广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
广东省深圳市明珠学校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案
明珠学校2014--2015第一学期期中考试数学试卷 年级：高二学科：理科数学 （满分： 150 分时量： 120 分钟） 一、选择题（共40分，每小题5分） 1．若，则下列不等式①, ②,③, ④ 中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是( ) A．若是偶数，则与不都是偶数 B．若是偶数，则与都不是偶数 C．若不是偶数，则与不都是偶数 D．若不是偶数，则与都不是偶数 3．已知p：|x|<3；q：x2－x－2<0，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件在第一象限且在直线上移动，则（）A.最大值为1B.最小值为1C.最大值为2D.没有最大、小值 5．已知等差数列{an}的公差d≠0,若成等比数列,那么公比为 ( ) A． B． C．． D. 6．设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（） A． B． C． D． 7．数列1，1＋2，1＋2＋221＋2＋22＋，…的前n项和为（）A.2n－n－1B.2n+1－n－2C.2nD.2n+1－n 8、如果函数对任意的实数，存在常数，使得不等式恒成立，那么就称函数为有界泛函．给出下面三个函数：①；②；③．其中属于有界泛函的是（） A．①③ B．② C．③ D．①② 二、填空题（共30分，每小题5分） 9.写出命题P：的否定； 10．不等式的解集为； 11. 已知等比数列{an}的前n项和，则实数 t 的值为 ________. 12．已知两个正实数满足,则使不等式+≥恒成立的实数的取值范围是__________. 13．给定下列四个命题： “x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；若am2＜bm2则a＜b若既是等差数列，又是等比数列，则；的解集则=-10. 其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号) 所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则＝，经猜想可得到＝． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列的前项和为，数列为等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．12分）已知命题p：x∈[1,2]，x2－a0.命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋10.若“p 或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围． 14分）已知函数 (Ⅰ)当时,求函数的最小值; (Ⅱ)若对任意,恒成立,试求实数的取值范围. 18．（本小题满分15分） 已知数列的首项，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求证：，． 19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.合理安排生产计划 ,公司可获得最大利润中，已知，其前n项和满足 . (1) 求的值； (2)求数列的通项公式； (3)令 ,试求一个函数,使得对于任意正整数n有，且对于任意的，均存在，使得时， .2014--2015第一学期期中考试参考答案 年级：高二学科：理科数学 （满分： 150 分时量： 120 分钟） 一、选择题（共40分，每小题5分） 1---8: BCBAD, BBC 8. ①对于，当时，有，不属有界泛函; 对于②，当时，有无最大值，不属于有界泛函；对于③，当时，有， 二、填空题（共30分，每小题5分） 9. 10. 11. -2 12. 13. ①②④ 14.6, 6n 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分）解：（1）; ……6分 (2) ; ……12分 16. （12分）解：命题p：命题q：“p或q”为真，“p且q”为假或② ………………………10分 解得; ……………12分 17. （15分）⑴由，得，………………2分 所以是首项，公差的等差数列………………3分 ……4分，所以，………………5分 (2) ………………9分 (3) ……11分 时，由以上不等式得 ……13分 ……14分 因为是递增数列，所以，……15分． 18. （14分）解(Ⅰ) 时,(因为) 所以,在上单调递增,故时,取得最小值.………………6分 (Ⅱ) 因为对任意,恒成立,即恒成立,只需恒成立，只需,因为, 所以,实数的取值范围是.………………14分 19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 且画可行域如图所示, 目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y=这是随Z变化的一族平行直线 解方程组即A(4,4) .………………4分 （2）由题设知，即. 由累加法可得：.………………8分 （3）. ………………10分 则…. 令，则…. …12分 若，则有化简得：即解不等式. 当，即时，取即可. 当，即时，则记的整数部分为s，取即可. ………………14分 综上可知，对任意，均存在，使得时，，即为所求函数. ……15分。
广东省深圳市翠园中学2012—2013学年第二学期高二数学理科试卷
广东省深圳市翠园中学2012—2013学年第二学期高二数学理科试卷（时间 １２０分钟 满分 １５０分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数2(1)i i-（i 是虚数单位）= （ ） A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 2．若)(12131211)(*∈+++++=N n n n f ，则1=n 时，)(n f 是（ ）。
（A ）1 （B ）31 （C ）31211++ （D ）非以上答案 3.3()f x x =, 0'()6f x =，则0x = ( )A 1±4.若20(23)0kx x dx -=⎰，则=k ( )A. 1B.0C.0或1D.以上都不对5.设x x y ln -=，则此函数在区间()1,0内为（ ）A ．单调递增 B. 有增有减 C.单调递减 D.不确定6. 已知()x x x f sin 3⋅=，则'(1)f =( ) A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 7.星期三上午需要安排语文、数学、英语、物理、化学五节课，其中语文和数学必须排在一起，而物理和化学不能排在一起，则不同的排法共有（ ）。
（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种8．已知函数()x f y =，()x g y =的导函数图象如下图，则()()x g y x f y ==,的图象可能是（ ）二.填空题（每小题5分, 共.30分.）9.若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为 ；10.0=⎰_______________.11.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 12. 在5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于________。
广东省深圳市明珠学校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(有答案)AwHnwn
明珠学校2014--2015第一学期期中考试数学试卷年级： 高二 学科： 理科数学 （满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②33b a >,③011<<ab , ④b a < 中，正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 3．已知p ：|x |<3；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( ) A ．B ．C ．．D.6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ） A.2n －n －1B.2n +1－n －2C.2nD.2n +1－n8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（ ）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）9.写出命题P ：01),0,(2≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式034≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.12．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是__________.13．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若am 2＜bm 2, 则a ＜b ;③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；④若不等式220ax bx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -=-10.其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)14.在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞ (Ⅰ)当12a =时,求函数()f x 的最小值;(Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，nnn a a a +=+221． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ；(3)求证：*∈∀N n ，3 (2)232221<++++n a a a a ．19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和nS 满足).3(22112≥+=+---n s s s n n n n.(1) 求43,a a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；(3)令11+=n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有61)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，m T n > .2014--2015第一学期期中考试参考答案年级：高二 学科： 理科数学（满分： 150 分 时量： 120 分钟）一、选择题（共40分，每小题5分）1---8: BCBAD, BBC8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函; 对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）9. 01),0,(2>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;nn n b n a 21,12=-= ……6分 (2) ;62)32(1+-=+n n x n T ……12分 16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分 即：① ⎩⎨⎧<<-≤311a a 或 ②⎩⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由n n n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ，21111=-+n n a a ………………2分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列………………3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ………………5分 (2)12+=n nS n ………………9分 (3) )1(4)1(422+<+=n n n a n 244+-=n n ……11分2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni ini i Λ……13分 14241+-+=n 3<……14分 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……15分．18. （14分） 解(Ⅰ) 12a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥) 所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值72.………………6分(Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x >--恒成立，只需2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-,所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X ………………6分画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z ………………12分20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥.由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121n n n nn n n n b a a +++===-++++. ..................10分 则2223111111()(1)()(2)2212122121n T f f =-⋅+-+++++ (1111)()()22121n n n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()221212121n T =-+-+++++ (11)111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1111(),22121n m +->++ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m>---. 当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记3(1)116m---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分综上可知，对任意1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. ……15分。
翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试卷
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9、曲线 y 5e 3x 在点 (0, 5) 处的切线方程为
x
.
