高一北师大版学案系列32
2021_2022学年高中数学第三章不等式3.2基本不等式与最大小值学案含解析北师大版必修
3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y 时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?提示:①x,y必须是正数.②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.③等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2. ( )(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2.( )(3)因为sin x·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=sin x+有最小值. ( )(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M. ( )提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.(2)×.等号不一定能取到,故错误.(3)×.sin x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.2.若x>0,则x+的最小值为( )A.2B.3C.2D.4【解析】选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020·大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为.【解析】根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力·合作学习类型一利用基本不等式求最值(逻辑推理)1.(2020·银川高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为( )A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是 ( )A.f有最小值4B.f有最大值4C.f有最小值-4D.f有最大值-43.函数y=log2(x>1)的最小值为.【解析】1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,则f(x)=x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x++5=(x-1)++6≥2+6=8,所以log2≥3,所以y min=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略(1)形式一:积定和最小.当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b 有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab 有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.【补偿训练】已知t>0,则函数y=的最小值为.【解析】y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求范围(逻辑推理)角度1 一般求范围问题【典例】已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是.【思路导引】利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.【解析】因为x>0,y>0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5++≥5+2=9.当且仅当=⇒y=4x⇒x=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值范围为. 【解析】因为m∥n,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b==++2+≥2+=,当且仅当=时取“=”.所以a+b的取值范围为.答案:角度2 含参数不等式的求参数问题【典例】不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是.【思路导引】先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.【解析】当x∈[1,9]时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx等价为≥k,设f(x)=,当1≤x≤3时,f(x)=3+在[1,3]上单减,所以f(x)min=f(3)=,当3<x≤9时,f(x)=2x+-3≥2·-3=13,当且仅当2x=,即x=4时成立,所以f(x)的最小值为13.所以k≤13.综上所述,k的取值范围是(-∞,13].答案:(-∞,13]含有参数的不等式问题解题策略(1)对于求不等式成立时的参数范围问题,在条件简单的情况下把参数分离出来,使不等式一端是参数,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为求函数的最大值或最小值.如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,就不要使用分离参数法.(2)一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.一般地,a≥f(x)能成立时,应有a≥f(x)min,a≤f(x)能成立时,应有a≤f(x)max.1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选D.因为2x+2y ≥2,2x+2y=1,所以2≤1,所以2x+y≤=2-2,所以x+y≤-2,即(x+y)∈(-∞,-2].2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b ≥9m恒成立,则实数m的最大值为( )A.8B.7C.6D.5【解析】选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6·(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m≤54,即m≤6.类型三基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 四步内容理解题意(1)利用总收入≥原收入列关系式求解;(2)销售收入≥原收入+总投入.思路探求(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.续表书写表达(1)设每件定价为t元,依题意,有t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.题后反思正确列出不等关系是解决问题的关键在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)写出正确答案.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?【解析】(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-y(x>6,y>6,xy=1 800).(2)S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.课堂检测·素养达标1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是( )A. B.1 C.4 D.8【解析】选C.由a>0,b>0,ln(a+b)=0,可得所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.2.函数y=3--x(x>0)的最大值为( )A.-1B.1C.-5D.5【解析】选A.因为y=3--x=3-且x>0,故可得y=3-≤3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.【解析】因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.答案:84.已知x,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为.【解析】x++y+=x++y+=3+≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.答案:5。
高中数学第三章三角恒等变形3.2.13.2.2两角和与差的正弦余弦函数学案北师大版
2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的正弦、余弦函数 阅读教材P 118～P 120练习以上部分，完成下列问题． 1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) 2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C α＋β) 3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S α＋β)， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( ) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.( ) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( ) 【解析】 (1)√.(2)×.如当α＝π6，β＝－π6时，则sin(α＋β)＝0.sin α＋sin β＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴当α＝π6，β＝－π6时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(3)×.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.【精彩点拨】 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．