(HDUACM2012版_02)简单数学题
2012年全国初中数学竞赛试题及答案
精心整理中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题123一、0分）1么代A ．B ．C ．D ．1A ．2A ．2（）．A ．3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． A ．1B ．214a - C ．12D ．143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ABC △是等边三角形．30ADC ∠=°，3AD =，5BD =，则CD 的长为（）． A ． B ．4 C ． D ．4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 4（乙）．如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）． A ．0p B ．1p C ．2p D ．3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）． A ．6”6ca b+7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于点M 、N ，则DMN △的面积是.7（乙）．如图，O ⊙的半径为20，A 是O ⊙上一点。
2012年全国初中数学联赛试题(含答案)
2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A ．3 B ．3C ．3D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC .∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM //BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b c =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE.因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM //BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E .证明：∠BAE ＝∠ACB .证明：连接OA ，OB ，OC ，BD . ∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB . 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC .求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE .因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，所以tan∠QBO＝QNBN2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅，所以111)](22b⋅=⋅-.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。
NOIP2012借教室
NOIP2012借教室题⽬描述在⼤学期间，经常需要租借教室。
⼤到院系举办活动，⼩到学习⼩组⾃习讨论，都需要向学校申请借教室。
教室的⼤⼩功能不同，借教室⼈的⾝份不同，借教室的⼿续也不⼀样。
⾯对海量租借教室的信息，我们⾃然希望编程解决这个问题。
我们需要处理接下来n天的借教室信息，其中第i天学校有ri个教室可供租借。
共有m份订单，每份订单⽤三个正整数描述，分别为dj,sj,tj，表⽰某租借者需要从第sj天到第tj天租借教室（包括第sj天和第tj天），每天需要租借dj个教室。
我们假定，租借者对教室的⼤⼩、地点没有要求。
即对于每份订单，我们只需要每天提供dj个教室，⽽它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不⽤考虑。
借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。
如果在分配的过程中遇到⼀份订单⽆法完全满⾜，则需要停⽌教室的分配，通知当前申请⼈修改订单。
这⾥的⽆法满⾜指从第sj天到第tj天中有⾄少⼀天剩余的教室数量不⾜dj个。
现在我们需要知道，是否会有订单⽆法完全满⾜。
如果有，需要通知哪⼀个申请⼈修改订单。
输⼊输出格式输⼊格式：第⼀⾏包含两个正整数n,m，表⽰天数和订单的数量。
第⼆⾏包含n个正整数，其中第i个数为ri，表⽰第i天可⽤于租借的教室数量。
接下来有m⾏，每⾏包含三个正整数dj,sj,tj，表⽰租借的数量，租借开始、结束分别在第⼏天。
每⾏相邻的两个数之间均⽤⼀个空格隔开。
天数与订单均⽤从1开始的整数编号。
输出格式：如果所有订单均可满⾜，则输出只有⼀⾏，包含⼀个整数 0。
否则（订单⽆法完全满⾜）输出两⾏，第⼀⾏输出⼀个负整数-1，第⼆⾏输出需要修改订单的申请⼈编号。
输⼊输出样例输⼊样例#1：4 32 5 4 32 1 33 2 44 2 4输出样例#1：-12说明【输⼊输出样例说明】第 1 份订单满⾜后，4 天剩余的教室数分别为 0，3，2，3。
第 2 份订单要求第 2 天到第 4 天每天提供 3 个教室，⽽第 3 天剩余的教室数为 2，因此⽆法满⾜。
2012数模国赛a题
