谁才是琅琊榜之最？巧解极值问题中的和定最值问题
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
行测中的和定最值问题
行测中的和定最值问题中公教育研究院讲师肖海芳和定最值是公务员考试中的一个常考题型，难度较低，短期内对基本内容可以有比较好的掌握，熟悉考点的易错点后，加之多做题目就可以将这一部分的内容拿下了。
下面中公教育来简单谈一下和定最值这部分的内容。
一、题型特征和定最值指几个数的和一定，求某个量的最大或最小值的题型。
比如，有20颗糖，分给三个小盆友，求分得糖最多的小朋友最多分的多少颗糖？二、解题原则既然和一定，那么求某个量最大，只需要让其他量尽可能小即可，若要求某个量最小只需让其他量尽可能大即可。
三、三大考点1、正向极值和一定，如果求最大量的最大值，或者求最小量的最小值，我们称之为正向极值。
正向极值怎么求呢？和一定，要使某个量最大，则其他量尽可能小即可，关键是其他量小能小到什么程度呢？还是分糖的事，20颗糖假设小明分的最多，那另外两个人最少可以一个都没有，那么分得最多的最多分得20颗；若这题加个条件——“每人分得的糖各不相等”，此时分得最少的分了0颗，那排名第二的则分得1颗，此时分得最多的同学分得19颗；那如果再加一个条件，每人分得的糖各不相等，且都分得了糖，这时分得最少的只能是1，倒数第二名则为2，分得最多的人最多分得17颗糖。
根据分糖的例子我们可以得知，正向极值求值直接按照解题原则进行处理，但要注意题干条件，各个量是否相等，从而分析最值，最终求解出最后的结果。
2、逆向极值和一定，求最大量的最小值，或者求最小量的最大值，我们称之为逆向极值。
比如已知5名同学总分475分，成绩均为正数且互不相等，求成绩最低的同学最高考了多少分？本题求最小量的最大值，属于逆向极值，那么逆向极值怎么求呢？将成绩从高到低排名，要使第五名最高，则其他人成绩尽可能低，但第四名最低也得比第五名高1分，同理都要比后一名高1分，也就是五名同学成绩成等差数列，根据等差数列中项公式可以计算出第三名学生考得95分，那么最后一名最多考93分；若此题条件改为“总分476”分，那么在等差中项算出95后还余1，余数要如何安放呢？放在最后一名会使四五名学生成绩相同，其他排名也是如此，所以我们只能安排在第一名，对最后结果没有影响。
2015广西公务员考试行测极值问题解题技巧
广西中公教育·给人改变未来的力量公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网2015广西公务员考试行测极值问题解题技巧 极值问题在公务员考试当中经常出现，这类问题看着复杂，不知所云，其实只要掌握了特定的解题技巧和方法，这种题型都能快速解决，也就是大家追求的“秒杀”。
极值问题就是求“最大、最小、至大、至小值”的问题，分为“和定最值”和“最不利原则解题”两大问题，下面中公教育专家将逐一为大家介绍。
一、和定最值和定最值指的是几个数的和一定，求其中某个数的最大值或最小值。
解决这类问题我们采用的是极限讨论的思想。
例题：假设5个相异的正整数平均数是15，中位数18，则这五个数中最大数的最大值可能为：A.24B.32C.35D.40答案：C 。
中公解析：5个数平均数是15，则和为75。
要使得最大数取到最大值，而5个数的和是一定的，如果其他4个数都取最小值，那么最大数就能取到最大值。
中位数为18，四个数分别为1、2、18、19，则最大数的最大值为75-(1+2+18+19)=35。
极限讨论思想就是要使得某个数最大，那其他数就要尽可能小。
下面以几道真题为例进行讲解：100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。
那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?A.22B.21C.24D.23答案：A 。
中公解析：要使得参加人数第四多的活动的参加人数取得最大值，其他6个活动的人数就要取得最小值，活动的参加人数最小的3项活动从小到大依次为1、2、3，则后四项活动参加人数之和为100-(1+2+3)=94，此时参加人数第四多的活动应该是排最后，要使得最小值最大，其他数就要尽可能小，就要无限和最小值接近。
设参加人数第四多的活动人数为x ，则其他3个活动从小到大分别为x+1，x+2，x+3,则x+x+1+x+2+x+3=94,解得x=22。
二、最不利原则解题在极值问题中出现“至少……才能保证一定……”这样的提问时，我们可以用最不利原则解题。
高考数学最值问题及解题思路分享
高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。
关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。
接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。
一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。
2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。
由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。
将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。
二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。
2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。
由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。
将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。
三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解在数学中，函数的极值与最值是常见的概念。
极值指的是函数在某个特定区间内的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
求解函数的极值与最值是数学分析的重要内容之一，本文将介绍函数求解极值与最值的方法和技巧。
一、确定区间要求解函数的极值与最值，首先需要确定函数的定义域或者要求解的区间范围。