10、已知 cos
1 13 , cos( ) , 且0 , 则 cos 7 14 2
.
11、若样本 a1, a2 , a3 的方差是 a ，则样本 3a1 1,3a 2 1,3a3 1 的方差为_________. 12、已知数列 an 满足 log3 an 1 log3 an1 (n N ) ，且 a2 a4 a6 9 ， 则 log 3 (a5 a7 a9 ) 的值是 .
2 2
（1）如果函数 y f ( x ) 和 y g ( x) 有相同的极值点，求 a 的值； （2）设 a 0 ，问是否存在 x0 (1, ) ，使得 f ( x0 ) g ( x0 ) ，若存在，请求出实数 a 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
a 3
20、 （本小题满分 14 分） 数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 ， Sn n2 an n(n 1) 1 . a1 2 (Ⅰ) 求 a2 , a3 ； (Ⅱ) 求数列 an 的通项； (Ⅲ)设 bn
O
5π 12
x
第6题
优解不唯一 ，则实数 a 的值为 ．．． A、
1 或-1 2
B、2 或
1 2C、2 或 1 NhomakorabeaD、2 或-1
1/5
8、已知椭圆 C：
x2 y 2 1 ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 25 16
A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 | AN | | BN | A、10 B、15 C、20 D、25
2014-2015年广东省深圳市翠园中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
8． （5 分） 已知曲线 y＝x4+ax2+1 在点 （﹣1， a+2） 处切线的斜率为 8， a＝ （ A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
）
9． （5 分）在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P，则△PBC 的面积大于 的概率 为（ A． ） B． C． D．
10． （5 分）如图，平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O，对于平面上任意一点 M， 若 p、q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标” ．已知常数 p≥0，q≥0，给出下列命题： ①若 p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）点有且仅有 1 个； ②若 p＝0，q＝1，则“距离坐标”为（0，1）的点有且仅有 2 个； ③若 p＝1，q＝2，则“距离坐标”为（1，2）的点有且仅有 4 个． 上述命题中，正确命题的个数是（ ）
4． （5 分）已知向量 ＝（λ+1，1） ， ＝（λ+2，2） ，若（ + ）⊥（ ﹣ ） ，则 λ＝（ A．﹣4 ） B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
5． （5 分）设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则下列命题正 确的是（ ） B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β ）
12． （5 分）若实数 x，y 满足
，则（x﹣1）2+y2 的最小值为
．
13． （5 分）已知各项都是正数的等比数列{an}满足 a7＝a6+2a5，若存在不同的两 项 am 和 an，使得 am•an＝16a12，则 的最小为选做题，考生只能从中选做一题． （坐标系与参 数方程选做题） 14． （5 分）在极坐标系中，圆 p＝2 上的点到直线 p（cosθ 离的最小值是 ． ）＝6 的距
2014-2015学年广东省深圳市西乡中学高二(上)期末数学试卷(文科)(含详细答案解析)
2014-2015学年广东省深圳市西乡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，满分50分，每小题的4个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项选出。
1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）不等式（x+1）（2﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）3．（5分）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．38．（5分）函数y=﹣在x=处的切线方程是（）A．y=4x B．y=4x﹣4 C．y=4（x+1）D．y=2x﹣49．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5+a21=a12，那么S27=（）A．2015 B．2014 C．2013 D．010．（5分）不等式x2＞a2等价于（）A．x≥±a B．﹣a＜x＜a C．x＜﹣a或x＞a D．x＜﹣|a|或x＞|a|二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共30分.11．（5分）A为△ABC的内角，若cosA=，则sin（B+C）等于．12．（5分）数列，，，的一个通项公式是．13．（5分）命题“若x＞1，则（x﹣1）（x+3）＞0”的等价命题是“；它是命题（填：“真”或“假”）．14．（5分）已知x∈R，y∈R，那么不等式组表示的平面区域的面积是．三、解答题：本题共6小题，满分80分：解答应写出文字说明．证明过程或演算步聚.15．（12分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．16．（12分）已知关于x的不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＞0的解集为A．（1）若0∈A，求a的取值集合；（2）在（1）中，若a∈Z，求A．17．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边．若a=1，c=，cosC=．（1）求sinA的值；（2）求△ABC的面积．18．（14分）设函数f（x）=（m∈R）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥2；（2）若f（x）≤lnx在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．19．（14分）记数列{a n}的前n项和为T n，且{a n}满足a1=1，a n=3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（1）求a2、a3的值，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）证明：T n=．20．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．2014-2015学年广东省深圳市西乡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，满分50分，每小题的4个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项选出。
2014-2015年广东省清远市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年广东省清远市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5} 2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．135°D．150°3．（5分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆柱C．球D．圆锥4．（5分）圆（r＞0）经过原点的充要条件是（）A．r=1B．r=2C．r=3D．r=45．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则等于（）A．B．C．D．6．（5分）“x＞0”是“|x﹣1|＜1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知命题p：平行于同一直线的两个平面平行；命题q：垂直于同一平面的两条直线平行，那么（）A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题C．“￢p或q”是假命题D．“￢p且q”是真命题8．（5分）已知椭圆C的离心率为，焦点为、，椭圆C上位于第一象限的一点P，且满足PF1⊥PF2，则|PF2|﹣|PF1|的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标是，准线方程是．10．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．12．