．(2010·山东聊城模拟)设不等式|2x －a |<2的解集为M ，则“0≤a ≤4”是“1∈M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 解绝对值不等式可得M ＝⎝⎛⎭⎫a －22，a ＋22，故0≤a ≤4时，不一定推出1∈M ，反之若1∈M ，则有⎩⎨⎧a －22<1a ＋22>1⇒0<a <4，故“0≤a ≤4”是“1∈M ”的必要但不充分条件．3．(2010·上海十三校联考)“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1－xx，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．4．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )[答案] C[解析] 直线x ＋y ＝0与直线x －a y ＝0垂直⇔1×1＋1×(－a )＝0⇔a ＝1. 5．(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4.6．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，所以可以推得A ∩B ＝{4}，反之，如果“A ∩B ＝{4}”可以推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．7．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， 又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0 故f (x )在点x 0处切线斜率为0 ∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值 ∴f (x )≥f (x 0)恒成立 故C 选项为假命题，选C. [点评] 可以用作差法比较．8．(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx ＋cx ，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx －x ，易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.9．(2011·山东济南一中阶段考试)给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”； ③“若x ∈R ，则x 2＋1≥1”的逆否命题是真命题； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件． 其中假命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] D[解析] 若“p 且q ”为假命题，则p 和q 中至少有一个为假命题，故①错；根据否命题的定义，易知②正确；因为原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故③正确；在△ABC 中，因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理asin A ＝bsin B，知sin A >sin B ，反之亦成立，故④正确．。
《走向高考》2013高三数学(北师大版)一轮总复习 教师备课平台6 35
q>) ．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究， 1 用运动变化的观点来研究， 例如数列中求某项的范围问题， 某 个字母的范围问题、 最值问题等就可以利用函数思想， 转化成
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求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已 知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建 立方程或方程组来解决问题． 但需注意数列看作函数时的定义 域与一般函数定义域的区别．
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2．涉及等比数列前 n 项和问题时，有时需要对公比 q 进 行讨论：q＝1 或 q≠1.
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[例 4] 1,2，…)．
设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn>( n＝ 0
() 求 q 的取值范围； 1 3 () 设 bn＝an＋2－ an＋1，记{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较 2 2 Sn 和 Tn 的大小．
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[分析] 义证明．
() 根据已知 an 与 bn 的 系 利 等 数 的 1 关式用差列定
() 利用() 的 论数 2 1 结 ，列
{bn}是 差 列确 其 项 式 等 数 ，定 通 公 ，
根据已知 an 与 bn 的 系 解 关求． () 利用() 的 论 即 出 3 2 结，求的 调性求解即可． an 的表达式，利用函数的单
1 ∴当－1<q<－ 或 q>2 时，Tn>Sn； 2 1 当－2<q<2 且 q≠0 时，Tn<Sn； 1 当 q＝－2或 q＝2 时，Tn＝Sn.
