2018高三第一轮复习解三角形题型总结新

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高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-解三角形

cos − sin = 2 − 2 ，
则 ⋅
2 + 2 −2
2
即sin =
2 + 2 −2
，代入得
2
− sin = 2 − 2 ，即2 + 2 − 2 − 2sin = 22 − 2 2 ，
2 + 2 −2
2
π
= cos，因为 ∈ 0, π ，但 = 2 时上式不成立，
形为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不能确定
【答案】B
【解析】在△ 中，已知2cos = ,
由正弦定理得2sincos = sin = sin( + ) = sincos + sincos，
所以sincos − sincos = 0,即sin( − ) = 0,
④(
+
)

+
)

= ；(
=

⑤在中，内角，，成等差数列⇔ = , + =

．
知识梳理·基础回归
知识点3：实际应用
1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角
叫俯角（如图①）．
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
知2 − = 2cos，则 =（
A．
π
6
B．
π
3
C．
）
2π
3
D．
5π
6
【答案】B
【解析】因为2 − = 2cos，
由正弦定理，2sin − sin = 2sincos,

2018版高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教B版

知识点二余弦定理及其推论
1.a2＝_b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A_，b2＝__c_2＋__a_2_－__2_c_a_c_o_s_B_，c2＝a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C_.
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
2.cos A＝____2_b_c____；cos B＝____2_ca____；cos C＝____2_a_b_____.
第一章解三角形
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形． 3.能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.
内容索引
知识梳理题型探究当堂训练
知识梳理
知识点一正弦定理及其推论
设△ABC的外接圆半径为R，则
(1)
跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解答
当堂训练
1.在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两
123
规律与方法
1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B. 2.对所给条件进行变形，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.

