2.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数2含答案精品

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数2第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．设集合A ={x |(x -1)(3-x )≥0},集合B ={x |(13)x -1>1},则A ∪B =A.{x |x ≤1}B.{x |x ≤3}C.{x |1≤x ≤3}D.{1}2．已知复数z =1+b i 满足z·z¯z -z¯=-i,其中z ¯为复数z 的共轭复数,则实数b =A.-1B.2C.1D.1或-13．已知实数x ,y 满足约束条件{x +2y -1≥0,2x +y -2≤0,x -y +2≥0,则z =x -2y 的最小值为A.-14 B.12C.-4D.24．直线kx -y -2k +2=0被圆(x -1)2+(y -1)2=16所截得的弦长的最小值为A.2√14B.2√7C.2√2D.2√35．已知向量a =(-1,2),b =(1,m ),则 “m <12”是“<a ,b >为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,前n 项和为S n ,且a 1,a 4,a 10成等比数列,则S 5a 5的值是A.227B.237C.247D.2577．函数f (x )=e |x |sin x 的大致图象是A. B.C.D.8．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.83B.103C.143D.1639．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度,再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的14,得到g (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间是A.[7π10+2k π,2k π+17π10],k ∈Z B.[7π10+4k π,4k π+17π10],k ∈Z C.[7π5+2k π,2k π+17π5],k ∈Z D.[7π5+4k π,4k π+17π5],k ∈Z10．2019年春节到来之际,甲、乙、丙、丁等6个人都计划回家过春节,现打算从海南航空、天津航空、南方航空、中国航空四个航空公司中任选一个购买回家的机票,其中甲和丙是老乡,他俩选择在同一个航空公司购买机票,丁不选天津航空,则四个航空公司均有人选的购票方案种数为A.132B.162C.180D.20411．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且a 2n =a 2n -1+1,a 2n +1=2a 2n +1,若S m >2 019,则正整数m的最小值为A.16B.17C.18D.1912．定义函数f (x )={4-8|x -32|,1≤x ≤2,12f(x2),x >2,则函数g (x )=xf (x )-6在区间[1,2n ](n ∈N *)内所有零点的和为A.nB.2nC.34(2n -1)D.32(2n -1)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知角α的终边经过点(1,√3),若角α的终边绕原点O 逆时针旋转π4得到角β的终边,则sin β= .14．在区间[0,1]内随机选取两个实数x ,y ,满足x 2-2x ≤y -1≤-x 的概率是 . 15．若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形,则该正三棱柱的表面积为 .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cos C.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为B 1C 1的中点,平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1.(1)证明:B 1C 1 ⊥平面AA 1D ;(2)若AC =2,BC =2√2,且二面角B -AD -C 的大小为π3,求AA 1的长.19．为培养学生在高中阶段的数学能力,某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图所示.(1)估计这60名参赛学生成绩的中位数;(2)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格,某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会,记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列与数学期望; (3)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表).若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数).