2012数模国赛a题摘要：一、问题的背景和重要性1.2012 年数学建模国赛简介2.问题A 的出题背景和现实意义二、问题A 的具体内容1.问题A 的题目描述2.问题A 的关键词和难点分析三、解题思路和方法1.对问题A 的题目描述进行理解和抽象2.确定问题A 的研究目标和关键变量3.选择合适的数学模型和计算方法4.对计算结果进行分析和解释四、解题过程中的注意事项1.时间分配和团队合作2.对题目描述和计算方法的理解和选择3.对计算结果的分析和解释五、结论和建议1.对问题A 的解答和总结2.对数学建模竞赛的建议和展望正文：一、问题的背景和重要性2012 年数学建模国赛是我国高校数学建模竞赛中的一项重要赛事，旨在通过解决实际问题，提高学生的数学应用能力和创新能力。
问题A 是本次竞赛中的一道具有现实意义的问题，涉及到城市交通、人口流动等多个方面，对于提高学生的问题分析和解决能力具有很好的促进作用。
二、问题A 的具体内容问题A 的题目描述为：“假设某城市有N 个小区，每个小区的人口数量为P，小区之间的出行需求通过M 条道路连接。
现有一批居民需要从一个小区A 出发，到达另一个小区B。
请问如何规划这些居民的出行路线，使得总的出行时间最短？”三、解题思路和方法首先，我们需要对题目描述进行理解和抽象，明确题目中的关键变量和目标。
在本题中，关键变量包括小区的人口数量、道路的连接情况、居民的出行需求等，目标是最小化居民的出行时间。
其次，我们需要选择合适的数学模型和计算方法。
对于此类问题，常用的方法有最小生成树算法、最短路径算法等。
在本题中，我们选择了Dijkstra 算法来求解最短路径。
最后，我们需要对计算结果进行分析和解释。
在本题中，我们通过计算得到了每个小区到目标小区的最短出行时间，并对结果进行了分析和解释。
四、解题过程中的注意事项在解题过程中，我们需要注意时间分配和团队合作。
由于数学建模竞赛的时间有限，我们需要合理安排时间，确保每个步骤都能按时完成。
2012考研数学一真题及答案
2012考研数学一真题及答案2012年的考研数学一真题是许多考生备战考研的重要参考资料。
本文将为大家介绍2012年考研数学一真题的内容，并提供详细的答案解析。
一、选择题部分1. 题目：设A为非空集合，a, b为A中的元素，则下列哪个式子一定成立？A) a∈A B) {a} ⊆ A C) (∅, a) ∈ A D) a ⊂ A答案解析：选项A中的a∈A是集合A定义的基本要素，因此一定成立。
2. 题目：设A = {a, b, c}，B = {1, 2, 3}，则A × B的元素个数为：A) 6 B) 5 C) 4 D) 9答案解析：集合A的元素个数为3，集合B的元素个数为3，所以A × B的元素个数为3 × 3 = 9。
二、填空题部分1. 题目：已知f(x) = e^x + x^2，则f'(0) = _______。
答案：1答案解析：对函数f(x)求导得到f'(x) = e^x + 2x，代入x = 0得到f'(0) = 1。
2. 题目：若A = [1, 2, 3]，B = [2, 3, 4]，则A ∩ B = _______。
答案：[2, 3]答案解析：A ∩ B表示集合A和集合B的交集，即共有的元素。
显然，A和B的交集为[2, 3]。
三、计算题部分1. 题目：已知平面直角坐标系xOy，点A的坐标是(2, 3)，点B的坐标是(5, 7)，则直线AB的斜率为_______。
答案：2答案解析：直线AB的斜率可以通过斜率公式求得，即斜率k =(y2 - y1) / (x2 - x1)。
代入点的坐标后可得斜率为2。
2. 题目：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中f(1) = 4，f(2) = 9，f(3) = 16，则a + b + c = _______。
答案：10答案解析：代入已知条件f(1) = 4、f(2) = 9、f(3) = 16，可以得到三个等式，联立解方程可得到a + b + c = 10。
2012年数学建模D题详解
2012年全国数学建模竞赛D题笔者解析以上四张图为第一问的解答，下面我在附亮相以上四个答案的各直线、圆弧端点的坐标值，看仔细了哦！！哈哈，我不是打酱油哦的，其实我是生产酱油滴，嘿嘿！再下来呢，再下来是第二问了，如果你还没有思路，一定要好好看看哦！！先说明一下，我只是从12个极限位置分析考虑，其实还至少两个极限位置给大家自己考虑，我给了十二个位置了，应该可有两个位置，但是有点累了，不想在弄了，那两个就留给你们自己捉摸吧。
不过我可以先说一下答案，答案就是：最短时间为：87.91892.如上图四张图片，以第一张图片为例，及0到A点之间的取舍。
首先大致的路径方案有两种，上线和下线。
我分别用粉红色和深蓝色表示。
通过查询信息可以知道，上线的路程要比下线的路程要近。
我选上线分析，当然这是折线路径。
看第四张图片。
第四张图片中，左边的是折线路径，右边的是支线+圆弧路径（我取的是其中的一种，不一定的最短的路径）。
假设从O点出发，起点坐标为（x,0），设一个路径的方程式，通过球的极限值的方式，计算得出x值的大小。
图片二和图片三中，我已分别给出了两种路径方案（折线路径），折线路径的确定，可以帮助确定直线路径的方向。
计算方法通上述说明。
2012年全国数学建模大赛D题第二问详解这一张是整体图，下面的图形，免得你们顺序弄的不对，给你们参考哦。
当然，这第二问，我只做了一半，也就是你们所看到的上线，即从障碍物5上面走的路线，从下面走的路线没有做，就留给你们自己做啦。
方法你们完全可以参照我做上线的方法。
当然，也许你们会问，为什么不用三段圆弧、四段圆弧，甚至更多段数。
我说，那不必了。
