电路分析课件j14

1 t uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ + uC(0− ) C 0-
表示电感电流和电容电压的初始值。 其中 iL(0− )、uC(0− ) 表示电感电流和电容电压的初始值。
表示根据R、 、 元件时域电压电流的关系式如 图14－3表示根据 、L、C元件时域电压电流的关系式如 － 表示根据 何得到它们频域电路模型的过程。 何得到它们频域电路模型的过程。
在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程， 在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程， 我们将电路的时域模型变换为相量模型， 我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形 式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求 、 式的 和 直接建立复数的代数方程来求 所示： 解。具体分析步骤如图14－1所示： 具体分析步骤如图 － 所示
1 t iL(t ) = ∫ uL(ξ )dξ + iL(0− ) L 0-
频域关系 UR (s) = RIR (s)
1 1 IL(s) = UL(s) + iL (0− ) sL s UL(s) = sLIL(s) − LiL(0− ) UC(s) = 1 1 IC(s) + uC(0− ) sC s IC(s) = sCUC(s) − CuC(0− )
−αt
ω s2 + ω2
s s2 + ω2 n! sn+1 K K + s +α − jω s +α + jω
下面给出拉普拉斯变换的性质
性质 线性性质 微分规则 积分规则 关系式
L [a1 f1(t ) + a2 f2 (t )] = a1F (s) + a2F (s) 1 2
L[ df ] = sF(s) − f (0− ) dt
图14－5 －
的频域模型如图(b)所示 解：图(a)的频域模型如图 所示，列出网孔电流方程 的频域模型如图 所示，
1 1 12 8 1+ s I1(s) − s IL(s) = s − s − 1 I (s) + s + 1+ 1 I (s) = 4 + 8 L s 1 s s
图14－6 －
1．用矩阵形式列出个结点的KCL方程 ．用矩阵形式列出个结点的 方程
支路 1 ① 结点 ② ③ 2 3 4 5
I1(s) 1 1 0 0 0 I2 (s) 0 = 0 0 −1 −1 1 0 I3 (s) 0 0 0 −1 1 I (s) 0 4 I5 (s)
简写为 其中
AI(s)＝0 ＝
1 1 0 0 0 A＝ 0 － － 1 0 1 1 0 0 0 － 1 1
称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系， 称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素为
k i 1 如果支路 离开结点 aik = − 1 如果支路 进入结点 k i 0 如果支路 不与结点 相连 k i
第十四章 动态电路的频域分析
动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程， 动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程， 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言， 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言， 建立和求解微分方程都十分困难。 建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程， 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常 常采用相量法。 常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量 电压电流表示， 电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程 来求解，得到相量形式的电压电流后， 来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦 电压电流。 电压电流。
求解得到电感电流的拉普拉斯变换后， 求解得到电感电流的拉普拉斯变换后，再用部分分式 展开为
4(s2 + 3s + 3) 6 − 2s IL(s) = = + 2 2 s(s + 2s + 2) s s + 2s + 2 6 − 2s = + s (s + 1− j)( s + 1+ j) 6 −1− j −1+ j = + + s s + 1− j s + 1+ j
2．用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVL方程 用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVL方程 KVL
根据电感电流的拉普拉斯变换， 根据电感电流的拉普拉斯变换，查拉普拉斯变换表 14－1，可以得到电感电流的零输入响应、 零状态响应 － ，可以得到电感电流的零输入响应、 和全响应为
