长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案(中考、理科数学竞赛必备) (自动保存的)
长郡中学理实班自主招生考试数学试卷精选文档
长郡中学理实班自主招生考试数学试卷精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．（5分）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．（5分）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC 的面积为（）A．4B．8C．9D．123．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH?FE D．FB：FC=HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．（5分）若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海里处有A、B两艘船相会之后，A 船以每小时12海里的速度往南航行，B船则以每小时3海里的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的抛物线对应的函数关系式是．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．（12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（18分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P 点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方还是下方还是正好落在此直线上并说明理由．2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．（5分）（2015?天心区校级自主招生）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为﹣1，指数为偶数．【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．故选B．【点评】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．2．（5分）（2015?天心区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4B．8C．9D．12【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据S△PAB+S△﹣S△PCB=S△CAB，得出ah1+ah2﹣ah3=，再根据h2+h3﹣h1=6，求得PACa=4即可得到等边△ABC的面积．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，∴S==12，△CAB故选（D）．【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．3．（5分）（2015?天心区校级自主招生）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣，那么a3=﹣ 000 001，=﹣，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．（5分）（2001?黑龙江）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH?FE D．FB：FC=HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH?FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．（5分）（2015?天心区校级自主招生）在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ）A ．22B ．24C ．36D ．44【分析】可设S △ADF =m ，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m 表示出△AEF ，求出m 的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF ，设S △ADF =m ，∵S △BDF ：S △BCF =10：20=1：2=DF ：CF ，则有2m=S △AEF +S △EFC ，S △AEF =2m ﹣16，而S △BFC ：S △EFC =20：16=5：4=BF ：EF ，又∵S △ABF ：S △AEF =BF ：EF=5：4，而S △ABF =m +S △BDF =m +10，∴S △ABF ：S △AEF =BF ：EF=5：4=（m +10）：（2m ﹣16），解得m=20．S △AEF =2×20﹣16=24，S ADEF =S △AEF +S △ADF =24+20=44．故选D ．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．（5分）（2015?天心区校级自主招生）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班再用105除以3=35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．（5分）（2015?天心区校级自主招生）若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=．【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可．【解答】解：4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，（2sinA﹣cosA）2=0，2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，tanA==，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．（5分）（2015?天心区校级自主招生）在某海防观测站的正东方向12海里处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船则以每小时3海里的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．（5分）（2015?天心区校级自主招生）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．故答案为：y=﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．（5分）（2015?天心区校级自主招生）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20 cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE=CD，EC=BD=5cm，∴AE=AC﹣EC=15cm，在Rt△AEB中，BE===20（cm），∴CD=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．（5分）（2015?天心区校级自主招生）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×=，物质B行的路程为16×=，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×=，物质B行的路程为16×2×=，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×=16，物质B行的路程为16×3×=32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×=，物质B行的路程为16×4×=，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×=，物质B行的路程为16×5×=，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为2015=3×671+2，即第2015次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第2015次相遇在边DE上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．（5分）（2015?天心区校级自主招生）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC=2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r，推出方程2a﹣2r=2r，求出即可；（2）求出r=（﹣1）a，r3=（﹣1）r=a，r4=，得出圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC=2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，由勾股定理得：AC=2r，∴2a﹣2r=2r，解得：r=（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r=（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3=（﹣1）r=a，C4的半径是r4=，…圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k=（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．（12分）（2015?天心区校级自主招生）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到∠DBE=90°，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE．（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90°，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．（14分）（2015?天心区校级自主招生）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．（16分）（2015?天心区校级自主招生）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z=12，3x+y=19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W=（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5．（2）∵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=﹣600x+19300当x=4时，W最大，W最大值=﹣600×4+19300=16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z=12，3x+y=19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．（18分）（2015?天心区校级自主招生）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P 点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方还是下方还是正好落在此直线上并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1，m=﹣1与m＞0不合；∴C点不过y=x﹣1；若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y=ax2﹣7ax+10a（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a）∴y=a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF=QF，CQ=BC=2，∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2=CF2；∴32+（2﹣n）2=（n+2）2，∴n=，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a=，∴a=﹣；∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y=x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．参与本试卷答题和审题的老师有：733599；zhjh；szl；lanchong；郝老师；nhx600；马兴田；zjx111；cair。
长沙四大名校理科实验班招生经典试题分析1
电功与热量的综合计算；热量的计算．
专题：
计算题；应用题；电和热综合题．
分析：
首先计算出搅拌机每秒钟可以使水增加的内能，然后利用Q=cm△t求出这些能量可以使水升高的温度；最后在图中找出水冷却时温度随时间减低的度数等于搅拌机使水1秒内升高的度数的位置，这时所表示的温度即为水的最终温度．
解：
解：搅拌机每秒钟使水增加的内能：Q=Wη=Ptη=900W×ls×80%=720J，
长沙四大名校理科实验班招生经典试题分析1---热量的计算
例1：在一搅拌机的容器内装有质量m为0.5千克的水，把水加热到70℃后让其在室温下自动冷却．其温度随时间变化的关系如图所示．现开动电动搅拌机对该冷却的水不停地搅拌，电动机的功率为900瓦，其做的功有80%转化为水的内能．若不考虑容器的内能变化，水最终的温度是多少℃？
由Q=cm△t可知，这些能量可以使水温度升高：
△t= = =0.343℃，
所以在图中找出水冷却时温度随时间变化的快慢等于0.343℃/秒的位置，对应的点所表示的温度即为水的最终温度．
具体做法是：在图中作直线AB，使沿AB的温度变化快慢等于0.343℃/秒，作AB的平行线A'B'与图线相切，读出切点P的纵坐标，可知水的最终温度为30℃．
根据作图的情况可知：水最终的温度是30℃．（答案在27℃～33℃均正确）．
答：水最终的温度是30℃．
点评：
本题考查水的吸热和放热的热平衡，知道Q放=Q吸时水的温度不再降低，难点是需要利用数学的图象知识，会利用切线的知识找出对应点．
2021年长沙四大名校中考数学模拟试卷(含答案)
2021年长沙四大名校中考数学模拟试卷（含答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列实数中，最小的是（）A.0B.－1C.D.12.美国约翰斯·霍普金斯大学实时统计数据显示，截至北京时间5月10日8时，全球新冠肺炎确诊病例超4000000例.其中4000000科学记数法可以表示为（）A.70.410⨯ B.6410⨯ C.7410⨯ D.54010⨯3.某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳。
考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247,253,247,255,263.这五次成绩的平均数．．．和中位数．．．分别是（）( )A.253，253B.255，253C.253，247D.255，2474.如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A.0条B.1条C.2条D.无数条5.当1x=时，下列分式没有意义的是（）A.1xx+B.1xx-C.1xx-D.1xx+6.如图，Rt ABC中，90C∠=︒，点D在AC上，DBC A∠=∠．若44,5 AC cosA==，则BD的长度为（）A. 94B. 125C. 154D. 47.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）A. 4: 1B. 5: 1C. 6: 1D. 7: 18.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）A.B. 米C. 21米D. 42米9.一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=( )A.50°B.60°C.70°D.80°10.如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =12.将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上。
长沙四大名校初中招生真题试卷—数学(1)
长沙四大名校初中招生真题试卷—数学（1）一、选择题：（每小题4分，共16分）1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。
A、15点B、17点C、19点D、21点2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。
A、10B、12C、14D、163、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。
A、提高了50%B、提高40%C、提高了30%D、与原来一样4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B 做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。
A、18B、19.2C、20D、32二、填空题：（每小题4分，共32分）1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。
2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。
3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。
4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。
5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。
去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。
6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。
7、前30个数的和为（）。
2020年湖南省长沙中考数学试卷附答案解析版
数学试卷 第 7 页（共 8 页）
第 23 题图
24.我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之 为“ H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“ H 点”，根据该约定，完 成下列各题．
（1）在下列关于 x 的函数中，是“ H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，
（1）这次调查活动共抽取________人； （2） m ________， n ________； （3）请将条形图补充完整； （4）若该校学生总人数为 3 000 人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动 4 次及以
上的学生人数．
21.如图， AB 为 O 的直径，C 为 O 上的一点， AD 与过点 C 的直线互相垂直，垂足 为 D ， AC 平分 DAB ． （1）求证： DC 为 O 的切线． （2）若 AD 3 ， DC 3 ，求 O 的半径．
平分 MNP ，交 PM 于点 E ，交 PQ 于点 F ．
PF PE （1） ________．
PQ PM
（2）若 PN 2 PM PN ，则 MQ ________． NQ
第 16 题图 三、解答题（本大题共 9 个小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题
每小题 8 分，第 22、23 题每小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 数学试卷 第 4 页（共 8 页）
所需时间相同，设更新技术前每天生产 x 万件，依据题意得
400 500
400 500
A.