【新人教】高考数学总复习专题训练数列、极限和数学归纳法
数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S23tan(1)tan tan(3)tan3(1)tan1tan1n k k k n n +=+-+-=-=-∑安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15（7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+==+= ，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A. 北京理11.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++= ________.【解析】112a =，442a q =-⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=- 。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·某某二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案]C[解析]2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·某某新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案]C[解析]因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案]C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案]D[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案]B[解析]设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·某某省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案]B [解析]由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x [答案]D[解析]对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029B.20144029 C.40174029D.40184029 [答案]B[解析]依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案]20[解析]依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案]110[解析]由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案]75[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析]∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·某某某某中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案]3,4,2,1或3,4,1,2[解析]由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析](1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3 [答案]A[解析]由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6， 由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根， 解之得m ＝0，或m ＝－45， 则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·某某六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案]C[解析]由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9， 等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·某某市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案]A[解析]由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案]B[解析]设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案]A[解析]S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案]4[解析]由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析](1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1， 两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析](1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·某某适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设＝b n ·2n ，求数列{}的前n 项和S n .[解析](1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·某某调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a 2n 2n }的前n 项和S n . [解析](1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ， 于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， 所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大． 备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案]D[解析]∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6. 2．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案]B[解析]因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6， 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案]D[解析]由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若＝b n a n，求数列{}的前n 项和T n . [解析](1)由题意S n ＝2－a n ，①当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1； 由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9， 所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1. (2)＝b n a n＝(2n －1)·2n －1， T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析](1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c， 因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。
2013高考数学第一轮基础复习课后作业 1-3 充分条件与必要条件 新人教B版
1-3 充分条件与必要条件[答案] A[解析] a ＝1成立，则|a |＝1成立．但|a |＝1成立时a ＝1不一定成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分不必要条件．[答案] A[解析] ∵a >b ＋1⇒a －b >1⇒a －b >0⇒a >b ∴a >b ＋1是a >b 的充分条件 又∵a >b ⇒a －b >0⇒／ a >b ＋1 ∴a >b ＋1不是a >b 的必要条件∴a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件．[点评] 如a ＝2＝b ，满足a >b －1，但a >b 不成立；又a ＝－3，b ＝－2时，a 2>b 2，但a >b 不成立；a >b ⇔a 3>b 3.故B 、C 、D 选项都不对．[答案] B[解析] 由a 2>a 得，a <0或a >1.所以q 是p 成立的必要不充分条件，其逆否命题綈p 也是綈q 的必要不充分条件 3．(文)(2011²聊城模拟)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] k ＝1时，圆心O (0,0)到直线距离d ＝12<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线距离d ＝|k |2<1，∴－2<k <2，故选A.(理)(2011²通化模拟)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0，即2x 2＋(2m －2)x＋m 2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m －2)2－4³2(m 2－1)>0，解得－3<m <1，只有C 选项符合要求．[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m <1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集．[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.(理)(2011²沈阳二中月考)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解，∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，∴sin θcos θ＝－2sin θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3 A ，故选A.5．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是3m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1.