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|A B|，|AF2|成等差数列，则此双曲线的离心率为．13．（5分）如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是．14．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知p：﹣5≤2x﹣1≤5，q：（x+3m﹣2）（x﹣3m﹣2）≤0（m＞0），若¬p是¬q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．16．（12分）已知函数f（x）=x．若点在角α的终边上．（1）求sinα；（2）求f（α）的值．17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面）中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．18．（14分）已知圆C过原点，圆心在射线y=2x（x＞0）上，半径为．（1）求圆C的方程；（2）若M为直线m：x+2y+5=0上的一动点，N为圆C上的动点，求|MN|的最小值以及|MN|取最小值时M点的坐标．19．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，EC ⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G为BF的中点，若EG⊥面ABF，AB=2．（1）求证：EG∥面ABCD；（2）若AF=AB，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．20．（14分）椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF 为直角三角形，求直线l的斜率．2014-2015学年广东省清远市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．135°D．150°【解答】解：设直线x+y﹣3=0的倾斜角为θ（θ∈[0°，180°）．∴tanθ=﹣1，∴θ=135°．故选：C．3．（5分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆柱C．球D．圆锥【解答】解：用一个平面去截一个棱锥，得到的截面是三角形，不可能是圆，所以A正确；用一个平面去截一个圆柱，截面与底面平行，得到的截面是圆面，所以B不满足题目要求；用一个平面去截一个球，得到的截面是圆面，所以C不满足题目要求；用一个平面去截一个圆锥，截面与底面平行，得到的截面是圆面，所以D不满足题目要求；故选：A．4．（5分）圆（r＞0）经过原点的充要条件是（）A．r=1B．r=2C．r=3D．r=4【解答】解：圆（r＞0）经过原点的充要条件是=r2，解得r=2．故选：B．5．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，，，∴=+=+（﹣）=﹣+（﹣）=﹣+（﹣）=﹣+﹣．故选：D．6．（5分）“x＞0”是“|x﹣1|＜1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＜1可得﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2．由x＞0不能推出0＜x＜2，但由0＜x＜2 能推出x＞0，故x＞0是0＜x＜2的必要不充分条件，即“x＞0”是“|x﹣1|＜1”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）已知命题p：平行于同一直线的两个平面平行；命题q：垂直于同一平面的两条直线平行，那么（）A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题C．“￢p或q”是假命题D．“￢p且q”是真命题【解答】解：对于命题p，若α∩β=m，a⊄α，a⊄β，a∥m，则由线面平行的判定定理，得a∥α，a∥β，则满足条件，故命题p为假命题；由直线和平面垂直的性质定理，得命题q正确．故￢p为真，“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，“￢p或q”是真命题，“￢p且q”是真命题．故选：D．8．（5分）已知椭圆C的离心率为，焦点为、，椭圆C上位于第一象限的一点P，且满足PF1⊥PF2，则|PF2|﹣|PF1|的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：椭圆C的离心率为，焦点为、，可得：a=3，c=，椭圆C上位于第一象限的一点P，且满足PF1⊥PF2，所以△F1PF2是直角三角形，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，|PF2|+|PF1|=2a=6，消去|PF1|可得：（6﹣|PF2|）2+|PF2|2=20，解得|PF2|=4，则|PF1|=2．∴|PF2|﹣|PF1|=2．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标是（0，﹣1），准线方程是y=1．【解答】解：抛物线x2=﹣4y的焦点坐标是（0，﹣1），准线方程为：y=1．故答案为：（0，﹣1）；y=1．10．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜011．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC 1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1=60°．故答案为60°．12．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|A B|，|AF2|成等差数列，则此双曲线的离心率为2．【解答】解：|AF1|，|AB|，|AF2|成等差数列，则|AF1|+|AF2|=2|AB|=4a，即有|F1F2|=4a，即2c=4a，e==2．故答案为：2．13．（5分）如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是12．【解答】解：由题意一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，∴此几何体是一个正四棱锥，其底面是边长为2的正方形，斜高为2∴此几何体的表面积是S=2×2+4××2×2=4+8=12故答案为：1214．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为2x+3y﹣12=0．【解答】解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，①，=144②，①﹣②得，+9=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以==，即，所以弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故答案为：﹣；2x+3y﹣12=0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知p：﹣5≤2x﹣1≤5，q：（x+3m﹣2）（x﹣3m﹣2）≤0（m＞0），若¬p是¬q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．【解答】解：解不等式可求得：p：﹣2≤x≤3，q：2﹣3m≤x≤2+3m （m＞0）．解法一：则￢p：A={x|x＜﹣2或x＞3}，￢q：B={x|x＜2﹣3m或x＞2+3m，m ＞0．由已知￢p是￢q的充分不必要条件，￢q不能推出￢p，得A⊊B．，解得．∴所求实数m的取值范围是．解法二：解不等式可求得：p：A={x|﹣2≤x≤3}，q：B={x|2﹣3m≤x≤2+3m}（m＞0）．￢p是￢q的充分而不必要条件，即q是p的充分而不必要条件（或者p是q的必要而不充分条件）．由已知q⇒p，p不能推出q，得B⊊A．，解得．经验证（上述不等式组中等号不能同时成立），∴所求实数m的取值范围是{x|}．16．（12分）已知函数f（x）=x．若点在角α的终边上．（1）求sinα；（2）求f（α）的值．【解答】解：（1）因为点在角α的终边上，|PO|=2，…（2分）所以=﹣…（4分）（2）由（1）得cosα=…（7分）由已知得f（α）=sin2α﹣2sin2α=2sinαcosα﹣2sin2α=2×（﹣）×﹣2×=﹣3．…（12分）17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面）中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．【解答】解：（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面）中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．∴A1A⊥面ABC，…..（1分），BC⊂面ABC∴A1A⊥BC …..（2分）又∵BC⊥AB…..（3分），AB∩AA1=A，∴，（4分）平面AB1⊂平面ABB1A，∴BC⊥AB1，（5分）∵四边形A1ABB1是正方形，∴A1B⊥AB1…..（6分）又∵BC∩A1B=B，AB1⊥平面A1BC；…..