计算方法试题及答案

计算方法2007-2008学年第一学期试题

1 填空（15分）

1） 设近似数*19.2270x =，*20.8009x =都是四舍五入得到的，则相对误差**12()r e x x ≤ ______ 2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y 轴的直线方程为_ ____. 3) 近似数*0.0351x =关于真值0.0349x =有_ _为有效数字.

4） 插值型求积公式1

1

1

1

()()n k k k f x dx A f x --=≈∑⎰至少有______次代数精确度.

5) Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度.

2. （10分）已知曲线3 2.89y x =+ 与22.40.51y x x =+在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1n x +，当5110n n x x -+-≤误差小于410-时停止迭代。

3．（10分）用最小二乘法确定x b ax y ln 2+=中的常数a 和b ，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后4位)

4.(10分) 用乘幂法求矩阵2321034361A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值()1k λ及相应

的特征向量()1k x 。要求取初始向量0(1,2,1)T u =，且()(1)110.1k k λλ--≤。

5．（10分）设有方程组

1122331312(0)32a x b a x b a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（1） 写出与Jacobi 迭代法对应的Gauss-Seidel 方法的迭代格式；

（2） Jacobi 方法的迭代矩阵为：

（3） 当参数a 满足什么条件时，Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。

i i i i ()p x ，并写出截断误差

()()()R x f x p x =-的导数型表达式（不必证明）。

7．（15分）设有积分2

31

x I x e dx =⎰

1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；

2）用复化simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。

8．（10分） 给定初值问题

2

'

0,(1)1,1 1.4y y y x x

-==<≤

a) 写出欧拉（Euler ）预估-校正的计算格式； b) 取步长0.2h =，求(1.4)y 的近似值。

9．（10分）

用迭代法的思想证明：

22k +

+= （等号左边有k 个2）。

2008 －2009 学年第2学期试题

1．（每小题3分，共15分）填空

（1） n 2个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为________次； （2） 为提高数值计算精度，当正数x 充分小时，应将

x

x

sin cos 1-改写为

____________________；

（3） 拟合三点 A （0 ，1） ， B （1 ，3） ， C （2 ，2）的平行于y 轴的直线

方程为_______________； （4）求积公式

)0(2)(11

f dx x f ≈⎰

-有______次代数精确度；

（5）求方程)(x f x =的根的Newton 迭代格式是____________________。

2．（15分）曲线89.251.04.22

3+--=x x x y 在点6.10=x 附近与x 轴相切于α点，

试用Newton 迭代法求α的近似值1+n x ，使5

110-+≤-n n x x 。 3．（10分）求一经过原点的抛物线，使其按最小二乘原理拟合于如下数据

并求平方逼近误差2

δ.（运算结果小数点后至少保留4位）

解：（1）矛盾方程组为：

（2）正规方程组为：

（3）所求抛物线为：

（4）平方逼近误差2

δ：

4．（10分）用乘幂法求矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=5423A 的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值)

(1k λ及相应的特征向量)

(1k x 。要求取初始向量T u )1,1(0=，且

001.0)1(1)(1≤--k k λλ。

解：乘幂法的计算格式为：

计算过程列表如下：

所以：)

(1k λ= ，0,),

000.1()

(1

≠≈t t x T k

5（10分）试用三角分解求解线性方程组

⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛717353010342110100201

4321x x x x

（1）将系数矩阵进行三角分解：

（2）用三角分解法求该方程组的解：

6．（10分）已知四阶连续可导函数)(x f y =的如下数据：

试求满足插值条件 )

()(,)()(i i i i x f x p x f x p '='=

的三次插值多项式)(x p ，并写出截断误差)()()(x p x f x R -= 的导数型表达式(不必证明)。

7．（15分）若用复化Simpson 公式求积分

dx ⎰

1

x e 的近似值，为使该近似值有4位

有效数字，问至少应知道多少个结点的x

e 值？并由此求dx ⎰

1

x e 的近似值.

（小数点后至少取4位）.

解:（1）复化Simpson 公式的截断误差为:

（2）计算所需要的节点数目：

（3）按（2）中的节点数计算dx ⎰

1

x e 。

8．（10分）给定初值问题 1(0) , =+='y y x y 2

（1）写出欧拉(Euler)预估- 校正法的计算格式。

（2）取步长h =0.1，求)2.0(y 的近似值（小数点后至少保留4位）。

9．（5分）设)(x f 在],[b a 有二阶连续导数，试建立如下数值积分公式

)]()([)(4

1

)]()([2)(2b f a f a b b f a f b a dx x f a

'-'-++-≈

⎰

b

并证明有余项表达式),(),()(6

1

][3b a f a b f R ∈''-=

ξξ.

07/08第一学期试题参考答案： 1: (1)6.78×10－5, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3

2. 切线斜率相等：51.08.432

+=x x ，051.08.432

=-－x x

牛顿迭代格式：8

.4651

.08.4321---=+n n n n n x x x x x －

取6.10=x ，得70000.1,70000.1,70002.1,70625.14321====x x x x