江苏省南京市2010届高三综合训练4(数学)

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江苏省2010届高三高考信息试卷

第6题绝密★启用前江苏省2010届高三高考信息试卷（内容资料）数学 2010年5月全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：1.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．，， (n x x ++-一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知1222,}x x Z +<<∈,则M N = ．2．sin θ（=θtan ．3“至少一次正面向上”的概率为．4．函数y ()OA OB AB +⋅= ．513y x =±，则这条双曲线的方程是．6．第1页共4页7．如果二次方程 x 2-px-q=0（p,q ∈N*）的正根小于3, 那么这样的二次方程有___________个8．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为．9．若数列}{n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列}{n a 为等比和数列，k 称为公比和．已知数列}{n a 是以3为公比和的等比和数列，其中2,121==a a ，则=2009a ．10．动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b w a +-=-的取值范围是．11．已知114sin cos 3a a +=，则a 2sin = ． 12．已知0>a ，设函数120092007()sin ([,])20091x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M ．13．奇函数y=f(x)的定义域为R ，当x ≥0时，f(x)=2x-x 2，设函y=f(x),x ∈[a,b]的值域为1,1[ab则b 的最小值为_ ____14．点P 到点A （21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－21的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤． 15．（本小题满分14分）某中学为增强学生环保意识，举行了“环抱知识竞赛”，共有900名学生参加这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：（Ⅰ）求①、②、③处的数值；（Ⅱ）成绩在[70,90)分的学生约为多少人？（Ⅲ）估计总体平均数；高三数学试卷第2页共4页C16．（本小题满分14分）已知向量()sin ,cos sin a x x x =+, ()2cos ,cos sin b x x x =-，x R ∈，设函数()f x a b =⋅ （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值及相应的自变量x 的取值集合；（II ）当)8,0(0π∈x 且524)(0=x f 时，求)3(0π+x f 的值17．（本小题满分15分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --．18．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.高三数学试卷第3页共4页19．（本小题满分16分）对于数列},{n a（1）已知}{n a 是一个公差不为零的等差数列，a 5=6。

江苏苏北四2010届高三上学期期末联考数学

江苏省苏北四市2010届高三上学期期末联考（数学）注意事项:1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}20B x x x =-≤，则A B = ▲ ．2．复数(1i )(12i )z =++（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3．运行如图的算法，则输出的结果是 ▲ ．4．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96，106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是 ▲ ．5．已知函数21()log ,,22f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，若在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上随机取一点0x ，则使得0()0f x ≥的概率为 ▲ ．6．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为3π，若向量||||=+a b p a b ，则=p ▲ ． 7．已知曲线()sin 1f x x x =+在点(,1)2π处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a = ▲ ．8．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，第4题图x ←0 While x <20 x ← x +1 x ← x 2 End While Print x第3题图则实数a 的值是 ▲ ．9．已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ=+>，若()()62f f ππ=，且()f x 在区间(,)62ππ内有最大值，无最小值，则=ω ▲ ．10．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是▲ ． 11．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2010a = ▲ ．12．已知函数[]2()2f x x x x a b =-∈，，的值域为[]13-，，则b a -的取值范围是 ▲ ．13．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t = ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题卡指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin 3cos a AB =，（1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．16．如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1AC 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．17．已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和．（1）若4S ，10S ，7S 成等差数列，证明1a ，7a ，4a 也成等差数列；（2）设332S =，62116S =，2n n b a n λ=-，若数列}{n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．18．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ＡＢＣＥＦ图①ＢＣＥＦＭ 1A图②19．在矩形ABCD 中，已知6AD =，2AB =，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以F 、E 为焦点，DC 和AB 所在直线为准线的椭圆的方程；（2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，求实数b 的取值范围．20．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数()3()0f x ax bx a =+>图象上．（1）若正方形的一个顶点为(2,1)，求a ，b 的值，并求出此时函数的单调增区间；（2）若正方形ABCD 唯一确定，试求出b 的值．数学附加题（考试时间30分钟，试卷满分40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．第21（A ）题B ．选修4－2：矩阵与变换已知圆22:1C x y +=在矩阵A =00a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0,0)a b >>对应的变换下变为椭圆1422=+y x ，求,a b 的值．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为π2)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 所截得的弦长．D ．选修4－5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．22．【必做题】如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，1AF =．（1）求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；（2）在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60，试确定点P 的位置．BEFDC 第22题图23．【必做题】已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n =-，*n ∈N ．（1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系；（2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.{}0,1；2.1-；3.25；4.60；5.23；3； 7.1-； 8.1；9.12；10.512；11. 4； 12.[2,4]；13.(211，）； 14. 1.二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分.15．（1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin a bA B =， ……………2分又因为sin 3cos a AB =，所以sin 3cos B B =， ……………4分所以tan B =又因为0πB << , 所以π3B =． ……………6分（2）在△ABC 中，πB C A +=-，所以cos()cos B C A A A +=-=π2sin()6A - ， ……… 10分由题意，得π3≤A ＜2π3 , π6≤π6A -＜π2，所以sin(π6A -)1[,1)2∈，即 2sin (π6A -)[1,2)∈，所以A C B sin 3)cos(++的取值范围[1,2)． ………………14分 16.（1）取1A B 中点N ，连接,NE NM ，则MN 12BC ,EF 12BC ,所以MN FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ，……4分又因为11,FM A EB EN A EB ⊄⊂平面平面，所以直线//FM 平面1A EB ． ……………………………………………7分（2）因为E ，F 分别AB 和AC 的中点，所以1A F FC =，所以1FM AC ⊥…9分同理，1EN A B ⊥,由（1）知，FM ∥EN ，所以1FM A B ⊥又因为111AC A B A =, 所以1FM A BC ⊥平面, ……………………………12分又因为1FM A FC ⊂平面所以平面1A FC ⊥平面1A BC ． ………………………………………14分17.（1）设数列}{n a 的公比为q ，因为4S ，10S ，7S 成等差数列，所以1q ≠，且74102S S S +=．所以()()()q q a q q a q q a --+--=--11111127141101，因为0q ≠，所以6321q q =+． …………………………………………4分所以361112a a q a q +=，即1472a a a +=． ∥ ＝ ∥＝∥ ＝Ｂ 1AＣＥＦＭＮ所以174,,a a a 也成等差数列． ………………………………………………6分（2）因为332S =，62116S =，所以()231131=--qq a ，……………………① ()16211161=--q q a ，……………………②由②÷①，得3718q +=，所以21-=q ，代入①，得21=a ．所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=n n a ， ………………………………………………………8分又因为2n a b n n-=λ，所以21212n b n n -⎪⎭⎫⎝⎛-=-λ，由题意可知对任意*n ∈N ，数列}{n b 单调递减，所以n n b b <+1，即()<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212n n λ21212n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛--λ，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立， ………………………………10分当n 是奇数时，(21)26n n λ+>-，当1n =时，(21)26nn +-取得最大值－１，所以1λ>-； ………………………………………………………………12分当n 是偶数时，(21)26n n λ+<，当2n =时，(21)26nn +取得最小值103，所以λ310<．综上可知，1013λ-<<，即实数λ的取值范围是10(1,)3-．…………14分18.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：1800002002y x x x =+-…………………………………………………4分200200≥=，当且仅当1800002x x =，即400x =时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．…………………8分（2）设该单位每月获利为S ,则100S x y =-…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+- 21(300)350002x =---因为400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．…………16分19．（1）由已知，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由于焦点E 的坐标为(1,0)，它对应的准线方程为 3x =，…………………2分所以1c =，23a c =，于是 23a =，22b =，所以所求的椭圆方程为: 22132x y +=． …………………………………4分(2) 由题意可知(3,0)A ，(3,2)B ，(3,2)C -，(1,0)F -．所以直线AC 和直线BF 的方程分别为:330x y +-=，210x y -+=，由330210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，解得3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以G 点的坐标为34(,)55．………………6分所以2EG k =-，12BF k =，因为1EG BF k k ⋅=-，所以EG BF ⊥，…………………………………………8分所以⊙H 的圆心为BE 中点(2,1)H，半径为BH =，所以⊙H 方程为22(2)(1)2x y -+-=.………………………………………10分 (3) 设M 点的坐标为00(,)x y ，则N 点的坐标为00(2,2)x y b -，因为点,M N 均在⊙H 上，所以22002200(2)(1)2,(22)(21)2,x y x y b ⎧-+-=⎪⎨-+--=⎪⎩①②，由②－①×4，得20084(1)290x b y b b +-++-=，所以点00(,)M x y 在直线284(1)290x b y b b +-++-=，………………12分又因为点00(,)M x y 在⊙H 上，所以圆心H （2，1）到直线284(1)290x b y b b +-++-=的距离 22164(1)2926416(1)b b b b +-++-≤+-，………………………………14分即22110482(1)b b -+≤+-（），整理，得42(1)12(1)280b b ----≤，即22[(1)2][(1)14]0b b -+--≤，所以114114b ≤≤b 的取值范围为[114,114]．………16分解法二：过H 作HK MN ⊥交MN 于K ，设H 到直线PM 的距离HK =d ，则2233PK MK MH d ==-，2222298188PH PK d MH d d +=-=-，又因为222(1)4PH PQ QH b =+=-+2188d -2(1)4b =-+22814(1)d b =--，因为20816d ≤≤，所以2014(1)16b ≤--≤，所以2(1)14b -≤，11b ≤≤解法三：因为PH PM M H ≤+，22PM M K M H =≤，所以3PH MH ≤=P HON MK xy Q所以PH ==2(1)14b -≤，11b ≤20. (1)因为一个顶点为(2,1)，所以必有另三个顶点(2,1)--，(1,2)-，(1,2)-，将(2,1)，(1,2)-代入3y ax bx =+，得65=a ，617-=b ． …………………4分所以3517()66f x x x =-．因为21()(1517)6f x x '=-，令()0f x '>，得1715x >1715x <- 所以函数()f x 单调增区间为17(,)15-∞-和17(,)15+∞．……………………6分（2）设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为(0)y kx k =≠，则对角线BD 所在的直线方程为1y x k =-．由3,,y kx y ax bx =⎧⎨=+⎩解得2k b x a -=，所以222222(1)(1)k bAO x y k x k a -=+=+=+⋅，同理，22221111[1()]b b k k k BO k a k a --++=+-⋅=-⋅，又因为22AO BO =，所以3210k k b b k -++=．……………………………10分即2211()0k b k k k +--=，即211()()20k b k k k ---+=．令1k t k -= 得220t bt -+=因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k -值唯一确定，所以关于t 的方程220t bt -+=有且只有一个实数根，又1k t k -=∈R ．所以280b ∆=-=，即b =±14分因为20k b x a -=>，0a >，所以b k <；又 10b k a -->，所以1b k <-，故0b <．因此22b =-反过来22b =-2t =-12k k -=-于是26k -+，126k ---=；或26k --=，126k -+-=于是正方形ABCD 唯一确定．……………………………………………………16分数学附加题参考答案与评分标准A 因为CD ＝AC ，所以∠D ＝∠CAD ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠EBC ＝∠CAD ，所以∠EBC ＝∠D ．……………………………………5分因为∠ABC ＝∠ABE ＋∠EBC ，∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ．所以∠ABE ＝∠EBC ，即BE 平分∠ABC ．……………………………………10分 B 设),(P 00y x 为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点00(,)P x y '''，则 000000x x a y b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…………………………………………… 2分 0000,,x a x y b y '=⎧⎨'=⎩ 所以 0000,,x x a y y b '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩……………………………………………4分又因为点),(P 00y x 在圆C :122=+y x 上，所以,12002=+y x …………6分所以 2200221x y a b ''+=，即 12222=+b y a x ．由已知条件可知，椭圆方程为1422=+y x ，……………………………8分所以 ,12=a 24b =，因为 ,0>a ,0>b所以 ,1=a 2b =。

