分式求值方法与技巧集锦
分式问题的多种解法
分式问题的多种解法分式是数学中常见的一种形式，通常表示为两个数之间的比值。
在解决分式问题时，我们可以采用多种不同的方法来求得最终答案。
本文将介绍几种常用的解法，帮助读者更好地理解和运用分式。
一、通分法通分法是解决分式加减法的常用方法。
当两个分式的分母不同的时候，我们需要通过求得它们的公共倍数，使它们的分母相同，然后再进行加减运算。
例如，对于分式$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的最小公倍数为6，然后将两个分式都通分为$\frac{3}{6}$和$\frac{4}{6}$，最终得到$\frac{7}{6}$作为它们的和。
二、化简法化简法是解决分式问题的另一种常见方法。
当一个分式的分子和分母可以化简为最简形式时，我们可以将其化简为约分后的分式。
例如，对于分式$\frac{6}{9}$，我们可以化简为$\frac{2}{3}$，从而得到最简形式的答案。
三、换元法换元法是解决一些复杂的分式问题的有效方法。
通过引入一个新的未知数或变量，我们可以将原始分式转化为更容易处理的形式。
例如，对于分式$\frac{x+1}{x}$，我们可以引入一个新的变量$y=x+1$，从而将原始分式转化为$\frac{y}{y-1}$，然后再进一步求解。
四、倒转法倒转法是解决除法分式问题的一种重要方法。
当一个分式为除法形式时，我们可以将其倒转为乘法形式，然后再进行计算。
例如，对于分式$\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}$，我们可以将其倒转为$\frac{3}{4} \times \frac{6}{5}$，然后再计算得到$\frac{9}{10}$。
五、代入法代入法在解决一些复杂的分式问题时也十分实用。
通过将一些条件或特定数值代入到分式中，我们可以简化问题的求解过程。
例如，对于分式$\frac{x}{y}$，如果给定$x=2$，$y=3$，我们可以直接代入这些数值得到$\frac{2}{3}$作为最终答案。
分式运算的十种常用方法
分式运算的十种常用方法1、拆项后合并例1 （1999年第十一届“五羊杯”初中数学竞赛题）计算：=__________。
分析直接计算较繁，仔细观察各分母数发现各项可利用公式：=()达到裂项求和的目的。
解原式===。
评注根据分数的性质，将分数拆项为两数的和（或差），利用互为相反数的两个数之和为0这一性质简化计算。
2、分解后约分例2 （1996年北京市初中数学竞赛题）计算：分析仔细观察分子、分母中各因式，可发现这些因式可用代数式n(n+3)+2（其中n 为自然数）表示，由于n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，因此每个因式均可分解为二个连续自然数之积约分便可。
解因为n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，所以原式===998。
评注有些计算题，运算关系比较复杂，可通过观察分式的分子，分母的特征，借助因式分解的技巧将分子，分母分解后，利用约分简化计算。
3、分组后通分例3 （1995年天津市初二数学竞赛题）化简：++--分析观察各分母分解后易知，第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易。
解原式=++-=-===0。
评注以容易通分为原则，把原分式分为若干组，然后分组运算再合并。
4、逐项合并通分例4 （1999年全国初中数学联赛题）计算：++的值。
分析若一次性完成通分，运算量很大，注意到分母(1-)与(1+)和(1-)与(1+)可用平方差公式逐项通分可以化简。
解原式=+==-2评注各分母之间若存在某种递进关系，一次通分难于完成时，可逐项通分。
5、换元后通分例5 （1997年北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛题）计算：(1--…-)(++…+)-(1--…-)×(++…+)分析在算式中，四个因数并不是相互独立的，都有，，…，，若用x=+…+，算式便得到简化。
解设x=+…+，则原式=(1-a)(a+)-(1-a-)a=(1-a)a+(1-a)×-(1-a)a+=-+=。
分式运算的八种技巧
分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。
下面将介绍分式运算的八种技巧。
一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。
通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。
二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。
化简后的分式通常更简洁、易于计算。
三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。
约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。
四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。
当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。
五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。
通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。
最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。
六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。
将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。
七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。
通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。
八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
若分子相同，再比较分母的大小。
通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。
同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。
分式求值
分式求值的技巧
在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
一、巧用配方法求值
例1 已知求的值。
二、巧用因式分解法求值
例2先化简，再求值：。
其中，
三、巧用整体代入法求值
例3 已知，求的值。
四、巧设参数（辅助未知数）求值
例4 已知，则=_____________。
五、巧用方程（或方程组）求值
例5 已知，，a、b、c均不为0，求的值。
六、巧用变形方法求值
例6 已知，且，则
=______________。
七、挖掘隐含条件，巧妙求值
例7 若，则=___________
九、利用倒数法求值
例9 已知，求的值。
专题07 分式的化简与求值
专题07 分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧: 1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等．例题与求解【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题）解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++= ②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=．求证：以,,a b c 为三边长可以构成一个直角三角形．解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）． A ．1 B ．2 C ．12 D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题） （2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍， 求证：21p q x pq ++=-．(10)pq -≠（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023AB C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）。
分式运算中的十二种常用技巧
2．计算：x－1 2－x－2 1＋x＋2 1－x＋1 2.