当你看到下面我的答案你会发现，一段圆弧的明显比两端圆弧的时间要短，那么三段四段呢，可想而知。
我也画过一个三段圆弧的，时间一百一十多，比两段圆弧的平均时间还要多，所以我就直接跳过不考虑了，但是你们在学论文说明时，可以简单的说明一下。
当然，这次坐标我没有弄，等你们选出哪个路径是耗时最短的，自己算一下就好了，反正也就是一个，几个点而已哈！还有一点哈，没个折点我都有用圆弧过渡的，你们可能的图片看不清楚的原因而误以为是折线，我没有用圆弧过渡，我不会犯这样错误。
ACM程序设计竞赛II第一章
逆序对数
• • • • • • • • • • • • • • • • • • void inverse_pair( int* A, int x, int y, int* cnt, int* T) { if(y-x > 1){ int m = x + (y-x)/2; int p = x, q = m, i = x; inverse_pair(A, x, m, cnt, T); inverse_pair(A, m, y, cnt, T); while(p < m || q < y) { if(q >= y || (p < m && A[p] <= A[q]))//右边空，或者两边都不空且右边大 T[i++] = A[p++];//复制左边的 else { T[i++] = A[q++];//复制右边的 *cnt += m-p;//是逆序数的数目 } } for(i = x; i < y; i++) A[i] = T[i]; } }
• • • • • •
方法一：数组实现 问题：数据移动太多，循环太长，超时。 方法二：链表实现 效率较高 问题:双向链指针不好操作，程序不好写 方法三：用整数实现链式操作？
#include<stdio.h> const int MAXN = 1000; int n, A[MAXN]; int find(int X) { for(int i = 1; i <= n; i++) if(A[i] == X) return i; return 0; } void shift_circular_left(int a, int b) { int t = A[a]; for(int i = a; i < b; i++) A[i] = A[i+1]; A[b] = t; } void shift_circular_right(int a, int b) { int t = A[b]; for(int i = b; i > a; i--) A[i] = A[i-1]; A[a] = t; } int main() { int m, X, Y, p, q; char type[9]; scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = i; for(int i = 0; i < m; i++) { scanf("%s%d%d", &type, &X, &Y); p = find(X); q = find(Y); if(type[0] == 'A') { if(q > p) shift_circular_left(p, q-1); else shift_circular_right(q, p); } else { if(q > p) shift_circular_left(p, q);
20120422河南科技大学ACM培训题
1、最少钱币数：【问题描述】这是一个古老而又经典的问题。
用给定的几种钱币凑成某个钱数，一般而言有多种方式。
例如：给定了6种钱币面值为2、5、10、20、50、100，用来凑15元，可以用5个2元、1个5元，或者3个5元，或者1个5元、1个10元，等等。
显然，最少需要2个钱币才能凑成15元。
你的任务就是，给定若干个互不相同的钱币面值，编程计算，最少需要多少个钱币才能凑成某个给出的钱数。
【要求】【数据输入】输入可以有多个测试用例。
每个测试用例的第一行是待凑的钱数值M（1 <= M <= 2000，整数），接着的一行中，第一个整数K（1 <= K <= 10）表示币种个数，随后是K 个互不相同的钱币面值Ki(1 <= Ki <= 1000)。
输入M=0时结束。
【数据输出】每个测试用例输出一行，即凑成钱数值M最少需要的钱币个数。
如果凑钱失败，输出“Impossible”。
你可以假设，每种待凑钱币的数量是无限多的。
【样例输入】156 2 5 10 20 50 10011 2【样例输出】2Impossible2、蛇行矩阵【问题描述】蛇形矩阵是由1开始的自然数依次排列成的一个矩阵上三角形。
【要求】【数据输入】本题有多组数据，每组数据由一个正整数N组成。
（N不大于100）【数据输出】对于每一组数据，输出一个N行的蛇形矩阵。
两组输出之间不要额外的空行。
矩阵三角中同一行的数字用一个空格分开。
行尾不要多余的空格。
【样例输入】5【样例输出】1 3 6 10 152 5 9 144 8 137 12113、敲七【问题描述】输出7和7的倍数，还有包含7的数字例如（17，27，37...70，71，72，73...）【要求】【数据输入】一个整数N。
(N不大于30000)【数据输出】从小到大排列的不大于N的与7有关的数字，每行一个。
【样例输入】20【样例输出】714174、半数集问题问题描述：给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下：(1) n∈set(n)；(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
2012GCT数学基础(A卷)
D.(1 1 0)
3 -4 0
25．设
A=
4
-5
0
.