参考数据:P (μ-σ<Z ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<Z ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<Z ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．已知直线l :x =ty +1过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2,并交椭圆于A ,B 两点,且|AB |的最小值为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过AB 的中点M 且与直线l 垂直的直线l 1与y 轴交于点N ,求△NAB 面积的最大值.21．已知函数f (x )=e x x-ax +ln x .(1)a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)若a ∈[1,e 24+12],求f (x )的最小值g (a )的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1的参数方程为{x =3+2cosφ,y =2sinφ(φ为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2. (1)设点M ,N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点,求|MN |的最大值; (2)设直线l :{x =-1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)与曲线C 1交于P ,Q 两点,且|PQ |=1,求直线l 的方程.23．已知函数f (x )=|x +4|-m ,m ∈R ,且f (x -2)≤0的解集为[-4,0]. (1)求m 的值;(2)已知a ,b ,c 都是正数,且a +2b +c =m ,求证:1a+b+1b+c ≥2.参考答案1.B【解析】本题考查集合的并运算及不等式的求解,考查的核心素养是数学运算. 先化简集合A ,B ,再计算A ∪B 即可.由(x -1)(3-x )≥0⇒1≤x ≤3,于是A ={x |1≤x ≤3}.由(13)x -1>1⇒x -1<0⇒x <1,则B ={x |x <1},那么A ∪B ={x |x ≤3}.【备注】无 2.C【解析】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等,重点考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力.先根据条件得到z·z ¯=1+b 2,z -z ¯=2b i,代入等式,即可求得实数b 的值. 由题意得z ¯=1-b i,所以{z -z ¯=2bi,z·z ¯=1+b 2,所以由z·z¯z -z¯=-i,得1+b 2=-2b i 2=2b ,得b =1.【备注】无 3.C【解析】本题考查线性规划的知识,考查的核心素养是直观想象、数学运算. 画出可行域如图中阴影部分所示,由z =x -2y 得 y =12x -12z ,表示斜率为12的动直线.由图可知,当动直线y =12x -12z 经过点B 时,z取得最小值,且z min =0-2×2=-4. 【备注】无 4.A【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查学生对基础知识的掌握情况,考查数形结合、化归与转化的思想方法,考查学生的运算能力,考查的核心素养是数学运算与直观想象.通解 易知直线kx -y -2k +2=0恒过点(2,2),该点在圆(x -1)2+(y -1)2=16内,所以k ∈R ,则圆(x -1)2+(y -1)2=16的圆心(1,1)到直线kx -y -2k +2=0的距离d =√2,则直线kx -y -2k +2=0被圆(x -1)2+(y -1)2=16所截得的弦长l =2√16-(1-k)2k 2+1=2√15+2kk 2+1=2√15+2k+1k.因为k +1k≥2或k +1k≤-2,当且仅当k 2=1时等号成立,所以当k +1k=-2时,弦长l 取得最小值,最小值为2√14.优解 易知直线kx -y -2k +2=0恒过点P (2,2),该点在圆(x -1)2+(y -1)2=16内.圆(x -1)2+(y -1)2=16的圆心为C (1,1),连接CP ,则当直线CP 与直线kx -y -2k +2=0垂直时,直线kx -y -2k +2=0被圆(x -1)2+(y -1)2=16所截得的弦长最短,此时k ·k CP =-1,解得k =-1,所以kx -y -2k +2=0可化为x +y -4=0,则圆心C (1,1)到直线x +y -4=0的距离为√2,故最短的弦长为2√16-(√2)2=2√14.【备注】无 5.B【解析】本题主要考查向量的夹角、向量的坐标运算、充要关系的判断,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.由题意得,a ·b =-1+2m .若m <12,则a ·b <0,但当m =-2时,a =-b ,<a ,b >=π,不是钝角,故充分性不成立.若<a ,b >为钝角,则a ·b <0,且a ≠λb (λ∈R ),解得m <12且m ≠-2.故“m <12”是“<a ,b >为钝角”的必要不充分条件.【备注】【易错警示】很多考生对基础知识掌握不牢,认为“a ·b <0”和“<a ,b >为钝角”等价,从而错选C,其实当a ,b 反向共线时,a ·b <0,但<a ,b >为平角,而不是钝角. 