解：原式＝(x＋2 1－x－2 1)＋(x－1 2－x＋1 2) ＝2（（x－x＋1）1）－（2（x－x＋1）1）＋（（x＋x－2）2）－（（x＋x－2）2）＝x－2－41＋x2－4 4 ＝－4（ （xx22－ －41） ）＋ （4x（ 2－x42－ ）1）＝（x2－1）12（x2－4）.
11．已知x2－3xx＋1＝－1，求x4－9xx2 2＋1的值．
【点拨】本题借助条件及所求分式，巧取倒数，再利用整体代入 法求值．
解：由x2－3xx＋1＝－1 知 x≠0，所以x2－3xx＋1＝－1.
所以 x－3＋1x＝－1，即 x＋1x＝2. 所以x4－9xx2 2＋1＝x2－9＋x12＝x＋1x2－11＝－7. 所以x4－9xx2 2＋1＝－17.
9．已知 x1y＋1z ＋y1x＋1z＋z1x＋1y＋3＝0，且1x＋1y＋1z≠0， 求 x＋y＋z 的值．
解：由 x1y＋1z ＋y1x＋1z＋z1x＋1y＋3＝0， 得xy＋xz＋xy＋yz＋xz＋yz＋3＝0，即x＋y z＋1＋y＋x z＋1＋x＋z y＋1＝0， 即x＋yy＋z＋x＋xy＋z＋x＋zy＋z＝0. 则有(x＋y＋z)1x＋1y＋1z ＝0.
7．计算：1x－x（x1＋1）－（x＋1）1（x＋2）－…
－（x＋2
1 021）（x＋2
022）.
解：1x－x（x1＋1）－（x＋1）1（x＋2）－…
－（x＋2
1 021）（x＋2
022）
＝1x－(1x－x＋1 1)－(x＋1 1－x＋1 2)－…－(x＋21 021－x＋21 022)
＝1x－1x＋x＋1 1－x＋1 1＋x＋1 2－…－x＋21 021＋x＋21 022
数学分式的计算方法
数学分式的计算方法数学分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，分子和分母都可以是数或者变量的组合。
在计算数学分式时，我们需要掌握一些基本的计算方法和技巧。
一. 分式的加减法1. 分式的加法：当两个分式的分母相同时，可以直接将分子相加，并保持分母不变。
例如，计算1/3 + 2/3，由于分母相同，所以直接将分子相加得到3/3，即1。
2. 分式的减法：当两个分式的分母相同时，可以直接将分子相减，并保持分母不变。
例如，计算4/5 - 2/5，由于分母相同，所以直接将分子相减得到2/5。
3. 分式的加减法：当两个分式的分母不同时，我们需要先找到它们的最小公倍数作为通分的分母，并将分子进行相应的乘法运算后再进行加减。
例如，计算1/2 + 1/3，首先找到2和3的最小公倍数为6，然后将分子进行相应的乘法运算得到3/6 + 2/6，最后得到5/6。
二. 分式的乘除法1. 分式的乘法：将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如，计算2/3 * 4/5，将分子相乘得到8，分母相乘得到15，所以结果为8/15。
2. 分式的除法：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，作为新的分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，作为新的分母。
例如，计算2/3 ÷ 4/5，将2/3乘以5/4得到10/12，最后可以化简为5/6。
三. 分式的化简与约分1. 分式的化简：将一个分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到一个化简后的分式。
例如，将12/16化简为3/4，因为12和16的最大公约数为4，所以同时除以4得到3/4。
2. 分式的约分：将一个分式的分子和分母同时除以它们的公因子，可以得到一个约分后的分式。
例如，将15/25约分为3/5，因为15和25的公因子为5，所以同时除以5得到3/5。
四. 分式的整数部分和真分数部分1. 分式的整数部分：当一个分式的分子大于或等于分母时，可以将其化简为一个整数和一个真分数相加。
第4讲 分式的化简求值(教师版)
巩固1
已知
，则
．
答案
解析 由
可得
，
∴原式
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
巩固2
若
，则
的值为
．
答案
解析 由题得 ∴ ∴ 又∵ ∴原式 ． 故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式通分
巩固3
若
，则
的值是
．
答案 备选答案1 : 备选答案2 :
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足
可进行裂项拆分；
解：由题知
，
，
，即
拆 分则 法
∴三式相加得
又∵ ∴ 【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
2 已知
，则代数式
答案
解析 ∵ ∴ ∴
， ，
，
把 代入原式
的值为
．
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
3 已知
，
，则
．
答案 解析 原式
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题3 1若
，则
的值是
．
答案
解析 ∵
；∴
即
∴
．
标注 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：利用完全平方公式计算
分式章节涉及的12个技巧 7个概念 5种方法 4种思想全梳理
专题一 分式的意义及性质的4种题型题型1：分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m 中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．选C2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个． 解析：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，∴共可构成6个分式．题型2：分式有无意义的条件3．若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a >4C ．a <4D ．a ≠4解析：D4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 解析：±15．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．解析：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)． ∵(x －3)2≥0，∴当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．题型3：分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是解析：x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∵分式的值为正数，∴x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠17．已知分式a －1a 2－b2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．解析：∵分式a －1a 2－b2的值为0，∴a －1＝0且a 2－b 2≠0，解得a ＝1且b ≠±1.题型4：分式的基本性质及其应用 8．下列各式正确的是( ) A.a b ＝a 2b 2B.a b ＝ab a ＋bC.a b ＝a ＋c b ＋cD.a b ＝abb2 解析：选D9．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2B ．x ＝－2C ．x ＜－2D ．x ≠－2解析：选B10．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．解析：设x 4＝y 6＝z7＝k (k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7∴x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝372211．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值解析：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正当x ，y ，z 为两正一负时，设x ＞0，y ＞0，z ＜0，原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1当x ，y ，z 为两负一正时，设x ＞0，y ＜0，z ＜0，原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1专题二 分式8种运算技巧技巧1：约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.解析：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 小结：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．技巧2：整体通分法 2．计算：a －2＋4a ＋2.解析：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2＝a 2a ＋2.