江苏省2010年南京师范大学附属中学高三数学高考模拟考试苏教版新课标

2010年南京师范大学附属中学高三年级模拟考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分，考试用时120分钟。

2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。

参考公式：样本数据221211,,,()n n i i x x x S x x n ==-∑ 的方差为，其中x 为样本平均数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。

请把答案填写在答题纸相应位置上） 1．sin(300)_____︒-=．2．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =．3．已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B = ð ． 4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为．5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线240x y --=与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为．6．右图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是．7．已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1， 2a +5，则数列{a n }的通项公式____n a =．8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是．9．已知向量，a b 满足||1||2()==⊥+，，，则向a b a a b 量，a b 夹角的大小为．10．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是． 11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是．12．△ABC 中，若A =2B ，则ab 的取值范围是．13．已知函数()1||xf x x =-，分别给出下面几个结论：①()f x 是奇函数；②函数()f x 的值域为R ；③若x 1≠x 2，则一定有12()()f x f x ≠；④函数()()g x f x x =+有三个零点．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）14．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T叫数列{}n a 的周期。

2010年高考真题——数学(江苏卷)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式:V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =___________.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为___________.3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x R)是偶函数，则实数a =________________注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________10、定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________。

2010届江苏省高三数学综合训练一

2010届江苏省高三数学综合训练一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.复数z 满足(3－4i)z ＝5＋10i ，则z ＝_____________．2.已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12＜2x +1＜4，x ∈Z}，则M ∩N ＝____ __．3.若k ∈R ，则k ＞3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的_____________条件．4.已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log2xy ＝1的概率为__________．6.右边的流程图最后输出的n 的值是__________．7.设S n (n ＞6)是等差数列{a n }的前n 项和，S 6＝36，S n ＝324，S n －6＝144，则n 等于________．8.若已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 有f (x )＝f (2－x )成立，则f (2010)＝__ ．9.随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如下图所示.已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为_________．10.若M 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤03x ＋4y ≥4y －3≤0所表示的平面区域上，点N 在曲线x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上，则MN min ＝_____11.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．下列四个命题中真命题的个数是___①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β； ④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 12.如图，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ＝2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ＝θ，由此可估计该气球的高BC 约为______．13.椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点为F,左准线为l ,点A ∈l ,线段AF 交C 于点B,若−→FA ＝3−→FB，则|−→FA |＝_ ．14.设f (x )奇函数，当x ≥0时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a]，则b 的最小值为_____二、解答题(本大题共6题，共90分，15-17各14分，18-20各16分)15.在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m ＝(a ＋c ，b －a )，n ＝(a －c ，b )，且m ⊥n(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＋sin B ＝62，求角A 的值.16.已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为CD 的中点，沿AE 将ΔAED 折起，使DB ＝23，O 、H 分别为AE 、AB 的中点．(1)求证：直线OH ∥面BDE ；(2)求证：面ADE 面ABCE .17.数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n ＋1(n ∈N*)， (1)求{a n }的通项公式；(2) 正项等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .AB C DE ABCDEO18.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且−→AP ＝85−→PQ .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程.19.设函数f (x )＝1 4x 4＋bx 2＋cx ＋d ，当x ＝t 1时，f (x )有极小值． (1)若b ＝－6时，函数f （x ）有极大值，求实数c 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若存在实数c ，使函数f (x )在闭区间［m －2，m ＋2］上单调递增，求m 的取值范围；(3)若函数f (x )只有一个极值点，且存在t 2∈(t 1，t 1＋1)，使f ′(t 2)＝0，证明：函数g (x )＝f (x )－12x 2＋t 1x 在区间(t 1，t 2)内最多有一个零点．20.如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB =1米，高0.5米，CD =2a （a ＞12）米．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 间距为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()S f x = （2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．19南京市2010届高三数学综合训练10—附加题部分21.若点A (2，2)在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B (－2，2)，求矩阵M 的逆矩阵．22.已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()224ρθπ+=C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．23.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球． (1)写出甲总得分ξ的分布列；(2)求甲总得分ξ的期望E （ξ）．24.设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋a 1，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤． (1)当a ∈（－∞，－2）时，求证：a ∉M ；(2)当a ∈（0，14］时，求证：a ∈M ； (3)当a ∈（14，＋∞）时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．25.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o BAC ∠=,AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ,1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设baλ=．若平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．FE C 1 B 1A 1CBA（第25题图）26.如图，已知抛物线2:4(0)M x py p =>的准线为l ，N 为l 上的一个动点，过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ，B ，再分别过A ，B 两点作l 的垂线，垂足分别为C ，D ．求证：直线AB 必经过y 轴上的一个定点Q ，并写出点Q 的坐标.27.是否存在等差数列{}n a ,使nn n 1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．南京市2010届高三数学综合训练10参考答案1、12i -+2、}1{-3、充分不必要4、 24255、1216、97、188、09、78 10、1 11、2 12、86 1314、–1 15、解: （1）由⊥m n 得()()()0a c a c b a b +-+-=；整理得2220a b c ab +--=．即222a b c ab +-=，（4分）又2221cos 222a b c ab C ab ab +-===．又因为0C π<<,所以3C π=．