6.D【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式,等比数列的性质,考查的核心素养是数学运算.由等差数列的通项公式与题设条件,得到{a n }的首项与公差的关系式,再计算S 5a 5的值.∵{a n }为等差数列,∴其通项a n =a 1+(n -1)d (d ≠0),∴a 4=a 1+3d ,a 10=a 1+9d .又a 1,a 4,a 10成等比数列,∴a 42=a 1a 10,∴(a 1+3d )2=a 1(a 1+9d )(d ≠0),化简得a 1=3d ,∴a n =a 1+(n -1)d =(n +2)d ,a 5=7d .又S n =n(a 1+a n )2=n(n+5)d2,∴S 5=25d ,∴S 5a 5=257.【备注】无 7.A【解析】本题主要考查函数的图象、函数的奇偶性,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.先根据函数的定义域及函数的奇偶性的定义得到函数f (x )为定义域上的奇函数,可排除B,D 选项,再根据函数极值点的位置排除C 选项,即可得到正确选项. 易知函数f (x )的定义域为R ,且f (-x )=e|-x |sin(-x )=-e |x |sin x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项B,D;当x >0时,f '(x )=√2e x sin(x +π4),当x =3π4时,f'(x )=0,f (x )取得极值,故排除C,选A.【备注】无 8.D【解析】本题考查三视图及三棱锥体积的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力. 先还原几何体,然后计算该几何体的体积.由三视图可以得到该几何体是如图所示的正方体中的三棱锥C -DMF ,其中正方体的棱长为4.M ,N 分别为AE ,BC 的中点,连接FN ,DN ,MN ,AF ,AC ,易知四边形MFND 为菱形,AC ∥MN ,因为MN ⊂平面MFND ,AC ⊄平面MFND ,所以AC ∥平面MFND ,所以V C -DMF =V A -DM F.又V A -DMF =V F -AMD =13×12×2×4×4=163,所以V C -DMF =163.【备注】无 9.D【解析】本题考查三角恒等变换,图象的变换,考查数形结合思想及运算求解能力.试题以考查三角函数的图象与性质为目标,选取正弦函数为材料,通过设置正弦函数图象在定区间上的图象特征及三角函数图象的平移、伸缩变换问题,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.先利用三角函数的图象得到g (x )=2sin(2x -2π5),再根据三角函数图象的平移、伸缩变换得到f (x )=2sin(12x -π5),最后可求出f (x )的单调递减区间. 由题图可知A =2,T4=9π20−π5=π4,∴T =2πω=π,∴ω=2,∴g (x )=2sin(2x +φ).又g (x )的图象过点(9π20,2),∴9π10+φ=2k π+π2,k ∈Z ,∴φ=2k π-2π5,k ∈Z ,∵|φ|<π2,∴φ=-2π5,∴g (x )=2sin(2x -2π5).将函数g (x )=2sin(2x -2π5)的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍,得到y =2sin(12x -2π5)的图象,再将y =2sin(12x -2π5)的图象向左平移2π5个单位长度,得到f (x )=2sin[12(x +2π5)-2π5]=2sin(12x -π5)的图象,令π2+2k π≤12x -π5≤2k π+3π2,k ∈Z ,则7π5+4k π≤x ≤4k π+17π5,k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间是[7π5+4k π,4k π+17π5],k ∈Z .故选D.【备注】无 10.C【解析】本题考查计数原理的有关知识,考查考生的逻辑思维能力.试题以春节买机票为背景,引导考生利用数学方法去解决实际问题,建立与实际生活的联系,考查了数学建模、逻辑推理等核心素养.当有1个人选择天津航空时,购票方案共有C 31(C 31C 32A 22+C 31C 31A 22)=108(种);当有2个人选择天津航空时,购票方案共有C 42A 33+C 32A 33=54(种);当有3个人选择天津航空时,购票方案共有C 31A 33=18(种).故四个航空公司均有人选的购票方案共有108+54+18=180(种). 【备注】无 11.B【解析】本题主要考查数列的递推关系式、等比数列的前n 项和公式,考查考生的逻辑思维能力和数学运算能力.先通过递推关系式,得到数列{a 2n -1+3}是等比数列,然后分奇、偶项分析,从而求解. 因为a 2n =a 2n -1+1,a 2n +1=2a 2n +1,所以a 2n +1=2(a 2n -1+1)+1=2a 2n -1+3,a 2n +1+3=2(a 2n -1+3),又a 1+3=4,所以数列{a 2n -1+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以a 2n -1=4·2n -1-3,a 2n =4·2n -1-2,所以S 奇=a 1+a 3+…+a 2n -1=4(1-2n )1-2-3n =2n +2-4-3n ,S 偶=a 2+a 4+…+a 2n =2n +2-4-2n ,所以S 2n =S 偶+S 奇=2n +3-8-5n .