小结：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．技巧3：顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.解析：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1） ＝8x 7x 8－1. 小结：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．计算：(3m －2n )＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n )2＋2n －3m3m －2n －1.解析：设3m －2n ＝x ， 则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－xx －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1） ＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.技巧5：裂项相消法⎝ ⎛⎭⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.解析：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100 ＝100a （a ＋100）小结：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．技巧6：整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．解析：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc ≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．解析：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x ≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.技巧8：消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解析：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z . 因为xyz ≠0，所以z ≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.小结：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专题三 分式方程解求字母的值或范围4大技巧技巧1：利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．解析：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849.技巧2：利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围．解析：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m . ∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m ≠3.解得m ≠1.∴当m ≠1时，原分式方程有解．技巧3：利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程m x －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4D ．－4解析：D4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0， 所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m ＝12. 综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.小结：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．技巧4： 利用分式方程无解求字母的值5．若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.解析：1或－16．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x无解，求m 的值．解析：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形： (1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程根是原方程增根，4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3解综上所述，m 的值为－3或1.7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x ＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值．解析：原方程去分母并整理，得(3－a )x ＝10. (1)因为原方程的增根为x ＝2， 所以(3－a )×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根， 所以x (x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a )x ＝10的解， 所以原分式方程的增根为x ＝2. 所以(3－a )×2＝10. 解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a )x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a ≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2. 综上所述，a 的值为3或－2.小结：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．专题四 5种分式求值方法方法1： 直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.解析：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12.方法2：活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．解析：由x 2－5x ＋1＝0得x ≠0， ∴x ＋1x＝5.∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527. 小结：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．解析：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.方法3：整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z ≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．解析：因为x ＋y ＋z ≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z .所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z .所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.小结：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．方法4：巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x 的值．解析：∵4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋11＝2.方法5：设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．解析：设x 2＝y 3＝z4＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k .所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz ＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726.专题五 热门考点整合应用考点1：三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．式子A B一定是分式(A ，B 为整式) 解析：B2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B ．m >1 C ．m ≤1 D ．m <1解析：∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1＋m －1＝(x －1)2＋m －1，∴当m －1>0，即m >1时，式子1x 2－2x ＋m总有意义，选B概念2 分式方程34．