（7分）（2）解法一：设AB1∩A1B=O，连结CO…（8分），∵BC⊥平面A1ABB1．则∠ACO就是直线AC与平面A1BC所成的角θ…（10分）∵BC=2，∵；…..（11分）∴…..（12分）在Rt△AOC中，，∴θ=…..（13分）∴BC的长为2时，直线AC与平面A1BC所成的角为．…..（14分）解法二：由（1）知以B为原点建立如图所示坐标系B﹣xyz，…（8分），设BC=x，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0）A1（0，2，2），…（10分），由（1）知AB1⊥平面A1BC，…（11分），B1（0，0，2），=（0，﹣2，2），…（12分），∵直线AC与平面A1BC所成的角为θ，∴，…（13分）即BC的长为2时，直线AC与平面A1BC所成的角为．…..（14分）18．（14分）已知圆C过原点，圆心在射线y=2x（x＞0）上，半径为．（1）求圆C的方程；（2）若M为直线m：x+2y+5=0上的一动点，N为圆C上的动点，求|MN|的最小值以及|MN|取最小值时M点的坐标．【解答】解：（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．由题意知：，解得a=1，b=2．∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（2）由图象可知线段MN的延长线经过圆C的圆心，且与直线m垂直时|MN|的最小，∴直线MN：y﹣2=2（x﹣1），∵MN∩m=M，∴联立，得M（﹣1，﹣2），设圆心C到直线m的距离为d，则d==，∴|MN|的最小值为d﹣r=．∴|MN|的最小值为，此时M的坐标（﹣1，﹣2）．19．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，EC ⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G为BF的中点，若EG⊥面ABF，AB=2．（1）求证：EG∥面ABCD；（2）若AF=AB，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．【解答】解：解法一（（1）不建系）：（1）（解法一）取AB的中点M，连结GM，MC，G为BF的中点，∴GM∥FA，…（1分）又EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，∴CE∥AF，…（2分）∴CE∥GM，且GM⊥面ABCD，…（3分）∴四边形CEGM为平面四边形．…（4分）又因为MC⊂面ABCD，∴GM⊥MC，…（5分）∵EG⊥面ABCD，又∵GM⊂面ABF，∴GE⊥MG，∴EG∥CM，…（6分）又因为MC⊂面ABCD，EG⊄面ABCD，∴EG∥面ABCD …（7分）（解法二）∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，…（1分）又∵M是AB的中点，∴MC⊥AB，…（2分）又∵FA⊥面ABCD，MC⊂面ABCD，∴FA⊥MC，…（3分）AB∩FA=A，∴MC⊥面ABF，…（4分）已知EG⊥面ABF，∴MC∥EG …（5分）又因为MC⊂面ABCD，EG⊄面ABCD，∴EG∥面ABCD …（7分）（2）（解法一）由题意知△FAB≌△FAD，∴FB=FD=2…（1分）同理△FAB≌△FAD，EB=ED=，…（2分），∴△FEB≌△FED，…（3分），过B作BH⊥FE，连HD，则DH⊥FE，…（4分），∴∠BHD为所求角的平面角…（5分），在直角梯形FACE中，FE=，根据面积相等FB•EG=BH•FE得…（6分），在△BHD中，根据余弦定理得COS∠BHD=，∴为所求角的余弦值为…（7分）（解法二）建立如图所示的坐标系，∵AB=2，AF=AB，由（1）知四边形GMCE 为矩形．则B（）E（0，1，1）F（0，﹣1，2）=（0，﹣2，1），=（，﹣1，﹣1），=（，1，1），…（10分）设平面BEF的法向量n1=（x，y，z）则令y=1，则，∴n1=（）…（12分）同理，可求平面DEF的法向量n2=（﹣）…（13分）设所求二面角的平面角为θ，则cosθ=．…（14分）解法二（（1）、（2）均建系）：（1）建立如图所示的坐标系，因为AB=2，设AF=b，则A（0，﹣1，0），B（），F（0，﹣1，b），G（），E（0，1，c）…（3分）∵EG⊥面ABF，∴EG⊥AB，EG⊥AF，…（4分）∴…（5分）∴解得b=2c．…（7分）∴，∴，…（8分）由已知FA⊥面ABCD，EG⊄平面ABCD上，∴EG∥平面ABCD …（9分）（2）∵AF=AB，则E（0，1，1）F（0，﹣1，2）=（0，﹣2，1），=（，﹣1，﹣1），=（，1，1），…（10分）设平面BEF的法向量=（x，y，z）则，令y=1，则z=2，x=，…（11分）∴=（，1，2）…（12分）同理，可求平面DEF的法向量=（﹣，1，2）…（13分）设所求二面角的平面角为θ，则cos…（14分）20．（14分）椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF 为直角三角形，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0，△=（32k）2﹣240（1+4k2）=64k2﹣240，令△＞0，解得．设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（ⅰ）当∠EOF为直角时，则，因为∠EOF为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，所以，解得．（ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时，k OE•k=﹣1，所以，即x12=4y1﹣y12①，又；②，将①代入②，消去x 1得3y 12+4y 1﹣4=0， 解得或y 1=﹣2（舍去）， 将代入①，得，所以，经检验，所求k 值均符合题意，综上，k 的值为和．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2023-2024学年广东省深圳学校高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳学校高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线C 的方程为x 2+8y ＝0，则抛物线的焦点坐标为（ ） A ．（﹣2，0）B ．（2，0）C ．（0，﹣2）D ．（0，2）2．已知直线l 的方程为x +√3y +2=0，则该直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．等比数列{a n }中a 4﹣a 1＝14，a 5﹣a 2＝28，则a 2024＝（ ） A ．22023B ．22024C ．22025D ．220264．已知方程x 2+y 2+2x ﹣2ay +2a +4＝0表示一个圆，则实数a 取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B ．[﹣1，3]C ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D ．（﹣1，3）5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣2025，其前n 项和为S n ，则S n 取最小值时n 的值为（ ） A ．1012B ．1013C ．1014D ．10156．已知动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A ．x 2−y 215=1 B ．x 2−y 215=1(x ≤−1) C ．x 215−y 2=1D ．x 215−y 2=1(x ≤−√15)7．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON ，AP =34AN ，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →，则OP →=（ ）A ．14OA →+14OB →+14OC →B ．13OA →+13OB →+13OC →C ．14OA →+13OB →+13OC →D ．13OA →+14OB →+14OC →8．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n −2n−1(n ∈N ∗)，记c n =3n −2×(−1)n λa n ，若数列{c n }为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(−32，1)B ．（﹣2，1）C ．（﹣1，1）D ．（0，1）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{a n }通项公式的有（ ） A ．a n ={2，n 为奇数0，n 为偶数B ．a n =(−1)n +1C ．a n =2|sinnπ2|D ．a n =4|cosnπ3| 10．当实数m 变化时，关于x ，y 的方程（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）可以表示的曲线类型有（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．