−5 9 ' −t −3t 零 入 应 输 响 + → iL(t ) = (−5e + 9e ) ε(t )A (s + 1) (s + 3) 1 −1 " −t −3t 零 态 应 状 响 + → iL(t ) = (e − e ) ε(t )A (s + 1) (s + 3) −4 8 −t −3t 全 应 响 + → iL(t ) = (−4e + 8e ) ε(t )A (s + 1) (s + 3)
(t ∑i(t) = 0 ∑u(t) = 0
对每个结点 对每一回 路
对 每个结点 对 每一回 路
频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为
∑I(s) = 0 ∑U(s) = 0
对于R、 、 元件电压电流的关系式如下所示 元件电压电流的关系式如下所示： 对于 、L、C元件电压电流的关系式如下所示： 时域关系 uR (t ) = RiR (t )
图14－1 －
能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时 不变电路的全响应， 不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条 件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换， 件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用 类似的方法来分析任意信号激励下， 类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电 路的完全响应，其具体分析步骤如图 － 所示 所示： 路的完全响应，其具体分析步骤如图14－2所示：
0− ∞
∞
= ∫ e−stdt
0+
1 −st =− e s 0 1 = s
∞
下面给出常用函数的拉普拉斯变换
f (t )
F(s) = ∫ f (t )e−stdt
0−
∞
δ (t ) ε (t )
e
−αt
1 1/s 1 s +α
sin(ωt ) cos(ωt ) tn 2 | K | e cos(ωt + ∠K)
查拉普拉斯变换表可以得到电感电流为
iL (t ) = [6 + 2 2e−t cos(t − 135o )]A
郁金香
§14－3 线性时不变电路的性质 － 一、频域形式的表格方程 表格方程由KCL、KVL和元件 、 和元件VCR方程组成。现在以 方程组成。 表格方程由 和元件 方程组成 电路加以说明。 图14－6电路加以说明。 － 电路加以说明
时间函数f(t)的拉普拉斯变换记为 时间函数 的拉普拉斯变换记为 L [ f (t )] ，其定义为
L [ f (t )] = ∫ f (t )e dt
−st 0−
∞
其中 s = σ + jω 称为复频率。积分的上下限是固定的， 称为复频率。积分的上下限是固定的， 无关， 积分的结果与t无关，只取决于参数s，它是复频率的函 数，即
t 0-
L [∫
f (ξ )dξ ] =
1 F(s) s
其中
L [ f (t )] = F(s) L [ f1(t )] = F1(s)
L [ f2 (t )] = F2 (s)
郁金香
§14－2 动态电路的频域分析 －
若将时域的电压u(t)和电流 的拉普拉斯变换记为 和电流i(t)的拉普拉斯变换记为 若将时域的电压 和电流 U(s)和I(s)，则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律 和 ， 分别表示为
图14－1 －
图14－1 －
采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很 多基本性质。 多基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频 域分析方法， 域分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络 分析程序，供读者学习电路课程时使用。 分析程序，供读者学习电路课程时使用。
§14－l 拉普拉斯变换 －
图14－3 －
由此可见， 由此可见，在频域模型中电感电流和电容电压的初 始值是以一个阶跃电源或冲激电源的形式出现的。 始值是以一个阶跃电源或冲激电源的形式出现的。
二、频域法分析线性时不变电路的主要步骤 (一)画出频域的电路模型 一 画出频域的电路模型 已知时域电路模型可以画出频域的电路模型，其步骤如下： 已知时域电路模型可以画出频域的电路模型，其步骤如下： 1．将时域模型中的各电压电流用相应的拉普拉斯变换表示， ．将时域模型中的各电压电流用相应的拉普拉斯变换表示， 并标明在电路图上。 并标明在电路图上。 2．将R、L、C元件用图 －3所示频域等效电路模型表示。 ． 元件用图14－ 所示频域等效电路模型表示 所示频域等效电路模型表示。 、 、 元件用图 其中，电感电流的初始值 是以阶跃电流源i 其中，电感电流的初始值iL(0-)是以阶跃电流源 L(0-)/s或冲激 是以阶跃电流源 或冲激 电压源LiL(0-)的形式出现。电容电压的初始值uC(0-)是以阶跃 电压源 的形式出现。电容电压的初始值 是以阶跃 的形式出现 电压源u 或冲激电流源Cu 的形式出现。 电压源 C(0-)/s或冲激电流源 C(0-)的形式出现。 或冲激电流源 的形式出现
图14－4 －
电路的频域模型， 所示， 解：图(a)电路的频域模型，如图 (b)所示，由此列出频 电路的频域模型 所示 域形式的网孔方程， 域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉普拉斯变 换如下所示。 换如下所示。