解直角三角形应用题专题练习
中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题
中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题（含答案）1．比较大小：sin60°＞tan30°（用“＞”或“＜”填空）．2．Rt△ABC中∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴∠A＝30°，∴tan30°＝．3．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，作等腰三角形ABD，使AB＝AD，∠BAD＝∠BAC，且点C不在射线AD上，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BDE的值为（）A．B．C．D．【分析】先在Rt△BCA中求出AB，再利用“AAS”说明△ADE≌△ABC，求出BE、BD的长，最后在Rt △BDE中求出∠BDE的正弦．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．在△ADE和△ABC中∵AB＝AD＝10，∠BAD＝∠BAC，∠DEA＝∠C＝90°，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AC＝AE＝6，BC＝DE＝8．∴BE＝AB﹣AE＝4．∴BD＝＝4．∴sin∠BDE＝＝＝．故选：C．6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（）A．B．C．2D．【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tan A＝＝＝，7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt △ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，∴AC＝＝＝3，由旋转得：AB＝A′B＝5，∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，∵∠ACB＝90°，∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（）A．5m B．6m C．6.5m D．12m【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．【解答】解：设小车上升的高度是xm，∵sinα＝，∴＝，解得，x＝5，9．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，由图可得：CD＝＝，CE＝＝，＝4，∵，即4＝，∴EF＝，在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，∴sin∠AOD＝．10．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B的值为．【解答】解：如图，连接格点A、D．在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tan B＝；11．如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE 的距离是（）cm（结果保留根号）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，∵CG∥EH，∴∠GCD＝∠CDE＝60°，∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，在Rt△ACG中，AC＝10（cm），sin∠ACG＝＝＝，∴AG＝5（cm），在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，∴CF＝CD•sin60°＝8m，∴GH＝CF＝8cm，∴AH＝（5+8）cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE 翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝．【解答】解：延长EF交BC于H，如图：∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF∥AD，∴EH⊥BC，＝，∵CE＝2AE，∴CH＝2DH，设DH＝x，则CH＝2x，∴CD＝BD＝3x，∴BH＝BD+DH＝4x，设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，由①②联立方程组，解得x＝a，y＝3a，∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，∴tan∠CBE＝＝＝，13．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tan B＝，则DE＝cm．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，∴tan B＝＝，∴CB＝4（cm），∴AB＝＝＝5（cm），∵DE垂直平分线段AB，∴BE＝AE＝（cm），∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴△CED∽△BCA，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），14．（2022·深圳坪山区一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，解直角三角形的应用15．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）【分析】（1）由坡度的概念求出BF即可；（2）由勾股定理求出AF，再由锐角三角函数定义求出DE和CG，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD约为13.4m．16．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11米．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD ＝1米，在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）17．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC 为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+）米【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝1.5米，在△ABE中，∵tanα＝＝，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），18．