B.
x 30 x
x x 30
400 500 C.
x x 30
（）
400 500
D.
x 30 x
湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷
2009年湖南省长沙市长郡中学高一自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：选项C中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选C．点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．解答：解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1=（2+x%）x%．故选D．点评：本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．3．（5分）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．与a和b的大小无关考点：一元一次不等式的应用．分析：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解答：解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0∴0.5b﹣0.5a＜0，∴a＞b故选A点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．4．（5分）若D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先根据相似三角形的判定定理求出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．解答：解：∵∠ADC=∠BCA，∠A是公共角，∴∠ABC=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AD=AB：AC，∵AB=AD+BD=AD+5，∴AD（AD+5）=36，解得AD=4或﹣9，负值舍去，∴AD=4，△ABC的面积是S，△ACD的面积就是S，△BCD=S．故选C．点评：本题的关键是求得△ACD∽△ABC，根据相似比和已知的条件求得AD的值，然后利用面积比等于相似比的平方求值．5．（5分）（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68考点：全等三角形的判定与性质．分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．解答：解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．6．（5分）如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同个数为m，则等于（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：先用树状图展示所有可能的结果，共有12种等可能结果数，然后找出和为偶数的个数，这样即可得到的值．解答：解：列树状图：∴数对（a，b）所有可能的个数为n=12，其中a+b恰为偶数的不同个数为m=5，∴=，故选C．点评：本题考查了利用树状图展示所有等可能的结果的方法．7．（5分）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（）A．A B上B．B C上C．C D上D．D A上考点：正方形的性质．专题：动点型；规律型．分析：因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的×=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2000次相遇位置．解答：解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的×=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．故它们第2000次相遇位置与第五次相同，在边AB上．故选A．点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．8．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20062的值是（）A．2005 B．2006 C．2007 D．2008考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据负数没有平方根，得到a﹣2007大于等于0，然后根据a的范围化简绝对值，移项后两边平方即可求出所求式子的值．解答：解：由题意可知：a﹣2007≥0，解得：a≥2007，则|2006﹣a|+=a，化为：a﹣2006+=a，即=2006，两边平方得：a﹣2007=20062，解得：a﹣20062=2007．故选C点评：本题考查平方根的定义，化简绝对值的方法，是一道基础题．学生做题时注意负数没有平方根．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）小明同学买了一包弹球，其中是绿色的，是黄色的，余下的是蓝色的．如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了96个弹球．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：设买了x个弹球，根据题意列出有关x的一元一次方程解之即可．解答：解：设总共买了x个弹球，根据题意得：（x﹣x﹣x）=12解得：x=96故答案为：96点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是从题目中找到能概括题目含义的相等关系，并正确的设出未知数列出方程．10．（5分）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在x轴上确定点P使△AOP为等腰三角形．则符合条件的点P共有4个．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：推理填空题；分类讨论．分析：本题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，共有4个解答：解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案为：4．点评：本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．11．（5分）不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m﹣1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是y=﹣x﹣1．考点：待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：将抛物线的方程变形为：y=（x+m）2+m﹣1，由此可得出定顶点的坐标，消去m后即可得出函数解析式．解答：解：将二次函数变形为y=（x+m）2+m﹣1，∴抛物线的顶点坐标为．消去m，得x+y=﹣1．