充分条件与必要条件 课后练习知识讲解

第1章 1.2.1、2

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析：若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.

答案： A

2．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：设数列{a n}的公比为q，因为a10，所以有a11，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1

答案： C

3．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()

A．a>b＋1 B．a>b－1

C．a2>b2D．a3>b3

解析：A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a>b －1，反之，由a>b－1不能推出a>b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.

答案： A

4．设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D 是A的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析： 由题意得：

故D 是A 的必要不充分条件

答案： B

二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x x －1<0＝{x |0

∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．

答案： 充分不必要

6．下列命题中是假命题的是________．(填序号)

(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件；

(2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件；

(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件；

(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．

解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5，

x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，

故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．

(2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B ，

A B ⇒A ∩B ≠∅.

故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件．

(3)因b 2－4ac <0ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ，

ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，

故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．

(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．

答案： (1)(2)(3)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知p ：12

≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范

围．

解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ⇒q 但q p . ∵p ：12

≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12

. ∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎡⎦

⎤0，12. 8．在△ABC 中，求证：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充要条件是∠B ＝60°. 证明： 充分性：

在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，

又∵∠B ＝60°，

∴∠A ＋∠C ＝120°，

∴∠A ＋∠C ＝2∠B ， ∴∠A ，∠B ，∠C 成等差数列．

必要性：

∠A 、∠B 、∠C 成等差数列，

∴∠A ＋∠C ＝2∠B ，

又∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，

即3∠B ＝180°，

∴∠B ＝60°，

综上可知：∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充要条件是∠B ＝60°.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋

1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．

解析： 先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，

①当a ≥13

时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a ＜13

时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，

从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2解得1≤a ≤3.或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1， 解得a ＝－1.

综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．