【自主解答】 (1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45° sin 30°＋cos 45°cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29° cos 1°＋cos 29° sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．[再练一题]1．求值：(1)cos(x ＋27°)·cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)· sin(x －18°)；(2)cos 105°＋sin 195°的值．【解】 (1)cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)] ＝cos 45° ＝22. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos 105°－sin 15° ＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°·sin 45°－sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45° ＝12×22－32×22－32×22＋12×22 ＝2－62.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.求sin 2α的值．【精彩点拨】 由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解． 【自主解答】 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513， cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－5665.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．[再练一题]2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值.【导学号：66470067】【解】 ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.[探究共研型]探究1 【提示】 给值求角即求该角的某种三角函数值． 探究2 给值求角的关键是什么？【提示】 关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示． 探究3 常用的角的变换技巧有哪些？【提示】 互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与34π－α互补等．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α. 【精彩点拨】 先计算sin α后再根据α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2确定角α大小．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝22，可能就会导致α＋β＝π4或3π4.[再练一题]3．已知α，β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010.求α＋β的值． 【解】 因为α，β都是锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，0<α＋β<π，又sin α＝55，sin β＝1010， 所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝31010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π， 所以α＋β＝π4.1．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为( ) A ．0 B ．12 C.32D ．－12【解析】 cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54° ＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36° ＝cos(66°－36°)＝cos 30° ＝32. 【答案】 C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 【解析】 a ·b ＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°) ＝cos 45° ＝32. 【答案】323．cos 345°的值为________.【导学号：66470068】【解析】 cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝2＋64. 【答案】2＋644．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 【解析】 因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin α·cos π4＋cos α·sin π4＝ －35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－710 2. 【答案】 －71025．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，求cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.【解】 cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos α－sin αcos α＋sin α22cos α＋sin α＝2(cos α－sin α) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
2018_2019学年高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理学案北师大版必修
3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案②③规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝m a＋n b.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13【例2】 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 由题得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案 A【迁移1】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝CD →”试用AB →、AC →表示AD →. 解 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋BC → ＝AC →＋AC →－AB →＝2AC →－AB →.【迁移2】 在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝－3CD →”试用AB →，AC →表示向量AD →. 解 由题AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13BC →＝AC →－13()AC →－AB → ＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →. 规律方法 应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a 、b 是同一平面内的两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.题型三 平面向量基本定理的应用【例3】 如图，△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c . (1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解 (1)∵AC →＝BC →－BA →＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝12(c －a )，∴AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a . (2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a ) ＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，∴λ＝45，∴AF →＝45AC →，∴AF ∶CF ＝4∶1.【训练2】 设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． (1)证明 设a ＝λb (λ∈R )， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解 设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b.(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.课堂达标1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案 B2.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 B3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 434．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .则用a 、b 表示向量AG →＝________.解析 如图，连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 答案 13a ＋13b5．