故答案为：y=﹣x﹣1．点评：本题考查待定系数法求函数解析式，突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标．12．（5分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是黄，红，白．考点：容斥原理．专题：证明题．分析：由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球．解答：解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．点评：本题考查了容斥原理，根据（2）（3）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明．13．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=．考点：梯形；勾股定理的逆定理；梯形中位线定理．专题：计算题．分析：作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE 的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解．解答：解：作BE∥AC，∵AB∥CE，∴CE=AB，∵梯形中位线为6.5，∴AB+CD=13，∴DE=CE+CD=AB+CD=13，∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，得△BDE为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°，设S△EBD=S则S2：S=DO2：DB2S1：S=OB2：BD2∴=∵S=12×5×=30∴=．故本题答案为：．点评：此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．难度一般，熟练掌握一些基本图形的性质是解答此类题目的关键．14．（5分）已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为．考点：矩形的性质．专题：计算题．分析：先根据矩形的性质，列出一元二次方程，再利用根的判别式求根即可．解答：解：设矩形B的边长分别为x和y根据题意：xy=kab，x+y=k（a+b），将y=k（a+b）﹣x代入xy=kab中，x2﹣k（a+b）x+kab=0，利用一元二次方程求根公式：x=，△=k2（a+b）2﹣4kab≥0条件下，x才有解，由上面这个不等式推出：k≥，∴k的最小值为．点评：本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程，用根的判别式求根的情况．15．（5分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=12499．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．解答：解：x2y+xy2=xy（x+y）=66，设xy=m，x+y=n，由xy+x+y=17，得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66，∴m=6，n=11或m=11，n=6（舍去），∴xy=m=6，x+y=n=11，x2+y2=112﹣2×6=109，x2y2=36x4+y4=1092﹣36×2=11809x4+x3y+x2y2+xy3+y4=11809+6×109+36=12499．故答案为：12499点评：本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用．16．（5分）（2007•天水）如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O 及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为．考点：正多边形和圆．分析：首先得出△CDO为等腰直角三角形，可知CO=CD，在直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决．解答：解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．点评：解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．三、解答题（共2小题，满分20分）17．（10分）甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：根据题意可让甲班学生从学校A乘汽车akm出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校bkm，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可．然后根据时间=即可得他们至少需要多少时间才能到达．解答：解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm．则，解得a=60，b=20．则至少需要（h）=6.75（小时）．答：他们至少需要6.75小时才能到达．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题根据题意可画出草图，可以较快地列出所需等量关系．18．（10分）如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM 交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．考点：面积及等积变换．专题：探究型．分析：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，根据平行线分线段成比例定理可得=，进而可得到=，利用三角形的面积公式可得到△MEP及△MPF的表达式，根据S=+即可得出结论．解答：解：连接PM，设DP=x，则PC=4﹣x，∵AM∥OP，∴=，∴=，即=，∵=且S△APM=AM•AD=1，∴S△MPE=，同理可得，S△MPF=，∴S=+=2﹣﹣=2﹣=2+≤2﹣=，当x=2时，上式等号成立，∴S的最大值为：．故答案为：．点评：本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，把四边形的面积转化为两个三角形的面积是解答此题的关键．。
长沙市长郡中学中考招生考试数学卷