某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为( ) A.10 000x －10＝14 700（1＋40%）xB.10 000x ＋10＝14 700（1＋40%）xC.10 000（1－40%）x－10＝14 700x D.10 000（1－40%）x＋10＝14 700x 解析：B4．下列关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30；③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x＝4；⑥x a ＝35－x ，其中分式方程有 ．(填序号) 解析：②④⑤概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( ) A ．x ＝6B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝3解析：B6．已知关于x 的方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值． 解析：方程两边同乘x 2－1，得2(x －1)＋k (x ＋1)＝6.整理得(2＋k )x ＋k －8＝0.∵原分式方程有增根x ＝1，∴2＋k ＋k －8＝0.解得k ＝3.7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，求m 的值． 解析：方程两边都乘x (x －3)，得(2m ＋x )x －x (x －3)＝2(x －3)，即(2m ＋1)x ＝－6.①(1)当2m ＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m ＝－0.5；(2)当2m ＋1≠0时，要使关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解， 则x ＝0或x －3＝0，即x ＝0或x ＝3.把x ＝0代入①，m 的值不存在；把x ＝3代入①，得3(2m ＋1)＝－6，解得m ＝－1.5.∴m 的值是－0.5或－1.5.考点2：一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y . 解析：(1)原式＝12x －30y 15x ＋40y ；(2)原式＝5x ＋15y 25x －y.考点3：一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝⎛⎭⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎡⎦⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23. 解析：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2＝2a a ＋b . 当a ＝－12，b ＝23时，2a a ＋b ＝2×⎝⎛⎭⎫－12－12＋23＝－6.考点4：一个解法——分式方程的解法10．小明解方程1x －x －2x＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解析：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……①去括号，得1－x －2＝1.……②合并同类项，得－x －1＝1.……③移项，得－x ＝2.……④解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥解析：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ；步骤②括号前面是“－”，去括号时，没有变号；步骤⑥前没有检验．正确的解答过程如下：解析：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ，去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3，解得x ＝32. 经检验x ＝32是原分式方程的解．考点5：一个应用——分式方程的应用11．近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A ，B 两种设备．每台B 种设备价格比每台A 种设备价格多0.7万元，花3万元购买A 种设备和花7.2万元购买B 种设备的数量相同．(1)求A 种、B 种设备每台各多少万元？(2)根据单位实际情况，需购进A ，B 两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A 种设备至少要购买多少台？解析：(1)设每台A 种设备x 万元，则每台B 种设备(x ＋0.7)万元，根据题意，得3x ＝7.2x ＋0.7. 解得x ＝0.5.经检验，x ＝0.5是原方程的解且符合题意．∴x ＋0.7＝1.2.答：每台A 种设备0.5万元，每台B 种设备1.2万元．(2)设购买A 种设备m 台，则购买B 种设备(20－m )台，根据题意，得0.5m ＋1.2(20－m )≤15.解得m ≥907. ∵m 为整数，∴m ≥13.答：A 种设备至少要购买13台．考点6：四种思想思想1 数形结合思想12．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x ＋23x －5，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．(第12题)解析：由题意，得2x ＋23x －5＝4. 去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.小结：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．思想2 整体思想13．已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值． 解析：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3） ＝4（a ＋1）（a ＋3） ＝4a 2＋4a ＋3. 由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故4a 2＋4a ＋3＝411. 小结：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z ≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值． 解析：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z ≠0，得到⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4z ，y ＝3z. 所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z 22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320. 小结：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．思想4 类比思想15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b. 解析：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2a a ＋b小结：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识。
分式运算的常用技巧与方法
h 分式运算中的常用技巧与方法 教学目标：掌握分式运算中的常用技巧与方法，会灵活运用这些方法准确解答较复杂的分式计算题。 教学重难点：会灵活运用所学的技巧与方法准确计算。 教学过程： 一 复习 1.分式的加减乘除及乘方的运算法则 2.分式混合运算的顺序 二 分式运算的常用技巧与方法举例 1. 整体通分法
例1．化简：21aa-a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 解：21aa-a-1=21aa-(a+1)= 21aa-(1)(1)1aaa=22(1)1aaa=11a
练习：计算112aaa 2. 逐项通分法 例2．计算1ab-1ab-222bab-3444bab 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1ab-1ab-222bab-3444bab=22()()ababab-222bab-3444bab
=222bab-222bab-3444bab=2222442()2()babbabab-3444bab =3444bab-3444bab=0 练习：计算2111111xxx 3.先约分，后通分
例3．计算：2262aaaa+22444aaa 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262aaaa+22444aaa=(6)(2)aaaa+2(2)(2)(2)aaa=62aa+22aa=242aa=2 h 练习：计算：343622322222xxxxxxxxx 4. 裂项相消法 例4 计算)3)(2(1)2)(1(111xxxxx 分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.