根据函数的特点或问题的要求，确定区间是取整个定义域还是某个特定的局部区间。
二、求解极值在确定了求解的区间后，接下来的任务就是求解函数在该区间内的极值。
函数的极值主要分为两种：极大值和极小值。
求解极值的方法一般有以下几种：1. 导数法对于可导函数，极值通常出现在导数为零的点或者导数不存在的点。
因此，可以通过求解函数的导数来确定函数的极值。
具体步骤如下：a. 求解函数的导数；b. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的点；c. 判断导数不存在的点是否为极值点。
2. 边界法对于闭区间上的函数，除了导数为零或不存在的点外，还需要考虑区间的边界点。
因此，可以通过求解边界点的函数值来确定函数的极值。
3. 二阶导数法（Hessian矩阵法）对于多元函数，可以通过计算其Hessian矩阵的特征值来确定函数的极值。
当Hessian矩阵的特征值全为正数时，函数取得极小值；当Hessian矩阵的特征值全为负数时，函数取得极大值。
4. Lagrange乘子法（约束条件法）对于多元函数在一定的条件下求取最值，可以使用Lagrange乘子法。
该方法通过引入等式约束条件，将求解极值的问题转化为求解方程组的问题。
三、求解最值对于求解函数在整个定义域内的最值，可以采用以下方法：1. 导数法求解函数的导数，找出导数的零点，再将这些零点与定义域的边界点比较，从中选取最大值或最小值。
2. 二阶导数法对于多元函数，可以通过计算其Hessian矩阵的特征值来确定函数的最值。
当Hessian矩阵的特征值全为正数时，函数取得最小值；当Hessian矩阵的特征值全为负数时，函数取得最大值。
求最值问题的6种解法
求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。
以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。
这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。
2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。
这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。
3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。
这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。
4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。
动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。
这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。
5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。
贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。
6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。
这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。
根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。
极值与最值的求解方法
极值与最值的求解方法极值和最值是数学中一种重要的求解方法，用于寻找函数在特定区间上的最大值和最小值。
在实际问题中，我们常常需要找到某一函数的最优解，从而得到最优的方案或结果。
本文将介绍极值和最值的概念，以及常见的求解方法。
一、极值与最值的概念极值是指函数在某一点或某一区间内取得的最大值或最小值。
根据函数在极值点的导数性质，可以将极值分为两类：局部极值和全局极值。
1. 局部极值：局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
在数学上，局部极值点的判断依据是函数在该点的导数为零或不存在。
如果导数为零，该点可能是极大值点、极小值点或拐点。
如果导数不存在，该点可能是间断点。
2. 全局极值：全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
全局极值点的判断需要考虑函数在定义域端点处的取值情况，并比较区间内各个局部极值点的函数值。
二、求解极值与最值的方法在求解极值与最值的过程中，我们常用的方法有以下几种：极值定理法、导数法、区间划分法和图像法。
1. 极值定理法：极值定理是数学中的一个重要定理，用于判断函数的极值点。
根据这个定理，如果函数在某一区间上连续，并且在区间的内部有导数，则函数在该区间内必定存在极值点。
通过对函数进行区间划分并计算函数值，可以找到局部极大值点和极小值点。
2. 导数法：导数是函数在某一点的变化率，通过计算函数的导数可以判断函数在极值点的增减性。
当函数在某一点导数为零或导数存在突变时，该点有可能是局部极值点。
通过求解函数导数为零的方程，可以得到可能的极值点，进而通过对函数值的比较得出最终的极值。
3. 区间划分法：区间划分法适用于函数在闭区间上求解最大值和最小值的情况。
通过将区间分为若干个子区间，并计算函数在每个子区间的值，然后比较这些值，即可找到全局最值所对应的点。
4. 图像法：图像法是通过绘制函数的图像来观察函数在特定区间上的变化趋势，从而估计函数的极值位置。
通过观察函数图像的特点，可以找到局部极大值点和极小值点的位置。
重难点 几何最值问题(解析版)