如图，在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA =CB =1，AA 1=2，∠BCA =π2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．BN =√2B ．A 1B ⊥C 1MC ．直线BC 1与平面ACC 1A 1的夹角正切值为12D ．cos ＜BA 1→，CB 1→＞=−√301012．已知圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），点M 在线段y ＝x （0≤x ≤4）上运动，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4 B ．.△MAB 面积的最小值为2 C ．圆C '的面积的最小值为πD ．切点A 、B 的连线过定点（3，1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的离心率为 ．14．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 8＝36，则数列{1S n}的前2024项和为 ．15．已知两条平行线l 1：3x ﹣4y +6＝0与l 2：6x ﹣8y +C ＝0之间的距离为1，则实数C 的值为 ．16．如图，在棱长为6正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，DD 1的中点，过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知动点M 到两个定点O （0，0）、A （3，0）的距离的比12．（1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）过点P （3，2）作曲线Γ的切线l ，求切线l 的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为5，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去；在这个过程中，记正方形ABCD 边长为a 1，正方形EFGH 边长为a 2，⋯，第n 个正方形边长为a n ，构成数列{a n }． （1）写出a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）记数列{b n }满足b n =a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l ，直线l 交椭圆C 于点A ，B ，求△OAB 面积．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，P A ＝PC ，PB ＝PD ，AC ∩BD ＝O ．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）若P A 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值． 21．（12分）已知平面直角坐标系xOy 下，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1． （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若抛物线E 上两点A ，B 满足OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标． 22．（12分）已知数列{b n }的前n 项和S n ，且S n ＝2b n ﹣2． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的通项公式a n ＝n ，若将数列{a n }中的所有项按原顺序依次插入数列{b n }中，组成一个新数列：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，a 7，b 4，⋯，b k 与b k +1之间插入2k ﹣1项{a n }中的项，该新数列记作数列{c n }，求数列{c n }的前100项的和T 100．2023-2024学年广东省深圳学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线C的方程为x2+8y＝0，则抛物线的焦点坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）解：由x2+8y＝0，可得x2＝﹣8y，所以2p＝8，所以p2=2，故抛物线的焦点坐标为（0，﹣2）．故选：C．2．已知直线l的方程为x+√3y+2=0，则该直线的倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6解：直线l：x+√3y+2=0，化成斜截式方程得y=−√33−2√33，设直线l的倾斜角为α，则直线l的斜率k＝tanα=−√33，且0≤α＜π，所以α=5π6，即直线l的倾斜角为5π6．故选：D．3．等比数列{a n}中a4﹣a1＝14，a5﹣a2＝28，则a2024＝（）A．22023B．22024C．22025D．22026解：设等比数列{a n}的公比为q，a4﹣a1＝14，a5﹣a2＝28，则q=a5−a2a4−a1=2814=2，a4﹣a1＝14，则8a1﹣a1＝14，解得a1＝2，故a2024=a1q2023=2×22023=22024．故选：B．4．已知方程x2+y2+2x﹣2ay+2a+4＝0表示一个圆，则实数a取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）解：圆的方程化为标准形式，可得（x+1）2+（y﹣a）2＝a2﹣2a﹣3，所以r 2＝a 2﹣2a ﹣3＞0，解得a ＜﹣1或a ＞3，即实数a 取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：C ．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n ﹣2025，其前n 项和为S n ，则S n 取最小值时n 的值为（ ） A ．1012B ．1013C ．1014D ．1015解：由a n ＝2n ﹣2025，当1≤n ≤1012时，a n ＜0； 当n ≥1013时，a n ＞0，则S n 取最小值时n 的值为1012． 故选：A ．6．已知动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ） A ．x 2−y 215=1B ．x 2−y 215=1(x ≤−1)C ．x 215−y 2=1D ．x 215−y 2=1(x ≤−√15)解：设动圆的圆心为M （，x ，y ），动圆的半径为r ，因为动圆与圆F 1：(x +4)2+y 2=1及圆F 2：(x −4)2+y 2=9都外切， 所以|MF 1|＝1+r ，|MF 2|＝3+r ， 所以，|MF 2|﹣|MF 1|＝2，故M 的轨迹是以F 1（﹣4，0），F 2（4，0）为焦点的双曲线的左支，a ＝1，c ＝4， 又b 2＝c 2﹣a 2＝15，则轨迹方程为x 2−y 215=1，x ≤﹣1． 故选：B ．7．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且MN =12ON ，AP =34AN ，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →，则OP →=（ ）A ．14OA →+14OB →+14OC →B ．13OA →+13OB →+13OC →C ．14OA →+13OB →+13OC →D ．13OA →+14OB →+14OC →解：∵M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，MN =12ON ，∴OM →=12（OB →+OC →），ON →=23OM →=13（OB →+OC →），∵AP =34AN ，∴OP →=OA →+AP →=OA →+34AN →=OA →+34（ON →−OA →）=14OA →+34×13（OB →+OC →）=14OA →+14OB →+14OC →，故选：A ．8．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n −2n−1(n ∈N ∗)，记c n =3n −2×(−1)n λa n ，若数列{c n }为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(−32，1)B ．（﹣2，1）C ．（﹣1，1）D ．（0，1） 解：a n+1=3a n −2n−1（n ∈N *），等式两边同时除以2n +1可得：a n+12n+1=32⋅a n 2n −14， 所以a n+12n+1−12=32（a n 2n −12）， ∵a 1＝1，∴a 12−12=0，∴数列{a n 2n −12}为常数列，每项都为0， ∴a n 2n−12=0，∴a n ＝2n ﹣1，∴c n ＝3n ﹣2×（﹣1）n λ2n ﹣1＝3n ﹣（﹣2）n λ， ∵数列{c n }为递增数列， ∴对∀n ∈N *，c n +1＞c n 恒成立，∴3n +1﹣（﹣2）n +1λ＞3n ﹣（﹣2）n λ对∀n ∈N *恒成立，当n 为偶数时，有3n +1+2n +1λ＞3n ﹣2n λ恒成立，即λ＞[﹣（32）n ﹣1]max =−32，当n 为奇数时，有3n +1﹣2n +1λ＞3n +2n λ恒成立，即λ＜[（32）n ﹣1]min ＝1，综上所述，实数λ的取值范围为（−32，1）．