当n =8时,S 16=28+3-8-5×8=2 000<2 019,又a 17=4×28-3=1 021,所以S 17=3 021>2 019.故正整数m 的最小值为17. 【备注】无 12.D【解析】本题主要考查分段函数,函数图象的应用,函数的零点等知识,考查数形结合在解题中的应用,考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.试题以分段函数为依托,将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题,体现了对数学抽象、直观想象等核心素养的考查,要求考生有一定的化归与转化能力.首先将函数g (x )的零点问题转化为函数y =f (x )和函数y =6x 图象交点的问题,利用数形结合的方法求解,在同一坐标系中画出两函数的图象,结合图象得到两函数图象交点的横坐标,最后得到结果.由函数g (x )=xf (x )-6=0得,f (x )=6x ,故函数g (x )的零点即函数y =f (x )和函数y =6x图象交点的横坐标.分析函数f (x )的解析式知,可将f (x )的定义区间分段为[1,2],(2,22],(22,23],…,(2n -1,2n ],并且f (x )在(2n -1,2n ](n ≥2,n ∈N *)上的图象是将f (x )在(2n -2,2n -1]上的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的12后得到的.先作出函数y =f (x )在区间[1,2]上的图象,再依次作出在区间(2,4],(4,8],…,(2n -1,2n ]上的图象,并作出函数y =6x (x ≥1)的图象,如图,结合图象可得两图象交点的横坐标是函数y =f (x )的极大值点,由此可得函数g (x )在区间(2n -1,2n]上的零点为2n -1+2n2=3·2n -2,则函数g (x )在区间[1,2n ](n ∈N *)内所有零点的和为32×(1-2n )1-2=32×(2n -1).故选D.【备注】无 13.√6+√24【解析】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换,考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想.先根据题意求出角α的正、余弦值,再根据两角和的正弦公式进行求解.由角α的终边经过点(1,√3),得sin α=√32,cos α=12.因为角β的终边是由角α的终边逆时针旋转π4得到,所以sin β=sin(α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=√6+√24. 【备注】无 14.16【解析】本题考查几何概型的应用、定积分的应用和计算,考查化归与转化思想和运算求解能力.将在区间[0,1]内随机选取的两个实数x ,y ,转化为在边长为1的正方形内随机取点,利用定积分计算阴影部分面积.在区间[0,1]内随机选取两个实数x ,y ,相当于在如图所示的边长为1的正方形中随机取点,若满足x 2-2x ≤y -1≤-x ,则点落在阴影区域内,S 阴影=∫10(1-x -x 2+2x -1)d x =16,故所求的概率P =S 阴影1×1=16.【备注】无 15.36+6√37【解析】本题考查正三棱柱的外接球,考查空间想象能力和运算求解能力.利用几何图形的特征,找到正三棱柱的底面边长与球半径之间的关系,进一步得出结论. 如图,记正三棱柱为三棱柱ABC -DEF ,O 为外接球的球心,G 为底面△DEF 的重心,连接OG ,则OG ⊥底面DEF ,连接DG ,O D.设正三棱柱的底面边长为a ,则由题意知,DG 2+OG 2=DO 2,即(√32a ×23)2+(12a )2=1,得a 2=127,故正三棱柱的表面积为3a 2+2×12a 2×√32=36+6√37. 【备注】无16.√5或√5+2【解析】本题考查抛物线的几何性质、双曲线的几何性质,考查两点间的距离公式和直线斜率公式的应用,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.试题以抛物线和双曲线的简单几何性质为依托,要求考生能画出草图,理清有关点、线的位置关系,体现了直观想象、数学运算等核心素养.设出双曲线的渐近线方程,将抛物线方程与渐近线方程联立,可得P 点坐标,然后分∠PFQ =90°和∠QPF =90°两种情况讨论,建立关于a ,b 的关系式,从而求得该双曲线的离心率. 解法一 不妨设该双曲线的渐近线方程为y =bax ,易知F (p2,0),Q (-p2,0).由{y 2=2px,y =ba x,可得P (2pa 2b ,2pa b).若∠PFQ =90°,则2pa 2b =p2,得b 2a =4,于是该双曲线的离心率e =ca =√1+b 2a =√5;若∠QPF =90°,设直线PQ ,PF 的斜率分别为k PQ ,k PF ,则k PQ ·k PF =-1,即2pa b 2pa 2b 2+p 2·2pa b2pa 2b 2-p 2=-1,整理得b 4=16a 4+16a 2b 2,所以(b 2a2)2-16·b 2a2-16=0,所以b 2a2=8+4√5,于是该双曲线的离心率e =ca=√1+b 2a 2=√9+4√5=√5+2.