（2）因为3C π=，所以23A B π+=, 故23B A π=-．由2sin sin sin sin()3A B A A π+=+-=得即1sin sin 2A A A +=cos A A +=即sin()62A π+=．因为203A π<<，所以5666A πππ<+<,故64A ππ+=或364A ππ+=．所以12A π=或712A π=．16、(1)证明：∵O、H 分别为AE 、AB 的中点， ∴OH//BE，又OH 不在面BDE 内 ∴直线OH//面BDE(2) O 为AE 的中点AD ＝DE ，∴DO ⊥AEBO 2＝10，∴222DB DO BO =+∴DO OB ⊥又因为AE 和BO 是相交直线所以，DO ⊥面ABCE ，又OD 在面ADE 内 ∴面ADE ⊥面ABCE.17、解：（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ ，又21213a S =+= ∴213a a =，故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，所以，13n n a -=.（2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =，故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+，解得10,221-==d d ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+18、解：⑴设Q （x 0，0），由F （-c ，0）A （0，b ）知),(),,(0b x b c -==cb x b cx 2020,0,==-∴⊥ 设11(,),P x y ，85AP PQ=由得21185,1313b x y bc ==…5分因为点P 在椭圆上，所以1)135()138(22222=+bb ac b …………7分整理得2b 2=3a c ，即2(a 2－c 2)=3a c ，22320e e +-=,故椭圆的离心率e =21………9分 ⑵由⑴知22323,2b b ac a c ==得， 11,22c c a a ==由得于是F （－21a ，0）Q )0,23(a ，△AQF 的外接圆圆心为（21a ，0），半径r=21|FQ|=a ……………………14分所以a a =+2|321|，解得a =2，∴c=1，b=3，所求椭圆方程为13422=+y x ……16分 19、（1）因为 f （x ）＝14x 4＋bx 2＋cx ＋d ，所以h （x ）＝f ′（x ）＝x 3－12x ＋c ．……2分由题设，方程h （x ）＝0有三个互异的实根．3所以160,160.c c +>⎧⎨-<⎩故－16<c <16． (5)分（2）存在c ∈（－16，16），使f ′（x ）≥0，即x 3－12x ≥－c ，（*）所以x 3－12x >－16，即（x －2）2（x ＋4）>0（*）在区间［m －2，m ＋2］上恒成立． 7分所以［m －2，m ＋2］是不等式（*）解集的子集．所以24,22,m m ->-⎧⎨+<⎩或m －2>2，即－2<m <0，或m >4． ………………………9分（3）由题设，可得存在α，β∈R ，使f ′（x ）＝x 3+2bx ＋c ＝（x －t 1）（x 2＋αx＋β），且x 2＋αx ＋β≥0恒成立． (11)分又f ´（t 2）＝0，且在x ＝t 2两侧同号，所以f ´（x ）＝（x －t 1）（x －t 2）2． (13)分另一方面，g ′（x ）＝x 3＋（2b －1）x ＋t 1＋c＝x 3＋2bx ＋c －（x －t 1）＝（x －t 1）［（x －t 2）2－1］．因为 t 1 < x < t 2，且 t 2－t 1<1，所以－1< t 1－t 2 < x －t 2 <0．所以 0<（x －t 2）2<1，所以（x －t 2）2－1<0．而 x －t 1>0，所以g ′（x ）<0，所以g （x ）在（t 1，t 2）内单调减．从而g （x ）在（t 1，t 2）内最多有一个零点． (16)分20.（1）（一）102x <≤时，由平面几何知识，得21121x a MN =--． ∴2(21)1MN a x =-+，()S f x ==21(21)(1)4a x a x --+-+． ……………3分 (二）2121+<<a x 时，()11()22S f x x ==⋅-1()2x =-，∴211(21)(1),[0,),42()111(),(,).222a x a x x S f x x x a ⎧--+-+∈⎪⎪==-∈+………………………………5分（2）（一）102x <≤时，()S f x ==41)1()12(2+-+--x a x a ． ∵12a >，∴1102(21)22(21)a a a a ---=<--，∴112(21)2a a -<-．①112a <≤，当0=x 时，41)0()]([max ==f x f ．②1>a ，当)12(21--=a a x 时，)12(4])12(21[)]([2max -=--=a a a a f x f ．……………7分（二）2121+<<a x 时，()11()22S f x x ==⋅-1()2x =-222211()[()]12222x a x a -+--==，等号成立⇔22211()()22x a x -=--⇔1111)(,)222x a =+∈+．∴11)2x =+当时，2)]([2max a x f =．…………………………………………10分A ．112a <≤时，∵211(242a a a -=+，∴12a < 当0=x ，41)0()]([max ==f x f，12a <≤时，当11)2x =+，2)]([2maxa x f =．…12分 B ．1>a 时，0)12(434)12(421222>--=--a a a a a a ．当11)2x =+时，2)]([2maxa x f =．…14分综上，12a <时，当0=x 时，41)0()]([max ==f x f ，即MN 与AB 之间的距离为0米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为41平方米．22>a 时，当11)2x =+时，2)]([2max a x f =，即MN 与AB之间的距离为11)2x =+米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为221a 平方米．………16分附加题部分解答21.选修4－2 矩阵与变换解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦， (4)分所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩ (6)分所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．………………………10分另解：01=M10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．另解：01cos90sin 9010sin 90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ，看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．22.选修4－4 坐标系与参数方程证：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，…4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ． (6)分016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ． (8)分∴0OA OB ⋅=，∴OB OA ⊥． (10)分23.解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分．12527533)6(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，125545352213)7(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，125365352223)8(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，1258523)9(=⎪⎭⎫⎝⎛==ξP …4分…7分（2）甲总得分ξ的期望E （ξ）＝+⨯125276+⨯125547 +⨯12536812589⨯＝536．……………………10分24.证明：（1）如果2a <-，则1||2a a =>，a M ∉． ………………………………………2分（2）当 104a <≤时，12n a ≤（1n ∀≥）．事实上，〔〕当1n =时，112a a =≤．设1n k =-时成立（2k ≥为某整数），则〔〕对n k =，221111242k k a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭≤≤．由归纳假设，对任意n ∈N *，|a n |≤12＜2，所以a ∈M ．…………………………6分（3）当14a >时，a M ∉．证明如下：对于任意1n ≥，14n a a >>，且21n n a a a +=+．对于任意1n ≥，221111()244n n n n n a a a a a a a a +-=-+=-+--≥，则114n n a a a +--≥．所以，1111()4n n a a a a n a ++-=--≥．当214a n a ->-时，11()224n a n a a a a +-+>-+=≥，即12n a +>，因此a M ∉．…10分25.解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．∵(,0,)3b E a ，2(0,,)3b F a ， ∴2(,0,),(0,,)33b bAE a AF a ==．设平面AEF 的法向量为1(,,)x y z n ，则10AE ⋅=n ，且10AF ⋅=n ．即03bz ax +=，且203bz ay +=．令1z =，则2,33b bx y a a =-=-． ∴12(,,1)33b b a a =--n =2(,,1)33λλ--是平面AEF 的一个法向量．同理，22(,,1)33b b a a =n =2(,,1)33λλ是平面1A EF 的一个法向量．A （第22题图）∵平面AEF ⊥平面1A EF ，∴120⋅=n n ．∴22221099λλ--+=．解得，32λ=．∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=． ………………………10分26.解：因为抛物线的准线l 的方程为y p =-，所以可设点,,N A B 的坐标分别为(m p -，），11()x y ，，22()x y ，，则2114x py =，2224x py =，由24x py =，得24x y p=，求导数得2x y p '=，于是1112y p x x m p +=-，即211142x px px m p +=-，化简得2211240x mx p --=，同理可得2222240x mx p --=，所以1x 和2x 是关于x 的方程22240x mx p --=两个实数根，所以1,2x m =，且2124x x p =-．在直线AB 的方程211121()y y y y x x x x --=--中，令0x =，得212112112121y y x y x y y y x x x x x --=-=--=12121221()4()4x x x x x xp p x x p-==-=-为定值，所以直线AB 必经过y 轴上的一个定点(0)Q p ，，即抛物线的焦点．27.证明：假设存在等差数列n a d )1n (a 1-+=满足要求=+⋅⋅⋅++++nn 1n 2n 31n 20n 1C a C a C a C a ()()n n 2n 1n n n 1n 0n 1nC C 2C d C C C a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++（4分） =n 12a ⋅()1n n 11n 1n 11n 01n 2nd 2a C C C nd -----⋅+⋅=+⋅⋅⋅+++ 依题意n 1n n 12n 2nd 2a ⋅=⋅+⋅-，()02d n a 21=-+对*N n ∈恒成立，（10分）,0a 1=∴2d =, 所求的等差数列存在，其通项公式为)1n (2a n -=．。