长郡中学高新入学试卷（一）一、选择题（每题6分，共36分）1、若代数式()()211x xx-+-的值为零，则x的取值范围应为（）A X=2或X= 1B X=C X=D X=22、如图1：三角行ABC中，ABC∠、∠ACB的平分线交与p点，∠BPC=134°，则∠BAC=( )度A 68B 80C 88D 463、世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还有按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分A 8B 7C 6D 54、若正数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A -7B 2C 9D 185、直线12Y X K=+与x轴的交点分别为A、B，如果s AOB1，那么k的取值范围是（）A B 0<K C K D K或k6、如图，四边形ABCD内接与圆o，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC=( )A 3.5B D二、 填空题（每题5分，共30分）7、如图，已知三角形ABC 中AB=AC,D 是BC 上一点，且AD=DB,DC=CA,则∠BAC=________8、已知关于x 的方程232x m x x -=--有一个正整数解的正整数m 的可能取值共有（ ）个9、一元钱的硬币的直径约为24mm ，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过（ ）mm （保留根号）10、已知：x+y=2, 2y 2—y —4=0 ,则 x y y-的值=____________ 11、已知：a=12m+1 , b=12m+2 , c=12m+3 ,则a 2+2ab+b 2—2ac+c 2—2bc 的值=________ 12、如图：四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD 的面积为___________三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15题12分，共34分）13、甲、乙、丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送，先由甲送给乙、丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后根据同样的游戏规则再由乙送给乙、丙现有的邮票数，最后由丙送给甲、乙现有的邮票数。
2024长沙市一中高三自主检测试卷数学
2024长沙市一中高三自主检测试卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {x x² - 3x + 2 = 0}，则A∩B =（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. {1, 2, 3}答案：C。
解析：先求解集合B中的方程x² - 3x+2 = 0，即(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以B = {1, 2}，A∩B就是两个集合共有的元素，所以A∩B={1, 2}。
2. 若复数z = 1 + i，则z²等于（）A. 2iB. 2C. - 2iD. - 2答案：A。
解析：z²=(1 + i)² = 1 + 2i+i²，因为i²=-1，所以z² = 1+2i - 1 = 2i。
3. 函数y = sin(x + π/3)的最小正周期是（）A. 2πB. πC. π/2D. 4π答案：A。
解析：对于函数y = Asin(ωx+φ)，其最小正周期T = 2π/ω，这里ω = 1，所以T = 2π。
4. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, - 1)，则a·b等于（）A. 1B. - 1C. 5D. - 5答案：A。
解析：向量点积公式为a·b = a₁b₁+a₂b₂，这里a₁ = 1，a₂= 2，b₁ = 3，b₂=-1，所以a·b = 1×3+2×(-1)=1。
5. 双曲线x² - y² = 1的渐近线方程是（）A. y =±xB. y =±2xC. y =±1/2xD. y =±√2x答案：A。
解析：对于双曲线x² - y² = a²，其渐近线方程为y =±x，这里a = 1。
6. 在等比数列{an}中，a₁ = 1，公比q = 2，则a₃等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B。
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷(二)
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题（每小题6分，满分36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．2．（6分）如图所示，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB=6，BC=4，则等于（）A．B．C．D．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．24 B．20 C．15 D．不确定4．（6分）如图所示，不含阴影部分的矩形（含正方形）的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．265．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）10813A．S=24 B．S=30 C．S=31 D．S=396．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A l→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5π cm C．4.5π cm D．2.5π cm二、填空题（每小题5分，满分30分）7．（5分）方程组的解是．8．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|=．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是．11．（5分）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B 开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．12．（5分）若p=，q=，则=．三、解答题(本大题共3小题，13、14题11分，15题每题12分共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．15．（12分）如图，已知直线y=﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB 上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN=90°；（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，满分36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【分析】先根据轴对称的性质分别求出5种图象中是轴对称图形的个数，除以总数5即为一次过关的概率．【解答】解：∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，∴一次过关的概率是．故选：D．【点评】本题考查概率公式及轴对称图形的特点，有一定的综合性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．（6分）如图所示，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB=6，BC=4，则等于（）A．B．C．D．