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解 如图，MN →＝CN →－CM →＝13CA →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .课堂小结1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析 由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底．答案 B2．如图所示，在矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案 A3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形 解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2 BC →，故为梯形． 答案 D4．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填共线或不共线)．解析 若a 与e 1共线，则存在实数λ使a ＝λe 1＝λ1e 1＋λ2e 2，则e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．答案 不共线 不共线5．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________． 解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 得λ≠4.答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)6.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c . (2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解 (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b . (4)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.能力提升8．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－14D ．－34解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.答案 B9．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125C.85D.45解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C10．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋4PC →＝AB →，则△PBC 与△PAB 的面积比为________．解析 PA →＋PB →＋4PC →＝AB →＝A P →＋PB →，所以4PC →＝2AP →，即P 在AC 边上，且AP ＝2PC ，所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.答案 1∶211．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案 1212.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，以a 、b 为基底表示OP →.解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →， NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧131－m ＝n ，121－n ＝m⇒n ＝15，m ＝25，∴OP →＝15a ＋25b .13．(选做题)如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32. ∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
高中数学 3.2 互斥事件(2)学案 北师大版必修3
学案必修三第三章第2节互斥事件（2）一、学习目标1、进一步理解互斥事件与对立事件的概念；2、会用枚举法与树状图计算一些随机事件所含的基本事件数；3、掌握较复杂事件概率的求法。
二、重点与难点重点：互斥事件与对立事件概率公式的进一步应用难点：复杂事件概率的求法三、课前预习1、设A、B为两个事件，当事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作；2、若A、B是互斥事件，那么P（A+B）= ；3、对立事件A与A必有一个发生，故A+A为①事件，从而P（A+A）= ②，又A与A互斥，所以有P（A+A）= ③，故P（A）+P（A）= ④，即P（A）=1- ⑤。
四、堂中互动教师点拔1：（1）O型血与B型血可以输给小明，其概率求为用这两种血型的人数之和比上总人数就可得出结果；（2）因为事件“血不能输给小明”与（1）中事件“血可以输给小明”是对立事件，其概率就可以利用对立事件的概率求法公式来求得。
例1、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？点评：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。
教师点拔2：用枚举法算出所有的可能结果数，其中能打开锁的只有一种结果，设其概率为P（A），则不能打开锁的概率为1- P（A）。
例2、小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成。
小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？点评：求概率时采用迂回的策略，不直接求有关事件的概率，转而求其对立事件的概率，从而达到求有关事件概率的目的，体现了数学中“正难则反”的数学思想。
高中数学第三章推理与证明3.2数学证明学案含解析北师大版选修1
学习资料§2数学证明授课提示：对应学生用书第20页［自主梳理］一、三段论三段论是最常见的一种演绎推理形式,它包含三个命题：(1）错误!→错误!↓(2)小前提→错误!↓（3）错误!→错误!推理方式意义主要形式结论的真假合情推理认识世界、发现问题的基础________________演绎推理证明命题、建立理论体系的基础________________1．下面说法正确的有________．①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论"形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．2．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x）的极值点．因为f（x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0）＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中（)A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为:大前提：________________________________________________________________________; 小前提：________________________________________________________________________；结论：________________________________________________________________________. [自主梳理］一、一般性原理大前提小前提二、归纳推理、类比推理不确定三段论真［双基自测］1．①③④①正确．②错误．演绎推理中大前提，小前提和推理形式，只要有一者错误，则结论必然错误．③正确，④正确．2．B可导函数f（x)，若f′（x0）＝0且x0两侧导数值相反，则x＝x0是函数f(x）的极值点,故选B.3．一次函数的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线授课提示：对应学生用书第20页探究一三段论的结论与格式［例1]将下列演绎推理写成三段论的形式：（1）一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除;(2）三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形,故等边三角形的内角和是180°；(3）循环小数是有理数，0.332是循环小数，所以0.332是有理数．［解析］(1）一切偶数都能被2整除，（大前提）0是偶数，(小前提)0能被2整除．（结论)（2)三角形的内角和是180°，(大前提）等边三角形是三角形，(小前提）等边三角形的内角和是180°。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案
