总复习：函数的奇偶性

函数的奇偶性

1．(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )

A ．e －x －1

B ．e －x ＋1

C ．－e －x －1

D ．－e －x ＋1

答案D [当x <0时，－x >0，

∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1.

又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1.故选D.]

2．函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )

A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于坐标原点对称

D ．关于直线y ＝x 对称

答案B [因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．]

3．下列函数为奇函数的是( )

A ．f (x )＝x 3＋1

B ．f (x )＝ln 1－x 1＋x

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝x sin x 答案B [对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )

＝ln 1＋x 1－x ＝－ln 1－x 1＋x

＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.]

4．(2019·洛阳模拟)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1

(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为( )

A ．(－1,1)

B ．(－2,2)

C ．(－3,3)

D ．(－4,4)

答案A [法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1

，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1

.因为e x ＋1＞1，所以0＜1e x ＋1＜1，－1＜1－2e x ＋1

＜1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)． 法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a

＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1＞1，所以0＜1e x ＋1＜1，－1＜1－2e x ＋1

＜1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．]

5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩

⎨⎧

log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( ) A ．3 B ．－3

C ．2

D ．－2

答案B [因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，

且f (x )＝⎩⎨⎧

log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，

所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.] 6．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为________． 答案ln 2 [由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝f (2)＝ln 2.] 7．已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1f (x )

，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 019)＝________.

答案3 [由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)

＝11f (x )

＝f (x )．故函数f (x )的周期为4.所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝3.]

8．已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.

答案－4 [法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，

易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，

即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2.

所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.

法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，

即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.]