【分析】先利用平行四边形的性质得到CD∥AB=6，再证明∠2=∠3得到BE=BC=4，接着证明△BEO∽△DCO，则利用相似比得到==，然后利用比例性质得到得值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB=6，∵∠1=∠2，∵CE是∠DCB的平分线，即∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BE=BC=4，∵BE∥CD，∴△BEO∽△DCO，∴===，∴==，即=．故选：B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．24 B．20 C．15 D．不确定【分析】先根据M是AB的中点，MC=MA=5，得出∠ACB=90°，再根据2×AC×BC=（AC+BC）2﹣（AC2+BC2），求得△ABC的面积即可．【解答】解：∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°，∵周长为24，AB=10，∴AC+BC=14，AC2+BC2=102，∴2×AC×BC=（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）=142﹣102=4×24，∴S=AC×BC=24．△ABC故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的面积问题，解决问题的关键是：根据所给条件判定△ABC是直角三角形．4．（6分）如图所示，不含阴影部分的矩形（含正方形）的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．26【分析】分一个小正方形组成的矩形，两个小正方形组成的矩形，三个小正方形组成的矩形，四个小正方形组成的矩形四种情况分别查出个数，然后相加计算即可得解．【解答】解：图形中不含阴影的一个小正方形组成的矩形有10个，两个小正方形组成的矩形有10个，三个小正方形组成的矩形有4个，四个小正方形组成的矩形有1个，所以，共有10+10+4+1=25个．故选：C．【点评】本题考查了认识平面图形，解决此题的关键在于从矩形的组成所需要的小正方形的个数分情况讨论．5．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）10813A．S=24 B．S=30 C．S=31 D．S=39【分析】如图，b x a108y13因为要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，则得到x+10+y=8+y+13且b+11+a=8+10+a，即可得到S．【解答】解：如图，b x a108y13∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S．∴x+10+y=8+y+13，∴x=11，∵b+11+a=8+10+a，∴b=7，∴S=b+10+13=30．故选：B．【点评】这是一道关于发散性思维的典型题例，可从设未知数入手，找题目里的等量关系，层层深入，进而求解．6．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A l→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5π cm C．4.5π cm D．2.5π cm【分析】点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长，第一次的旋转是以B为圆心，AB为半径，旋转的角度是90度，第二次是以C为圆心，AC 为半径，旋转的角度是60度，所以根据弧长公式可得．【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，∴AB=5cm，第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是=π（cm），第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径是=π（cm），∴点A两次共走过的路径是+π=π（cm）．故选：B．【点评】本题考查的是轨迹，弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数，有一定的难度，注意仔细观察．二、填空题（每小题5分，满分30分）7．（5分）方程组的解是．【分析】先把两方程相加，再把两方程相减组成方程组，求出x、y的值即可．【解答】解：，∵①+②得，x﹣y=1③；①﹣②得，x﹣3y=﹣1④，∴③④联立得，，解得．故答案为：．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．8．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|=．【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据对称轴为直线x=﹣＞0得到b ＜0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，再根据二次根式的性质得到原式=﹣|b+c|﹣|a﹣c|=|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|，然后去绝对值、合并即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，∴原式=﹣|b+c|﹣|a﹣c|=|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|=a﹣b+b+c﹣（a﹣c）=a﹣b+b+c﹣a+c=2c．故答案为2c．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次根式的性质与化简．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为576．【分析】将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，则小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6=24，并且恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个，则这样的小正方体表面积的和是24×24=576．【解答】解：根据以上分析：小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6=24，恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个．则这样的小正方体表面积的和是24×24=576．故答案为576．【点评】解决本题的关键是能够分析出恰有2面涂有颜色的小正方体的个数，本题主要训练了空间想象能力．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是（8，0）．【分析】根据题意，设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），则P1坐标为（，），P2坐标为（，），然后把P1，P2的坐标依次代入到反比例函数表达式，即可依次求出a、b的值，即可推出结论．