上海科学技术出版社初中数学九年级下册 圆周角定理及其推论-说课一等奖
最新沪科版初中数学九年级下册24.3第1课时圆周角定理及推论优质课教案
243 圆周角第1课时圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，，D为圆上两点，∠AO＝130°，则∠D等于( )A ．25°B ．30°．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AO ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BO ＝50°，∴∠D ＝25°故选A方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数．解析：弦AB 的长恰好等于⊙O 的半径，则△OAB 是等边三角形，则∠AOB ＝60°而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点，连接A ，B ∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠AB ＝12∠AOB ＝30°即弦AB 所对的圆周角等于30°如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD ∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB ∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A 55B 255 ．2 D 12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ A AB ＝12故选D 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△AB 的顶点在⊙O 上，AD 是△AB 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠AD解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△AB 的高得Rt △AD ，要证∠BAE ＝∠AD ，只要证出它们的余角∠E 与∠相等，而∠E 与∠是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°∵AD是△AB的高，∴∠AD＝90°，∴∠AD＋∠＝90°∵(AB,︵)＝(AB,︵)，∴∠E＝∠∵∠BAE＋∠E＝90°，∠AD＋∠＝90°，∴∠BAE＝∠AD方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形，并借助直角三角形的性质解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用提升学生的思维能力。
最新沪科版初中数学九年级下册24.3第1课时圆周角定理及推论优质课课件(2)
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
∠ACD
=解60：°连，接∠BACD，C=则7∠0°A.C求B=∠90A°PC，的度数.
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°.
A 又 ∵ ∴∠∠BAAPCD==∠∠DBCABD=+3∠0°A，DC =30°+70°=100°.
A B
AB E
O
C
F
D
练一练
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线， 完成下列填空：
∠1= ∠4 .
D
∠2=∠8 .
78
∠3=∠6 . ∠5=∠7 .
A1 2 34
(
O
6 5
C
B
D 思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC = 90° ， ∠ABC= 9.0°
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
2
2
E O
A B.
C
F
D
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么 CD EF 成立吗？
知识要点
圆周角定理推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
几何语言
CD EF
并且两边都与圆还有另一个公
共点的角叫做圆周角.
B
O C
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C O·
沪科版九年级下册数学 课时1 圆周角定理及推论 教学PPT课件
∴⊙O的周长为2π×2＝4π(cm)．
拓展与延伸
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，
∠1＝∠BCD.
D
(1)求证：CB∥PD； (2)若BC＝3，sinP＝ 3，求⊙O的直径．
5
拓展与延伸
(1)证明：∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BCD＝∠P.
又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.
(2)解：如图，连接AC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，∴ BD BC,
∴∠P＝C 3 .
5
AB 5
又∵BC＝3，
∴AB＝5，∴⊙O的直径为5.
新课讲解
练一练
1 下列四个图中，∠x为圆周角的是( C )
2 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， 若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( D ) A．25°B．30° C．40°D．50°
新课讲解
知识点2 圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相 等的圆周角所对的弧也相等.
第24章 圆
24.3 圆周角
课时1 圆周角定理及推论
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.识别圆周角，了解圆周角与圆心角的关系.（重点） 2.能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的 计算与证明. （难点）
分析：(1)观察图形发现∠BAC与∠BDC为 同弧所对的圆周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；
(2)要求圆的周长，必须先求出半径，可利用垂径 定理，即连接OA，作OE⊥AC于点E，构造直 角三角形求出半径．
初中数学沪科版九年级下册第24章圆2圆周角 全国获奖
第2课时圆的内接四边形
【教学目标】
1.进一步理解圆周角的定理及其推论.
2.理解圆的内接多边形、多边形的外接圆等概念.
【重点难点】
重点：理解圆的内接多边形、多边形的外接圆等概念及圆内接四边形的性质.
难点：应用圆内接四边形的性质解决实际问题,导入新课
让学生先自学,试回答以下问题：
教材习题第8～11题.
加深认识,深化提高.
┃教学小结┃
【板书设计】
圆的内接四边形
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
定理：圆内接四边形的对角互补,且任何一个外角都等于它的内对角。
充分发挥小组合作的优势,提高学生应用所学知识解决问题的能力.
三、运用新知,解决问题
1.让学生证明：圆的内接平行四边形是矩形.
2.教材第31页练习第1～3题.
先小组合作再独立思考,步步加深.
四、课堂小结,提炼观点
引导学生回顾本节课的主要知识,对学生的回答进行补充概括.
培养学生及时总结的习惯.
五、布置作业,巩固提升
1.圆的内接多边形的定义.
2.圆内接四边形的性质.
体现”先学后教、以学定教”的先进教学理论.
二、师生互动,探究新知
1.多媒体出示教材图24－39,并设计如下课件引导学生证明圆的内接四边形的性质.
在图24－39中,由于 与 所对的圆心角之和是________.
∴∠A＋________＝180°.
同理∠B＋________＝180°.
如果延长BC到点E,那么
∠BCD＋∠DCE＝________,
∴∠A＝∠DCE.