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{a n }通项公式的有（ ） A ．a n ={2，n 为奇数0，n 为偶数B ．a n =(−1)n +1C ．a n =2|sinnπ2|D ．a n =4|cosnπ3| 解：数列{a n }的前5项依次为2，0，2，0，2， 经验证，AC 选项，显然可以表示，对于B ，当n ＝1时，a 1＝0，故B 错误； 对于D ，当n ＝2时，a 2＝2，故D 错误． 故选：AC ．10．当实数m 变化时，关于x ，y 的方程（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）可以表示的曲线类型有（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解：（m 2+1）x 2+my 2＝m （m 2+1）， 当m ＝0时，方程为x 2＝0，即直线x ＝0； 当m ＞0时，方程为x 2m+y 2m 2+1=1，又m 2+1﹣m ＝（m −12）2+34＞0，可得方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆； 当m ＜0时，方程为x 2m +y 2m 2+1=1，可得方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．故选：ACD ．11．如图，在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA =CB =1，AA 1=2，∠BCA =π2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．BN =√2B ．A 1B ⊥C 1MC ．直线BC 1与平面ACC 1A 1的夹角正切值为12D ．cos ＜BA 1→，CB 1→＞=−√3010解：根据题意，Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√2，在Rt △ABN 中，BN =√AN 2+AB 2=√1+2=√3，故A 不正确；因为△A 1B 1C 1中，A 1C 1＝B 1C 1，M 为A 1B 1中点，所以C 1M ⊥A 1B 1，又因为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥C 1M ， 因为A 1B 1∩AA 1＝A 1，所以C 1M ⊥平面AA 1B 1B ，结合A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，可得C 1M ⊥A 1B ，故B 正确；因为AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC ，结合AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面AA 1C 1C ，即CC 1是BC 1在平面AA 1C 1C 内的射影， 所以∠BC 1C 是直线BC 1与平面ACC 1A 1的所成角，Rt △C 1BC 中，tan ∠BC 1C =BC CC 1=12，可知C 正确； 取AC 中点E ，连接AB 1，与A 1B 交于点O ，连接OE ，BE ．因为OE 是△AB 1C 的中位线，所以OE ∥B 1C ，∠BOE 是向量BA 1→，CB 1→的所成角，矩形AA 1B 1B 中，A 1B =√AA 12+AB 2=√6，矩形CC 1B 1B 中，B 1C =√BC 2+BB 12=√5，△BOE 中，BE =√BC 2+CE 2=√52，OE =12B 1C =√52，OB =12A 1B =√62， 所以cos ∠BOE =BO 2+OE 2−BE 22BO⋅OE =√3010，即cos ＜BA 1→，CB 1→＞=√3010，故D 不正确．故选：BC ．12．已知圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），点M 在线段y ＝x （0≤x ≤4）上运动，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4 B ．.△MAB 面积的最小值为2 C ．圆C '的面积的最小值为πD ．切点A 、B 的连线过定点（3，1）解：由于圆C 过点（4，2），（2，0），（6，0），则圆心在直线x ＝4上， 设为C （4，c ），则（4﹣2）2+c 2＝（4﹣4）2+（c ﹣2）2，解得c ＝0， 故圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4，故A 正确； 设线段y ＝x （0≤x ≤4）为OD ，由于|AB |＝2|AC |sin ∠ACM ＝4sin ∠ACM ，结合图形可知△OCD 为等腰直角三角形， 当MC ⊥OD ，即M 在线段OD 的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM 最小，此时|AB |最小， 此时点M 到直线AB 的距离最小，故此时△MAB 面积的最小， 由点到线的距离公式可得|MC |的最小值为√1+1=2√2，由切线长定理可得|MB |＝|MA |=√(2√2)2−22=2＝|AC |＝|BC |， 可得四边形AMBC 是正方形，所以△MAB 的面积=12×2×2＝2，故B 正确； 由于|AB |＝2|AC |sin ∠ACM ＝4sin ∠ACM ，结合图形可知△OCD 为等腰直角三角形， 当MC ⊥OD ，即M 在线段OD 的中点时，∠ACB 最小，则∠ACM 最小，此时AB 最小， 最小值为4sinπ4=2√2，此时以AB 为直径作圆C ′，圆的最小面积为π(√2)2=2π；故C 错误； 设M （a ，a ），则|MA |=√|MC|2−4=√(a −4)2+a 2−4，以M 为圆心，|MA |为半径的圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝（a ﹣4）2+a 2﹣4， 化为普通方程为x 2﹣2ax +y 2﹣2ay ＝﹣8a +12， 与圆C 的一般式方程为x 2﹣8x +12+y 2＝0，两圆方程相减可得AB 所在直线方程为﹣2ax ﹣2ay +8a +8x ﹣24＝0，所以﹣2a （x +y ﹣4）+8x ﹣24＝0，所以AB 过x +y ﹣4＝0与8x ﹣24＝0的交点（3，1）， 所以切点A 、B 的连线过定点（3，1），故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线x 2−y 24=1的离心率为 √5 ． 解：∵双曲线x 2−y 24=1，∴a ＝1，b ＝2，可得c =√a 2+b 2=√5， 故双曲线x 2−y 24=1的离心率为c a=√5．故答案为：√5．14．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 8＝36，则数列{1S n }的前2024项和为 40482025．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＝3，S 8＝36，可得a 1+2d ＝3，8a 1+12×8×7d ＝36，即2a 1+7d ＝9，解得a 1＝d ＝1，则S n ＝n +12n （n ﹣1）=12n （n +1），1S n=2n(n+1)=2（1n −1n+1），数列{1S n }的前2024项和为2（1−12+12−13+...+12024−12025）＝2（1−12025）=40482025． 故答案为：40482025． 15．已知两条平行线l 1：3x ﹣4y +6＝0与l 2：6x ﹣8y +C ＝0之间的距离为1，则实数C 的值为 2或22 ． 解：直线l 1：3x ﹣4y +6＝0，即6x ﹣8y +12＝0，结合直线l 2：6x ﹣8y +C ＝0，可得它们之间的距离d =|12−C|√6+(−8)2=1，解得C ＝2或22．故答案为：2或22．16．如图，在棱长为6正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，DD 1的中点，过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 6√10+3√2 ．解：直线EF 与直线AD ，CD 分别交于点M ，N ，连接GM ，GN ，分别交AA 1，CC 1于点K ，H ，连接EK ，FH ，则五边形EFHGK 是过三点E ，F ，G 三点的平面截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面，如图，由题意得AM ＝AE ＝GF ＝CN ＝3，AK DG =MK MG =AM MD =33+6=13，则AK ＝1， FH ＝EK =√12+32=√10，GH ＝GK =23GM =23√32+92=2√10， ∵EF ＝3√2，∴过E ，F ，G 三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为：6√10+3√2．故答案为：6√10+3√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知动点M 到两个定点O （0，0）、A （3，0）的距离的比12． （1）求动点M 的轨迹Γ的方程；（2）过点P（3，2）作曲线Γ的切线l，求切线l的方程．