∴“m ＝－1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件．6．(文)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列， a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2011²海南五校联考)下列说法错误．．的是( ) A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 [答案] A[解析] ∵sin θ＝12⇒θ＝k ²360°＋30°，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，∴“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．故选A. 7．(2010²江苏省南通市调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.[答案] －23[解析] x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔ 1²m ＋(m ＋1)²2＝0， 得m ＝－23.8．给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． ②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是{a n }为递增数列的充分不必要条件． ③已知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．④“m >n ”是“(23)m <(23)n”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．[答案] ①②[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m＋y 21n＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ²b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题；④∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，∴当m >n 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23m <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，反之，当(23)m <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 时，有m >n ，因此m >n⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫23m <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，故④是假命题． 9．(2011²济南三模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p是q 的充分不必要条件，则r 的取值范围是________．[答案] (0，125][解析] 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4³0＋3³0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r ≤125.[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1<5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.11.(文)(2011²湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝3.故是充分不必要条件． [点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于{1} {－1,1，2，－2}，∴应选A.(理)(2011²杭州二检)已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B.12．(文)(2011²浙江五校联考)已知不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，a ⊥α，b ⊥β，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bb ⊥β，∴a ∥β或a ⊂β，∵a ⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a ⊥b ，故选C.(理)(2011²山东济宁一模)已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6 [答案] D [解析] 由x －1x≤0，得0<x ≤1； ∵p 是q 的充分条件，设A ＝(0,1]，B 是不等式4x＋2x－m ≤0的解集，则A ⊆B ， ∴当x ∈A 时，不等式4x ＋2x－m ≤0恒成立， 由4x ＋2x －m ≤0得，m ≥4x ＋2x ＝(2x＋12)2－14，因为0<x ≤1，所以m ≥(2＋12)2－14＝6，即m ≥6.13．(文)(2011²福建质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 注意到z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．当a >12时，有a ＋2>0,1－2a <0，故点M 在第四象限；反过来，当点M 在第四象限时，有a ＋2>0且1－2a <0，由此解得a >12.所以“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件，故选C.(理)(2011²宁夏三市联考)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.14．(文)(2011²广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.(理)(2011²黑龙江铁岭六校第二次联考)命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}，命题Q ：在△ABC 中，A >B 是cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真 [答案] A[解析] 由lg[x (1－x )＋1]>0，得x (1－x )＋1>1， 解得0<x <1，即命题p 正确； 由cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)得，1＋cos A ＋π22<1＋cos B ＋π22，化简得sin A >sin B .因为A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，即命题q 不正确．15．(2011²日照模拟)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)a ＝1时，p ：x 2－4x ＋3<0，即p ：1<x <3，q ：⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3x <－4或x >2，即q ：2<x ≤3，由p ∧q 为真知，2<x <3.(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0， 若a <0，则3a <x <a ，不合题意； 若a >0，则a <x <3a ，由题意知，(2,3] (a,3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a >3，∴1<a ≤2.*16.(2011²蚌埠质检)设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围； (2)证明：当x >0时，1＋ln xx≤1.[解析] (1)显然函数定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝1x －p ＝1－px x.当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p∈(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可以看出：当p >0时，有唯一的极大值点x ＝p.当p >0时在x ＝1p处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＝ln 1p，此极大值也是最大值，要使f (x )≤0恒成立，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＝ln 1p≤0，即p ≥1.∴p 的取值范围为[1，＋∞)． (2)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1.由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取最大值，即f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. 故当x >0时，1＋ln xx≤1.1．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.2．(2010²山东聊城模拟)设不等式|2x －a |<2的解集为M ，则“0≤a ≤4”是“1∈M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 解绝对值不等式可得M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，故0≤a ≤4时，不一定推出1∈M ，反之若1∈M ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －22<1a ＋22>1⇒0<a <4，故“0≤a ≤4”是“1∈M ”的必要但不充分条件．3．(2010²上海十三校联考)“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ≥11－x x <1，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．4．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直⇔1³1＋1³(－a )＝0⇔a ＝1. 5．(2010²北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4.6．