3．2 平面对量基本定理明目标、知重点 1.理解平面对量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底．[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一 平面对量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 依据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面对量的基底唯一吗？答 同一平面内可以作基底的向量有很多组，不同基底对应向量a 的表示式不相同．不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何学问．要留意将平面几何学问中的性质、结论与向量学问有机结合，具体问题具体分析解决．跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .探究点二 平面对量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系．答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ，过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．假如e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．例2 如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先认真观看所给图形．借助于平面几何学问和共线向量定理，结合平面对量基本定理解决．跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .例3 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →. 解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b由于A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，由于C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .反思与感悟 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，留意方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应依据条件机敏应用，娴熟把握． 跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意，得A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.1．假如e 1、e 2是平面α内全部向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不愿定在平面α内，λ1、λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有很多对 答案 A解析 A 正确，B 错，这样的a 只能与e 1、e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2确定在平面α内；D 错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有很多对．2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内全部向量的一组基底的序号是______．(写出全部满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．3.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . [呈重点、现规律] 1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确 理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( ) A ．1 B.12C.14D.18 答案 C解析 AN →＝12()AD →＋AE →＝12⎝⎛⎭⎫14AB →＋14AC → ＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →. 解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .二、力气提升8．已知M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________. 答案 34a ＋34b解析 AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值． 解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
2019-2020学年高中北师大版数学选修2-3学案：2.3条件概率与独立事件 含解析
§3条件概率与独立事件Q错误!错误!在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题;那么,你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情况下你及格的概率又是多少？X错误!错误!1．条件概率一般地,设A、B为两个事件，且P（A）>0，称P（B｜A）＝__P ABP A__为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．一般把P（B|A)读作__A发生的条件下B发生的概率__.如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生,显然知道了A的发生,研究事件B时，基本事件发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是__条件概率__要研究的问题．2．条件概率的性质性质1：0≤P(B｜A）≤1；性质2：如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C｜A）＝P(B|A）＋P（C｜A)．3．相互独立事件(1)概念①设A，B为两个事件,若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即__P（B｜A)＝P(B)__,则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫作__相互独立事件__。
②对于n个事件A1,A2，…，A n,如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响，则称n个事件A1，A2，…，A n相互独立．（2)性质①如果事件A与B相互独立，那么事件A与__错误!__,错误!与__B__，错误!与错误!也都相互独立．②若事件A与B相互独立，则P(A|B）＝__P（错误!)__，P（A∩B）＝__P（A）×P（B）__。
③若事件A1，A2,…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于__每个事件发生的概率积__，即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1）×P(A2)×…×P(A n）．并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．Y错误!错误!1．已知P(AB）＝错误!，P（A)＝错误!，则P(B|A）为( B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!2．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是13、错误!、错误!.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( B ）A．5960B．错误!C．错误!D．错误!［解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A、B、C，则P（A)＝13,P(B）＝错误!，P（C)＝错误!，P（错误!）＝错误!，P（错误!）＝错误!,P(错误!）＝错误!，由于A，B，C相互独立，故错误!，B，错误!也相互独立，故P（错误!错误!错误!)＝错误!×错误!×错误!＝错误!，因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P＝1－P(A，－错误!错误!)＝1－错误!＝错误!.3．据某地区气象台统计，在某季节该地区下雨的概率是错误!，刮四级以上风的概率为错误!，既刮四级以上风又下雨的概率为错误!，设事件A为下雨,事件B为刮四级以上的风，那么P(B｜A)＝__错误!__。
浙江省嘉兴市北师大南湖附中数学必修一教案3.2《函数模型及其应用》新人教A版
浙江省嘉兴市北京师范大学南湖附属学校高中数学 3.2函数模型及其应用教案新人教A版必修1一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程第一课时几类不同增长的函数模型1、复习引入师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。
今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课（用幻灯片展示例题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报40元；2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）教师提示：1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
高中数学新学案同步 必修3北师大版 第二章 算法初步 3.2
A.至少执行循环体一次 √
B.执行一次循环体
C.满足条件时执行循环体
D.遇到Do Loop就结束
1
2
3
4
5
答案
2.根据右面语句判断输出结果为
i＝1
A.6
C.8 解析
B.7 √
D.9 前6次循环后，S的值分别为
S＝0
Do
S＝S＋i
i＝i＋1 Loop While S<20 输出 i.
1,3,6,10,15,21 ，因 21>20 ，要输出 i ，此 时i是加1后的值为7.
解答
类型二 Do Loop语句
例2 计算1＋2＋3＋…＋100的值有如下算法： 1.令i＝1，S＝0. 2.计算S＋i，仍用S表示. 3.计算i＋1，仍用i表示. 4.判断i≤100是否成立.若是，则返回第二步；否则，输出S，结束算法. 请利用Do Loop语句写出这个算法对应的语句.
解答
反思与感悟
2
3
4
5
解析
答案
4.下面是求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的一个算法语句，将其补充 完整. a＝10 b＝1 Do b ＝a * b
a－1 a＝_______
a>＝1 Loop While________ 输出b 解析 a的初始值为10，故循环体中的值应该递减，即a从10减小到1，循
1 2 3 4 5
用Do Loop语句写算法时，要注意Loop While后面的条
件，只要条件为真就执行循环体.
跟踪训练2
根据下面的算法语句，绘制算法框图，指出输出的最后结
果是什么？并将它改为另一种循环语句.