重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值一动”“两定一动”“两定普通动”两定“一动”“两两动”“两定两动”“两定异侧将军饮马：构造平行四边形AMNA`，转化AM 为A`N ，之后再对称连接求A`N ＋NB 的最小值即可A`构造平行四边形AA`NM 则AM 转化为A`N ，之后再依据两点之间线段最短，连接A`B 即为A 、之间陆地距离的最小值1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD＝45°，则PE长为2．【分析】由AE＝3得动点E在圆上运动，因为△BDE是等腰直角三角形且∠PCD＝45°，所以想到瓜豆原理，可两次构造三角形相似去解答．【解答】解：以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角△ABF，连接FC，FD．∵∠ABF＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠FBD，∵，∴△ABE∽△FBD，∴，∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：1．（2023•金平区三模）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG ＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。
2022年方程法解和定最值问题-国家公务员考试行测解题技巧
方程法解和定最值问题-2022年国家公务员考试行测解题技巧在行测考试中，数学运算部分始终花样百出，简单多变，是很让考生头疼至极的。
但实际上只要把握住命题人的出题核心思想，对于一些看似简单但实际解题方法相对比较固定的题目，各位考生还是能够做出来的。
今日我给大家介绍一种方程法解最值问题。
一、和定最值问题题型特征已知几个量的和肯定，求某个量的最大值或最小值。
二、解题核心思想求某个量最大，使其他量尽可能小；求某个量最小，使其他量尽可能大。
三、列方程依据将全部量用所设未知数x表示出来，根据总和肯定列一元一次方程。
四、例题展现1.100人参与七项活动，已知每个人只参与一项活动，而且每项活动参与的人数都不一样。
那么参与第四多的活动最多有几人参与?A.22B.21C.24D.23【解析】题干描述中“100人参与7项活动”明显是7个量的和肯定，最终所求也是问的最大值，所以很明显就是和定最值问题。
求第四多的活动最多有多少人，只要使其他量尽可能少即可，此时可以确定第五、六、七项活动的人数，分别是1，2，3人。
其余项没法直接确定，但我们可以确定要使第三项也尽可能小，再小也不能少于第四项的人数，再结合题干人数不一样，故第三项最小也得比第四项多1人，其次项比第三项多一人，第一项比其次项多1人。
故可设第四项位x，可得以下方程: (x+3)+ (x+2)+ (x+1)+x+3+2+1=100，解得x=22，选择A项。
2.某单位2022年聘请了65名毕业生，拟安排到该单位的7个不同部门。
假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少是多少人?A.10B.11C.12D.13【解析】题干描述中“65名毕业生，拟安排到该单位的7个不同部门”，且求最小值，故是和定最值问题。
问题所求为最大量的最小值，只要使其他部门分得的人数尽可能的多即可。
分得其次多部门的人数再多也不能多于行政部门，最多只能少1，其余的部门和其次多部门的人数相等即可达到最大值。
四年级下册数学试题-竞赛思维能力训练：02最值问题(四年级竞赛)教师版
最值问题简单来说，就是求最大、最小、最多、最少等“最”的问题。
常见解题思路：1、枚举法：将满足题意的可能性一一列出，再找出最值。
这个方法适用于答案个数较少或规律不明显的情况。
2、推理构造：根据题意，寻找规律，分析推理最值。
3、最不利原则：出现“保证”某种情况发生，就要想到最不利的情况。
将5,6,7,8,9,1这六个数字填入下面算式中，使乘积最大。
□□□×□□□解：先考虑一下，怎样把6,7,8,9这四个数填入□□×□□中，可使乘积最大。
显然，两个十位数应当分别填9和8，然后比较97×86=8342，96×87=8352。
可见，题目中两个三位数的前两位应当分别是96和87。
再比较：961×875=840875，965×871=840515.可得，961×875=840875的乘积最大.【知识点】最值问题【难度】★★【出处】13年底稿把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字分成两组，排成一个五位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，这两个数分别是多少？解：这两个数字的最高位数字应尽量大，所以一个为9，一个为8.因为96+87=97+86且96-87<97-86，所以96×87>97×86。
同理，964×875>965×874，进一步推算，可知9642×8753>9643×8752，又因为9642×87531=9642×87530+9642，96421×8753=96420×8753+8753，所以9642×87531>96421×8753；所以这两个数分别为9642和87531.【答案】9642；87531【知识点】最值问题【难度】★★【出处】13年底稿把50拆分成若干个自然数的和，要求自然数的乘积尽量大，应如何拆？解：把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应尽量拆成若干个3，如果剩余1，则将一个3与1改成2个2，这时乘积最大，50=16×3+2，所以，应把50拆成16个3与1个2相加，此时乘积最大。
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谁才是琅琊榜之最？巧解极值问题中的和定最值问题
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随着电视剧《琅琊榜》的热播，不少考生也沉醉于其中不能自拔。要想问鼎省公务员
考试的“琅琊榜”，还是拿起书本，一起来看看行测的数量关系中常考的极值问题——和
定最值问题的解题思路吧。
所谓的和定最值，就是题目中给出几个值的总和，求其中某一值的最大值或者最小值。
那么我们解题的核心思想就是，和一定，求最大值则其他值尽可能地小;反之，求最小值则
其他值尽可能地大。中公教育专家总结，考试中常考的和定最值问题可以分为以下三种类
型：
一 同向和定最值
所谓同向和定最值，即求最大值的最大值是多少或者最小值的最小值是多少。
解题方法——列举法，即将其他值一一按要求进行列举即可。
例1 江左盟主偶得21颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、
皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，那么得到夜明珠最多的皇上最多可
以得到几颗?