解：（1）设M（x，y），由题意得，√x2+y2=12×√(x−3)2+y2，化简得，x2+y2+2x＝3，即动点M的轨迹Γ的方程为（x+1）2+y2＝4；（2）设过点P（3，2）作曲线Γ的切线l与圆的切点分别为N，F，圆T的圆心E（﹣1，0），设切线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，则√1+k2=2，解得，k＝0或k=43，故切线方程为y＝2或4x﹣3y﹣6＝0．18．（12分）如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去；在这个过程中，记正方形ABCD边长为a1，正方形EFGH边长为a2，⋯，第n个正方形边长为a n，构成数列{a n}．（1）写出a2，a3；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记数列{b n}满足b n=a n2，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意可得：a2=√22a1=5√22，a3=√22a2=52；（2）由题意可得a n=√22a n−1，又a1＝5，则数列{a n}是以5为首项，√22为公比的等比数列，则a n=5×(√22)n−1；（3）记数列{b n}满足b n=a n2，则b n=25×(12)n−1，则数列{b n}的前n项和T n=25[1−(12)n]1−12=50[1−(12)n]．19．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l，直线l交椭圆C于点A，B，求△OAB面积．解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P(0，1)，Q(√3，12)．则{b=13a2+141=1，解得a2＝4，故椭圆C的标准方程为x24+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F(√3，0)作倾斜角π4的直线l，则直线的斜率为k＝1，则直线l的方程为y=x−√3，联立{y=x−√3x24+y2=1，化简整理可得，5y2+2√3y−1=0，由韦达定理可知，y1+y2=−2√35，y1y2=−15，|AB|=√1+1k2√(y1+y2)2−4y1y2=√2×√(−235)2−4×(−15)=85，原点O到直线AB的距离d=|3|√1+(−1)2=√62，故△OAB面积为12|AB|×d=12×85×√62=2√65．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，P A＝PC，PB＝PD，AC∩BD ＝O ．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）若P A 与平面ABCD 所成的角为30°，求平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为AC ，BD 的中点，又P A ＝PC ，PB ＝PD ，∴PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，∵AC ∩BD ＝O ，且AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ；（2）解：设菱形ABCD 的边长为2t （t ＞0），∵∠ABC ＝120°，∴∠BAD ＝60°，则OA =√3t ，由（1）知PO ⊥平面ABCD ，∴P A 与平面ABCD 所成角为∠P AO ＝30°，得到PO ＝t ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，t ，0），C （−√3t ，0，0），P （0，0，t ），D （0，﹣t ，0），得到BP →=(0，−t ，t)，CP →=(√3t ，0，t)，CD →=(√3t ，−t ，0)，设平面PBC 与平面PCD 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)，由{m →⋅BP →=−ty 1+tz 1=0m →⋅CP →=√3tx 1+tz 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，−√3，−√3)，由{n →⋅CP →=√3tx 2+tz 2=0n →⋅CD →=√3tx 2−ty 2=0，取x 2＝1，得n →=(1，√3，−√3)，设平面BPC 与平面PCD 的夹角为θ，∴cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√7×√7=17，∴平面BPC 与平面PCD 夹角的余弦值为17． 21．（12分）已知平面直角坐标系xOy 下，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若抛物线E 上两点A ，B 满足OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标． 解：（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程：x ＝﹣1，则p 2=1，解得p ＝2， 故抛物线E 的方程为y 2＝4x ；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为x ＝my +n ，联立{y 2=4x x =my +n，化简整理可得，y 2﹣4my ﹣4n ＝0， Δ＝16m 2+16n ＞0，即m 2+n ＞0，由韦达定理可知，y 1y 2＝﹣4n ，x 1x 2=(y 1y 2)216=n 2， OA →⋅OB →=−4，则x 1x 2+y 1y 2=n 2−4n =−4，即n ＝2，故AB 的方程为x ＝my +2，恒过定点（2，0）．22．（12分）已知数列{b n }的前n 项和S n ，且S n ＝2b n ﹣2．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的通项公式a n ＝n ，若将数列{a n }中的所有项按原顺序依次插入数列{b n }中，组成一个新数列：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，a 7，b 4，⋯，b k 与b k +1之间插入2k﹣1项{a n }中的项，该新数列记作数列{c n }，求数列{c n }的前100项的和T 100．解：（1）∵S n ＝2b n ﹣2①，∴S n ﹣1＝2b n ﹣1﹣2（n ≥2）②，①﹣②得，b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1（n ≥2），即b n ＝2b n ﹣1（n ≥2），又∵b 1＝2b 1﹣2，∴b 1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴b n =2n ；（2）∵b k 与b k +1之间插入2k ﹣1项{a n }中的项，且20+21+22+…+25＝63，20+21+22+…+25+26＝127＞100，而b6与b7之间插入25项{a n}中的项，∴数列{c n}的前100项中有数列{b n}的前7项，∴数列{c n}的前100项中有数列{a n}的前93项，∴数列{c n}的前100项的和T100＝a1+a2+…+a93+b1+b2+…+b7＝1+2+…+93+2+4+…+27=93×(1+93)2+2×(1−27)1−2=4625．。
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广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分40分．
1．（5分）复数z=，则|z|=（）
A． B． C． D．2
2．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） A． x2+y2+2x=0 B． x2+y2+x=0 C． x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0
3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，那么下列结论正确的是（） A． 非P：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B． 非P：∀x∈R，x2+2x+2＞0 C． 非P：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D． 非P：∀x∈R， x2+2x+2≥0
4．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（﹣1，0）、F2（﹣3，0），则其离心率为（） A． B． C． D．
5．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
6．（5分）曲线y=x2+在点P（1，2）处的切线方程是（） A． x﹣y﹣1=0 B． x+y+1=0 C． x﹣y+1=0 D．x+y﹣1=0