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号）19．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．20．某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．（1）斜面AD的坡度i＝1：1；（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．【分析】（1）根据题意可得∠AED＝90°，∠ADE＝45°，然后在在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，从而表示出DF，BF的长，再利用斜面BD的坡度i＝1：2，列出关于x的方程，进行计算即可求出x的值，然后分别在Rt△BDF和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD，BD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，（2）由（1）得：AE＝DE，设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，∵AC＝300米，BC＝500米，∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，∴DF＝EC＝（300﹣x）米，∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），∴AD+BD＝（100+200）米，∴电线AD+BD的长度为（100+200）米．21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝＝＝10（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，∴EC＝AE•tan45°＝10（米），∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），∴大树BC的高约为12.7米．22．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是24米．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）【解答】解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，则BD＝AE＝600米，在Rt△AED中，∠EAD＝45°，∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），∴木棉树的高度CD是24米，23．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为27米．（结果保留根号）【分析】过点B作BD⊥OA，垂足为D，根据题意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用锐角三角函数的定义求出DO，DB的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出BC的长，即可解答．【解答】解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB•tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距离BC为27米，24．如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C的度数；（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC与点E．由题意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；（2）由题意得，AB＝40×＝20（海里），在Rt△ABE中，BE＝AB•sin45°＝10（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴BC＝2BE＝20（海里），答：B处船与小岛C的距离为20海里．25．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 6.4cm．[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，26．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【分析】根据坡度定义直接解答即可．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），27．（2022·深圳坪山区二模）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m【解答】解：过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，解得：x＝90，即AB＝90m，28．如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，∵BM＝CN＝1.7米，且BM⊥DM，CN⊥DM，∴BM∥CN，∴四边形BCNM是平行四边形，∵∠CNM＝∠BMN＝90°，∴平行四边形BCNM是矩形，同理，四边形CEDN是矩形，∴ED＝CN＝1.7米，∴AE＝AD﹣ED＝3.3﹣1.7＝1.6（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝58°，∵，∴CE＝≈＝1（米），在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，∵＝1，∴BE＝AE＝1.6（米），∴BC＝BE﹣CE≈1.6﹣1＝0.6（米），答：B、C两点的距离约为0.6米．29．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．。
2019中考数学专题复习应用题归类7(解直角三角形)