数学_2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷(含答案)

2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知集合A ={3, m 2}，B ={−1, 3, 2m −1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．2. 若复数z =(2−i)(a −i)，（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为________4. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(−3)+f(2)=________．5. 已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，则l 1 // l 2的充要条件是a =________．6. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．7. 在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．8. 设方程2x +x =4的根为x 0，若x 0∈(k −12, k +12)，则整数k =________．9. 已知函数f(x)=alog 2x −blog 3x +2，若f(12009)=4．则f(2009)的值为________． 10. 已知平面区域U ={(x, y)|x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}，A ={(x, y)|x ≤4, y ≥0, x −2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．11. 已知抛物线y 2=2pxp >0上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，双曲线x 2−y 2a=1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =________．12. 已知平面向量a →，b →，c →满足a →+b →+c →=0→，且a →与b →的夹角为135∘，c →与b →的夹角为120∘，|c →|=2，则|a →|=________． 13. 函数y =x −2sinx 在区间[−2π3, 2π3]上的最大值为________．14. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点(1, 0)处标1，点(1, −1)处标2，点(0, −1)处标3，点(−1, −1)处标4，点(−1, 0)标5，点(−1, 1)处标6，点(0, 1)处标7，以此类推，则标签20092的格点的坐标为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2−a2−c2ac =cos(A+C)sinAcosA．(1)求角A；(2)若sinBcosC>√2，求角C的取值范围．16. 在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA 的中点，F为BC的中点，求证：（1）平面BDO⊥平面ACO；（2）EF // 平面OCD．17. 已知圆O的方程为x2+y2＝1，直线l1过点A(3, 0)，且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．18. 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d(m)与车速v(km/ℎ)和车长l(m)的关系满足：d=kv2l+12l（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60(km/ℎ)时，车距为2.66个车身长．（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？19. 已知函数f(x)=ax−3，g(x)=bx−1+cx−2(a, b∈R)且g(−12)−g(1)=f(0)．（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，方程f(x)=g(x)在(0, +∞)有唯一解，求a的取值范围；（3）若b=1，集合A={x|f(x)>g(x), g(x)<0}，试求集合A；20. 已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d(d>0)，在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a n}是等比数列，其公比为q．（1）若a=1，m=1，求公差d；（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷答案1. 12. 123. 6π4. −85. −16. 207. 7108. 19. 010. 2911. 1412. √613. √3−π314. (1004, 1005)15. 解：(1)∵ b2−a2−c2ac =−2cosB，cos(A+C)sinAcosA=−2cosBsin2A，，又∵ b 2−a2−c2ac=cos(A+C)sinAcosA，∴ −2cosB=−2cosBsin2A，而△ABC为斜三角形，∵ cosB≠0，∴ sin2A=1．∵ A∈(0, π)，∴ 2A=π2，A=π4．(2)∵ B+C=3π4，∴ sinBcosC =sin(3π4−C)cosC=sin3π4cosC−cos3π4sinCcosC=√22+√22tanC>√2即tanC>1，∵ 0<C<3π4，∴ π4<C<π2．16. 证明：（1）∵ OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD，∵ ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，又OA∩AC=A，∴ BD⊥平面OAC，又∵ BD⊂平面OBD，∴ 平面BD0⊥平面ACO．（2）取OD中点M，连接KM、CM，则ME // AD，ME=12AD，∵ ABCD是菱形，∴ AD // BC，AD=BC，∵ F为BC的中点，∴ CF // AD，CF=12AD，∴ ME // CF，ME=CF．∴ 四边形EFCM是平行四边形，∴ EF // CM，∴ EF // 平面OCD17. 由题意，可设直线l1的方程为y＝k(x−3)，即kx−y−3k＝0又点O(0, 0)到直线l1的距离为d=√k2+1=1，解得k=±√24，所以直线l1的方程为y=±√24(x−3)，即√2x−4y−3√2=0或√2x+4y−3√2=0⋯对于圆O的方程x2+y2＝1，令x＝±1，即P(−1, 0)，Q(1, 0)．又直线l2方程为x＝3，设M(s, t)，则直线PM方程为y=ts+1(x+1)．解方程组{x=3y=ts+1(x+1)，得P/(3,4ts+1)，同理可得：Q/(3,2ts−1)．所以圆C的圆心C的坐标为(3,3st−ts2−1)，半径长为|st−3ts2−1|，又点M(s, t)在圆上，又s2+t2＝1．故圆心C为(3,1−3st )，半径长|3−st|．所以圆C的方程为(x−3)2+(y−1−3st )2=(3−st)2，即(x−3)2+y2−2(1−3s)yt +(1−3s)2t2−(3−s)2t2=0即(x−3)2+y2−2(1−3s)yt +8(s2−1)t2=0，又s2+t2＝1故圆C的方程为(x−3)2+y2−2(1−3s)yt−8=0，令y＝0，则(x−3)2＝8，所以圆C经过定点，y＝0，则x=3±2√2，所以圆C经过定点且定点坐标为(3±2√2,0)18. 当v=50(km/ℎ)时，大桥每小时通过的车辆最多．…19. 解：（1）由g(−12)−g(1)=f(0)，得(−2b+4c)−(b+c)=−3，∴ b，c所满足的关系式为b−c−1=0．（2）由b=0，b−c−1=0，可得c=−1，因为方程f(x)=g(x)，即ax−3=−x−2，可化为a=3x−1−x−3，令x−1=t则由题意可得，a=3t−t3在(0, +∞)上有唯一解．令ℎ(t)=3t−t3(t>0)，由ℎ′(t)=3−3t2=0，可得t=1，当0<t<1时，由ℎ′(t)>0，可知ℎ(t)是增函数；当t>1时，由ℎ′(t)<0，可知ℎ(t)是减函数，故当t=1时，ℎ(t)取极大值2；由函数ℎ(t)的图象可在，当a=2或a≤0时，方程f(x)=g(x)有且仅有一个正实数解．故所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．（3）由b=1，b−c−1=0，可得c=0，A={x|f(x)>g(x)且g(x)<0}={x|ax−3> 1x且x<0}={x|ax2−3x−1<0且x<0}，当a>0时，A=(3−√9+4a2a，0)；当a=0时，A=(−13，0)；当a<−94时，(△=9+4a<0)，A=(−∞, 0)；当a=−94时，A={x|x<0且x≠−23}；当−94<a<0时，A=(−∞,3+√9+4a2a)∪(3−√9+4a2a,0)．20. 解：（1）由a=1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知b=1+d，c=1+2d，若插入的一个数在a，b之间，则1+d=q2，1+2d=q3，消去q可得(1+2d)2=(1+d)3，其正根为d=1+√52．若插入的一个数在b，c之间，则1+d=q，1+2d=q3，消去q可得1+2d=(1+d)3，此方程无正根．故所求公差d=1+√52．…（2）设在a，b之间插入l个数，在b，c之间插入t个数，则l+t=m，在等比数列{a n}中，∵ a1=a，a l+2=b=a+c2，a m+3=c，a k⋅a m+4−k=a1⋅a m+3…，∴ (a 2⋅a 3...a m+2)2=(a 2⋅a m+2 )⋅( a 3⋅a m+1)…(a m+1⋅a 3 )(a m+2⋅a 2)=(ac)m+1，又∵ q l+1=b a >0，q t+1=cb >0，l ，t 都为奇数，∴ q 可以为正数，也可以为负数． ①若q 为正数，则 a 2⋅a 3...a m+2=(ac)m+12，所插入 m 个数的积为a 2⋅a 3…a m+2b=2a+c⋅(ac)m+12；②若q 为负数，a 2，a 3，…，a m+2 中共有 m2+1 个负数，当 m2 是奇数，即 m =4k −2，k ∈N + 时，所插入m 个数的积为 b ˙=2a+c (ac)m+12；当m2是偶数，即m =4k ，k ∈N +时，所插入m 个数的积为b ˙=−2a+c⋅(ac)m+12．综上所述，所插入m 个数的积为 b ˙=±2a+c ⋅(ac)m+12．（3）∵ 在等比数列{a n }，由q l+1=ba =a+d a，可得 q l+1−1=da ，同理可得 q m+2−1=2d a，∴ q m+2−1=2(q l+1−1)，即q m+2=2 q l+1−1，m ≥l ，假设q 是有理数，若q 为整数，∵ a ，b ，c 是正数，且d >0，∴ |q|>1，在 2 q l+1−q m+2=1中，∵ 2 q l+1−q m+2 是q 的倍数，故1也是q 的倍数，矛盾．若q 不是整数，可设q =yx （其中x ，y 为互素的整数，x >1 ），则有 (y x)m+2=2(yx)l+1−1，即 y m+2=x m−l+1(2y l+1−x l+1)，∵ m ≥l ，可得 m −l +1≥1，∴ y m+2 是x 的倍数，即y 是x 的倍数，矛盾． ∴ q 是无理数．。