综上,该双曲线的离心率为√5或√5解法二 不妨设该双曲线的渐近线方程为y =bax ,易知F (p2,0),Q (-p2,0).由{y 2=2px,y =ba x,可得P (2pa 2b 2,2pa b).若∠PFQ =90°,则2pa 2b 2=p2,得b 2a 2=4,于是该双曲线的离心率e =ca =√1+b 2a 2=√5;若∠QPF =90°,则|PQ |2+|PF |2=|QF |2,而|PQ |2=(2pa 2b 2+p 2)2+(2pa b)2,|PF |=2pa 2b +p2,|QF |=p ,于是(2pa 2b +p2)2+(2pa b)2+(2pa 2b +p2)2=p 2,整理得b 4=16a 4+16a 2b 2,所以(b 2a2)2-16·b 2a2-16=0,所以b 2a2=8+4√5,于是该双曲线的离心率e =ca=√1+b 2a 2=√9+4√5=√5+2.综上,该双曲线的离心率为√5或√5+2.【备注】【易错警示】本题是双曲线离心率的求解问题,解题时,考生容易忽视对直角的分类讨论而漏掉其中一种情况,因此解决这类问题时一定要考虑全面.17.解:(1)由sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC ,得4cos C =sinA sinB+sinBsinA ≥2, 当且仅当sinA sinB=sinBsinA 时取等号. 所以cos C ≥12,所以0<C ≤π3.所以角C 的最大值为π3,此时△ABC 为正三角形.(2)由sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC 及正、余弦定理可得,a 2+b 2=4ab ·a 2+b 2-c 22ab,所以2c 2=a 2+b 2①.又b =2,B =π3,所以4=a 2+c 2-2ac cos π3②.由①和②得a =c =2.所以△ABC 的面积为12ac sin π3=√3.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.(1)由sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC 推出cos C ,然后借助基本不等式得出cos C 的最小值,进一步得出角C 的最大值;(2)将已知条件转化为2c 2=a 2+b 2,4=a 2+c 2-2ac cos π3,然后得出a =c =2,最后由公式S =12ac sin B 求出面积.【备注】无18.解:(1)如图,过点A 1作A 1O ⊥AD 于点O ,∵平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1,平面AA 1D ∩平面AB 1C 1=AD ,∴A 1O ⊥平面AB 1C 1.∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1,∴A 1O ⊥B 1C 1.又在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,A 1A ⊥B 1C 1,A 1O ∩A 1A =A 1, ∴B 1C 1⊥平面AA 1D.(2)由(1)得,B 1C 1⊥A 1D ,∵D 为B 1C 1的中点,∴A 1B 1=A 1C 1=AC =2,又BC =B 1C 1=2√2,∴B 1A 12+A 1C 12=B 1C 12,∴∠C 1A 1B 1=π2.令AA 1=a ,以A 为坐标原点,AB ,AC ,AA 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,a ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,a ),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).设平面ADC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m·AD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 1+y 1+az 1=0,2y 1=0,得y 1=0,令z 1=1,得m =(-a ,0,1)为平面ADC 的一个法向量.设平面BAD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则{n·AD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 2+y 2+az 2=0,2x 2=0,得x 2=0,令z 2=1,得n =(0,-a ,1)为平面BAD 的一个法向量.依题意,得|cos<m ,n >|=|m·n||m||n|=11+a 2=12,得a =1,即AA 1的长为1.【解析】本题主要考查空间中的线面位置关系、二面角等知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(1)作辅助线构造线面垂直,利用线面垂直的性质定理证明线线垂直,再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直;(2)利用勾股定理的逆定理得到线线垂直,建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,利用向量的夹角公式列方程求解. 