2018届高三数学解三角形解答题解题方法规律技巧

2018届高三数学解三角形解答题解题方法规律技巧高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．【3年高考试题回顾】1.【2015新课标1】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B = ，且2,a = 求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）14（II ）1【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.2.【2015新课标2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠= ,求B ∠. 【答案】（I ）12；30 .试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. （II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠=【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-，就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”【3年高考试题分析】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算．2．面积的计算．【必备基础知识融合】1．正弦定理和余弦定理2.三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C=abc 4R =12(a ＋b ＋c )r ．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝π－(B ＋C )，A 2＝π2－B ＋C2，从而sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A ＝－tan(B ＋C )；sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C 2，tan A2＝1tanB ＋C2.tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ⇔2sin B ＝sin A ＋sin C ⇔2sin B 2＝cos A －C2⇔2cosA ＋C2＝cosA －C2⇔tan A 2tan C 2＝13. (4)在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A .(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)【解题方法规律技巧】典例1：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【规律总结】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.典例2：在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三个内角，a 、b 、c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc.①求角A 的大小；②若sinBsinC ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由．由sinBsinC ＝34，得sinBsin(2π3－B)＝34.即sinB(sin 2π3cosB －cos 2π3sinB)＝34.32sinBcosB ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B)＝34， 32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin(2B －π6)＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．典例3：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．典例4：已知a ， b ， c 分别为ABC 三个内角A ， B ， C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且a =22b c +的取值范围.（Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b c A B C==， ()22224sin sin b c B C +=+= ()22cos2cos24B C --= 22cos22cos23B B π⎛⎫--- ⎪⎝⎭4cos2B B =- 2sin 246B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又02{2032B B πππ<<<-<，得62B ππ<<，52666B πππ<-<；所以12sin 226B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 2256b c <+≤. 典例5：在ABC ∆， 3B π=， 2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥， E 为垂足，ED =A 的值.【规律总结】（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理.（2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.（3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.（4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.（5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合；（6）遇见角平分线时要想到角平分线定理.（7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大.（8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.典例6：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3n mile /h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.【规律总结】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．【归纳常用万能模板】【引例】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 规范解答 (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A ·cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ， 1分得分点①即2cos C ·sin(A ＋B )＝sin C .3分得分点② 因为A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)，所以sin(A ＋B )＝sin C >0，所以2cos C ＝1，cos C ＝12.5分得分点③所以C ＝π3.6分得分点④(2)由余弦定理及C ＝π3得7＝a 2＋b 2－2ab ·12，8分得分点⑤即(a＋b)2－3ab＝7，又S＝12ab·sin C＝34ab＝332，所以ab＝6，10分得分点⑥所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，11分得分点⑦所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7.12分得分点⑧【解答细节突破】1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.【解题程序展示】第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式；第二步：利用三角恒等变换化简关系式；第三步：求C的余弦值，得角C的值.第四步：利用三角形的面积为332，求出ab的值；第五步：根据c＝7，利用余弦定理列出a，b的关系式；第六步：求(a＋b)2的值，进而求△ABC的周长.【易错易混温馨提醒】一、多解问题的取舍容易忽视：易错1：①如图C ∆AB 中，已知点D 在C B 边上，且D C 0A ⋅A = ，sin C 3∠BA =AB =D B（1）求D A 的长；（2）求cos C ．解析：（1）因为D C A ⊥A ，所以sin C sin D cos D 2π⎛⎫∠BA =+∠BA =∠BA⎪⎝⎭，所以cos D ∠BA =．在D ∆AB 中，由余弦定理可知，222D D 2D cos D B =AB +A -AB⋅A ⋅∠BA 即2D 8D 150A -A +=，解之得D 5A =或D 3A =，由于D AB >A ，所以D 3A =．（2）在D ∆AB 中，由正弦定理可知，D sin D sin D B AB=∠BA ∠A B，又由cos D 3∠BA =可知1sin D 3∠BA =，所以sin D sin D D 3AB ∠BA ∠A B ==B因为D D C C C 2π∠A B =∠A +∠=+∠，即cosC =.②在中，,点在边上，，且.（1）若的面积为，求；（2）若，求. 【答案】（1）（2）或.（2）在中，，可设，则，又，由正弦定理，有，所以.在中，，由正弦定理得，，即，化简得，于是，因为，所以，所以或，解得或，故或.二、由22sincos 1(ααα+=为三角形内角)，知sin α求cos α时的正负问题容易出错：易错2：如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =，AC = 4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．【答案】（1）CE =212222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，整理得2960CE +-=，解得： CE =故CE 的长为三、已知内角为锐时，易知转化为余弦值大于0，但容易忽视小于1，钝角亦是如此，余弦应该是(-1,0).在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且. （1）当，时，求、的值；（2）若角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）四、注意求值平方后开方时取正负的问题：在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4sin b A =. （1）求sin B 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值.【答案】（1）sin B =2）cos cos A C -=.【解析】试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力. 第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到sin B ；第二问，利用等差中项的概念得2b a c =+，再利用正弦定理将边转换成角，得到sin sin A C +=，设cos cos A C x -=，两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到cos()A C +，再利用内角和与诱导公式，将A C +转化成B π-，解方程求出x 的值，即cos cos A C -的值.试题解析：（Ⅰ）由4sin b A =，根据正弦定理得4sin sin B A A =，所以sin B =． 4分五、锐角三角形内角范围的考虑要全面，需满足三个内角均为锐角：易错5：在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，且2222sin 2cos cos A cos B AsinB C ++=. （1）求角C 的值；（1）若ABC ∆为锐角三角形，且c =a b -的取值范围. 【答案】（1）3C π=（2）()1,1-【解析】试题分析：（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得c 2=a 2+b 2-ab ，利用余弦定理可求cosC ，结合C 角为三角形的内角，可求C 的值．（2）由（1）知A +B ＝23π， 23B A π=-利用正弦定理可求a=2sinA ，b=2sinB ，利用三角函数恒等变换的应用可求a-b=23sin A π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，可求范围A ,366πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质即可得解a-b的范围．（2）由（1）知 2233A B B A ππ+==-，由sin sin sin a b cA B C==得， 2,2a sinA b sinB ==， 22222)233a b sinA sinB sinA sin A sinA sin A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ABC ∆为锐角三角形， 02B π<<，又∵23B A π=-， ∴,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴,366A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴()2sin 1,13A π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即a b -的取值范围为()1,1-. 【新题好题提升能力】1.[2016·山西四校一联] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sinC ＋2sin B )，a ＝1.(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的周长的取值范围．2. 在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cosC ＝34.(1)求AB 的值； (2)求sin(2A ＋C)的值．答案 (1) 2 (2)378解析 (1)由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC cosC ＝22＋12－2×2×1×34＝2.∴AB＝ 2.(2)由cosC ＝34且0<C<π，得sinC ＝1－cos 2C ＝74.由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，解得sinA ＝BCsinC AB ＝148，所以cosA ＝528. 由二倍角公式，得sin2A ＝2sinAcosA ＝5716且cos2A ＝1－2sin 2A ＝916.故sin(2A ＋C)＝sin2AcosC ＋cos2AsinC ＝378.3. 在ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，满足())222222tan ac b B b c a +-=+-．（1）求角A ；（2）设2a =，且()2cos sin2sin A B B C +-=ABC ∆的面积．【答案】（1）3A π=．（2）ABC S ∆ =4.四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积. 解 (1)设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝1＋4－x22×2×1，在△BCD 中，由余弦定理，得cos C ＝9＋4－x22×2×3，∵A ＋C ＝π，∴cos A ＋cos C ＝0.联立上式，解得x ＝7，cos C ＝12. 由于C ∈(0，π).∴C ＝π3，BD ＝7. (2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32. 又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23， ∴四边形ABCD 的面积为2 3.5.(2017·贵州适应性考试)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.6.在中，角所对的边分别为，且，．（Ⅰ）若，求角的正弦值及的面积；（Ⅱ）若在线段上，且，，求的长．（Ⅱ）设，则，，又，，在中，由余弦定理得，即，解得，则，所以，在直角中，．7. ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .B =(1)求B ;(2)若,,a b c 成等比数列,求11tan tan A C +的值;(3)若AC 边上的中线长为2,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）6B π=（2）2（3）8-【解析】试题分析：（1B B 角。