【解答】解：设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），∵△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，∴P1坐标为（，），P2坐标为（，），∵点P1在函数y=的图象上，∴，∴a1=8，a2=﹣8（不合题意，舍去），∴P2坐标为（，）∵点P2在函数y=的图象上，∴=，∴b1=8，b2=﹣8（不合题意，舍去），∴A2为（8，0）．故答案为（8，0）．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，关键在于设出A1点和A2点的坐标，表示出P1坐标，P2坐标，根据函数表达式求出a、b即可．11．（5分）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B 开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为7或25秒．【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD 的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，∴AD==3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．【点评】本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解．12．（5分）若p=，q=，则=．【分析】根据p与q求出平方和及之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵p=﹣，q=+，∴p2+q2=（﹣）2+（+）2=16，pq=（﹣）（+）=2，则+===．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，利用了完全平方公式及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题(本大题共3小题，13、14题11分，15题每题12分共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．【分析】求支付费用最少，要先考虑各种有可能的购买方案，然后进行对比．解题规律：实际问题中的包数应为整数．【解答】解：设购买大包装x包，小包装y包，根据题意，得50x+30y=480．因为x、y为非负整数，所以方程的解为或或或．当x=0，y=16时，所付费用为：0×30+16×20=320（元）；当x=3，y=11时，所付费用为：3×30+11×20=310（元）；当x=6，y=6时，所付费用为：6×30+6×20=300（元）；当x=9，y=1 时，所付费用为：9×30+1×20=290（元）．所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，费用为290元．【点评】本题考查的是二元一次方程的应用，关键注意用多种方案考虑问题，将现实生活中的事件与数学思想联系，读懂题目不等式之间的关系即可解．要注意：实际问题中的包数应为整数．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．【分析】（1）因为原平行四边形的面积可以根据题中已知条件求出，而除未知三角形外，其余三个的高和底都是比较特殊，可利用面积的割补法公式求出所求面积．（2）和（1）区别之处在于已知和未知调换了顺序，应该在（1）的基础上反过来，即需要找出AB、CD的长，以及它二者之间的距离，从而进行解答．【解答】解：（1）∵AB=10，AB与CD间距离为8，∴S▱ABCD=80，∵AE=BE，BF=CF．=S▱ABCD，S△BEF=S▱ABCD，S△DCF=S▱ABCD，∴S△AED=S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF=S▱ABCD=30；∴S△DEF（2）设AB=x，AB与CD间距离为y，由S=4，知F到CD的距离为，△DCF则F到AB的距离为y﹣，=BE（y﹣）=3，∴S△BEF∴BE=，AE=x﹣=，S△AED=AE×y=××y=5，得（xy）2﹣24 xy+80=0，xy=20或4，∵S▱ABCD=xy＞S△AED=5，∴xy=4不合，∴xy=20，S△DEF=S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF=20﹣5﹣3﹣4=8．【点评】此题考查内容比较多，比较全面，难易程度适中，综合性比较强．15．（12分）如图，已知直线y=﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB 上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN=90°；（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．【分析】（1）如图推出AT，OM是⊙C的切线．得出∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，根据∠CMN+∠CNM=90°，求出∠MCN；（2）由1推出∠1=∠3，证明Rt△MOC∽Rt△CAN，利用线段比求出点A的坐标，从而求出y关于x的函数解析式；（3）因为直线AB平分梯形ANMO的面积推出FG的长．求出直线MN的解析式后因为点F在直线MN上，易求点F的坐标．然后又因为点F在直线y=﹣m（x ﹣4）求出m值．【解答】证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线，又∵MN切⊙C于点P，∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，∵OM∥AN，∴∠ANM+∠OMN=180°，∴∠CMN+∠CNM=∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM）=90°，∴∠MCN=90°；解：（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN，∴=，∵直线y=﹣m（x﹣4）交x轴于点A，交y轴于点B，∴0=﹣m（x﹣4），∴x=4，∴A（4，0），∴AC=CO=2，∵OM=x，AN=y，∵=，∴y=；（3）∵OM=1，=10，∴AN=y=4，此时S四边形ANMO∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG•AN=5，∴FG=，∴点F的横坐标为4﹣=，∵M（0，1），N（4，4），∴直线MN的解析式为y=x+1，∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y=，∴F（，），∵点F又在直线y=﹣m（x﹣4）上，∴=﹣m（﹣4），∴m=．【点评】本题考查的是一次函数的综合应用以及三角形的面积计算公式，难度中等．。
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151797391.doc 第1页 长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷 注意： (1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.