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，所以可以推得A ∩B ＝{4}，反之，如果“A ∩B ＝{4}”可以推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．7．(2010²辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， 又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0 故f (x )在点x 0处切线斜率为0 ∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值 ∴f (x )≥f (x 0)恒成立 故C 选项为假命题，选C. [点评] 可以用作差法比较．8．(2011²成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1x ＋c x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )用心 爱心 专心 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x x ≥1x －1x <1，易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.9．(2011²山东济南一中阶段考试)给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”；③“若x ∈R ，则x 2＋1≥1”的逆否命题是真命题；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件．其中假命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] D[解析] 若“p 且q ”为假命题，则p 和q 中至少有一个为假命题，故①错；根据否命题的定义，易知②正确；因为原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故③正确；在△ABC 中，因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，知sin A >sin B ，反之亦成立，故④正确．。
高考数学一轮总复习 第五篇 第1节 数列的概念与简单表示法课时训练 文(含解析)新人教版
第1节数列的概念与简单表示法知识点、方法题号数列的概念与表示法3、5 由数列的前几项求数列的通项4、9递推公式的应用2、6、10a n与S n的关系1、11、14数列与函数7、8、12、13、15一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.2.(2013山师大附中高三模拟)数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4等于( A )(A)(B)(C)1 (D)解析:由a1=1,a n=+1得,a2=+1=2,a3=+1=+1=,a4=+1=+1=.故选A.3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )(A)1,,,,…(B)-1,-2,-3,-4,…(C)-1,-,-,-,…(D)1,,,…,解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故满足要求的是选项C.故选C.4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )(A)a n=n2-n+1 (B)a n=(C)a n=(D)a n=解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…∴a n=1+2+3+4+…+n=,故选C.5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )(A)①②④⑤ (B)①④⑤(C)①③④(D)②⑤解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.6.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=(n∈N*),则a20等于( B )(A)0 (B)-(C)(D)解析:利用a1=0和递推公式可求得a2=-,a3=,a4=0,a5=-,以此类推,数列{a n}的项周期性出现,其周期为3.所以a20=a6×3+2=a2=-.故选B.7.(2013太原一模)已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( C )(A),3(B),3(C)(2,3) (D)(1,3)解析:由题意,a n=f(n)=要使{a n}是递增数列,必有解得,2<a<3.故选C.8.对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),依照下表则a2015=( D )x 1 2 3 4 5f(x) 5 4 3 1 2(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.二、填空题9.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为a n=.答案:a n=10.(2013广西一模)数列{a n}中,已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N*),则a7= .解析:由a n+1=a n+a n+2,得a n+2=a n+1-a n.所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1. 答案:111.(2013青岛模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a25= .解析:∵S n=n2+2n-1,∴a1=S1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∴a n=∴a1+a25=2+51=53.答案:5312.已知数列{a n}的通项a n=n2(7-n)(n∈N*),则a n的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f'(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0<x<时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)ma x=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以a n的最大值为50.答案:50三、解答题13.数列{a n}的通项公式是a n=n2-7n+6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.(2)是.令a n=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令a n=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.14.(2013合肥模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且4S n=a n+1(n∈N*).(1)求a1,a2.(2)设b n=log3|a n|,求数列{b n}的通项公式.解:(1)由已知4S1=a1+1,即4a1=a1+1,∴a1=.又∵4S2=a2+1,即4(a1+a2)=a2+1,∴a2=-.(2)当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n+1)-(a n-1+1),即3a n=-a n-1,由题意知数列各项不为零.∴=-对n≥2恒成立,∴{a n}是首项为,公比为-的等比数列,∴a n=-n-1=(-1)n-13-n,∴log3|a n|=log33-n=-n,即b n=-n.15.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由. 解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.∴当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.。
高考数学总复习 10-7 二项式定理(理)但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 10-7 二项式定理(理)但因为测试 新人教B 版1.(2011·三门峡模拟)若二项式(x －2x )n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15[答案] C[解析] ∵T 5＝C 4n (x )n －4·(－2x )4＝24·C 4nx n －122 是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12. 2．(2011·北京模拟)(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] T r ＋1＝C r n(x 2)n －r·(－1x)r ＝(－1)r ·C r n x2n－3r，令2n －3r ＝0得，r ＝2n3，∴n 能被3整除，结合选项，当n ＝3时，r ＝2，此时常数项为(－1)2·C 23＝3，不合题意，当n ＝6时，r ＝4，常数项为(－1)4C 46＝15，∴选D.3．(2011·烟台月考)如果(3x －13x 2)n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21[答案] C[解析] ∵2n ＝128，∴n ＝7，∴T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·(－13x 2)r＝(－1)r ·37－r ·C r 7·x 7－5r 3 ，令7－5r 3＝－3得r ＝6， ∴1x3的系数为(－1)6·3·C 67＝21. 4．(2011·重庆理，4)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] B[解析] 展开式通项：T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r由题意：35C 5n ＝36C 6n 即C 5n ＝3C 6n ，∴n ！5！n －！＝3·n ！6！n －！∴1n －5＝36∴n ＝7.选B.5．(2011·银川模拟)在(x 2－13x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28[答案] B[解析] 由条件知n ＝8，∴T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－13x )r ＝(－1)r ·2r －8·C r 8·x 8－4r 3 令8－4r3＝0得，r ＝6，∴展开式的常数项为(－1)6·26－8·C 68＝7.6．