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第三章三角函数、解三角形 3.6

第十二页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
第十三页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
[授课提示：对应学生用书第 059 页]
考向一化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
第二十七页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
[解析] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 2sin2ωx＋π4，所以 f(x)的最小正周期 T＝22ωπ＝ωπ. 依题意，得ωπ ＝π，解得 ω＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式
＝ cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
第六页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________. 解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
故选 C.
答案：C
第三页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－

北京市2018届高三数学文一轮复习 3.7 解三角形课件精品

∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A， ∴A＝π2或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， ∴△ABC为等腰或直角三角形. 答案 D
跟踪训练
2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若bc<cos A，
则△ABC 为( )
A．钝角三角形
由 a＝3，B＝π4及正弦定理sina A＝sinb B，得 b＝3 5.
∠A 为锐角
∠A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数 _一__解__
_两___解_
一解
一解
知识梳理
知识点 3 三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝_2_a_cs_i_n_B__＝_2_b_c_s_in__A_；
归纳升华
1．正弦定理的应用技巧 (1)求边：利用公式 a＝bssiinnBA，b＝assiinnAB，c＝assiinnAC或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A＝asibn B，
sin B＝bsian A，sin C＝csian A或其他相应变形公式求解． (3)相同的元素归到等号的一边，即ab＝ssiinn AB，bc＝ssiinn BC，ac＝ssiinn CA，
知识梳理
变形形式
(1)a＝2Rsin A，b＝__2_R_s_i_n_B__，
cos A＝b2＋2cb2c－a2；
c＝___2_R_s_in__C_；
c2＋a2－b2