由于∠A是∠DCE的补角∠BCD的对角(简称为∠DCE的内对角),于是我们得到圆内接四边形的性质.
沪科版九年级数学下册教案-圆周角定理及推论
24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A.55B.255 C ．2 D.12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.。
2圆周角第1课时圆周角定理课件沪科版九年级数学下册
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
(
5.如图,四边形ABCD的四个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,C为 BD 的中点. 若∠A=40°,则∠B= 70° .
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
定理：一条弧都所对的圆周角等于等于它所对的圆心角的一半．
应用格式： ∵AB是直径，∴∠AC1B=90°. ∵∠AC1B=90°，∴AB是直径.
C1
C2
C3
习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.下列图形中的角是圆周角的有( B )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
2.如图,点A,B,C在☉O上,若∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( B )
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角 所对的弧也相等. 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
A.75°
B.70°
C.65°
D.35°
(
3.如图,点A,B,C,D在☉O上,若∠AOC=140°,B是 AC 的中点,
则∠D的度数( D )
A.70°
B.55°
C.35.5° D.35°
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
4.如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,若∠OAB=50°,则∠C的度数为( B )
课堂总结
复习： O.
1.什么叫圆心角?
7.24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
新课标（沪科） 九年级下册
24.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
第1课时
圆周角定理及其推论
学 习 目 标
► 学习目标1 认识圆周角
1．下列图形中的角是圆周角的是( B )
图24－4－1
第1课时
圆周角定理及其推论
[解析] 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角．满足条 件的是B.
圆上 ，并且两边都与圆________________ 还另有一个交点 [归纳] 顶点在______ 的角叫做圆周角．
AB 2BD ∵BC ＝2BD，∴ ＝ ， AD BE AB 2DP ∴ ＝ ， AD CE ∴AB ·CE＝2DP·AD.
第1课时
圆周角定理及其推论
[归纳总结]要抓住直径所对的圆周角是直角，证明直角三 角形相似除了有一对直角相等外，还需要一对锐角相等．
第1课时
圆周角定理及其推论
课 堂 小 结
第1课时
80° 且∠BAC＝40°，则∠BOD＝_______.
图 24 －4－6
第1课时
圆周角定理及其推论
[归纳]圆周角定理的推论：(1)在同圆或等圆中，同弧或等 相等 ，相等的圆周角所对的弧也 _______ 相等 ； 弧所对的圆周角 _______ 直 角，90°的圆周角所对的 (2)半圆或直径所对的圆周角是 ______ 直径 ． 弦是_______
第1课时
圆周角定理据圆周角定理及其推论求角度
教材例题变式题如图 24－4－ 7，△ABC 的三个顶点都在
⊙O 上，∠ABC＝71°，∠CAB＝53°，点 D 在︵ AC上，则∠ADB 的大 小为( )
图 24 －4－7
A．46°
B．53° C．56° D．71°
沪科版九年级下数学《24.3.1圆周角定理及推论》课件
A
. O
C
DC AC2 AD2 102 62 8.
(2) 若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．
解：∵ AC是⊙O的直径，∴ ∠ABC=90°.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ，∠BAC=∠BDC .
D
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴ AB=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形.
∠AOC＝130°，则∠D等于
(A)
A．25° B．30° C．35° D．50°
解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°. 故选A.
三 圆周角定理的推论
合作探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是圆 上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC 相等吗？请说明理由.
共点的角叫做圆周角.
B
O C
判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C O·
A
C
√
A
B
顶点不在圆上 边AC没有和圆相交
B
O·
A
B
C
顶点A不在圆上
CC O·
·O
A
B
√
√
二 圆周角定理及其推论
观察与思考
如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想
∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系? A
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC=50°， ∠ABC=47°，则∠AOB= 166°．. 如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °， AB＝2，则⊙O的半径是 2 .
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课题：圆周角
【学习目标】
1．理解圆周角的概念；
2．经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角定理及其推论，并会灵活运用．
【学习重点】
理解圆周角及圆心角的关系，会用推论1、2解决问题．
【学习难点】
圆周角定理及推论的理解与应用．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：引导学生辨别圆周角与圆心角的区别．
行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实
重点．
知识链接：一条弧只对应一个圆心角，但它所对圆周角却有无数个．
情景导入 生成问题
情景导入：
1．什么是圆心角
答：顶点在圆心的角叫圆心角．
2．本节课我们来学习圆周角，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆有另一公共点的角叫圆周
角．图中是圆周角的是④⑥．
自学互研 生成能力
错误!
阅读教材
，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长．
解：∵∠ADE＝60°，
DC平分∠ADE，
∴∠ADC＝错误!∠ADE＝30°，
∴∠ABC＝30°
∵AB为⊙O的直径且AB＝10cm，
∴AC＝错误!AB＝5cm，BC＝错误!＝5错误!cm
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并
将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生
成新知”．
知识模块一 圆周角定理
知识模块二 圆周角定理的推论
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1. 收获：_____________________________________________________________________
2．存在困惑：_____________________________________________________________________