江苏省南京市2010届高三数学综合训练练习2 苏教版

南京市 2010届高三数学综合训练2班级_________学号________姓名___________一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3A B =，则a 的值为______ _______.2.若函数2sin()4y a ax π=+的最小正周期为π，则正实数a =______ _______.3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)(2)2f f +-=，则(2)(3)f f -=______ _______.4.3sin 5α=，3cos 5β=，其中(0,)2παβ∈、，则αβ+=______ _______. 5.已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是______ _______.6.右边的流程图最后输出的n 的值是______ _______.7.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若)3()2(f f <，则实数a 的取值范围是_________.8.若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当2n n b a =时，数列{}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d =____ ____时，数列{}n d 也是等差数列. 9.i 是虚数单位，若32()4a bii a b R i+=+∈-、，则a b +的值是______ ______. 10.通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____ _______. 11.正三棱锥S ABC-中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______ _______.12.点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为______ _______.13.等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-时，AMMB=______ ___ _. 14.已知实数x s t 、、满足：89x t s +=，且x s >-，则2()1x s t x st x t+++++的最小值为____.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点.（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ；（2）求证：EG ∥平面11AA D D .16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、.（1）设向量)sin ,(sin C B x =，向量)cos ,(cos C B y =，向量)cos ,(cos C B z -=，若)//(y x z +，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b .ABCD A 1B 1C 1D 1EGF17.（本小题满分14分）甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：()2sin ,[0,12]f t t t =+∈，乙水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：]12,0[,65)(∈--=t t t g .问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin60.279≈-）.18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A B 、分别为其左、右顶点，点12F F 、分别为其左、右焦点，以点A 为圆心，1AF 为半径作圆A ；以点B 为圆心，OB 为半径作圆B ；若直线:3l y x =-被圆A 和圆B截得的弦长之比为6. （1）求椭圆C 的离心率；（2）己知a =7，问是否存在点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；若存在，请求出所有的P 点坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分16分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数m p 、使得：11m m m p m m m p a a a a a a +++++++=，请找出所有的有序数对(,)m p ，并证明你的结论.20.（本小题满分16分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）.（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.21.已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --.（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标.22.已知边长为6的正方体1111ABCD A B C D -，,E F 为AD CD 、上靠近D 的三等分点，H 为1BB 上靠近B 的三等分点，G 是EF 的中点.（1）求1A H 与平面EFH 所成角的余弦值；（2）设点P 在线段GH 上，且GPGHλ=，试确定λ的值，使得1C P 的长度最短.FE EG 1B 1A CDAB 1C 1D PH参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1.02.23.2-4.2π5.(2,0)±6.97.),1(+∞8.12nc c c n++⋅⋅⋅+ 9. 1910.11(,)917--12.5 13.3 14.6 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.）15.（本小题满分14分）证明：（1）在111A B C ∆中，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11//EF A C ，因为底面1111A B C D 为菱形，所以1111A C B D ⊥，所以11EF B D ⊥，（3分）因为直四棱柱1111ABCD A B C D -，所以11111DD A B C D ⊥平面，又因为1111EF A B C D ⊂平面，所以1DD EF ⊥；又1111B D DD D =，所以EF ⊥平面11B BDD .（7分）（2）延长FE 交11D A 的延长线于点H ，连接DH ，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11EFB EHA ∆≅∆，所以HE EF =，在FDH ∆中，因为G F 、分别为DF 、HF 的中点，所以//GE DH ，（10分）又DA D A GE 11平面⊄，DA D A DH 11平面⊂，故EG ∥平面11AA D D .（14分）16. （本小题满分14分）解：（1）)cos sin ,cos (sin C C B B y x ++=+，由)//(y x z +，得cos (sin cos )cos (sin cos )0C B B B C C +++=，（4分）即sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=-CAB A 1B 1C 1D 1EGFH D所以sin sin sin cos cos sin tan tan 2cos cos cos cos B C B C B CB C B C B C++=+==-；（7分）（2）由已知可得，sin cos 3cos sin A C A C =-，则由正弦定理及余弦定理有：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅，（10分）化简并整理得：2222a c b -=，又由已知228a c b -=，所以228b b =，解得40()b b ==或舍，所以4b =.（14分）17.（本小题满分14分）解：设甲、乙两水池蓄水量之和为()()()H t f t g t =+，（1分）当[0,6]t ∈时，()()()2sin 5(6)sin 1H t f t g t t t t t =+=++--=++，（3分）'()cos 10H t t =+≥，所以()H t 在[0,6]t ∈上单调递增，所以max [()](6)7sin 6H t H ==+；（7分）当]12,6(∈t 时，()()()2sin 5(6)sin 13H t f t g t t t t t =+=++--=-+，（9分）'()cos 10H t t =-≤，所以()H t 在]12,6(∈t 上单调递减，所以6sin 7)(+<t H ；（13分）故当t =6h 时，甲、乙两水池蓄水量之和()H t 达到最大值，最大值为7+sin6百吨.（14分）（注：取最大值为6.721也算对） 18.（本小题满分16分）解：（1）由3l k =-，得直线l 的倾斜角为150︒，则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=，故直线l 被圆A 截得的弦长为1L ==，直线l 被圆B 截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒=，（3分）据题意有：126L L ==（5分）化简得：2163270e e -+=，解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈；故椭圆C 的离心率为14e =.（7分）（2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ；当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截；故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-，则点)0,7(-A 到直线L 的距离2117knkm k D ++--=，由（1）有14c e a ==，得34A a r a c =-==421，故直线L 被圆A截得的弦长为1'L =，（9分）则点)0,7(B 到直线L 的距离2217kn km k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =，（11分）据题意有：1234L L =，即有22221216()9()AB r D r D -=-，整理得1243D D =，即2174knkm k ++-2173knkm k ++-=，两边平方整理成关于k 的一元二次方程得07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ，（13分）关于k 的方程有无穷多解，故有：⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n mn n m m 或，故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）.（16分）（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分） 19. （本小题满分16分）解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由421)31(21121213=+-+-==d d a a a 可得21q d =⎧⎨=⎩或659q d =⎧⎪⎨=⎪⎩，（3分）又数列{}n a 各项均为整数，故21q d =⎧⎨=⎩；所以1110,122,13n n n n a n N n *--≤⎧=∈⎨≥⎩；（6分）（2）数列{}n a 为：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,4,8,16,---------当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为负数时，显然10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+<，所以10m m m p a a a ++⋅⋅⋅<，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅共有奇数项，即p 为偶数；又最多有9个负数项，所以8p ≤，2p =时，经验算只有(3)(2)(1)(3)(2)(1)-+-+-=-⋅-⋅-符合，此时7m =； 4,6,8p =时，经验算没有一个符合；故当1,,,m m m p a a a ++均为负数时，存在有序数对(7,2)符合要求.（8分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，11m m N *≥∈且，1110111222m m m p m m m p a a a --+-++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+111112(122)2(21)m p m p --+=++⋅⋅⋅+=- (1)11101111121121222(2)2(2)2p pm m m p m ppm pm m m p a a a +--+--++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅因为121p +-是比1大的奇数，所以1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+能被某个大于1的奇数（121p +-）整除，而(1)112(2)2p p m p+-⋅不存在大于1的奇约数，故1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+1m m m p a a a ++≠；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，不存在符合要求有序数对；（11分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中含有0时，有10m m m p a a a ++⋅⋅⋅=，所以10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+=，（方法一）设负数项有(9)k k N k *∈≤,且，正数项有()l l N *∈，则1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅应是1,(1),(2),,2,1,0,1,2,,2l k k k ------⋅⋅⋅--，故有(1)212l k k +=-；经验算： 1k =时，1l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为1,0,1-，9,2m p ==； 2k =时，2l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为2,1,0,1,2--，8,4m p ==；5k =时，4l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，5,9m p ==；3,4,6,7,8,9k =时，均不存在符合要求的正整数l ；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；（方法二）因为负数项只有九项，我们按负数项分类：含1个负数项时，1,0,1-，符合，此时9,2m p ==；含2个负数项时，2,1,0,1,2--，符合，此时8,4m p ==；含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时， 5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，符合，此时5,9m p ==；含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；综上，存在四组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)，(7,2)符合要求. （16分）（注：只找出有序数对无说明过程，一个有序数对只给1分）20.（本小题满分16分）解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-，或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-. （4分）（2）假设存在，即存在(1,)3ax ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，（6分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； 2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解；综上：3a >.（9分）（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根， ()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或；（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3当3a a <即0a >时，()f x 在3ax =处取得极大值，()13a f a >⇒>a >因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >；（注：343>a 也对）（12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立；若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x a x a x a -=-+-+（），得20000(1)0x a x ax x --++=（），当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当2a >()y H x =有5个不同的零点.（16分）21.解：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a M ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111,3311d c b a d c b a ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=+=+1133d c b a d c b a 解得1,2,2,1-=-===d c b a ，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦. （5分）（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33111221知，)3,3('-C ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131323231知，)1,1(-D . （10分）22.解：如图建系：可得(2,0,6)E ,(0,2,6)F ,(6,6,4)H ,1(6,0,0)A . （1）设(1,,)n x y =，(2,2,0)EF =-,(4,6,2)EH =-则2204620x x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒(1,1,5)n =；1(0,6,4)A H =，111cos ,27n A H n A H nA H⋅===设1A H 与平面EFH 所成角为θ，则cos θ=. （5分）（2）由题知(1,1,6)G ,1(0,6,0)C ,(5,5,2)GH =-,设(5,5,2)GP GH λλλλ==-⇒(51,51,26)P λλλ++-+，()()2222215155(26)546458C P λλλλλ=++-+-=-+，当1627λ=时，1C P 的长度取得最小值. （10分） 26.（必做题）（本小题满分10分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2分）（2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a y y y y y=++++=+，3334322a C m m ==⇒=， 4402(1)811ii a==+=∑；（5分）（3）由(,1)(,)nf n m f n t =可得2(1)(1)()nnn nm m m m m t t+=+=+，即21m m m m t +=+⇒=⇒201020101(1(1)1000f =+=+. 2341234201020102010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而1)11()1(),2010(20102010<+=+=---tt m t f ，所以原不等式成立. （10分）。