一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( d ) (A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =2x上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( d ) (A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20
3．若－1＜a＜0，则aaaa1,,,33一定是 ( a )
(A) a1最小，3a最大 (B) 3a最小，a最大 (C) a1最小，a最大 (D) a1最小， 3a最大 4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ c ） (A) AE⊥AF （B）EF：AF =2：1 (C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC 5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ b ） （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = ___ 2 ___ .
第4题 151797391.doc 第2页
8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 2 小时后，观测站h及A、B两船恰成一个直角三角形. 9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 y=- . 10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 25 cm. 11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 . 12．设,C,C,C321… … 为一群圆, 其作法如下：1C是半径为a的圆, 在1C的圆内作四个相等的圆2C(如图), 每个圆2
C
和圆1C都内切, 且相邻的两个圆2C均外切, 再在每一个圆2C中, 用同样的方法作四个相等的圆3C, 依此类推作出,C,C,C654…… , 则 (1) 圆2C的半径长等于 (用a表示)； (2) 圆kC的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。 13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB. (1) 求证AD = AE； (2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.
14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，
(第9题) (第11题)
第12题
第13题 151797391.doc 第3页
(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点； (2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.
15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖励（元/每人） 1500 700 0 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。 (1) 试判断A队胜、平、负各几场? (2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值. 151797391.doc 第4页
16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，
且直线y =23x－1经过这两个顶点中的一个. （1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标； （2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点. ① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是
位于直线y =32x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.
2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）
7．21. 8．2. 9． y = –125x2 –21x +320.
10．20. 11．( –34,–2).
（第16题） 151797391.doc 第5页
12．(1) 圆2C的半径 a)12(； (2)圆kC的半径 (2 –1 )n – 1 a . 三、解答题 13.（本小题满分12分） （1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上， ∴∠ACD = 90，即AC⊥DE. 又∵OC∥AE，O为AD中点， ∴AD = AE. 4分 证2 ∵O为AD中点，OC∥AE，
∴2OC = AE， 又∵AD是圆O的直径， ∴ 2OC = AD， ∴AD = AE. 4分 （2）由条件得ABCO是平行四边形， ∴BC∥AD， 又C为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE， ∴BC = BE = 4， 4分 连接BD，∵点B在圆O上， ∴∠DBE= 90， ∴CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4， ∴ 所求面积为43. 4分
14.（本题满分14分） 解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , ∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,
∴|AB| = 21)1p(2. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .
当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM = 21|AB||b|取最小值1 . 5分 151797391.doc 第6页
15 （本小题满分16分） 解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，
得19yx312zyx，可得：7x2zx319y 4分 依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数， ∴0x07x20x319 解得：27≤x≤319 ，∴ x可取4、5、6 4分 ∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当x=6时，y=1,z= 5. 4分 （2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） 答略. 4分
16（本小题满分18分） 解：(1)如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2， 设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);
若C点过y =32x－1；则2=32(m＋3)－1, m = －1与m＞0不合； ∴C点不过y=32x－1；
若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2, ∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分 （2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)， 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，
∴0420255abcabc ∴baca710 2分 ∴y = ax2－7ax＋10a ( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )