中考数学综合题解题思路分析-精选教育文档
长沙中考数学试卷真题分析
长沙中考数学试卷真题分析作文正文部分开始：高考数学是中学生的一道重要关卡，对于长沙中考的学生而言也不例外。
为了更好地了解和研究长沙中考数学试卷，本文将对近年来的试题进行分析和总结。
通过这些试题的分析，可以帮助学生更好地备考和应对长沙中考数学试卷。
一、选择题长沙中考数学试卷中的选择题主要考查基础知识和基本技能的掌握情况。
题目涉及代数、几何、函数等多个领域，考察了学生的分析问题、推理和解决问题的能力。
其中选择题中较常见的类型有填空题和单项选择题。
1. 填空题填空题是长沙中考数学试卷中的一种常见题型。
这类题目要求学生根据题目给出的条件，运用相关知识和方法进行计算，并将结果填入空白处。
这种题目考验了学生的计算能力和对知识点的掌握程度。
举例来说，某年的长沙中考数学试卷中出现了以下一道填空题：已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A、B的横坐标之和为2. 若 A（1，0）. B（X，0）.则 f(x)的表达式是f(x)=（1-4x）²+8针对这道题，学生需要根据已知条件进行计算和推理，最终得出表达式为f(x)=(x-2)²+6。
此题既考查了学生的计算和推理能力，也检测了对二次函数的理解程度。
2. 单项选择题单项选择题也是长沙中考数学试卷中常见的题型之一。
这种题目要求学生从给出的选项中选择一个符合条件的答案。
通过这类题目，可以考察学生对知识点的理解和应用能力。
举例来说，某年的长沙中考数学试卷中出现了以下一道单项选择题：已知集合A={x|x=2n，n∈N}，当n满足下列哪些条件时① 2n+1∈A② 2n-1∈A③ (2n)²∈A④ (2n+1)²∈AA、①②B、②③C、①④D、③④针对这道题，学生需要根据题目给出的集合A的定义，判断选项中哪些条件满足题目的要求。
这要求学生对集合的理解和运算有一定的掌握性。
在解答过程中，学生需要分析并比较每个选项中的条件，最终确定正确答案为D选项。
中考数学压轴题解题思路与应试技巧
- -.中考数学压轴题解题思路与应试技巧压轴题解题思路与应试技巧数学压轴题常分为两类：函数型压轴题和几何型压轴题.1.函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求〔〕函数的解析式〔即在求解前函数的类型〕，然后进展图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质.初中函数有：①一次函数〔包括正比例函数〕和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线.求函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标根本方法是几何法〔图形法〕和代数法〔解析法〕.此类题根本在第最后两题中出现，根本设置2~3小问来呈现.2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据条件进展计算，然后有动点〔或动线段〕运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的〔未知〕函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进展探索研究，一般有：在什么条件下列图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线〔圆〕与圆的相切时求自变量的值等.求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系〔即列出含有x、y的方程〕，变形写成y＝f〔x〕的形式.一般有直接法〔直接列出含有x和y的方程〕和复合法〔列出含有x 和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f〔x〕的形式〕，当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求.找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法.求定义域主要是寻找图形的特殊位置〔极限位置〕和根据解析式求解.而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值.几何型综合题根本是做为压轴题出现，一般设置3小问.解中考数学压轴题秘诀:数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高.具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活.解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的根底知识和熟练的根本技能，三要掌握常用的解题策略.现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考:1.以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大局部都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答.2.以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形.因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想.例如函数解析式确实定，往往需要根据条件列方程或方程组并解之而得.3.利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进展考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点.4.综合多个知识点，运用等价转换思想：任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用.中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面.因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略.5.分问得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小问，难易程度是第〔1〕小问较易，第〔2〕小问中等，第〔3〕小问偏难，在解答时要把第〔1〕小题问的分数一定拿到，第〔2〕小问的分数要力争拿到，第〔3〕小问的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性.6.分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分〞，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分.因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏.数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型.综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现.压轴题考察知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质.下面结合实例谈谈解题方法：1.利用动点〔图形〕位置进展分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题【例1】在△ABC中，∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm.(1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动.如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第〔2〕问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？点评：此题关键是明确点P 、Q 在△ABC 边上的位置，有三种情况.①当0﹤t ≦6时，P 、Q 分别在AB 、BC 边上；②当6﹤t ≦8时，P 、Q 分别在AB 延长线上和BC 边上；③当t >8时, P 、Q 分别在AB 、BC 边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.【例2】正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.假设点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y.〔1〕写出y 与x 的关系式；(2)求当y ＝13时，x 的值等于多少？ 点评:这个问题的关键是明确点P 在四边形ABCD 边上的位置,根据题意点P 的位置分三种情况:分别在AB 上、BC 边上、EC 边上.2.利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质〔或所求图形面积〕直接转化为函数或方程.【例3】如图，ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． 〔1〕如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？〔2〕假设点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？【参考答案】〔1〕①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，∴835PC =-=厘米，∴PC BD =．又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，那么45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443Q CQ v t===厘米/秒． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意， 得1532104x x =+⨯，解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． 第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性.第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来.中等的动点题也就没问题了.但是在难一点的动点题就要你的能力了，比方让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内.练一练1.对称翻折平移旋转【练一练1】如图12，把抛物线2y x =-〔虚线局部〕向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线1l ，抛物线2l 与抛物线1l 关于y 轴对称.点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、2l 与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点，线段CD 交y 轴于点E .〔1〕分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；〔2〕设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P 点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由. 〔3〕在抛物线1l 上是否存在点M ，使得ABM AOED S S ∆∆=四边形，如果存在，求出M 点的坐标，如果不存在，请说明理由.2.动态：动点、动线【练一练2】如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于 点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：假设点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由．3.比例比值取值范围【练一练3】图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).〔1〕求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；〔2〕在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,假设存在，求出P 点的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.4.探究型【练一练4】如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.〔1〕请求出抛物线顶点M 的坐标〔用含m 的代数式表示〕，A B 、两点的坐标； 〔2〕经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；〔3〕是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？假设存在，请求出；如果不存在，请说明理由.5.最值类【练一练5】如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为〔3，0〕，与y 轴交于C 〔0，-3〕点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.〔1〕求这个二次函数的表达式．〔2〕连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C为菱形？假设存在，请求出此时点P 的坐标；假设不存在请说明理由．〔3〕当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.。
备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=151514151AE AB -+++==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB3=32=，依据tan∠Q=tan∠A32=BQ=BC3=2，进而得出PQ=PB+BQ72=；（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ12=PQ×BC3=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=． ∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果∠A ＝30°，①如图1，∠DCB 等于多少度；②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB为等边三角形.∴∠CDB＝60°∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∵∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠FDB＝∠CDP，在△DCP和△DBF中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．9．如图，正方形ABCD+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ，（1）求证：△ABF ∽△ACE ；（2）求tan ∠BAE 的值；（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。
中考数学试卷真题全套讲解
一、选择题部分1. 真题回顾：下列各数中，不是有理数的是（）A. 0.5B. √2C. -3D. 1/32. 解题思路：本题考查有理数的定义。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为0。
选项A、C、D均为有理数，而选项B的√2是无理数，不能表示为两个整数之比。
3. 解答：答案：B二、填空题部分1. 真题回顾：若方程2x-3=5的解为x=，则方程3x+4=？的解为x=。
2. 解题思路：本题考查一元一次方程的解法。
首先解出x的值，然后代入第二个方程求解。
3. 解答：解方程2x-3=5，得x=4。
代入第二个方程3x+4=？，得3×4+4=16。
答案：16三、解答题部分1. 真题回顾：已知等腰三角形ABC中，底边BC=6cm，腰AB=AC=8cm。
求三角形ABC的周长。
2. 解题思路：本题考查等腰三角形的性质和周长的计算。
根据等腰三角形的定义，AB=AC，所以三角形的周长为AB+AC+BC。
3. 解答：三角形ABC的周长为8cm+8cm+6cm=22cm。
答案：22cm四、综合题部分1. 真题回顾：小明从家出发，以每小时5公里的速度向学校方向走，同时，他的父亲从学校出发，以每小时4公里的速度向小明家方向走。
如果小明家与学校相距12公里，他们何时相遇？2. 解题思路：本题考查相遇问题的求解。