2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲正弦定理和余弦定理课件理

又∵csin A＝ 3acos C，∴asin C＝ 3acos C， sin C ∴sin C＝ 3cos C，∴tan C＝cos C＝ 3， π ∵C∈(0，π)，∴C＝3.
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)， ∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A， ∴2sin Bcos A＝2×5sin Acos A． ∵△ABC 为斜三角形，∴cos A≠0，∴sin B＝5sin A．由正弦定理可知 b＝5a，① 1 2 2 ∵c ＝a ＋b －2abcos C，∴21＝a ＋b －2ab×2＝a ＋b －ab，②
2 2
2 7 2 1－ 7 ＝
21 7 ，
7 2 3 21 1－－＝ 14 . 14
于是 sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BAD· sin∠CAD＝ 3 21 2 7 21 3 7 － 14 × 7 ＝ 2 . 14 × 7 － BC AC 在△ABC 中，由正弦定理得，sin α＝， sin∠CBA 3 7× 2 AC· sin α 故 BC＝＝＝3. sin∠CBA 21 6
1 3 3 π (2)由已知，得2absin C＝ 2 .又 C＝3，所以 ab＝6. 由已知及余弦定理，得 a2＋b2－2abcos C＝7. 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
1．(2017· 山西太原模拟)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 2 2 若 sin A＝ 3 ，a＝2，S△ABC＝ 2，则 b 的值为( A ) A． 3 3 2 B． 2 C．2 2 D．2 3

高中数学(一轮复习)最拿分考点2 解三角形(解析版)

专题2解三角形考点了解A 掌握B 灵活运用C正弦定理、余弦定理B 解三角形B★★★通过研究近4年全国高考试卷，高考中解三角形试题主要以中档题出现，通过研究近几年全国高考试卷，题目设置上如果没有解答题，会有1--2个选填题；分值为10—12分。

○○○○解三角形在高考中占据重要的地位，通过分析近几年的高考情况，考查特点如下表：考什么怎么考题型与难度1.正、余弦定理①考查利用正、余弦定理求边、角和面积；②考查利用正、余弦定理判断三角形的形状；③考查利用正、余弦定理解决一些现实生活中的实际问题.题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题2.正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇问题主要考查正、余弦定理及三角函数的图象、性质与平面向量的综合应用题型：解答题难度：中档题解三角形作为高中数学的一个模块，与三角函数、向量都有天然的联系，同时在相关学科中也有着广泛的应用。

高考中选填题以考查正余弦定理及面积公式的基本运用，为中低档题。

解答题以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角形问题．具体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数公式，达到化简问题的目的．解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题．复习中注意对正余弦定理及公式变形和运算能力的训练，同时让学生感悟解题中所蕴含的方程思想、函数思想、分类与转化的思想、建模能力。

复习教学中提出以下建议；教学中应注意“四化”，知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。

高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。

数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。

典例【2017课标II 理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=，（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第29讲解三角形应用举例及综合问题