2019中考数学专题复习应用题归类7（解直角三角形）1.以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．解：如图，过B 点作BD ⊥AC 于D∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45° 设BD ＝x在Rt △ABD 中，AD ＝tan30°＝ 在Rt △BDC 中BD ＝DC ＝x BC又AD ＝5×2＝10 得 ∴（海里） 答：灯塔B 距C 处海里2.，一巡逻艇航行至海面B 处时，得知其正北方向上C 处一渔船发生故障．已知港口A 处在处的北偏西37°方向上，距B 处20海里；C 处在A 处的北偏东65°方向上．求B,C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．x⋅3x 10x +=1)x =1)BC ==B参考数据：解：点A 作，垂足为D 在中，，，∴． ．在中，， ∴ （海里）答：之间的距离约为21.6海里．3.习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF在Rt △ADF中，tan 50°≈1.204×1.20sin370.60cos370.80tan370.75≈≈≈，，，sin 650.91cos650.42tan 65 2.14.≈≈≈，，AD BC ⊥Rt ABD △20AB =37B ∠=°sin 3720sin 3712AD AB==·°°≈cos3720cos3716BD AB ==·°°≈Rt ADC △65ACD ∠=°125.61tan 65 2.14AD CD =≈≈° 5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈B C ，x ≈27.8∴DF≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的 方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD ·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD ·tan 30° ∵AE +EF =AF ∴30+FDtan 30°=FD·tan 50° ∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的4.，是一个实际问题抽象的几何模型，已知A 、B 之间的距离为300m ，求点M 到直线AB 的距离（精确到整数）．并能设计一种测量方案？ （参考数据：，）解： 过点M 作AB 的垂线MN ，垂足为N .∵M 位于B 的北偏东45°方向上， ∴∠MBN = 45°，BN = MN . 又M 位于A 的北偏西30°方向上， ∴∠MAN =60°，AN =∵AB = 300，∴AN +NB = 300 . ∴.MN .7.13≈4.12≈tan 603MN =3003=+MN MN 191≈ AM4530B第6题AM45° 30°B 北第6题答案图N。
解直角三角形的练习题
解直角三角形的练习题### 解直角三角形的练习题1. 基础概念题：直角三角形中，直角的度数为多少？斜边与直角边的关系是什么？2. 简单应用题：在直角三角形ABC中，角C为直角，AB为斜边，若AC=10，BC=8，求AB的长度。
3. 勾股定理应用题：已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边的长度。
4. 角度计算题：在直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，求这两个锐角的度数。
5. 实际测量题：一座高塔与地面垂直，从塔底到塔顶的直线距离是100米。
如果从塔底到塔顶的斜线距离是120米，求塔底到塔顶的水平距离。
6. 三角函数值计算题：在直角三角形中，已知一个锐角的正切值为3，求这个角的正弦和余弦值。
7. 综合应用题：一个梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面5米，梯子与地面的夹角为60度。
求梯子的长度。
8. 相似三角形判断题：两个直角三角形，如果它们的对应边成比例，它们是否相似？为什么？9. 特殊角三角函数值应用题：在直角三角形中，如果一个角为30度，求这个角的正弦、余弦和正切值。
10. 图形变换题：一个直角三角形的直角边长分别为3和4，如果将这个三角形沿着斜边旋转90度，求旋转后的三角形的边长。
11. 实际问题解决题：一个风筝挂在树上，风筝线与地面成60度角，如果风筝线的长度为10米，求风筝到地面的垂直距离。
12. 三角函数逆运算题：已知一个角的正弦值为0.5，求这个角的度数（精确到度）。
13. 比例问题：在直角三角形中，如果斜边长度是一条直角边长度的两倍，求另一条直角边与斜边的长度比。
14. 角度变换题：一个直角三角形的两个锐角分别为α和β，如果将三角形旋转45度，求旋转后两个锐角的新值。
15. 函数图像题：画出正弦函数y=sin(x)在0到90度的图像，并标注特殊角度的函数值。
16. 几何证明题：证明在直角三角形中，斜边的中线等于斜边长度的一半。
17. 三角函数变换题：已知一个角的正弦值为1/2，求这个角的余弦值。
《解直角三角形及其应用》综合练习(含答案)-
1解直角三角形及其应用综合练习(A ) 100.2 (B )100. 3 (C ) 100(3 . 3) (D )100(3 . 3)10、如图：在等腰直角三角形 1ABC 中，/ C = 900, AC = 6, D 是 AC 上一点，若 tan / DBA=—，贝U AD51、在厶ABC 中，/ C=90°,如果各边长度都缩小2倍，则锐角 、都没有变化 A 的正切值和余切值（D 、不能确定 )A 、都缩小2倍B 、都扩大2倍C 2、在厶 ABC 中，/ C =90° ，如果 AB= 2,BC = 1，那么si nA 的值是（ ）A 、1B、 —5C、 仝D、近253 2、选择题：（共12个小题，每小题3分，共36分） 的长为（ A 、211、在离旗杆的高为（ A . 20coS ） B 、2 C20米处的地方, ）米B 12、已知△ ABC 中，/ (A ) 12 3(B ) 、1 D 、2 2用测角仪测得旗杆顶的仰角为,如测角仪的高为1.5米,那么旗杆 .20ta nB = 60°, 12 (C ) CAB= 6, 24, 3 .1.5+ 20ta nBC = 8,则厶ABC 的面积是( D . 1.5+20coS(D ) 12 25B3C3D、cosA = 445454、已知a 为锐角， tan (90° — a): =.3 , 则a 的度数为（)A. 30°B .45C.60°D.75°5、 Rt ABC 中，C90 ，若 AB=2 BC .3，则ta/的值为（)2A. J3 BC.3D.2.3236、A ABC 中, cos A1 ,tanB=1 ,则厶ABC 的形状是（)2A.锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D . 等腰三角形7、若/ A 是锐角， 且 si nA = cosA , 则/ A 的度数是（ )A. 30°.45°C .60°D .90 °3、在厶ABC 中，已知 AC = 3、BC =4、AB= 5,那么下列结论成立的是（）二、填空题：（共6个小题，每小题4分，共24分）2 213、计算：sin 48°+ sin 42 °— tan44 °・ tan45 ° • tan46 14、已知等腰三角形的周长为 20，某一内角的余弦值为8、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A 10 米B 、15 米C 、25 米D 、30 米B C第9题图A9、如下图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点 点，分别测得/ ABC= 60°,Z ACB= 450,则这段河的宽度为A ,在河南岸选相距 200米的BC 两）C2，那么该等腰三角形的腰长等3于 _____________ 。
数学练习解直角三角形的应用问题