相遇问题通常使用以下公式：路程=速度×时间。
本题中，小明和父亲相向而行，所以他们相遇时，他们共同走过的路程等于小明家与学校之间的距离。
3. 解答：设他们相遇时间为t小时，则有5t+4t=12。
解得t=1.5小时。
所以，他们将在出发后1.5小时相遇。
答案：1.5小时总结：本题考查了有理数、一元一次方程、等腰三角形、周长、相遇问题等知识点。
在解题过程中，我们需要熟练掌握各种数学公式和定理，并灵活运用。
同时，注意审题，确保解题过程正确无误。
如何解中考数学压轴题
如何解中考数学压轴题数学综合性试题常常是中考试卷中把关题和压轴题。
在中考中举足轻重，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。
目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。
综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。
一、把好审题关综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。
在审题思考中，要把握好解题结果的终极目标和每一步骤分项目标；提高概念把握的准确性和运算的准确性；注意题设条件的隐含性。
审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。
二、思路清晰，思维严谨综合题具有知识容量大，解题审题时应考虑多种解题思路，注意思路的选择和运算方法的选择，注意数学思想方法的运用。
(1)把抽象问题具体化包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表，即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。
(2)把复杂问题简单化把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。
三、提高转化能力解好数学综合题必须具备：(1)语言转换能力每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。
解综合题往往需要较强的语言转换能力，还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。
(2)概念转换能力综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。
(3)数形转换能力解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。
四、在探索中固本，在探索中求新数形结合、分类讨论、方程函数的数学思想在数学综合题中得到充分体现，在综合性试题中成为支撑试题的核心。
中考数学函数实际应用综合题(解析版)
专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+． （2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？ 【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20． （2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（）， 故答案为：180，900，210，850． （2）16y x =(0)x >． 当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+． （3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100， 故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少， 故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =， 解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）． （3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元． （1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？ 【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+． （2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=， 解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． （3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元， 今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+， 整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去）， 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m 元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-， 整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：106x y =⎧⎨=⎩． 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ， 当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200， 综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。
比较二次根式大小的巧妙方法-精选教育文档
比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。
尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适?解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。
下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法此法好学，适用。
就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较的大小。
解：>∴>二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大;两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较与的大小。
解：∵，>0，>0∴<三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较与的大小。
解：∴>四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较与的大小解：∵>∴>五、求差或求商法求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当<0时，<;当时，;当>0时，>”来比较与的大小。
求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①同号：当>1时，>;=1时，;<1时，<。
②异号：正数大于负数” 来比较与的大小。
浅谈正方形综合题命制思路
D
C
O
E忆
E
M
A
B
图3
D
C
O E忆
A
E
B
图4
D
E
H O
C D忆
A
B
图5
其中袁图3是将吟A ED延着A D翻折 产生了形外图吟A DE忆袁图4是将吟OED 延着对角线BD翻折产生形内图吟ODE忆袁 图5是将吟A OD延着A E（E点为DC中点）
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作者简介院杨文川（1988-），硕士研究生，从事初中数学教育教学工作.
第一袁告诉边长或者已知线段长度
（例如2016、2017重庆中考18题）. 这样学 生就有一个突破口袁沿着出题人设置好 的线路寻找解题思路.
第二袁 在图形中分析隐含条件袁帮 助求解. 这一步是最困难的一步袁分析有 用的隐含条件是考查学生建模思维尧抽 象思维的重要环节. 例如图6中连接 OF袁则OF是吟A BD的中位线曰图7中CF 是吟DFE忆中以DE忆为边的高曰图8中三角 形A FD忆三边之比为FD忆 颐 A F颐 A D忆=3 颐 4 颐 5.
> 试题研究
数学教学通讯
投稿邮箱院sxjxtxxc@
浅谈正方形综合题命制思路
杨文川 重庆巴蜀中学 400013
［摘 要］ 文章讨论了在正方形背景下重庆中考数学几何综合题命制的基本思路，基 于正方形与翻折运动结合，主要研究翻折方向的选择、初中重要几何性质的 引入、学生运算能力的考查等几个方面.
考 题 1院（2017 重 庆）如 图 1袁 正 方 形 A BCD中袁A D越4袁 点E是对角线A C上一 点袁连接DE袁过点E作EF彝ED袁交A B于 点F袁连接DF袁交A C于点G袁将吟EFG 沿 EF翻折袁得到吟EFM袁连接DM袁交EF于 点N袁若点F是A B边的中点袁则吟EMN的 周长是______.
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2016 年中考数学复习计划 ............................................................................................................................................... 4 一、第一轮复习（3-4 周） .............................................................................................................................................. 4 1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”----理解为主，做题为辅.........................................4 （1）目的：过三关 ............................................................................................................................................................ 4 （2）宗旨：知识系统化.................................................................................................................................................... 4 2、第一轮复习应注意的问题 ........................................................................................................................................... 4 （1）必须扎扎实实夯实基础 ........................................................................................................................................... 4 （2）必须深钻教材，不能脱离课本 ............................................................................................................................... 4 （3）掌握基础知识，一定要从理解角度出发 ..............................................................................................................4 二、第二轮复习（3 周）................................................................................................................................................... 4 1、第二轮复习的形式：“突出重点，综合提高”----练习专题化，专题规律化 .................................................4 （1）目的：融会贯通考纲上的所有知识点 ..................................................................................................................4 （2）宗旨：建立数学思想，培养数学能力 ..................................................................................................................5 2、第二轮复习应注意的问题 ........................................................................................................................................... 5 （1）专题的划分要合理.................................................................................................................................................... 5 （2）保证一定的习题量.................................................................................................................................................... 5 （3）注重多思考，并及时总结规律 ............................................................................................................................... 5 三、第三轮复习（2-3 周） .............................................................................................................................................. 5 1、第三轮复习的形式：“模拟训练，查缺补漏” ......................................................................................................5 目的：突破中考分数的非知识角度的障碍 ..................................................................................................................... 5 2、第三轮复习应注意的问题 ...............................................................................................................................查缺补漏 ...................................................................................................................................5 （2）克服不良的考试习惯 ............................................................................................................................................... 5 （3）总结适当的应试技巧 ............................................................................................................................................... 5 第一章 实数......................................................................................................................................................................... 6 考点一、实数的概念及分类 （3 分）......................................................................................................................6 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3 分）.................................................................................................6 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10 分） .......................................................................................6 考点四、科学记数法和近似数 （3—6 分） ..........................................................................................................6 考点五、实数大小的比较 （3 分）..........................................................................................................................7 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） ............................................................................................7 第二章 代数式..................................................................................................................................................................... 8 考点一、整式的有关概念 （3 分）..........................................................................................................................8 考点二、多项式 （11 分）........................................................................................................................................ 