(2011·河北石家庄一模)多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45[答案] B[解析] x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋C 110(x －1)＋C 210(x －1)2＋…＋C 1010(x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.7．(2011·广东理，10)x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x 4的系数，即(x －2x )7展开式中x 3的系数，T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·(－2x)r＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r，令7－2r ＝3得，r ＝2， ∴所求系数为(－2)2C 27＝84.8．(2011·广东六校联考)若(x －a )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，且a 5＝56，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝________.[答案] 256[解析] (x －a )8的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·(－a )r ＝(－1)r C r 8·a r ·x 8－r ， 令8－r ＝5，则r ＝3，于是a 5＝(－1)3C 38·a 3＝56，解得a ＝－1，即(x ＋1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28＝256.9．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中，x 3的系数为52，则二项式系数最大的项为________． [答案] 52x 3[解析] ∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫1ax r ＝C r 6a －r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴C 36a －3＝52，解得a ＝2. 故二项式系数最大的项为T 4＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3. 10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3.11.已知xy <0，且x ＋y ＝1，而(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，15 B.⎣⎡⎭⎫45，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－45 [答案] B[解析] 由题设条件知，C 19x 8y ≤C 29x 7y 2，∵xy <0，∴x ≥4y ，∵x ＋y ＝1，∴x ≥4(1－x )，∴x ≥45.12．(2011·新课标全国理，8)(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40[答案] D[解析] 因(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数和为2，即令x ＝1时，(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∵(2x －1x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r ，当5－2r ＝－1或1时r ＝3或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(－1)3·25－3·C 35＋(－1)2·25－2·C 25＝40.13．(2011·安徽宣城模拟)在(x －2)5(2＋y )4的展开式中x 3y 2的系数为________． [答案] 480[解析] (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x5－r(－2)r ， 令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数C 25(－2)2＝40； (2＋y )4的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4(2)4－r y r ， 令r ＝2得y 2的系数C 24(2)2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.14．在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． [答案] －15[解析] 从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.15．(2011·安徽理，12)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. [答案] 0[解析] a 10＝C 1021(－1)11＝－C 1021，a 11＝C 1121(－1)10＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1121－C 1021＝C 1021－C 1021＝0.16．已知数列{a n }满足a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)，是否存在等差数列{b n }，使a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C nn 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．[解析] 假设等差数列{b n }使等式n ·2n －1＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C nn 对一切正整数n成立，当n ＝1时，得1＝b 1C 11，∴b 1＝1，当n ＝2时，得4＝b 1C 12＋b 2C 22，∴b 2＝2，当n ＝3时，得12＝b 1C 13＋b 2C 23＋b 3C 33，∴b 3＝3，可猜想b n ＝n 时，n ·2n －1＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn .∵k C k n＝k ·n ！k ！n －k ！ ＝n ·n －！k －！n －k ！＝n C k －1n －1. ∴C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1.故存在等差数列{b n }(b n ＝n )，使已知等式对一切n ∈N *成立．1．(2010·浙江嘉兴质检)若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 1的值为( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10[答案] A[解析] 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中x －1的系数为C 4524＝80.2．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x －1x )n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( )A ．－5B ．5C ．－405D ．405[答案] C[解析] 令x ＝1得2n ＝32，所以n ＝5， 于是(3x －1x)5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5(3x )5－r (1x)r ＝(－1)r C r 535－r x 5－2r， 令5－2r ＝3，得r ＝1， 于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)1C 1534＝－405，故选C.3．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 依题意，令x ＋2＝1，等式右边为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11.把x ＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.4．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案] 5[解析] 法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3. ∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1，故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.5．(2010·重庆中学)已知⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 6展开式中x 6项的系数为60，其中a 是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．[答案] 1[解析] ⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 6展开式中的第r ＋1项 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 6x 12－3r， 令12－3r ＝6得，r ＝2，∴a 2C 26＝60，∴a 2＝4.∵a <0，∴a ＝－2，令x ＝1得展开式各项系数之和为⎝⎛⎭⎫1＋－216＝1.6．(2010·聊城市模拟)将⎝⎛⎭⎫1－1x 2n (n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝________.[答案]20091005[解析] 第r ＋1项T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫－1x 2r＝(－1)r C r n x－2r，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)2C 2n ＝nn －2， ∴1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝21×2＋22×3＋…＋22009×2010＝2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12009－12010 ＝2×⎝⎛⎭⎫1－12010＝20091005.。