解：原式=2131112111xxxxx=31x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列， 从而通过求｛ ｝ ÷ 的通项间接地求数列｛ 的 ｎ｝
通项． 一般 对 于形 如 ｎ ： ， ・ ａ＋ 一百 的类 型均 可
、
构造等差数 列 构造 ｛ ｝ 以 为首项 、 为公 差的等差数列． 是 以
“ “１ １
，
中学 教 学 参 考
解题 方法 ｓ技 巧
分 式 求 值 方 法 与 技 巧 集 锦
广 西 田 东县 第二 中学（ ３ ５ ０ 农树 新 ５ １０ ）
分式求值运算是 中学数学 的一个基 础 内容 ， 它涉 及
的知识点多 、 覆盖面广 、 综合性 强 ， 需要学生 有扎实 的基
础； 同时 它 题 型 多 样 ， 巧 性 强 ， 于 变 化 ， 要 学 生 有 技 富 需 敏锐 的观察 力 ， 强的分析 判断 能力 和思维 能力 ， 较 以及 灵 活 的解 题 方 法 技 巧 ． 文 就 这 个 问 题 作 了 总 结 归 纳 ， 本 希 望 对 同学 们 有 所 启 示 ．
４． ｋ嘉 ． ・ ．
三 、 元 法 换
＝ 警
一 一．
ｎ ６＋ ６ ＋ ∞ ６‘ ｃ
评 注 ： 已知 式 和 所 求 式 均 为 多项 式 ， 子 是 单 项 当 分 式时， 考虑取倒数求解． 可
六 、 项 法 添
评注 ： 在解有 关含 有 比例 式的题 目时 ， 参数 求 解 设
七 、 项 法 拆
评注 ： 通过 引入新 变量 ， 以清楚地展现 原式 结构 ， 可
使 问题 解 决起 来 简捷 ．
６ ６ 中学教学参考（ 中旬 ）２ 。 － 。 ９ ７总第 ２ 。期
拆项法就是结合 已知和所求式 特点 ， 对其 进行巧妙 拆分 ， 化繁为简 ， 于求解 的方法． 便
一
四 、 方 法 配
配方法就是把一个解析式 利用恒等变 形 的方法 ， 把
其 中 的某 些 项 配 成 一 个 或 几 个 多 项 式 正 整 数 次 幂 的 和
的形式解决数学 问题 的方法． 【 ４ 已知 Ｉ －５ － １ ， 一＋ 的值． 例 】 ｚ ｘ Ｆ —０ 求
解 ： ｚ 一５ ＋ １ ０ ｚ ０ 由此 得 ｚ 由 ｚ ｘ — 知 ≠ ， ＋ 一５ ．
是 在 一 个 比较 复 杂 的 数 学式 子 中 ， 新 的 变 元 去 代 替 原 用
式 的一个 部分 或改 造原来 的式子 ， 使它简 化 ， 问题易 使
于 解 决 的 一 种 重 要解 题 方法 ．
＋一． ｎ ＋ ）５ １＋（＋ ） ｃ０ （ ÷＋（＋ ｃ 的 求 丢 － ） 丢 １ －
【 １ 若ห้องสมุดไป่ตู้ｚ ＝０ 求 二 例 】 一９ ，
的值 ．
题 时， 可考 虑 用 完全 平 方 公 式 进 行 解 答．
五 、 数 法 倒
评注 ： 注意 隐含 的 条 件 ， 体 考 虑 是 解 决 本 类 题 目 整
