线性代数期末考试题答案

线性代数B期末试题解答05 一、判断题(正确填√，错误填×。每小题2分，共10分) 1．A是n阶方阵，且｜A｜≠0，则n元方程组AX＝b有唯一解。 （√ ）

2．A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。 （√ ） 3．如果X1 与X2 皆是AX =b的解，则X1 ＋X2 也是AX =b的解。 ( × ) 4．若A为n阶方阵，其秩r < n,那么A任意r个行向量线性无关。 ( × ) 5．从A中划去一行得到矩阵B，则A的秩≥B的秩。 （√ ）

二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设A是n阶矩阵，其伴随矩阵为A＊，E为单位矩阵。则A A*为 ( A ) （A）|A|E (B) E (C) A* (D) 不能乘 2．设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABC＝E，则必有（ C ）。 （A）ACB =E （B）CBA =E （C）BCA = E （D）BAC =E

3．设A为n阶方阵，且｜A｜＝5，则｜（3A－1）T｜＝（ C ）

(A)n53 (B) n35 (C)3n·51 (D) 3·5n 4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r （A）其基础解系可由r个解组成；（B）有r个解向量线性无关； （C）有n –r个解向量线性无关；（D）无解。 5．n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角阵相似的（ B ） （A）充分必要条件 （B）充分而非必要 （C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要

三、填空题（每小题5分，共25分）

1．gfkjephsbcda0000＝(ab-cd)(pg-ef)。 2．A为3阶矩阵，且满足A6,则1A=__1/6__，*3A33·62=972 。 3．设齐次线性方程组的系数矩阵A＝41352121 此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是不可能，齐次方程组总有解 ，当β取值为 -5 时方程组有无穷多解。

4．已知123,,是四元方程组AX＝b的三个解，其中A的秩()RA=3，41311，034232，则方程组AX＝b的通解为 



85204131

c。

5．设285421122A，则｜A｜＝ -54 ，A的秩R(A)是 3 。 四、计算下列各题（每小题8分，共24分）。

1. 设340012132A且知AX－A=3X，求矩阵X。

解：252334310432313E-A X1-A 2. 已知向量组13703031111043214321A 求向量组A的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。

解：00002100101000011370303111104321~A R(A) = 3； 321,,是一最大无关组；3242

3. 设P－1AP＝Λ，10024712P 求A11 。

解：14344573724098163914712100204847124712100247121111111111PPA,PPA 五、解方程组（本题8分）

已知方程组babxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx,3345362232315432154325432154321当取什么值时方程组有解？在有解的情况下，求方程组的通解。

解：200000000003622101111111334536221031123111111ba~baB 当a=0, b=2 时方程组有解，这时:



000000000000362210251101

~B

方程组的通解为： X = (-2 3 0 0 0)T+C1(1 –2 1 0 0)T+C2(1 –2 0 1 0)T+C3(5 –6 0 0 1)T C1,C2,C3位任意常数。 六、（本题8分） 已知二次型3231212322213214844xxxxxxxxxx,x,xf 求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。

解：3503253252315345132500050004124242421T,,A 非正定。 七．证明题（每小题5分，共10分）。 1. 若A，B都是n阶方阵，如果AB＝0，证明R(A)+R(B)≤n 。 证明：由题设，B的各列属于AX = 0的解空间,于是 R(B)≤n-R(A), 因此：R(A)+R(B)≤n。 2. 设A为n阶非零矩阵，A＊是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A＊＝AT时，证明｜A｜≠0 。 证明: 设A=(aij),由题设aij不全为零。

令B=AAT=(bij),则B不是零矩阵，其对角元:njijiiab12 若｜A｜= 0，则有：AAT=AA*=｜A｜A = 0, 矛盾。 线性代数试题解答(04) 一、 1．（F）（AAn） 2．（T）

3．（F）。如反例：100010000A，000010001B。 4．（T）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F） 二、 1．选B。初等矩阵一定是可逆的。

2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与1，2，3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线

性组合，C、D中的向量组线性相关。

3．选C 。由052EAA2232()3AAEEAEAEE， 112()3AEAE

)。

4．选D。A错误，因为nm，不能保证()(|)RARAb；B错误，0Ax的基础解系含有ARn个解向量；C错误，因为有可能()(|)1RAnRAbn，bAx无解；D正确，因为()RAn。

5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,PQ，使得1112(,,,)nPAPdiagQBQ

，因此,AB都相似于同一个对角矩阵。

三、1． !11nn（按第一列展开）

2． 31；53（A3=233A） 3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 124,,。因为3122， 124| |0A。

4． TTk42024321。因为3AR，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5．6a（)02AAR 四、

1．解法一：ABBA1()AEBABAEA。将AE与A组成一个矩阵(|)AEA，用初等行变换求1(|())EAEA。

|AEA

=221121243233121120)(31rr221121243233100001

21313,rrrr12112014323010000123rr







121120222110100001

322rr1000010112220013253r

100001011222001325



23rr



523100301010100001。故 



523301100B

。

解法二：ABBA1()AEBABAEA。

1021101()332113121326AE，因此1001()103325BAEA



。

2．解：1111111111111111TA，AA42，