S＝0
For i＝3 To 99
2017-2018学年高中数学 第二章 算法初步 3.2 循环语句教学案 北师大版必修3
3．2 循环语句预习课本P108～109，思考并完成以下问题(1)For语句的格式是什么？(2)Do Loop语句的格式是什么？(3)For语句和Do Loop语句的适用范围有什么不同？[新知初探]1．For语句For循环变量＝初始值To终值循环体Next(2)适用范围For语句适用于预先知道循环次数的循环结构．[点睛] (1)循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的．For后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的．(2)在For语句里，我们默认循环变量每次的增量为1，增量不为1时，需用参数Step，即“For循环变量＝初始值To终值Step2．Do Loop语句(1)格式Do循环体Loop While 条件为真(2)适用范围Do Loop语句适用于预先不知道循环次数的循环结构．[点睛] 用Do Loop语句编写程序时，一定要注意While后面的条件，条件为真时执行循环体，条件为假时结束循环．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)循环语句与算法框图中的循环结构相对应．( )(2)For语句与Do Loop语句都是循环语句．( )(3)所有的循环结构框图都可以用For语句与Do Loop语句描述．( )(4)For语句不能用来描述循环次数不确定的循环结构．( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．若i的初始值为0，当执行完Do i＝i＋1 Loop While i≤10后i的值变为( ) A．9 B．10C．11 D．12解析：选C 由Do Loop语句的形式和执行条件易得循环结束后，i＝11.3．下面算法语句的功能是( )S＝0For i＝1 To 100S＝S＋iNext输出S.A．求1×2×3×…×100的值B．求1×3×5×…×99的值C．求1＋2＋3＋…＋100的值D．求1＋3＋5＋…＋99的值解析：选C 由“S＝S＋i”可知该算法解决的是累加问题；由循环变量i的增量为1，从1到100可知，求的是1＋2＋3＋…＋100的值．4．给出下列For语句：S＝0For i＝1 To 10S＝S＋iNext循环变量是________，循环变量的初始值是________，循环变量的终值是________，循环体是________．解析：循环变量是i，循环变量的初始值是1，循环变量的终值是10，循环体是S＝S ＋i.答案：i 1 10 S＝S＋iFor 语句的应用[典例] 画出求1＋2＋3＋…＋1 000的值的算法框图，并用For 语句描述该算法． [解] 算法框图为：用For 语句描述算法为：S ＝0For i ＝1 To 1 000S ＝S ＋1/iNext输出S .使用For 语句描述算法的一般步骤为：(1)确定循环次数，即确定循环变量的初始值和终值；(2)把反复要做的工作，作为循环体放在For 与Next 之间；(3)输出结果．[活学活用]1．下列语句运行的结果是( )S ＝0For i ＝－1 To 11S ＝i *iNext输出S .A ．－1B ．11C ．100D ．121解析：选D S＝11×11＝121.2．写出下列框图所对应的算法语句．解：用算法语句描述为：S＝1For i＝3 To 99 Step 2S＝S*iNext输出S.[典例] ＋…＋n>2 016算法语句描述该算法．[解] 算法框图如下：用Do Loop语句描述为：S＝0i＝1DoS＝S＋ii＝i＋2Loop While S≤2 016输出i－2.用Do Loop语句描述算法时，要注意Loop While后面的条件，每次重复后，都要检验While后的条件是否被满足，一旦不满足条件，循环停止，输出结果．[活学活用]1．读下面的算法语句，输出的结果是( )I＝1S＝0DoS=2*S+1I=I+1Loop While I≤4输出S.A．2 B．10C．15 D．20解析：选C 当I＝1时，S＝0×2＋1＝1；当I＝2时，S＝1×2＋1＝3；当I＝3时，S ＝3×2＋1＝7；当I＝4时，S＝7×2＋1＝15.当I＝5时，跳出循环体，即输出的S的值为15.2．请用基本语句设计一个算法，求平方值小于1 000的所有正整数的平方和．解：用Do Loop语句描述如下：S＝0i＝1DoS＝S＋i2i＝i＋1Loop While i2＜1 000输出S.循环语句的综合应用[典例] 1234[解] 用基本语句描述如下：输入a1，a2，a3，a4；max＝a1i＝2DoIf ai＞max Thenmax＝aiEnd Ifi＝i＋1Loop While i＜＝4输出max.[活学活用]根据如图所示的算法框图写出相应的程序．解：由算法框图可知，算法的功能是求12＋32＋52＋…＋9992的值．法一：用Do Loop语句描述如下：S＝0i＝1DoS＝S＋i2i＝i＋2Loop While i＜＝999输出S.法二：用For语句描述如下：S＝0For i＝1 To 999 Step 2S＝S＋i2Next输出S.。
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高一北师大版学案系列32 [名师讲堂 ] 重点语法 现在完成进行时
1. 构成have / has been + 动词的现在分词 2. 功能 1) 现在完成进行时表示一个从过去某时开始发生,一直延续到现在并可能继续延续下去的动作。如: I’ve been waiting for an hour but she still hasn’t turned up. How long have you been doing this job?
2) 表示动作刚刚结束。如: My clothes are wet. I’ve been walking in the rain. They have been talking about the book.