数学练习解直角三角形的应用问题直角三角形是数学中重要的基础概念，它在实际生活和各个学科中具有广泛的应用。
本文将通过一些数学练习题目，来解析直角三角形在实际问题中的应用。
一、测量问题1. 一个测量员发现，他站在一个直角三角形的顶点A，距离直角的一个顶点B的水平距离为6米，而直角边AB的长度为8米。
他想知道他到直角的另一个顶点C的垂直距离是多少？解析：根据直角三角形的性质，可以利用勾股定理来解决这个问题。
勾股定理表达式为a² + b² = c²，其中c为斜边（即直角三角形的斜边AC），a和b为直角边（即直角三角形的直角边AB和BC）。
根据题意，a = 8，c为待求值，b为6。
代入勾股定理的公式，可以得到：8² + 6² = c²64 + 36 = c²100 = c²c = √100c = 10所以，他到直角的另一个顶点C的垂直距离为10米。
二、航海问题2. 一艘船从港口A出发，沿着方位角60°航行了5公里，然后转向方位角120°航行7公里。
求船的总位移和最终位置。
解析：根据给定的方位角和航行距离，可以利用正弦定理和余弦定理解决这个问题。
首先，计算船在第一段航行中的位移。
根据正弦定理，可以得到：sin(60°) / 5 = sin(α) / dd = 5 * (sin(α) / sin(60°))其中，α为船的偏离角度，d为船在这段航行中的位移。
代入α = 180° - 60° = 120°，得到：d = 5 * (sin(120°) / sin(60°))d = 5 * (√3 / 2)接下来，计算船在第二段航行中的位移。
根据余弦定理，可以得到：d = √[(7² + 5²) - 2 * 7 * 5 * cos(120°)]d = √[(49 + 25) - 70 * (-0.5)]d = √(74 + 35)d = √109所以，船的总位移为5 * (√3 / 2) + √109，最终位置为港口A到船的位移的向量和。
专题02 解直角三角形(六大类型)(老师版)
专题02解直角三角形（六大类型）1．（2023•青岛三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：过点D作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝5，∴sin∠BAC＝，故选：B．2．（2023•樊城区模拟）如图，在正方形组成的网格中，∠BAC的余弦值等于（）A．B．C．1D．【答案】B【解答】解：如图，在Rt△ACD中，AD＝CD＝3，∴AC＝＝＝3，∴cos∠BAC＝＝＝，故选：B．3．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，BC＝4，tan，则AD的长为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∵tan∠CAB＝＝，∴AC＝2BC＝2×4＝8，∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝×8＝4，故选：C．4．（2023•增城区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，，则AC的长是（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝＝，∴AC＝AB＝×10＝6，故选：A．5．（2023•集宁区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，，则AC的长为（）A．9B．15C．18D．12【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝25，，∴＝，∴AC＝AB＝×25＝15，故选：B．6．（2022秋•薛城区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（）A．8B．C．7D．【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC BC于点D，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∵tanC＝＝，∴CD＝3，∴BC＝BD+CD＝7；故选：C．7．（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：连接BC，由题意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故选：B．8．（2022秋•电白区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故选：C．9．（2022•市中区二模）如图，在▱ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交BC与点E，BE：EC＝2：1，则▱ABCD的面积为（）A．12B．C．D．【答案】C【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，在▱ABCD中，∵CD＝4，∴AB＝CD＝4，由作法得EM垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝4，∵BE：EC＝2：1，∴EC＝2，BC＝BE+EC＝4+2＝6；又∵AF⊥BC，∠B＝60°，∴sin∠ABF＝，∴AF＝AB•sin∠ABF＝4×＝2，∴S▱ABCD＝BC•AF＝6×2＝12．故选：C．10．（2022•南山区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠ACD的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，tanB＝，∴tanB＝，∴tan∠ACD＝，故选：A．11．（2022•青秀区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则AB长为（）A．4B．8C．D．12【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，∴AB＝＝＝8，故选：B．12．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么tanα的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，在Rt△AOB中，tanα＝＝，故选：B．13．（2022秋•张店区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（）A．6B．12C．6D．6【答案】B【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6，∴CE＝BC•sin45°＝6×＝6，在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，∴AC＝＝＝12，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝12，故选：B．14．