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06 数列)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1．(2013安徽文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 【解析】188333636978()442226a a S a a a a a a d a a d +=⇒=⇒+=∴==-=+=-【考点定位】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.2．(2013福建理) 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=⋅⋅⋅∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m qB ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m qC ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,2222222,m m m mm m m a a a a aa ++++=⋅=⋅112...m c a a a =⋅⋅⋅,212...,m m m m c a a a +++=⋅⋅⋅321222...,m m m m c a a a +++=⋅⋅⋅2213c c c ∴=⋅∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q 故选C3．(2013江西理) 等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.4．(2013辽宁文、理)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn}递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确． 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4.【解析2】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确5．(2013全国大纲文、理) 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.6．(2013全国新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.7．(2013全国新课标Ⅰ文) 设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－q ·a n1－q＝1－23a n 13＝3－2a n .故选D.8、(2013全国新课标Ⅰ理) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.9、(2013全国新课标Ⅰ理)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【命题意图】 【解析】B二、填空题：10．(2013安徽理)如图，互不-相同的点12,,,n A A X K K 和12,,,n B B B K K 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。
【新教材精创】5.1.1 数列的概念 教学设计- (人教B版 选择性必修第三册)
5.1.1 数列的概念本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习数列的概念与表示“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。
数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。
数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。
学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.课程目标学科素养A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.B.掌握数列的分类.C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类2.逻辑推理：求数列的通项公式3.数学运算：运用数列通项公式求特定项4.数学建模：数列的概念重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征多媒体四、小结五、课时练学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.。
新教材人教b版选择性必修第三册511数列的概念课件6
探究点一 数列的概念
B
C
36
解题感悟 理解数列的概念的注意事项 （1）数列的首项是数列各项的“排头兵”，验证数列的首项至关重要； （2）通常地，数列的项具有规律性，确定数列的项与序号之间的对应关系 是重点也是难点，后一项与前一项的关系是确定数列的项的规律的关键.
探究点二 数列的通项公式
A. 505
B. 673
C. 674
D. 676
7 5
11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生
过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数
学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，
（1） 求这个数列的第10项；
C C
A D
ABC B
7. 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利
著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的
特点是从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2 021项中，
偶数的个数为( B )
第五章 数列
数列基础
数列的概念
课标要求
素养要求
课
１.数学抽象——能通过实
标 １.通过日常生活和数学中的实例，了解数列 例领会数列的概念；
解 的概念和表示方法(列表法、图像法、通项公 ２.逻辑推理——能根据标
读 式法)；
准对数列进行分类；
２.了解数列是一种特殊的函数.
３.数学运算——会求简单
数列的通项公式
要点一 数列 1.数列的概念： 按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的① 每__一__个__数____都称为这个数 列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或②_首__项___），第2项…….组成 数列的数的个数称为数列的项数. 2.数列的分类：一般地，项数有限的数列称为③__有__穷__数列，项数无限 的数列称为④_无__穷___数列.有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的⑤ __末__项__.
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数学题_数学网 http://www.qzwh.com 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 2013年高考数学总复习 6-1 数列的概念但因为测试 新人教B版
1.(2011·沈阳六校模考、广东深圳一检)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝( )
A.n[－1n－1]2 B.－1n－1＋12
C.－1n＋12 D.－1n－12 [答案] D [解析] 因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝－1－－1n×－1
1－－1
＝－1n－12，选D. [点评] 直接检验，S1＝－1，排除B，C；S3＝－1，排除A，故选D. 2．(文)(2011·许昌月考)已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 [答案] A
[解析] an＝23－2an＋3，∵n∈N*， ∴an随n的增大而增大，故选A. [点评] 上面解答过程利用了反比例函数y＝－1x的单调性，也可以直接验证an＋1－an>0. (理)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对任意n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( ) A．k>0 B．k>－1 C．k>－2 D．k>－3 [答案] D [解析] 由an＋1>an知道数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋2，可以看
作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2<32，即得k>－3，故选D. 3．(文)(2011·惠州二模，天津南开中学月考)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第60个数对是( ) A．(5,5) B．(5,6) 数学题_数学网 http://www.qzwh.com 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 C．(5,7) D．(5,8) [答案] C [解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，(1,11)为第56项，因此第60项为(5,7)． (理)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( ) A．34950 B．35000 C．35010 D．35050 [答案] A [解析] 由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差
为1的等差数列，前99组数的个数共有1＋99992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A. 4．(2011·太原模拟)已知正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则a9＝( ) A．256 B．512 C．1024 D．502 [答案] B [解析] 依题意得a2＝a1·a1＝4，a1＝2(a1＝－2舍去)，a4＝a2·a2＝16，a8＝a4·a4＝16×16＝256，a9＝a1·a8＝2×256＝512，故选B.
