15.2二次根式的乘除运算
二次根式的运算学会进行二次根式的加减乘除运算
二次根式的运算学会进行二次根式的加减乘除运算二次根式是数学中的一种常见形式，运算二次根式可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍如何进行二次根式的加减乘除运算，并给出相应的例子。
一、二次根式的加法运算当两个二次根式具有相同的根指数和根下的值时，它们可以进行加法运算。
具体步骤如下：1. 将待运算的二次根式按根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 将相同项的系数相加得到最终结果。
例如，计算√3 + 2√3：首先，将待加的二次根式按照根指数和根下的值排序，即1√3 +2√3；然后，将相同项的系数相加，得到最终结果3√3。
二、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法运算类似，但需要注意的是，减法运算中，被减数与减数的项要保持相同。
具体步骤如下：1. 将被减数和减数按照根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 将相同项的系数相减得到最终结果。
例如，计算√5 - √2：首先，将被减数和减数按照根指数和根下的值排序，即1√5 - 1√2；然后，将相同项的系数相减，得到最终结果√5 - √2。
三、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过分配率进行简化。
具体步骤如下：1. 将二次根式中的每一项按根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 对每一对相同项进行相乘，得到最终结果。
例如，计算(√7 - 2)(√7 + 2)：首先，将每个二次根式中的项按根指数和根下的值排序，即(√7)(√7) + (√7)(2) + (-2)(√7) + (-2)(2)；然后，对每一对相同项进行相乘，并将结果相加，得到最终结果 7 - 4 + (-2√7) - 4；简化后，得到最终结果 3 - 2√7。
四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行简化。
具体步骤如下：1. 将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，即将根号去掉；2. 化简得到结果。
例如，计算(3√2)/(√2)：首先，将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，即(3√2)(√2)/(√2)(√2)；然后，化简得到最终结果 3。
1二次根式的乘除运算课件冀教版数学八年级上册
之商为_________.
被开方数
探究新知
知识点
3 分母有理化
在上例的解答过程中，将
2
3
化成
6
3
把分母中含二次根式的式子化
为分母中不含二次根式的式子.
像这样，把分母中的二次根式
1
2
化成
2 7
15
化成
2
2
2 105
15
化去，叫做分母有理化.
探究新知
例3
去掉下列各式分母中的二次根式：
(1)
3
3
；
4 a 1 b
a 1
b
3
4 a 1 b 2
2
2b a 1 .
探究新知
2.
a3
a 3 成立的条件是(
D )
a 1
a 1
A．a≠1
B．a≥1且a≠3
C．a＞1
D．a≥3
探究新知
当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式
法则进行计算：即系数之商作为商的_______，被开方数
再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根式；
(3)分子、分母同乘
2ab ; (4)分子、分母同乘
3 2.
探究新知
解：(1)
3
3
3 3
ab a b(a 0 ,b 0)
同学们还记得二次根式的性质吗？
a
a
(a 0 ,b 0)
b
b
3
探究新知
知识点
1
二次根式的乘法
计算下列各式，视察计算结果，你能发现什么规律?
二次根式的乘除课件
02
二次根式的除法规则
除法的基本性质
除法是乘法的逆运算
通过将除法转换为乘法，可以简化计算过程。
除法的不可约性
在二次根式中，除数不能为零，且被除数、除数和商都是实数。
除法的运算律
除法满足交换律、结合律和分配律，这些运算律有助于简化复杂的 二次根式计算。
除法的运算顺序
先进行括号内的运算
01
在处理二次根式时，应先进行括号内的运算，然后再进行根式
times sqrt{c})$
乘法分配律
$sqrt{a} times (sqrt{b} + sqrt{c}) = sqrt{a} times sqrt{b}
+ sqrt{a} times sqrt{c}$
乘除混合运算的运算顺序
01
02
03
先乘除后加减
在进行二次根式的乘除混 合运算时，应先进行乘法 和除法运算，再进行加法 和减法运算。
乘法结合律
$(sqrt{a} div sqrt{b}) div sqrt{c} = sqrt{a} div (sqrt{b} div sqrt{c})$
除法分配律
$sqrt{a} div (sqrt{b} + sqrt{c}) = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} + frac{sqrt{a}}{sqrt{c}}$
04
二次根式的乘除法则的应用
在代数式中的应用
代数式简化
通过二次根式的乘除法则，可以将复杂的代数式化简为更简单的形式，便于进一 步计算或化简。
根式与分数指数幂的互化
利用二次根式的乘除法则，可以将根式转化为分数指数幂的形式，或者将分数指 数幂转化为根式的形式，实现不同数学表达形式之间的转换。
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
《二次根式的乘除》课件
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
在此添加您的文本16字
根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
在此添加您的文本16字
例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
在此添加您的文本16字
先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算二次根式是指具有形式$\sqrt{a} $的数。
其中，$a$为一个非负实数。
二次根式的乘除运算可以通过简化根式的形式来实现。
在本文中，我们将重点讨论二次根式的乘法和除法运算。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以使用分配律来进行简化。
具体而言，当我们要计算两个二次根式相乘时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将两个二次根式的根号内的数相乘；Step 2：将两个二次根式的根号外的系数相乘；Step 3：将上述两个结果合并在一起，得到最终的乘积。
举个例子，让我们计算$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$。
Step 1：$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$；Step 2：根号外的系数为1，可以省略；Step 3：最终结果为$\sqrt{6}$。