【备注】无19.解:(1)设中位数为x ,则0.005×20+0.015×20+(x -60)×0.02=0.5,解得x =65,所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知,抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 由题意可知ξ的可能取值为0,1,2,3,4. 则P (ξ=0)=C 64C 104=114,P (ξ=1)=C 41C 63C 104=821,P (ξ=2)=C 42C 62C 104=37,P (ξ=3)=C 43C 61C 104=435,P (ξ=4)=C 44C 104=1210.所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望E (ξ)=0×14+1×821+2×37+3×435+4×1210=5635.(3)由题意可得,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,则σ=18,由Z 服从正态分布N (μ,σ2),得P (64-18<Z ≤64+18)=P (46<Z ≤82)≈0.682 7, 则P (Z >82)≈12(1-0.682 7)=0.158 65,P (Z >46)≈0.682 7+0.158 65=0.841 35,所以此次竞赛受到奖励的人数为60×0.841 35≈50.【解析】本题主要考查频率分布直方图、中位数、平均数、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等.本题结合学生实际,以中学数学建模竞赛为背景,通过频率分布直方图考查学生的识图能力,考生需要能够有效地提取图中数据,意在考查数据分析核心素养.以离散型随机变量为出发点,以正态分布为载体,有助于对数学建模、数学运算核心素养进行考查.(1)结合频率分布直方图即可求出该组数据的中位数;(2)首先明确抽取的10人中的合格人数和不合格人数,然后确定ξ的可能取值,并进行一一计算其对应的概率值,即可得出其分布列与数学期望;(3)利用正态分布进行求解.【备注】【解后反思】有关频率分布直方图的数学问题,重在审图、明晰数据,即根据图表获取数据,再根据题目信息对数据进行应用,即可一一求解20.解:(1)易知直线l 过定点(1,0),∵直线l :x =ty +1过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2,∴F 2(1,0),c =1.由|AB |的最小值为3,易知2b 2a=3,∴2(a 2-12)a=3,解得a =2或a =-12(舍去).∴b 2=a 2-c 2=3,∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)当t =0时,易知S △NAB =12×1×3=32.当t ≠0时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{x =ty +1,x 24+y 23=1,得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0.显然Δ>0,则y 1+y 2=-6t 3t +4,y 1y 2=-93t +4,∴|AB |=√1+t 2|y1-y 2|=12(t 2+1)3t +4,AB 的中点M (43t 2+4,-3t3t 2+4),∴过点M 且与直线l 垂直的直线l 1的方程为x -43t 2+4=-1t(y --3t 3t +4).令x =0,得y =t3t +4,∴N (0,t3t +4),∴点N 到直线l 的距离d =4√t 2+13t 2+4,∴S △NAB =12·|AB |·d =12·12(t 2+1)3t 2+4·4√t 2+13t 2+4=24·(t 2+1)32(3t 2+4)2.令t 2+1=m ,则m >1,S △NAB =24m 32(3m+1).令f (m )=24m 32(3m+1)(m >1),∴f '(m )=36·m 12(1-m)(3m+1)3<0在m ∈(1,+∞)上恒成立,∴f (m )在(1,+∞)上是减函数,∴f (m )<32. 综上,△NAB 面积的最大值为32.【解析】本题考查椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力.试题以椭圆为依托,通过对直线与椭圆的位置关系的探索,帮助考生理解数形结合的思想方法,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)首先根据已知条件求得c ,然后由过焦点的弦长的最小值得到a ,进而求得椭圆的标准方程;(2)分t =0,t ≠0两种情况进行分析,即可求解.【备注】【名师指引】直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题是高考命题的热点,解决此类问题要做好两个方面:一是转化,把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式,即形向数的转化;二是设而不求,即联立直线方程与圆锥曲线的方程,利用根与系数的关系求解.21.解:(1)当a =1时,f (x )=e xx -x +ln x (x >0),则f '(x )=e x (x -1)x 2-1+1x=x -1x 2(e x-x ).