（2022•泗水县二模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，在Rt△BAD中，，∴，设AB＝3a，AD＝4a，则BD＝＝5a，∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．故选：B．15．（2021秋•安居区期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝60°，在Rt△ACD中，AC＝2，∴AD＝ACcos60°＝2×＝1，CD＝ACsin60°＝2×＝，∵AB＝4，∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，在Rt△BDC中，BC＝＝＝2，∴sinB＝＝＝，故选：D．16．（2023•海陵区一模）如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是3．【答案】3．【解答】解：连接AC．∵CB∥AD，∴△CBP∽△DAP．∴＝＝．∴＝，即＝3．∵AC＝CD＝＝，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2．∴∠ACD＝90°．在Rt△ACP中，tan∠APC＝＝＝3．故答案为：3．17．（2023•鼓楼区校级二模）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝．【答案】．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，∵，∴设BC＝2a，AC＝3a，∵∠A，∠B互为半余角，∴∠A+∠B＝45°，∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a•＝2a，CD＝BCcos45°＝2a•＝2a，∵AC＝3a，∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，故答案为：．18．（2023•锡山区模拟）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是．【答案】．【解答】解：如图：由题意得：AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，AB＝5，∵BE＝EF，DE∥AF，∴BD＝AD，∴CD＝BD＝AB，∴∠CBD＝∠BCD，∵∠CDA＝∠BCD+∠CBD，∴∠CDA＝2∠CBD，∴＝sin∠CBD＝＝，故答案为：．19．（2022秋•河北期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，BC＝12，D是AB的中点，过点B作线段CD的垂线，垂足为点E．（1）线段CD的长为；（2）cos∠DBE的值为．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝＝，∴设AC＝3x则AB＝5x，∴BC＝＝＝4x，∵BC＝12，∴4x＝12，∴x＝3，∴AB＝5x＝15，AC＝3x＝9，∵D是AB的中点，∴CD＝BD＝AB＝，故答案为：；（2）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴△CBD的面积＝△ABC的面积，∵BE⊥CE，∴CD•BE＝×AC•BC，∴BE＝×9×12∴BE＝，在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，故答案为：．20．（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴，AC＝，∴，解得，AD＝，∴AB＝，故答案为：．21．（2022•江阴市校级一模）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDB是△ACD∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，∵BC2+BD2＝CD2，∴32+x2＝（5﹣x）2，∴x＝1.6，∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝＝＝，∴tan2α＝，故答案为：．22．（2022•鼓楼区校级一模）如图为两个边长为1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C，D 都在格点上，AB，CD交于点P，则tan∠BPD＝3．【答案】3．【解答】解：如图，连接BE交CD于点O，∵四边形BCED是边长为1的正方形，∴BE⊥CD，OB＝OC＝OD＝OE＝×1＝，∵BC∥AD，∴△BCP∽△ADP，∴＝＝，∴CP＝CD＝，∴OP＝OC﹣CP＝﹣＝，在Rt△BOP中，tan∠BPD＝＝＝3，故答案为：3．23．（2022秋•昌平区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，则AC的长为2．【答案】2．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝3，sinB＝，∵AD＝AB•sinB＝3×＝2，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AC＝＝＝2，故答案为：2．24．（2022秋•杨浦区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AF⊥CD，AF分别与CD、CB相交于点E、F，如果tanB＝，那么的值是．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠ACD+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠DCB，∴∠CAE＝∠DCB＝∠B，∴tanB＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，设CE＝2x，则AE＝3x，在Rt△CEF中，EF＝CE•tan∠DCB＝2x•＝，∴＝＝，故答案为：．25．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，＝10．则S△ABC【答案】10．【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，：S△CBD＝1：4，∴S△ACD＝2，∵S△ACD＝8，∴S△CBD＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．∴S△ABC故答案为：10．26．（2022秋•东平县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．则sinα＝．【答案】．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，tanB＝＝，∴设AC＝3a，则BC＝4a，∴AB＝＝＝5a，∵AB＝5，∴5a＝5，∴a＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝BC＝BD＝3，∴AD＝＝＝3，在Rt△BDE中，tanB＝＝，∴设DE＝3k，则BE＝4k，∴BD＝＝＝5k，∵BD＝1，∴5k＝1，∴k＝，∴DE＝，在Rt△ADE中，sinα＝＝＝，故答案为：．