南京市2010届高三数学第三次模拟考试试卷

假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有为常数．
则MB2＝(x－m)2＋（y－n)2，MA2＝(x＋3)2＋y2，
所以＝λ（常数）恒成立．……………………………………………12分
可得(6λ＋2m)x＋2ny＋13λ－m2－n2－4＝0，所以
解得或（舍）．……………………………………………………15分
因为PF1⊥PF2，c＝，所以PF12＋PF22＝4c2＝20．………………………………2分
因为PF1＋PF2＝2a＝6，所以PF1×PF2＝8．
因为2cy＝PF1·PF2，所以2y＝8．
所以y＝．所以x＝．…………………………………………………………4分
所以点P的坐标为（，）．……………………………………………………5分
②是否存在整数a，b，使得a≤G(x)≤b的解集恰好是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
南京市2010届高三数学第三次模拟考试试卷
参考解答及评分标准
说明：
一、本解答给出的解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
因为tan(A－B)＝－，所以＝－．…………………………………12分
所以tanB＝2．……………………………………………………………ห้องสมุดไป่ตู้……14分
16．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
证明：（1）因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，
所以AA1⊥平面ABCD．因为CD平面ABCD，

数学_2010年江苏省扬州市高考数学四模试卷(含答案)

2010年江苏省扬州市高考数学四模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 集合A ={3, 2a }，B ={a, b}，若A ∩B ={2}，则A ∪B =________．2. “x >1”是“x 2>x”的________条件．3. 复数z 1=3+i ，z 2=1−i ，则复数z1z 2在复平面内对应的点位于第________象限．4. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x −y|的值为________．5. 从[−1, 1]内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为________．6. 把函数y =cosx −√3sinx 的图象沿向量a →=(−m, 0)（其中m >0）的方向平移后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．7. 设α，β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m // n ，n ⊂α，则m // α②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β ③若α // β，m ⊂α，n ⊂β，则m // n④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β；其中正确命题的序号为________．8. 函数f(x)=x 3+ax 在(1, 2)处的切线方程为________．9. 执行如图所示的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________．10. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)3x (x ≤0)，且关于x 的方程f(x)+x −a =0有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是________．11. 已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c(x ∈R)的值域为[0, +∞)，则a +c 的最小值为________． 12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为________． 13. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 点是内心，且AO →=λ1AB →+λ2BC →，则λ1+λ2=________14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2−1)3+2010(a 2−1)=1，(a 2009−1)3+2010(a 2009−1)=−1，则下列四个命题中真命题的序号为________． ①S 2009=2009；②S 2010=2010；③a 2009<a 2；④S 2009<S 2．二、解答题（共10小题，满分90分）15.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点E 是B 1C 1的中点，求证：A 1E // 平面ADC 1．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的图象如图所示，直线x =3π8，x =7π8是其两条对称轴．（1）求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；（2）若f(α)=65且π8<α<3π8，求f(α+π8)的值．17. 已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．（1）写出y （单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式；（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=原有价值−现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）18.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，焦点F 在直线m:y =43(x −1)上，直线m 与抛物线相交于A ，B 两点，P 为抛物线上一动点（不同于A ，B ），直线PA ，PB 分别交该抛物线的准线l 于点M ，N ．（1）求抛物线方程；（2）求证：以MN 为直径的圆C 经过焦点F ，且当P 为抛物线的顶点时，圆C 与直线m 相切．19. 已知数列{a n}满足：a n={a n2+14,n2a n+12−a+12,n（n∈N∗，a∈R，a为常数），数列{b n}中，b n=a22n−1．（1）求a1，a2，a3；（2）证明：数列{b n}为等差数列；（3）求证：数列{b n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．20. 已知函数φ(x)=ax+1，a为正常数．(1)若f(x)=lnx+φ(x)，且a=92，求函数f(x)的单调增区间；(2)若g(x)=|lnx|+φ(x)，且对任意x1，x2∈(0, 2]，x1≠x2，都有g(x2)−g(x1)x2−x1<−1，求a 的取值范围．21. 已知矩阵A=[310−1]，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量a1→，a2→．22. 已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=3，曲线C的参数方程为{x=2cosθ，y=2sinθ，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．23. 如图，已知三棱锥O−ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．24. 某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，试求：（1）该考生得分为60分的概率；（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．2010年江苏省扬州市高考数学四模试卷答案1. {1, 2, 3}2. 充分不必要3. 一4. 45. π46. 2π37. ④8. y=4x−29. 410. (−∞, 1]11. 212. √2−113. 5614. ②③15. 证明：（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴ C1C⊥AD，又AD⊥C1D，C1C∩C1D=C1，∴ AD⊥平面BCC1B1．（2）由（1）得∴ AD⊥BC，∵ 在△ABC中，AB=AC，∴ D为BC边上的中点，连接DE，∵ 点E是B1C1的中点，∴ 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形B1BDE为平行四边形，∴ B1B= // ED，又B1B= // A1A，∴ ED= // A1A，∴ 四边形A1ADE为平行四边形．∴ A1E // AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，∴ A1E // 平面ADC1．16. 解：（1）由题意，T2=7π8−3π8=π2，∴ T=π，又ω>0，故ω=2，∴ f(x)=2sin(2x+φ)，由f(3π8)=2sin(3π4+φ)=2，解得φ=2kπ−π4(k∈Z)，又−π2<φ<π2，∴ φ=−π4，∴ f(x)=2sin(2x−π4)．由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)知，kπ−π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ−π8，kπ+3π8](k∈Z)．（2）解法1：依题意得：2sin(2α−π4)=65，即sin(2α−π4)=35，∵ π8<α<3π8，∴ 0<2α−π4<π2，∴ cos(2α−π4)=√1−sin2(2α−π4)=√1−(35)2=45，f(π8+α)=2sin[(2α−π4)+π4]∵ sin[(2α−π4)+π4]=sin(2α−π4)cosπ4+cos(2α−π4)sinπ4=√22(35+45)=7√210f(π8+α)=7√25．解法2：依题意得：sin(2α−π4)=35，sin2α−cos2α=3√25得，①∵ π8<α<3π8，∴ 0<2α−π4<π2，∴ cos(α−π4)=√1−sin2(2α−π4)=√1−(35)2=45，由cos(2α−π4)=45得sin2α+cos2α=4√25②①+②得2sin2α=7√25，∴ f(π8+α)=7√25解法3：由sin(2α−π4)=35得sin2α−cos2α=3√25，两边平方得1−sin4α=1825，sin4α=725，∵ π8<α<3π8∴ π2<4α<3π2，∴ cos4α=−√1−sin24α=−2425，∴ sin22α=1−cos4α2=4950，又π4<2α<3π4，∴ sin2α=7√210，∴ f(π8+α)=7√25．17. （1）函数关系式y=6000ω2(ω>0)；（2）价值损失的百分率为37.5%；（3）故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大．18. 解：（1）依题意，焦点F(1, 0)，抛物线方程为y2=4x．（2）由{y 2=4xy =43(x −1)得4x 2−17x +4=0，x 1=4，x 2=14，∴ A(4,4),B(14，−1)．设P(t 24，t)，则k PA =t−4t 24−4=4t+4，直线PA:y −4=4t+4(x −4)，令x =−1，得y M =4t−4t+4，即M(−1,4t−4t+4)，同理，直线PB:y +1=4t−1(x −14)，令x =−1，得y N =−t−4t−1，即N(−1,−t−4t−1)，∴ MF →⋅NF →=(2,−4t−4t+4)⋅(2,t+4t−1)=0，∴ MF ⊥NF ， ∴ 以MN 为直径的圆C 经过焦点F ．当P 为抛物线的顶点时，t =0，可得MN 中点，即圆心C(−1,32)，CF →=(2,−32)，AB →=(−154,−5)，∴ CF →⋅AB →=0，即CF ⊥AB ， ∴ 圆C 与直线m 相切．19. 由已知a 1=2a 1−a +12，得a 1=a −12，a 2=a 1+14=a −14，a 3=2a 2−a +12=a ． b n =a 22n −1=2a 22n−1−a +12，b n+1=a 22n+2−1=2a 22n+1−a +12=2(a 22n +14)−a +12=2a 22n −a +1=2(a 22n−1+14)−a +1=2a 22n−1−a +32∴ b n+1−b n ＝1，又b 1＝a 3＝a ，∴ 数列{b n }是首项为a ，公差为1的等差数列．证明：由（2）知b n ＝a +n −1，若三个不同的项a +i ，a +j ，a +k 成等比数列，i 、j 、k 为非负整数，且i <j <k ，则(a +j)2＝(a +i)(a +k)，得a(i +k −2j)＝j 2−ik ，若i +k −2j ＝0，则j 2−ik ＝0，得i ＝j ＝k ，这与i <j <k 矛盾．若i +k −2j ≠0，则a =j 2−iki+k−2j ， ∵ i 、j 、k 为非负整数， ∴ a 是有理数．20. 解：(1)由题意得：f(x)=lnx +ax+1，∴ f′(x)=1x −a (x+1)2=x 2+(2−a)x+1x(x+1)2，∵ a =92，令f′(x)>0，得x >2，或x <12，∴ 函数f(x)的单调增区间为(0,12)，(2, +∞)． (2)∵ g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1<−1，∴ g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1+1<0，∴g(x 2)+x 2−[g(x 1)+x 1]x 2−x 1<0，设ℎ(x)=g(x)+x ，依题意，ℎ(x)在(0, 2]上是减函数．当1≤x ≤2时，ℎ(x)=lnx +a x+1+x ，ℎ′(x)=1x−a (x+1)2+1，令ℎ′(x)≤0，得：a ≥(x+1)2x+(x +1)2=x 2+3x +1x +3对x ∈[1, 2]恒成立，设m(x)=x 2+3x +1x +3，则m′(x)=2x +3−1x 2， ∵ 1≤x ≤2，∴ m′(x)=2x +3−1x 2>0，∴ m(x)在[1, 2]上递增，则当x =2时，m(x)有最大值为272， ∴ a ≥272当0<x <1时，ℎ(x)=−lnx +ax+1+x ，ℎ′(x)=−1x −a(x+1)2+1，令ℎ′(x)≤0，得：a ≥−(x+1)2x+(x +1)2=x 2+x −1x −1，设t(x)=x 2+x −1x−1，则t′(x)=2x +1+1x 2>0，∴ t(x)在(0, 1)上是增函数， ∴ t(x)<t(1)=0， ∴ a ≥0．综上所述，a ≥272．21. 解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−3−10λ+1|=(λ−3)(λ+1)，令f(λ)=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=−1．当λ1=3时，由[310−1][xy ]=3[x y ]，得{3x +y =3x −y =3y ，∴ y =0，取x =1，得到属于特征值3的一个特征向量a 1→=[1]；当λ2=−1时，由[310−1][xy ]=−[x y ]，得{3x +y =−x −y =−y ，取x =1，则y =−4，得到属于特征值−1的一个特征向量a 2→=[1−4]．22. 解：∵ ρsin(θ−π3)=3， ∴ ρ(12sinθ−√32cosθ)=3，∴ y −√3x =6，√3x −y +6=0，由{x =2cosθ，y =2sinθ，得x 2+y 2=4，∴ 圆心到直线l 的距离d =62=3，∴ P 到直线l 的距离的最大值为d +r =5.23. 解：(I)以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则有A(0, 0, 2)，B(3, 0, 0)，C(0, 4, 0)，E(0, 2, 0)．BE →=(−3,2,0)，AC →=(0,4,−2) 所以，cos <EB →，AC →>=8√13⋅√20=4√65=4√6565．由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，所以，异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是4√6565． (II)AB →=(3,0,−2)，AE →=(0,2,−2)，设平面ABE 的法向量为n 1=(x, y, z)，则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得{3x −2z =02y −2z =0，取n 1=(2, 3, 3)，又因为OA ⊥面OBC所以平面BEC 的一个法向量为n 2=(0, 0, 1)，所以cos <n 1，n 2>=|n 1|⋅|n 2|˙=3√22=3√2222．由于二面角A −BE −C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，所以，二面角A −BE −C 的余弦值是−3√2222． 24. 解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，考生要得60分，其余四道题必须全做对，∴ 得60分的概率为P=12×12×13×14=148．（2）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，故求概率为P(ξ=40)=12×12×23×34=18；同样可求得得分为45分的概率为P(ξ=45)=C21×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748；得分是50分的概率为P(ξ=50)=1748；得分是55分的概率为P(ξ=55)=748；得分是60分的概率为P(ξ=60)=148．∴ ξ的分布列为∴ Eξ=40×648+45×1748+50×1748+55×748+60×148=57512．该考生所得分数的数学期望为57512。