令h (x )=e x -x ,则当x ∈(0,+∞)时,h'(x )=e x -1>0,∴在(0,+∞)上,h (x )>h (0)=1, 故在(0,1)上,f '(x )<0,f (x )单调递减;在(1,+∞)上,f '(x )>0,f (x )单调递增. (2)f '(x )=e x (x -1)x 2-a +1x (x >0),令p (x )=f '(x )=e x (x -1)x 2-a +1x(x >0),则p'(x )=e x (x 2-2x+2)-xx (x >0).由(1)知,当x ∈(0,+∞)时,e x >x ,∴e x (x 2-2x +2)-x >x (x 2-2x +2)-x =x (x -1)2≥0,∴p'(x )=e x (x 2-2x+2)-xx 3>0(x >0),故f '(x )为定义域上的增函数.又f '(1)=-a +1≤0,f '(2)=e 24-a +12≥0,∴方程f '(x )=0在(0,+∞)上有唯一解. 设f '(x )=0的解为x 0,则在(0,x 0)上,f '(x )<0,在(x 0,+∞)上,f '(x )>0,且1≤x 0≤2,∴f (x )的最小值g (a )=f (x 0)=e x 0x 0-ax 0+ln x 0.由f '(x 0)=0,得a =e x 0(x 0-1)x 02+1x 0,代入g (a )得,g (a )=e x 0x 0-[e x 0(x0-1)x 02+1x 0]x 0+ln x 0=e x 0(2-x 0)x 0-1+ln x 0(x 0∈[1,2]).令φ(x )=e x (2-x)x-1+ln x (x ∈[1,2]),则φ'(x )=e x (2x -x 2-2)+xx .∵-x 2+2x -2=-(x -1)2-1≤-1,∴e x (-x 2+2x -2)+x ≤x -e x <0,故φ(x )为[1,2]上的减函数,∴φ(x )的值域为[φ(2),φ(1)],即g (a )的取值范围是[ln 2-1,e-1].【解析】本题考查导数在研究函数的单调性、最值中的应用,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算. 【备注】无22.解:(1)由题意知,曲线C 1的普通方程为(x -3)2+y 2=4,圆心C 1(3,0),半径r 1=2. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4,圆心C 2(0,0),半径r 2=2. ∴|MN |max =|C 1C 2|+r 1+r 2=3+2+2=7.(2)将直线l 的参数方程代入(x -3)2+y 2=4中,得(t cos α-4)2+(t sin α)2=4,整理得t 2-8t cos α+12=0,∴Δ=64cos 2α-48>0.设P ,Q 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8cos α,t 1t 2=12. 由|PQ |=1及参数t 的几何意义,得|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=√(8cosα)2-4×12=1,解得cos α=±78,满足Δ>0,∴直线l 的斜率为tan α=±√157, ∴直线l 的方程为√15x ±7y +√15=0.【解析】本题主要考查曲线的参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,两圆的位置关系,直线的参数方程中参数的几何意义,考查化归与转化思想、运算求解能力. (1)求得曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程后,即可知两个曲线均为圆,因此即可确定|MN |的最大值为|C 1C 2|+r 1+r 2;(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程中,再根据|PQ |=1及参数t 的几何意义即可确定直线l 的斜率,从而求得直线l 的方程.【备注】【解题关键】求解此类题型时要注意熟练掌握参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的互化,并掌握相关定义和性质,利用直线的参数方程与参数的几何意义解题,可以大大降低题目的计算量,提高解题速度.23.解:(1)因为f (x -2)=|x -2+4|-m =|x +2|-m ≤0,所以|x +2|≤m , 所以m ≥0,且-m ≤x +2≤m ,解得-2-m ≤x ≤-2+m .又不等式f (x -2)≤0的解集为[-4,0],所以{-2-m =-4,-2+m =0,解得m =2.(2)由(1)知a +2b +c =2,则1a+b +1b+c =12[(a +b )+(b +c )]·(1a+b +1b+c )=12(2+b+ca+b+a+b b+c)≥12(2+2√b+c a+b ·a+b b+c)=2,当且仅当a =c 时,等号成立.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解及基本不等式的应用,考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力.(1)由f (x -2)≤0的解集为[-4,0],利用待定系数法求m 的值;(2)根据不等式的结构形式,考虑利用基本不等式求证. 【备注】无。