对数与对数函数

对数与对数函数
知识点一、对数及其运算
我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念: 1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2. 对数恒等式：
3. 对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，
.
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
(四)积、商、幂的对数
已知
(1)；
推广：
(2)；(3).
(五)换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:
(1)
令log a M=b，则有a b=M，(a b)n=M n，即，即，
即:.
(2) ，令log a M=b，则有a b=M，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
知识点二、对数函数
1. 函数y=log a x(a＞0，a≠1)叫做对数函数.
2. 在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图
象随a的增大而远离x轴.(见图1)
(1)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R
(2)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)
(3)当a＞1时，
一、对数的概念
一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记做，即
其中叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”．
实质上，上述对数表达式是指数式的另一种表现形式。

易得：
注：[1] 底数的范围：；
[2]零和负数没有对数，即；
[3]常用对数，自然对数(以无理数为底的对数);
[4] 1的对数为0，即；底的对数等于1，即．
二、对数的运算性质与运算法则
1. 恒等式：，．
2. 换底公式：．
证明：设，则有，
即．
注：换底原则往最简单的形式化简（底数、真数不能化成幂的形式）；做题需要，一般也常换为自然对数底或常用对数底．
3. 正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．（积à和）
即，．
证明：设，则，改写为对数式：，
．
另证：，
单调，．
注：[1] 的条件；
[2] 第二种证法中，需强调指数函数单调性的说明．(保证变量取值与函数值之间的一一对应)
4. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数．（商à差）
即，．
5. 正数幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．（乘方à积）
即，．
6. 正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．
即，．
三、对数函数：
函数，称为对数函数．
四、对数函数的图象及其性质：
(1)值域是实数集，即；
(2)，，即对数函数图象通过点，．
通过求纵坐标为1的点的横坐标值，即可得到的取值．
(3)在定义域内，当为增函数；时：为减函数．
(4)函数值分布:
时：
时：
(5)奇偶性：非奇非偶函数．
(6)对数函数图象的相对位置关系：
时，当，越大，图象越靠近轴；呢？
时，当，越小，图象越靠近轴．
五、反函数：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数．
函数的反函数通常用表示．
注：[1] 原函数是用表示，而其反函数从解析式上看是用表示．
[2] 原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域．
相同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
相同底数的指数函数与对数函数图象有什么关系？(关于直线对称)
2．对数的性质：
(1)零和负数没有对数，即中N必须大于零；
(2)1的对数为0，即；
(3)底数的对数为1，即.
3．对数恒等式：
4．常用对数：
以10为底的对数叫做常用对数，记为：
5．对数函数的概念、图象和性质：
①的定义域为值域为；
②的符号规律：同范围时值为正，异范围时值为负；
③的单调性；
时，在(0，+∞)单增，时，在(0，+∞)单减.
④的图象特征：
时，过(1，0)点，在轴上方越大越靠近轴；
时，过(1，0)点，在轴上方越小越靠近轴.
⑤“同正异负”法则：给定两个区间(0，1)和(1，+∞)，若与的范围处于同一个区间，则对数值
大于零；否则若与的范围分处两个区间，则对数值小于零.
6．指数函数与对数函数关系：
指数函数与对数函数互为反函数；。