2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研数学

2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10 {}11x x -<<题号 6 7 8 9 10 答案 15 0.7 6 –2 ④题号 111213 14答案{}01a a <≤()0,e8()(),11,-∞-+∞15.解（1）：因为点B 在以P A 为直径的圆周上，所以90ABP ∠= ，所以34cos ,sin 55P B P Aαα===.所以4tan 3α=，………………………………………2分372cos cos()101527PB C PB PCαβ∠=-===，2sin()10αβ-=，所以1tan()7αβ-=，………………………………………………………………4分tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-，…………………………6分又(0,)2πβ∈，所以4πβ=.………………………………………………………8分（2）2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅…………………………11分2152152275()577249=-⨯⨯=-……………………………………………14分16. ⑴解:取CE 中点P ，连结FP ,BP ,因为F 为CD 的中点,所以FP //DE ,且FP = 12DE , …2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分（该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD . 因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD ,又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE . 又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分ABC DEFP又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17．解：（1）当024n ≤≤且n *∈N 时，()36f n =，当3625≤≤n 且n *∈N 时，2412()363n f n -=⋅所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++ …[])36()26()25(f f f ++++=36×24+36×()1212121233131⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=864+792=1656；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： 12(25)(26)(36)T g g g =+++ 12=×5121152⨯+⨯390=；………………………4分所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人. ……………6分（2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减. (i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当3625≤≤n 时，令512036n -≤，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分(iii)当3632≤≤n 时，24123635120n n -⋅>-，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当7237≤≤n 时，令32165120n n -+=-时，42n =，即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；（2）在下午4点整时，园区人数达到最多.18.解（1）将方程2222(8)4120 x y ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+，…………………………8分222000022(8)412 PT x y ax a y a =+---++， …………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解，解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 +43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n =2 +43n– 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列，则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m ma =+-，4231n na =+-，4231p pa =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列ma ，na ，pa 是等差数列，则2n m pa a a =+，所以42(2)31n +-=4231m +-4231p ++-，……………12分化简得3(2331)1323np np mp mn m----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，所以13333p mp np n--+-≥=⨯，13333p mn m n m--+-≥=⨯，（*）的左边3(23331)3(31)0np np nn p n---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn mn m---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列. ……………16分20．解：(1)令x a t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分所以2280,1,2120m mm ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得223m <<，故实数m 的取值范围为区间(22,3).……………………………6分 (2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211x a a≤<()2xxg x aa -=+，所以()221'()ln 2ln ln xxxxag x aa a a a a--=-+=……8分ⅰ当2112a>即412a <<时，对(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增，所以 222()[,3)g x a a∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a+与a 有关，不符合 (10)分 ⅱ当2112a≤即42a ≥时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12l o g 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22，综合a ) b ) ()g x 有最小值为22与a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln xxxxag x aa a a a a--=-+=0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a+与a 有关，不符合 (14)分综上所述，实数a 的取值范围是42a ≥．………………………………………………16分。

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南京市2010届高三数学综合训练4 班级_________学号________姓名___________ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1．若集合|2Axx≤，|Bxxa≥满足{2}AB，则实数a= ． 2．已知虚数z满足等式： izz612，则z ． 3．函数)3(sin12xy的最小正周期是．

4．某算法的伪代码如右：则输出的结果是． 5．已知条件p:x≤1，条件q：11x ，则p是q的条件．

6．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在49附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为． 7．在等差数列na中，若392712aaa，则13a ． 8．在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EFDE，若BC=a，则正三棱锥A-BCD的体积为________________.

9．若不等式31322axax对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是．

10．当228xx时,函数252xxyx的最小值是____ ___． 11．在直角坐标系xOy中，,ij分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ABij，2ACimj，则实数m= ．

12．椭圆21)0,0(12222ebabyax的离心率，右焦点F（c,0），方程02cbxax的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）与圆222yx的位置关系是． 13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xyaxy对于1,2,2,3xy恒成立,求a的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”．丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是．

14．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间()0,1中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为()0,1，如图3，图3中直线AM与x轴

交于点(),0Nn，则m的象就是n，记作()fmn=.

s←2 i←1 While s≤400 i←i+2 s←s×i End While Print i

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则下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号） ①0)21(f； ②fx是偶函数； ③fx在定义域上单调递增；

④fx的图象关于点1,02 对称．二、解答题：解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知

向量(,)acbam,(,)acbn,且mn．

（1）求角C的大小；（2）若6sinsin2AB,求角A的值。

16．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为 CD的中点，沿AE将AED折起，使DB＝23，O、H分别为AE、AB的中点．（1）求证：直线OH//面BDE；（2）求证：面ADE面ABCE.

A B

C D

A B

C D E O

m10

AA(B)BA

xyO图1 图2 图3 高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家

17．数列na的前n项和记为Sn，111,211nnaaSn. （1）求na的通项公式；（2）等差数列nb的各项为正，其前n项和为Tn，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求Tn.

18．如图，在矩形ABCD中，3,1ABBC，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）（1）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；（2）若动圆M与满足题（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆． l

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19. 已知()lnyfxxx．（1）求函数)(xfy的图像在xe处的切线方程；

(2)设实数0a，求函数()()fxFxa在aa2,上的最大值. （3）证明对一切(0,)x，都有12lneexxx成立．

20.已知集合2{|(1),}AxxaaxaR．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在，求出符合条件的a，若不存在,请说明理由。（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为nS，对于任意的nN，均有nSA，求a的取值范围。高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家

附加题（理科学生做） 1．矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．

2．参数方程与极坐标圆1O和圆2O的极坐标方程分别为4cossin，．（1）把圆1O和圆2O的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆1O，圆2O两个交点的直线的直角坐标方程．

3．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．

参考答案一、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8

324

2 12i  9 充分不必要 54 4 9 10 11 12 13 14 

0,1 3 2

或0 点P在圆内 1, ①③④

二、解答题 15解:

（1）由mn得()()()0acacbab；

整理得2220abcab．即222abcab，又2221cos222abcabCabab．又因为0C,所以3C．（2）因为3C，所以23AB, 故23BA．由626sinsin,sinsin()232ABAA得．即316sincossin222AAA,所以3sincos2AA．即2sin()62A．因为203A，所以5666A, 故64A或364A．所以12A或712A． 16.解： (1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点 ∴OH//BE，又OH不在面BDE内 ∴直线OH//面BDE (2) O为AE的中点AD＝DE，∴DOAE

∵DO=2，DB=23，BO2＝10

∴222DBDOBO ∴DOOB又因为AE和BO是相交直线所以，DO面ABCE，又OD在面ADE内 ∴面ADE面ABCE.

17.解：

（2）设{bn}的公差为d，由315T得，可得12315bbb，可得25b，故可设135,5bdbd 又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd 解得10,221dd ∵等差数列{bn}的各项为正，∴0d，∴2d ∴213222nnnTnnn 18. 解：（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．

设00,yxP，0,3B，1,0D，圆弧DE的方程0,0122yxyx 切线l的方程：100yyxx（可以推导：设直线l的斜率为k，由直线l与圆弧DE

相切知：lAP，所以00yxk，从而有直线l的方程为0000xxyxyy，化简即得100yyxx）．设l与CDAB、交于GF、可求F（01,0x），G（001,1yx），l平分矩形ABCD面积，

0

113320yFBGNxyxx „„①

又22001xy„„② 解①、②得：003131,,(,)2222xyP．（2）由题（Ⅰ）可知：切线l的方程：320xy，当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切，设圆M与直线l、DCBC、分别切于TQR、、，则rMQMTMR（r为圆M的半径）．

M

(3,1)rr

，

由223(3)123331(),331rrrrr舍．

M

点坐标为4333(,)33．

19.解：（1）)(xf定义域为,0 ()ln1fxx ()fee 又 /()2kfe 函数)(xfy的在xe处的切线方程为： 2()yxee，即2yxe