的 关键 ．
【ｓ 知 、 满 一 ， 一 ， 例】已 ｎ． 足 号 ｂ ｃ ｛
旦＋ ＋ ＋ 旦＋拿＋ 一３ ａ ｂ ｃ 鱼 鱼＋ ÷＋ ＋＋ ＋
＋ 十ａ ａ ｂ ｃ — ｂ ｃ ＋ ＋ ＋
一 —
４ ｙ
ｚ
一
。ｚ
一
一 ＝
３ ｙ ｘ
３ｚ ｌ
一
２２ （ ｙ－ ２ （
一
ｘ
）
ｚ
一
—
３— ０ ３一 一 ３ — ．
一
堡 一旦 一
１ ‘ １
３× ３ 口一 ２ ｎ
一ｉ 求分式 １
，
二 、 数 法 参
参数法是指在解 题过程 中， 通过 适 当引入 一些与题
目发 生 联 系 的 新 变 量 （ 数 ） 以 此 作 为 媒 介 ， 进 行 分 参 ， 再
的值．
析和综合 ， 而解决 问题的方 法． 从
【 ２ 已知 ： 例 】 ｘ ｙ ２一
ｚ
一
解 将 知 倒 变 ： 一， 一， ： 已作 数 形 ３ ４ 害
解 题 方 法与技 巧。Ｈ Ｎ ＸＥ Ｊ Ｏ Ｕ Ａ ＫＯ Ｏ Ｇ Ｕ Ｉ Ｘ Ｅ ＣＮ Ａ Ｚ Ａ
例 谈 构 造 法在 数 列 求通 项 中 的应 用
河北 巨鹿 中学（ ５ ２ ０ 李 改芳 ０５５）
等差数 歹 和等 比数 列 是 两类基 本 类 型 的数 列 ， Ｕ 由递 推
数列求通项的问题是 近年来高考的热点， 而有意识地构造 等差等 比数列不失为求通项的一条简捷有效的方法．
・ ． ．
、
直 接 法
直接法就是从 已知条件 出发 ， 运用概念 、 公式 、 理 定 等进行推理或运算 ， 出未知数 的值 并代人所 求式获解 求
的方法．
５ ７ ２ ．
一 ￣ （ 。 ：（ ２ ￣ ２ ＋ － ２１一＝ｚ ） ２－— ｘ ） ２［＋ ２ ＋ ：
评 注 ： 求 解 有 关 分 式 中 两数 （ 两式 ） 平 方 和 问 在 或 的
是 一 种 常 用的 方 法 ．
添项法是在 已知或 所求 式 中加上某 项再 减去 这项 （ 或与之恒等 的项） 然 后进 行变 形 ， 而使 问题易 于求 ， 从
解 的方 法 ． 【 ６ 已 知 ｎ ｂ ｆ 不 等 于 ０的 实 数 ， ｎ ｂ 例 】 ，，为 且 ＋
我们通常把未知 数 或变数 称 为元 ， 谓换 元法 ， 所 就
【３ 号求 兰 例】若 一 一 ， 警
２， 口 那么 一３ ． ａ￣
兰 兰二 垒
一
的． 值
－
值．
解由 一 一 得 一＿ 此 ２ ｘ ： ＿ ＿由 设ｙ 一 ｛ １ １ 耋 ， －
ｘ ｘ ２ ＋３ ｙ
－
解ａ Ｃ＋（＋ ｃ ｛一 ＋ ：Ｄ ÷ ６ ｎ＋（＋ ）导 （＋ ÷ 丢 ０ ０ ） Ｃ ） 口
一． ＋ ３１ 一 ４ ＋ ５ ５ 即 ｛一 ， 十１ ， 一． —
３— ４
，
求｛
的． 值
解设 一 一 （ ｏ则 一ｋ 一ｋ 一 ：专 詈 号 是 ≠） ２Ｙ ３ｚ 忌 ， ， ，
三 相 得 ＋ ＋ 一， 式 加 丢 ÷ ６ 即
日
肛
一， ６ 于
ａＯ ｃ
ｌ