27．（2022秋•杭州月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA＝2cos∠BCD．（1）求证：BC＝2AD．（2）若cosB＝，AB＝10，求△ABC的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）△ABC的面积为10．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，tanA＝，在Rt△CDB中，cos∠BCD＝，∵tanA＝2cos∠BCD，∴＝，∴BC＝2AD；（2）解：在Rt△CDB中，cosB＝＝，∵BC＝2AD，∴＝，∵AB＝10，∴BD＝AB＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×10×2＝10，∴△ABC的面积为10．28．（2021秋•东台市期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2．（1）求∠BCD度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）150°；（2）4+2．【解答】解：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∵sinA＝，∴BE＝AB•sinA＝2×sin45°＝2×＝2，∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD，∴四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝2，∠BCF＝90°，∴tan∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝60°，∴∠BCD＝90°+60°＝150°；（2）∵cosA＝，∴AE＝AB•cosA＝2×cos45°＝2×＝2，∵EF＝BC＝1，∴四边形ABCD的面积为：（BC+AD）•BE＝×（1+2+1+2）×2＝4+2．29．（2023春•上思县月考）已知：如图，AC是△ABD的高，BC＝15cm，∠BAC＝30°，∠DAC ＝45°，求AD．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝15cm，∠BAC＝30°，∴AC＝cot30°•BC＝15cm，设BD＝x，则有AB＝2x，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝45°，∴cos45°＝，∴AD＝＝＝15（cm）．30．（2022秋•宣州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．（1）求AE的长；（2）求tan∠DBC的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．∵，AB＝13，∴BE＝5．∵在Rt△BEA中，BE22＝AB2，∴．（2）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE是BC边上的中线．又∵BD是AC边上的中线，∴F是△ABC的重心．∵AE＝12，∴．∵Rt△BEF中，BE＝5，EF＝4，∴tan∠DBC＝．31．（2022秋•栖霞市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．【答案】（1）8；（2）．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．32．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D 作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．。
《解直角三角形的应用》练习题1
4.4解直角三角形的应用 一、选择题（每题4分，共28分） 1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，∠ACB=60°，则AD•的长是（ ）
A．5 B．33 C．3 D．32 2 如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B，取ABDBD145500，米，D55。要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ） A. 50055sin米 B. 50055cos米 C. 50055tan米 D. 500米
3．如图6，一电线杆AB的高为10m，当太阳光线与地面的夹角为60度时，其影长AC约为（3取1.732，结果保留3个有效数字）．（ ） A．5.00m B．8.66m C．17.3m D．5.77m 4、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）． A．513 B. 1213 C.1013 D．512 5、如图19-3，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D/处，那么tanBAD/等于（ ）
A. 1 B.2 C.22 D.22
6．如图2，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ）
A．42m B．（30+243）m C．78m D．（30+83）m 7．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B
A D D/ B C 图19-3 地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ） A．150m B．503m C．100m D．1003 二、填空题（每题4分，共28分） 8．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是_______cm2． 9．在平行四边形ABCD中，已知∠B＝600，AB＝4cm，BC＝6cm，则平行四边形ABCD的
解直角三角形练习题
解直角三角形练习题解直角三角形练习题一、基础知识练习题：1. 在一个直角三角形ABC中，∠A = 90°， AB = 6cm， AC = 8cm，求BC的长度。
2. 若一个直角三角形的另外两个角的度数分别是30°和60°，求斜边的长。
3. 已知一个直角三角形的斜边长是10cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
4. 在一个直角三角形PQR中，∠P = 90°， PQ = 5cm， QR = 13cm，求PR的长度。
5. 若一个直角三角形的直角边长分别是3cm和4cm，求斜边的长。
二、综合运用练习题：1. 一个直角三角形ABC，∠A = 90°， AB = x cm， AC = 8cm，BC = 10cm。
求x的值。