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______km.【答案】2 【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC 中，由正弦定理求得BC ,同理再求出DB ，解DBC △，求得答案.【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+=,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--=，故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠ ，1sin 452sin 30BC ⨯==在ABD △中，1801513530ADB ∠=--=，故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠ ，1sin1352sin 30BD ⨯==，所以在DBC △中，90CBD ∠=，则22222CD BC DB =+=+= ,故答案为：22. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(3≈1.732)( )A.346B.373C.446D.473答案 B解析如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ.则tan θ=______________.【答案】37777【解析】首先得到60,603OA OB ==，然后由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，然后求出OC 即可【详解】如图，O 为楼脚，OP 为楼高，则60OP =，易得：60,603OA OB ==由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，两式相加得：()22222230800OA OC AB OB OC +=+⇒=，则77OC =故377tan 2077θ=377[举一反三] 1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（）A ．hd h a b +-B ．hd h a b--C ．hd d a b +-D ．hd d a b -- 【答案】A【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM ，即可得解.【详解】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b ∠=，所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan h BFM a∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM b MF MD d h h-=-=，所以||hd BM a b =-，即||hd AB BM h h a b =+=+-，故选：A ．2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A ．20mB ．10mC ．103mD ．1033m 【答案】B 【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出AB ，,AD AC 等边的长度，然后在ACD △中用余弦定理即可解得答案.【详解】如图示，AB 表示旗杆，由题意可知：45,0,630ACB ACD ADB ∠=∠=∠=︒︒︒，所以设AB x = ，则3,AD x AC x ==，在ACD △ 中，2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⨯⨯⨯∠ ,即2221(3)()(20)2202x x x =+-⨯⨯⨯ ，解得10x = ，（20x =-舍去），故选：B.3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ；②测量A ∠、B 、BC ；③测量C ∠、AC 、BC ；④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】②③【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.【详解】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC A B A AB=>，此时B 有两解，则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC AB A C=可知AB 唯一确定；对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅ 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定.故答案为：②③.4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离330海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向.解：(1)在ABC 中，6030330，==AB BC1807515120ABC ∠=-+=，根据余弦定理得：.2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2260(30330)260(30330)cos1205400=+-⨯⨯⋅=306=AC 所以小岛A 到小岛 C 的最短距离是306.(2)根据正弦定理得：sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ 30660120sin ACB=∠ 解得2sin ACB ∠=在ABC ∆中，,<BC ACACB ∴∠为锐角45ACB ∴∠=1801204515CAB ∴∠=--=. 由751560-=得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A 到小岛 C 的最短距离是306;游船应该沿北偏东60的方向航行. 5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒62-=由正弦定理sin sin BC CD BDC CBD =∠∠得()sin 5031sin 62CD BDC BC CBD ⋅∠===∠-.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．∴)5031AB BC ==．所以塔高AB 为)5031米．➢考点2 求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.1.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1.(1)若AB ＝32，求BC ； (2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC . 解(1)如图所示，在△ABD 中，由余弦定理可知，cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12－122×32×1＝34.∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD ＝34. 在△BCD 中，由余弦定理可得，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝12＋12－2×1×1×34，∴BC ＝22. (2)设BC ＝x ，则AB ＝2BC ＝2x .由余弦定理可知， cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝（2x ）2＋12－122×2x ×1＝x ，①cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝12＋12－x 22×1×1＝2－x 22.②∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD .联立①②，可得2－x 22＝x ，整理得x 2＋2x －2＝0，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去).将x 1＝3－1代入②，解得cos ∠BDC ＝3－1.2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅；(2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值. 解：(1)在ABD △和BCD △中，可得BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠，由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，两式相除得AB DB AC DC =，可得ABBD BC AB AC=+，AC DC BC AB AC =+，又由cos cos ABD ABC ∠=∠，根据余弦定理得22222222AB BD AD AB BC AC AB BD AB BC+-+-=⋅⋅ 所以()()22222222BD DC BDAD AB BD AB BC AC AB AC BD BC BD BC BC BC=+-+-=+-- 代入可得222AC AB AD AB AC BD DC AB AC AB AC=+-⋅++ABAC AB AC BD DC AB AC BD DC AB AC AB AC ⎛⎫=⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪++⎝⎭.