若 A 的三重特征值
对应两个线性无关的特征向量，则 a=(
)
a 2 -1
A． 1 B．2
C．-1
D．-2
数学部分答案 ADBCD BAAAB DBCBA DCBCD DACDC
且
g
(
x)=
2
，则
sin
cos
f (2012) +f g (3 ) +2g
(-2) + (- ) +
6 3
A. - 3 B. 3
2
2
3
C.
D. 3
3
9．若复数 z=i+ 2 + 3 + 4 ,则 z =( ) . i i2 i3
A.6
B. 3 2
C.3
D. 34
10．盒中有十张卡片，分别写有数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．若从中任取 3 张，
A. 3 3
B. 2 2
C. 2
D. 3
20．若函数 y ( x) =ex-e-x 有正的极值点，则参数 的取值范围是( )．
A.(-,-e)
B.(-e,0) C.(0,e)
D. C.(e,+)
21．若函数 f(x)的二阶导数连续，且满足 f"( x) -f ( x) =x , 则 f ( x) cosxdx= （ -
D．不存在
18．若
f(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)是非负连续函数，且 lim x→2
f
2 ( x) -2
x2 -4 =
8 ，则 f ' (2) = （
2012高考数学试题及答案全国卷2
2012高考数学试题（全国卷Ⅱ）一．选择题：（共12个小题，每小题5分，满分60分） 1. 复数131ii-++= (A) 2+i(B) 2-i(C) 1+2i(D)1-2i2.已知集合A ={1，3，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m =(A) 0(B) 0或3(C) 1(D) 1或33.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x = - 4，则该椭圆的方程为(A) 221612y +x =1(B) 22168y +x =1(C) 2284y +x =1(D) 22124y +x =14.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = 2，CC 1E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为： (A) 2(B)(C)(D) 15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5 = 5，S 5 =15，则数列{11n n a a +}的前100项和为(A) 100101(B)99101(C)99100(D)1011006.△ABC 中，AB 边的高为CD ，CB = a ，CA = b ，a •b = 0，| a | = 1，| b | = 2，则AD = (A)13a -13b (B)23a -23b (C)35a -35b (D)45a -45b7.已知α 为第二象限的角，sin α +cos α，则cos2α = (A)(B)(C)(D)8.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2 =2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2 = (A) 14(B)35(C)34(D)459.已知x = ln π，y =log 5 2，z =12e -，则(A) x < y < z(B) z < x < y(C) z < y < x(D) y < z < x10.已知函数y =x 3-3x + c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c = (A) -2或2(B) -9或3(C) -1或1(D) -3或111.将字母a , a , b , b , c , c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同点排列方法共有 (A) 12种(B) 18种(C) 24种(D) 36种12.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE = BF =37，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 16(B) 14(C) 12(D) 10二．填空题：（共4个小题，每小题5分，满分20分）13.若x 、y 满足约束条件 ，则z =3x - y 的最小值为14.当函数y = sin x - cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x = 15.若(x +1x) n 的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为16. 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1= 60o ，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为二．解答题：（共6个小题，满分70分）17.（本小题满分10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A - C ) + cos B = 1，a = 2c ，求C .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，ACP A = 2， E 是PC 上的一点，PE = 2EC . (Ⅰ)证明：PC ⊥平面BED ；(Ⅱ)设二面角A -PB - C 为90o ，求PD 与平面PBC19. （本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换. 每次发球，胜方得1分，负方得0分. 设再甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(Ⅰ)求开始第四次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率 ； (Ⅱ)ξ 表示开始第四次发球时乙的得分，求ξ 的期望.x - y +1≥0x + y -3≤0 x + 3y -3≥020. （本小题满分12分）设函数f (x ) = a x + cos x , x∈[0, π] . (Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)设f (x ) ≤1 + sin x，求a的取值范围.21. （本小题满分12分）已知抛物线C：y = (x +1) 2与圆M：(x-1) 2 +( y-12) 2 = r 2 (r > 0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r；(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22. （本小题满分12分）函数f (x ) = x 2 - 2x - 3 .定义数列{x n}如下：x1= 2，x n+1是过两点P(4, 5)、Q n(x n, f (x n))的直线PQ n与x轴的交点的横坐标.(Ⅰ)证明：2≤x n < x n+1<3 ；(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式.答案1.C2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.C9.D 10.A 11.A 12.B13. -1 14. 15. 56 16. ………………。