7．（5分）已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（） A． （1，1，1） B． （1，0，1） C． （0，1，1） D．（0，0，1）
8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 9．（5分）《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是．（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）
10．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若=+x+y，则x﹣y等于．
11．（5分）观察下列等式： （1+1）=2×1 （2+1）（2+2）=22×1×3 （3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5 … 照此规律，第n个等式可为．
12．（5分）求值e|x|dx=． 13．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=．
14．（5分）做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为V，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为时，造价最低．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（12分）已知命题p：∀x∈，a≥， 命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．
16．（12分）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2． （1）f（x）的解析式． （2）求f（x）的单调区间和极大值．
17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A=，AD=1，DC=2，点E为AB中点． （1）求直线A1D与直线CE所成角的余弦值． （2）求二面角D1﹣EC﹣A的大小． 18．（14分）首项为正数的数列{an}满足an+1=（an2+3），n∈N+． （1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数； （2）若对一切n∈N+都有an+1＞an，求a1的取值范围．
19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣． （Ⅰ）求动点P的轨迹方程； （Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=clnx+b，且x=是函数y=f（x）的极值点，直线l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线． （1）求实数a的值和直线l的方程． （2）若直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0
∈，求实数b的取值范围．
广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一．选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分40分．
1．（5分）复数z=，则|z|=（）
A． B． C． D．2 考点： 复数求模． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答： 解：∵复数z===，
则|z|==． 故选：B． 点评： 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
2．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） A． x2+y2+2x=0 B． x2+y2+x=0 C． x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0
考点： 圆的一般方程；抛物线的简单性质． 分析： 先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程 解答： 解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0， 故选D． 点评： 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．
3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，那么下列结论正确的是（） A． 非P：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B． 非P：∀x∈R，x2+2x+2＞0 C． 非P：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D． 非P：∀x∈R，x2+2x+2≥0
考点： 命题的否定． 专题： 阅读型． 分析： 本题考查了，要注意多量词和结论同时进行否定，∃的否定为∀，≤的否定为＞ 解答： 解：由含有量词的否定的定义得： 命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定为：∀x∈R，x2+2x+2＞0， 故选B 点评： 本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
4．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（﹣1，0）、F2（﹣3，0），则其离心率为（） A． B． C． D．
考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 通过椭圆定义直接计算即可． 解答： 解：由题可知：长轴长2a=+=4，∴a=2， 焦距2c=﹣1﹣（﹣3）=2，即c=1，
∴e==， 故选：B． 点评： 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．
5．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用． 专题： 简易逻辑． 分析： 先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论． 解答： 解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B； 反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3 故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件 故选A． 点评： 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．
6．（5分）曲线y=x2+在点P（1，2）处的切线方程是（） A． x﹣y﹣1=0 B． x+y+1=0 C． x﹣y+1=0 D．x+y﹣1=0
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．
解答： 解：函数的导数为f′（x）=2x﹣，
则f′（1）=2﹣1=1， 即切线斜率为1， 则函数在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=x﹣1， 即x﹣y+1=0， 故选：C 点评： 本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．
7．（5分）已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（） A． （1，1，1） B． （1，0，1） C． （0，1，1） D．（0，0，1）
考点： 平面的法向量． 专题： 空间向量及应用．
分析： 设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．可得，解出即可．
解答： 解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）． 则， 解得x=y=0． ∴只有D中的向量（0，0，1）满足条件． 故选：D． 点评： 本题考查了平面的法向量、线面垂直的性质、数量积运算性质，考查了技能数列，属于基础题．
8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）
A． B． C． D．
考点： 双曲线的定义；余弦定理；双曲线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得
，
．由余弦定理得
cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离． 解答： 解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，
． 由余弦定理得
cos∠F1PF2=，即
cos60°=， 解得，所以，故P到x轴的距离为 故选B． 点评： 本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．