2. 已知一个直角三角形的斜边长是8cm，一个锐角的度数是30°，求直角边的长度。
3. 在一个直角三角形MNP中，∠N = 90°， MN = x cm， NP = 12cm， MP = 20cm。
求x的值。
4. 若一个直角三角形的直角边长分别是2x cm和3x cm，求斜边的长。
5. 已知一个直角三角形的斜边长是15cm，一个锐角的度数是60°，求直角边的长度。
三、挑战练习题：1. 在一个直角三角形DEF中，∠D = 90°， DE = 12cm， DF = x cm， EF = x + 2cm。
求x的值。
2. 若一个直角三角形的直角边长是4x cm和5x cm，求斜边的长。
3. 在一个直角三角形XYZ中，∠Z = 90°， XY = 10cm， XZ = 3x cm， YZ = 4x cm。
求x的值。
4. 已知一个直角三角形的斜边长是20cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
5. 在一个直角三角形GHI中，∠G = 90°， GH = x cm， GI = 15cm， HI = 3x cm。
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解直角三角形应用题专题练习一．解答题〔共10小题〕1．〔2021 •鄂尔多斯〕为响应国家的“节能减排〞政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．〔1〕求BT的长〔不考虑其他因素〕．〔2〕一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反响时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小平安距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停顿的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小平安距离的要求〔大灯与前轮前端间水平距离忽略不计〕，并说明理由．〔参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈〕2．〔2021•〕如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．〔结果保存小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040〕3．〔2021 •模拟〕超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．〔1〕求A、B之间的路程；〔2〕请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度.〔参考数据：，〕．4．〔2021 •〕如图，A为某旅游景区的最正确观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．〔参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈2.48〕5．〔2021•〕在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高〔〕．6．〔2021•模拟〕如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，OA=100米，山坡坡度〔竖直高度与水平宽度的比〕i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．〔测倾器高度忽略不计，结果保存根号形式〕7．〔2021 •义乌市〕如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．〔1〕求∠BPQ的度数；〔2〕求该电线杆PQ的高度〔结果准确到1m〕．备用数据：，．8．〔2021•〕如下图，某工程队准备在山坡〔山坡视为直线l〕上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处〔不计此人身高〕观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面，求山坡的坡度．〔参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75〕9．〔2021 •〕某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长〔结果保存根号〕．10．〔2021•模拟〕如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测验员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C 的北偏西60°方向上，现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长．〔结果取整数，≈1.732〕解直角三角形应用题专题练习参考答案与试题解析一．解答题〔共10小题〕1．〔2021 •鄂尔多斯〕为响应国家的“节能减排〞政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．〔1〕求BT的长〔不考虑其他因素〕．〔2〕一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反响时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小平安距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停顿的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小平安距离的要求〔大灯与前轮前端间水平距离忽略不计〕，并说明理由．〔参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈〕【解答】解：〔1〕根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°∵AT⊥MN∴∠ATC=90°在Rt△ACT中，∠ACT=31°∴tan31°=可设AT=3x，那么CT=5x在Rt△ABT中，∠ABT=22°∴tan22°=即：解得：∴，∴；〔2〕，，∴该车大灯的设计不能满足最小平安距离的要求．2．〔2021•〕如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．〔结果保存小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040〕【解答】解：由有：∠BAE=22°，∠ABC=90°，∠CED=∠AEC=90°∴∠BCE=158°，∴∠DCE=22°，又∵tan∠BAE=，∴BD=AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE=cos∠DCE=，∴CE=CD•cos∠BAE=〔BD﹣BC〕•cos∠BAE=〔AB•tan∠BAE﹣BC〕•cos∠BAE=〔10×0.4040﹣0.5〕×0.9272≈3.28〔m〕．