8 考点三、因式分解 （11 分）.................................................................................................................................... 8 考点四、分式 （8~10 分） ...................................................................................................................................... 9 考点五、二次根式 （初中数学基础，分值很大） ................................................................................................9 第三章 方程（组）........................................................................................................................................................ 11 考点一、一元一次方程的概念 （6 分） ...............................................................................................................11 考点二、一元二次方程 （6 分） ...........................................................................................................................11 考点三、一元二次方程的解法 （10 分） ............................................................................................................11 考点四、一元二次方程根的判别式 （3 分）.......................................................................................................11 考点五、一元二次方程根与系数的关系 （3 分） ..............................................................................................11
利用思维导图解决初中数学几何综合题的案例分析
利用思维导图解决初中数学几何综合题的案例分析【摘要】思维导图是一种以图像化的方式表达想法的思维工具，利用发散式和节点式的结构，通过极高的压缩率，把复杂的问题简单化，这对于解决初中数学几何综合题显得尤为重要。
本文以2021年广东省中考数学24题为案例，谈谈如何利用思维导图解决初中数学几何综合题。
【关键词】思维导图初中数学几何综合题案例分析《数学课程标准》要求学生能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考；使学生注重经历观察、操作、推理、想像等探索过程。
而思维导图是一种以图像化的方式表达想法的思维工具，利用发散式和节点式的结构，通过极高的压缩率，把复杂的问题简单化，这对于解决初中数学几何综合题显得尤为重要。
在平常的教学中，学生对几何综合题的第一个困惑就是题目的条件太多，读不懂题目，导致无从下手。
为了解决这个难题，我们在分析题目的过程过中利用思维导图帮助我们梳理给出的已知条件，让脑袋迅速建立对题目的逻辑理解，从而减低做题的难度。
下面以2021年广东省中考数学24题为例进行分析说明：案例如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，．（1）求证：；（2）求证：以为直径的圆与相切；（3）若，，求的面积．这是一道典型的几何综合题，题目给出来的条件很多，我们不但知道，还知道，通过观察图形，其实“四边形ABCD”也不是普通的四边形。
从做题的角度，题目给的条件越多，对我们思维造成干扰的因素越多，我们的思维走向岔路的可能性就越大。
从试题考查的知识点来看，包含有等腰三角形的性质、平行线的性质、角平行线的性质、垂直的性质、切线的性质、三角形中位线的性质、勾股定理或锐角三角函数、三角形的面积计算公式等。
而在第二问的证明中，与我们一般证明切线的题目还不一样，这里还要先把圆画出来再进行相应的证明，无疑又增加了难度。
所以这道题不但条件多，运用的知识点多，而且题目问题的设置还有一定难度。
那么，我们该从哪里入手构建我们的解题思路呢？因为本题考查的知识点、给出的条件比较多，所以下面从3个小问入手，分别画思维导图解决：（1）导图分析1：因为第一问要证明，所以中心主题就是。
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中考数学综合题解题思路分析
黄浦区教师进修学院 李建国
纵观近五年的上海市数学中考试题，我们不难发现，数学综
合题的重点都放在高中继续学习必须的函数问题上。此类题
在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数
与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与
性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角
比相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的
数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运
动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对
给定的图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变
化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。其特点是：
注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多
变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，
但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题出现，相
当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利
于考生正常水平的发挥。而通过层层设问，拾级而上，逐步
深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现。数学综合
题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题
和几何型综合题。
函数型综合题
这通常是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的
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解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研
究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有①
一次函数 （包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的
图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③
二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式
主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标
基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题
基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。
几何型综合题
这通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有
动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求
对应的（未知）函数的解析式 （即在没有求出之前不知道
函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所
求的函数关系进行探索研究，探索研究的一般类型有：①在
什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是
菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探
究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求
x的值等；⑥直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求
未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的
等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）
的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复
合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三
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个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到
y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学
教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、
平行线截得比例线段、三角形相似等。求定义域主要是寻找
图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的
探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何
和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做
为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。
2019年中考数学综合题启示我们在进行综合思维的时候要
做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，
化动为静多画图，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新
品质得提高。
2019年的综合题没有了进一步的探究题，没有翘尾巴的难
度，试题设计保留较多的解题途径，使分析问题、解决问题
的基本功和灵活性都得到较充分的考查，这样既有利于提升
整卷效度，又便于控制试题及整卷的难度，有利于提升对于
课堂教学及复习的正面指导意义。它的意义很明确就是要指
导初中数学教学不要把试题无限制加深、加难，而把教学的
重点放在提高学生的数学素养上，这样有利于推进中小学实
施素质教育；有利于推进中小学课程改革；有利于促进初中
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教育教学改革；有利于切实减轻中学生过重的学业负担；有
利于培养学生的创新精神和实践能力；有利于促进学生全面
和谐、富有个性的发展；有利于学生在高中教育阶段的可持
续发展。