(2)由1AD =，23A π=及ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc += 根据基本不等式得2bc b c bc=+≥，解得4bc ≥，当且仅当2b c ==时等号成立，又由1AD =，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅，可得13DB DC bc ⋅=-≥，所以DB DC ⋅的最小值是3. [举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．解：（1）因为15sin B =π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos 1sin 8B B -=，因为2AB AC =，所以由正弦定理知sin 2sin C ABB AC==，即sin 2sin C B =，因为AM BM =，所以2AMC B ∠=∠，sin sin 22sin cos AMC B B B ∠==，在AMC 中，sin 2sin cos 7cos sin 2sin 8AC AMC B B B AM C B ∠====．（2）由题意知22AB AC ==，设BC x =，由余弦定理得222217cos 48x B x +-==，解得2BC =或32BC =．因为2AC BC ≤，所以2BC =，因为AM 为BAC ∠的平分线，BAM CAM ∠=∠所以11sin 2211sin 22ABM ACMAB AM BAM BM hS SAC AM CAM CM h⋅∠⨯==⋅∠⨯（h 为底边BC 的高）所以2BM AB CMAC ==，故1233CM BC ==，而由（1）知sin 2sin C B ==112sin 1223ACM S AC CM C =⋅⋅=⨯⨯=△． 2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为ABC 面积的最小值. 解：(1)由已知A B C π++=，所以sin sin cos 222A B C Cb b b π+-==，所以cossin 2C b c B =，由正弦定理得sin cos sin sin 2CB C B =，因为B 、()0,C π∈，则sin 0B >，022C π<<，cos 02C>，所以，cos sin 2C C =，则cos 2sin cos 222C C C =，所以1sin 22C =，所以26C π=，则3C π=.(2)由11sin 22ABCSc ab C =⋅=，得4ab c =，由余弦定理222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=，即24c c ≥，因为0c >，则4c ≥，当且仅当4a b c ===取等号，此时ABC 面积的最小值为3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.解：(1)选①，由2sin cos sin b C B c B =+及正弦定理可得2sin sin cos sin sin B C C B C B =+，所以，sin sin cos C B C B =，因为B 、()0,C π∈，所以，sin 0C >，则sin 0B B =>，所以，tan B =3B π∴=；选②，由cos cos 2B bC a c=-及正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，所以，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=，A 、()0,B π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2B =，则3B π=.(2)因为a c +=0a <<由已知AD DC =，即BD BA BC BD -=-，所以，2BD BA BC =+，所以，()222242BD BA BC BA BC BA BC =+=++⋅，即())22222242cos33BD c a ac c a ac a c ac aa π=++=++=+-=-22993,344a a ⎛⎡⎫=+=+∈ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭，所以，34BD ≤<➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．解：(1)211cos 21()cos sin 2222x f x x x x x ωωωωω-=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，显然()f x 的最大值为1，最小值为1-，则()()122f x f x -=时，12x x -的最小值等于2T，则22T π=，则22ππω=，1ω=；令2,6x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ，则()f x 的对称中心为,0,122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； (2)()sin(2)16f A A π=+=-，22,62A k k πππ+=-+∈Z ，又()0,A π∈，则23A π=，由正弦定理得2sin sin sina b cA B C====，则2sin ,2sin b B c C ==，则周长为2sin 2sin 2sin 2sin 3a b c B C B B π⎛⎫++=+=+- ⎪⎝⎭3sin 3cos 32sin()3B B B π=++=++，又03B π<<，则2333B πππ<+<，则32sin()23B π<+≤，故周长的取值范围为(23,23⎤+⎦.[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212Af π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ABC 周长的最大值．解：(1)由图得2A =，32ππ3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=，将点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()2sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即π,6k k Z ϕπ=+∈，考虑到π02ϕ<<，故π6ϕ=，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)由π3212A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin A =及π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3A =，因为ABC 为锐角三角形，且π3A =，故ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ===所以2π1sin )1sin sin3a b c B C B B ⎤⎛⎫++=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦1π12sin cos 12sin 26B B B ⎛⎫⎛⎫=+⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin 6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 周长的最大值为3.2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD交BC 于D ，求AD 的长．解：(1)因为()211cos cos 2cos 222f x x x x x x ωωωωω=-+=-πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT ⎛⎫+=⎪+ ⎝⎭，即2224ππω⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由()1f A =得：sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22,Z 62A k k πππ-=+∈，解得,Z 3A k k ππ=+∈，因为[0,]A π∈，所以π3A =，因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABCABDACDSSS=+，即111sinsin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅⋅+⋅⋅，可得AD = 由余弦定理得：，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，而12bc =，得()252b c +=，因此AD ==。

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