中公解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠最多者最多有几颗，是同
向的和定最值问题，因此，可用列举法。想要求最大值，则其他值要尽可能地小，因此得
最少的人最少为1颗，第四多的最少为2颗，以此类推可得：
皇上 第二多 第三多 第四多 最少
? 4 3 2 1
因此，皇上最多可得：21-1-2-3-4=11颗
例2 江左盟主偶得36颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、
皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，已知皇上获得最多的夜明珠为10颗，
那么得到夜明珠最少的静妃最少可以得到几颗?
中公解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠最少者最少有几颗，是同
向的和定最值问题，因此，也可用列举法。想要求最小值，则其他值要尽可能地大，而皇
上最大为10颗，则第二多最大为9颗，以此类推可得：
皇上 第二多 第三多 第四多 静妃
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10 9 8 7 ?
因此，静妃最少可得：36-10-9-8-7=2颗
二 逆向和定最值
所谓逆向和定最值，即求最大值的最小值是多少或者最小值的最大值是多少。
解题方法——求平均数法，即将总数求平均值再分配余数
例1 江左盟主偶得21颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、
皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，那么得到夜明珠最多的皇上最少可
以得到几颗?
中公解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠最多者最少有几颗，是逆
向的和定最值问题，因此，可用求平均数法。先求出21÷5=4„„1，再将平均数4写在最
中间即第三多的下面，并推出其他几个值分别为：
皇上 第二多 第三多 第四多 最少
6 5 4 3 2
6+1=7
然后分配余数1，这1颗只能分配给最多的皇上，若分配给其他人则不满足题意(每人
所得夜明珠数量均不相等)，因此，皇上最少可得：6+1=7颗
若将此题目中总数21改为22，则22÷5=4„„2，同样将平均数4写在最中间即第三
多的下面，并推出其他几个值分别为：
皇上 第二多 第三多 第四多 最少
6 5 4 3 2
6+1=7 5+1=6
然后分配余数2，2可以分别分配给皇上及第二多各1个，因此，皇上最少可得仍然
为：6+1=7颗
因此，在解决逆向和定最值问题时，余数的合理分配非常重要，考试时要谨慎对待。
三 混合和定最值
所谓混合和定最值，即求第n大值的最小值是多少或者最大值是多少。
解题方法——先列举再求平均，即先将可以列举的列举出来再对剩下的运用求平均数
法。
例1 江左盟主偶得36颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、
皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，求得夜明珠数第三多的靖王最多得
几颗?
中公解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠第三多的靖王最多得多少，
是混合的和定最值问题，因此，先用列举法。想要求最大值，则其他值要尽可能地小，因
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此最少和第四多的分别可为1和2，而剩下的33颗分给前三名，运用求平均数法，33÷
3=11，将平均数11写在第二多下面，可得：
最多 第二多 靖王 第四多 最少
12 11 10 2 1
因此，靖王最多可得10颗。
通过此题可发现，所谓的混合和定最值问题即将同向和定最值和逆向的和定最值混合
在一起了。对于此题中的靖王，他与后两名在一起，就是求最大值最多是多少，因此是同
向的，运用列举法。而他与前两名在一起，就是求最小值最多是多少，因此是逆向的，运
用求平均数法即可。总的来说，在解决混合的和定最值时，要先判断出同向的部分，列举
出来，再将逆向的部分运用求平均数法解题即可。
综上所述，在和定最值的解题中，先判断是同向、逆向还是混合，再分别运用对应的
方法求解即可。希望大家通过这次学习，在省考中面临和定最值问题时都能势如破竹，成
为省考的“琅琊榜”之最。
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