3) 表示某种感情色彩。如: She’s been saying that twenty times. (厌倦) You have been giving me everything. (感激) I have been wanting to see you for a long time. (愿望)
4) 表示一个过去动作对现在的影响或造成的结果(相当于现在完成时)。如: He has been doing too much work. The girl’s eyes are red. She has been crying.
5) 表示重复(指断断续续,而非一直不停)。如: We’ve been discussing the matter several times this year. She has been phoning David every night for the past two weeks. 注意:表示知觉、情感的状态动词如see, feel, know, love等,不能用于现在完成进行时。 [影音留声 ] Uptown Girl 98年炎热的夏天，来自美丽岛国爱尔兰的五个俊秀男孩组成了乐队Westlife。此后他们便开始了自己的辉煌的音乐旅程，今天的Westlife已经成为世界顶尖的流行组合。
歌曲“Uptown Girl”是Westlife的第八首冠军歌曲。这首由Billy Joel创作并演唱的经典歌曲在2001年由Westlife翻唱。Westlife的活泼演绎和歌曲轻快的曲调，使得这首单曲荣登了2001年音乐排行榜榜首。Westlife，这支世界顶尖乐队的明星们将这首单曲的所得利润全部捐给了福利机构。这一举动使他们在大众眼中成为了爱与温暖的化身。
Uptown girl She’s been living in her uptown world I bet she never had a backstreet guy I bet her mama never told her why I’m gonna try for an uptown girl She’s been living in her white bread world As long as anyone with hot blood can And now she’s looking for a downtown man That’s what I am And when she knows what She wants from her time And when she wakes up And makes up her mind She’ll see I’m not so tough Just because I’m in love with an uptown girl You know I’ve seen her in her uptown world She’s getting tired of her high class toys And all her presents from her uptown boys She’s got a choice Uptown girlYou know I can’t afford to buy her pearls But maybe some day when my ship comes in She’ll understand what kind of guy I’ve been And then I’ll winAnd when she’s walking She’s looking so fine And when she’s talking She’ll say that she’s mine She’ll say I’m not so tough Just because I’m in love with an uptown girl She’s been living in her white bread world As long as anyone with hot blood can And now she’s looking for a downtown man That’s what I am Uptown girl She’s my uptown girl You know I’m in love With an uptown girl My uptown girl You know I’m in love(repeat ...)
Notes: 1. uptown adj.原意指"非商业区的"。美国有上城、中城、下城之分。上城即uptown,为城市核心区,是富裕阶层居住的地方。反之,下城downtown为贫穷阶层居住地。 2. guy n.家伙,人 3. tough adj.艰苦的 4. pearl n.珍珠
[阅读练习 ] Sports 1、[单选] 本文词数:258 参考时间:1'58''
Boxing started in ancient Greece as a sport in the Olympic Games. It can be traced back to 686 BC. At that time, it was welcomed and men did it to show their strength. And today’s boxing has many similarities to the ancient boxing. In ancient times many boxers died, because they filled the boxing gloves with iron, but now boxers don’t use iron gloves anymore. Now they only use gloves and helmets and some other equipment. In 1743, a boxer from England named Broughton made the new rules. These rules soon became the standard for all boxing matches in England. Some of the rules were: there is a timed count when a boxer is knocked down; the introduction of a judge; and no boxer shall be struck after a knockdown. Later in 1867, the famous Queensberry rules were made. Every boxer had to wear leather gloves in competitions. The ring was about 7 meters long and 7 meters wide. And rounds were not longer than 3 minutes. Boxers were divided into different groups according to their weight. And two boxers in a competition should have similar weight. Boxing was considered a gentleman’s sport —the noble art of self-defense. Every boxer tried his best to hit the opponent without being hit back. Today, boxing is a popular sport both for women and men, and its rules continue to improve. Boxing is good both for people’s body and for their mind. It helps people stay in shape and have a strong mind both inside and outside the ring.
Notes: 1. iron n.铁 2. helmet n.头盔 3. ring n.拳击场
词数178 处理时间2' 57'' 1. What’s the main idea of the passage? A. The rules of the boxing. B. The origin of the boxing. C. The purpose of the boxing. D. The development of the boxing. 2. What was ancient boxing like? A. It was a sport done by few people. B. It was a popular sport invented after 1743.