由此可见，$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$。
在进行乘法运算时，我们通过简化根号内的数来得到结果。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算通常需要利用有理化的方法，即通过乘以适当的有理化因子，将除数的分母中的根号消去，从而将除法转化为乘法。
具体而言，在计算两个二次根式相除时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将除数的分母有理化；Step 2：将除法转化为乘法，即将除号改为乘号；Step 3：按照乘法运算的方法进行简化。
让我们通过一个例子来说明如何计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
Step 1：有理化除数的分母。
我们将分母$\sqrt{2}$有理化为$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$，即$2$。
Step 2：将除号改为乘号，得到$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{2}}$。
Step 3：进行乘法运算并简化。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式的乘除法则公式二次根式混合运算解题步骤二次根式化简方法
一、二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4、有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二、二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
三、二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。
下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。
1、乘法公式法2、因式分解法3、整体代换法4、巧构常值代入法1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的'积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式的乘除ppt
二次根式的乘除运算可以扩展到更复杂的形式，如分母有理化、根式有理化 等。同时，二次根式的运算法则也可以推广到复数领域，为解决更复杂的问 题提供了基础。
感谢您的观看
THANKS
$=6\sqrt{6}$ 练习题1：$(2\sqrt{5})\times(3\sqrt{7})$
练习题2：$(4\sqrt{3})\times(6\sqrt{5})$
进阶练习题
总结词：灵活运用，注意简化
解答： $=\frac{3\sqrt{3}\times\frac{1}{\sqrt{6}}}{2\sqrt{6}}$ 练习题1：$\frac{(4\sqrt{48})}{(3\sqrt{12})}$
运算结果化简
总结词
二次根式乘除运算的结果需要进行化简，以最简二次根 式的形式表达。
详细描述
化简二次根式乘除运算的结果，需要遵循二次根式化简 的原则。首先，需要消除结果中的分母；然后，需要化 简根式内部的乘除项；最后，需要化简根式外部的乘除 项。
单位转换
总结词
在进行二次根式乘除运算时，需要注意单位转换的问 题。
详细描述
分解因式技巧包括提公因式法、公式法、十 字相乘法等，这些方法可以帮助我们将二次 根式化简为更简单的形式，从而更容易进行
乘除运算。
04
二次根式的乘除注意事项
负数处理
要点一
总结词
二次根式乘除中，对于负数处理，应先确定根式内部的 符号，再进行乘除运算。
要点二
详细描述
在二次根式中，当根式内部为负数时，需要先确定符号 。在进行乘除运算时，应保持根式内部的符号不变，并 将根式外部的符号与根式内部的符号相反。
06
二次根式的乘除总结与展 望
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宽城三中 八年级上册数学导学案
主备人：周建华 授课时间：_________ 编号：______
15.2《二次根式的乘除运算》
学习目标：
1、理解二次根式乘法和除法，会进行简单的乘除运算。
2、会进行二次根式的乘除混合运算，掌握必要的运算技能。
3、知道分母有理化的概念，能进行简单的分母有理化运算。
一、自主学习（二次根式的乘法）阅读课本95页完成下列问题
1．填空：（1）4×9=____，49⨯=____；
4×9__49⨯ （2）16×25=____，1625⨯=___；
16×25__1625⨯ （3）100×36=___，10036⨯=___． 100×36__10036⨯ 总结：用式子表示为：错误！未找到引用源。
_____________________错误！未找到引用源。
.
试一试：（你是最好的选手）
1、计算（1）32⨯ （2）328⨯ （3）5020⨯ （4）916⨯
2、计算（1）6.34.0⨯ （2）7121⨯
（3）21164⨯ （4）()
32276-⨯
二、自主学习（二次根式的除法）阅读课本95页完成下列问题
1、填空： （1）916
=____，916=____； 规律： ______916； （2）1636
=____，1636=____； 1636______1636； （3）
416=____，416=____； 416_______416； 2、总结：用式子表示为错误！未找到引用源。
_____________错误！未找到引用源。
；
试一试：（相信自己一定能行）
1、计算（1）32 （2）3
27 （3）5854÷ （4）8567÷
2、计算：（1）
123 （2）3128÷ （3）11416÷ （4）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛÷-8310327
三、合作探究（二次根式的除除混合运算）
计算：
（1）20105⨯÷ （2）1075146÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-
（3）()222318⨯÷ （4）()632
372÷⨯
四、自主学习（分母有理化）阅读课本96页完成下列问题
1、定义：将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子，像这样，把分母中_________化去，叫做分母有理化。
2、方法：将分子和分母都乘以一个合适的二次根式，化去分母中的根号。
试一试：（相信自己是最棒的）
把下列各式分母有理化：
（1）
33 （2）25 （3）522 (4)83
(5)
231- (6)121+ (7)1
313-+ (8)a 1-
自学测试（你一定做得最好）
（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A ．45×25=85
B ．53×42=205
C ．43×32=75
D ．53×42=206
（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）
A ．26
B ．-26
C ．6
D ．12。