5．(2011·三亚联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n等于( ) A．83 B．82 C．81 D．80 [答案] C
[解析] ∵an＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)， ∵Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4，解得n>34－1＝80. 6．(文)在数列{an}中，已知an＋1＋an－1＝2an(n∈N＋，n≥2)，若平面上的三个不共线的向
量OA→、OB→、OC→，满足OC→＝a1005OA→＋a1006OB→，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S2010等于( ) A．1005 B．1006 C．2010 D．2011 数学题_数学网 http://www.qzwh.com 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 [答案] A [解析] 由条件知{an}成等差数列， ∵A、B、C共线，∴a1005＋a1006＝1，
∴S2010＝2010a1＋a20102＝1005(a1005＋a1006)＝1005. (理)(2011·太原模考)设数列{an}满足a1＋2a2＝3，且对任意的n∈N*，点列{Pn(n，an)}恒满足PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn为( )
A．n(n－ 43) B．n(n－34)
C．n(n－ 23) D．n(n－12) [答案] A [解析] 设Pn＋1(n＋1，an＋1)，则PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以数
列{an}是以2为公差的等差数列．又a1＋2a2＝3，所以a1＝－13，所以Sn＝n(n－43)，选A.
7．(2011·合肥三检)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a16＝________. [答案] 12 [解析] 由题可知a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列， ∴a16＝a3×5＋1＝a1＝12. 8．(文)(2011·吉林部分中学质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
[答案] an＝ －1，n＝12n－1，n≥2
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝ －1，n＝12n－1，n≥2. (理)(2011·湖南湘西联考)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________. [答案] n2＋n(n∈N*) [解析] 由x2－x<2nx(n∈N*)得0
9．(文)(2010·河东区模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，对于所有n∈N*，Sn＝a13n－12，且a4＝54，则a1＝______. [答案] 2 数学题_数学网 http://www.qzwh.com 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 [解析] a4＝S4－S3＝40a1－13a1＝27a1＝54， ∴a1＝2. (理)(2010·山东济宁模拟)已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2011项之和S2011等于________． [答案] 2008 [解析] 由题意an＋1＋an－1＝an(n≥2)，an＋an＋2＝an＋1，两式相加得an＋2＝－an－1， ∴an＋3＝－an，∴an＋6＝an， 即{an}是以6为周期的数列． ∵2011＝335×6＋1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0， ∴a1＋a2＋…＋a2011＝335×0＋a1＝2008. 10．(文)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1. [解析] (1)由已知得 2Sn＝3an－32Sn－1＝3an－1－3(n≥2)． 故2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，故an＝3an－1(n≥2)． 故数列{an}为等比数列，且公比q＝3. 又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.
(2)证明：bn＝1nn＋1＝1n－1n＋1. ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1 ＝1－1n＋1<1. (理)(2011·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性． [解析] (1)Sn＝n2＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)， 当n＝1时，a1＝S1＝2， 数学题_数学网 http://www.qzwh.com 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载 ∵bn＝2an＋1，∴b1＝2a1＋1＝23， n≥2时，bn＝22n－1＋1＝1n，
∴bn＝ 23 n＝11n n≥2. (2)由题设知，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，T2n＋1＝b1＋b2＋…＋b2n＋1， ∴cn＝T2n＋1－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1， ∴cn＋1－cn＝(bn＋2＋bn＋3＋…＋b2n＋3)－(bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1)＝b2n＋2＋b2n＋3－bn＋1＝12n＋2＋12n＋3－1n＋1<12n＋2＋12n＋2－1n＋1＝0，
∴cn＋1
11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)( )
A．4n B．4n＋1 C．4n－3 D．4n＋8 [答案] D [解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D. (理)(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是( )