3．〔2021 •模拟〕超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．〔1〕求A、B之间的路程；〔2〕请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度.〔参考数据：，〕．【解答】解：〔1〕在Rt△BOP中，∠BOP=90°，∵∠BPO=45°，OP=100，∴OB=OP=100．在Rt△AOP中，∠AOP=90°，∵∠APO=60°，∴AO=OP•tan∠APO．∴A0=100，AB=100〔﹣1〕〔米〕；〔2〕∵此车的速度==25〔﹣1〕≈25×0.73=18.25米/秒，70千米/小时=≈19.4米/秒，18.25米/秒＜19.4米/秒，∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．4．〔2021 •〕如图，A为某旅游景区的最正确观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．〔参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈2.48〕【解答】解：∵cos∠DBF=，∴BF=60×0.85=51，FH=DE=9，∴EG=HC=110﹣51﹣9=50，∵tan∠AEG=，∴AG=50×2.48=124，∵sin∠DBF=，∴DF=60×0.53=31.8，∴CG=31.8，∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8．5．〔2021•〕在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高〔〕．【解答】解：延长BD交AE于点F，作FG⊥ED于点G，∵斜坡的顶部CD是水平的，斜坡与地面的夹角为30°，∴∠FDE=∠AED=30°，∴FD=FE，∵DE=18米，∴EG=GD=ED=9米，在Rt△FGD中，DF===6，∴FB=〔6+6〕米，在Rt△AFB中，AB=FB•tan60°=〔6+6〕×=〔18+6〕≈28.2米，所以古塔的高约为28.2米．6．〔2021•模拟〕如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，OA=100米，山坡坡度〔竖直高度与水平宽度的比〕i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．〔测倾器高度忽略不计，结果保存根号形式〕【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=100〔米〕．设PE=x米，∵tan∠PAB==，∴AE=2x．在Rt△P CF中，∠CPF=45°，CF=100﹣x，PF=OA+AE=100+2x，∵PF=CF，∴100+2x=100﹣x，解得x=〔米〕．答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为〔米〕．7．〔2021 •义乌市〕如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．〔1〕求∠BPQ的度数；〔2〕求该电线杆PQ的高度〔结果准确到1m〕．备用数据：，．【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，〔1〕∠BPQ=90°﹣60°=30°；〔2〕设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，那么AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=PE=x米，∵AB=AE﹣BE=6米，那么x﹣x=6，解得：x=9+3．那么BE=〔3+3〕米．在直角△BEQ中，QE=BE=〔3+3〕=〔3+〕米．∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣〔3+〕=6+2≈9〔米〕．答：电线杆PQ的高度约9米．8．〔2021•〕如下图，某工程队准备在山坡〔山坡视为直线l〕上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处〔不计此人身高〕观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面，求山坡的坡度．〔参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75〕【解答】解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，那么四边形ODPE为矩形．在R t△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=80，∴0.75PD﹣0.50PD=80，解得PD=320〔米〕，∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160〔米〕，∵OB=220米，∴PE=OD=OB﹣BD=60米，∵OE=PD=320米，∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120〔米〕，∴tanα===0.5，∴坡度为1：2．9．〔2021 •〕某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长〔结果保存根号〕．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=30，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，那么tanC=，∴CD==10，∴BC=30+10．故该船与B港口之间的距离CB的长为30+10海里．10．〔2021•模拟〕如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测验员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C 的北偏西60°方向上，现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长．〔结果取整数，≈1.732〕【解答】解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，∵∠EAD=60°，∠CAD=30°，∴∠CAM=30°，∴∠AMN=60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠EAC=60°，∴∠CAD=30°，∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，∴MC=AC=2000，∠CMN=30°，∴NC=MC=1000，∵AC=4000米，∴AN=AC﹣NC=4000﹣1000=3000〔米〕．答：点N到A市最短路线3000米．。