基本不等式的最大最小值问题随堂练
高中基本不等式练习
高中基本不等式练习1．若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 （ ） A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】试题分析：因为，直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆228210x y x y ++++=的周长，所以圆心（-4，-1）在直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>上，从而，4a+b=1，所以，14a b +1416(4)()88816b a a b a b a b =++=++≥+=，故选C 。
考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。
点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。
应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。
2．已知正数,x y ，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为( )A ．1B ．3241C ．161D ．321【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于正数,x y ，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，而可知y x z )21(4⋅=-=22x y --，可知当过点(1,2)时函数z=2x+y 最大，此时22x y --最小，且为116，故选C. 考点：均值不等式点评：解决的关键是根据不等式的表示的平面区域，来结合均值不等式来求解，属于基础题。
3．若a>1, 则 112-+-a a a 的最小值是 ( )A ．2 B.4 C.1 D.3【答案】D【解析】试题分析：根据题意，一正二定三相等可知，a>1, 则221(1)(1)11113111a-1a a a a a a a -+-+-+==++≥=---,当且仅当a-1=1,a=2取得等号，故答案为D. 考点：均值不等式点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题。
利用基本不等式求最值强化训练
利用基本不等式求最值强化训练新人教A 版必修第一册一、选择题1. 已知实数0,0>>b a ,11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是 【 】（A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2 2. 若正数b a ,满足111=+b a ,则1411-+-b a 的最小值为 【 】 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy ,则 【 】 （A ）y x +≥()122+ （B ）xy ≤12+ （C ）y x +≤()212+ （D ）xy ≥()122+5. 若正数y x ,满足yx y x 9115+=++,且y x +≤1,则 【 】 （A ）x 为定值,但y 定值不确定 （B ）x 不为定值,但y 是定值 （C ）x ,y 均为定值 （D ）x ,y 定值均不确定 6. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）47. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,当y x 43+取得最小值时,y x 2+的值为 【 】 （A ）524 （B ）2 （C ）528（D ）5二、填空题8. 已知正数y x ,满足22=+y x ,则xyyx 8+的最小值为_________. 9. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为_________. 10. 若∈b a ,R ,且13222=-+b ab a ,则22b a +的最小值为_________.三、解答题11. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 12.（1）设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; （2）记()xy x a y x F 22+-+=,0,0>>y x ,若对任意的0,0>>y x ,恒有F ≥0,请求出a 的取值范围.利用基本不等式求最值强化训练答案解析新人教A 版必修第一册一、选择题1. 已知实数0,0>>b a ,11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是 【 】（A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解析: ∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()()()[]12131212+++=-+++=+b a b a b a 31111-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a ()()1121132112111+++++=-+++++++=a b b a a b b a≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ∵11111=+++b a ,∴()()11111=+++++b a a b . 整理得:1=ab . ∵0,0>>b a∴b a 2+≥2222=ab . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.2. 若正数b a ,满足111=+b a ,则1411-+-b a 的最小值为 【 】 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6解析: ∵111=+b a ,∴1-=a ab . ∵b a ,为正数,∴01>-a a,∴1>a .∴()1411114111411-+-=--+-=-+-a a a a a b a ≥()414112=-⋅-a a . 当且仅当()1114-=-a a ,即23=a 时,等号成立,此时3=b . ∴1411-+-b a 的最小值为4. ∴选择答案【 B 】.另解: ∵b a ,为正数,111=+ba . ∴ab b a b a =+>>,1,1. ∴1411-+-b a ≥()()()41141142=++-=--b a ab b a .当且仅当1411-=-b a ,即34-=a b ,23=a ,3=b 时取等号. ∴1411-+-b a 的最小值为4. ∴选择答案【 B 】. 3. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解析: ∵0>>b a∴()()()()abab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a .当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立.∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.4. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy ,则 【 】 （A ）y x +≥()122+ （B ）xy ≤12+ （C ）y x +≤()212+ （D ）xy ≥()122+解析: ∵y x ,都是正数,()1=+-y x xy∴xy y x =++1 ∵y x +≥xy 2 ∴1++y x ≥12+xy ∴xy ≥12+xy ,∴()122--xy xy ≥0.解之得:xy ≥12+. ∴xy ≥()223122+=+.（当且仅当y x =时取等号）∴选项（B ）、（D ）均错误.∵xy y x =++1,xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∴1++y x ≤()42y x +,∴()()442-+-+y x y x ≥0.∴y x +≥222+.（当且仅当y x =时取等号） ∴选择答案【 A 】.另解: ∵y x ,都是正数,()1=+-y x xy ,∴011>-+=y y x ,∴1>y . ∴11221112111-+-+=+-+-+-=+-+=+y y y y y y y y y x ≥()22211222+=-⋅-+y y .当且仅当112-=-y y ,即21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+,即y x +≥222+.∵()()31211213111122+-+-=-+-+-=-+=⋅-+=y y y y y y y y y y y xy ≥()()21232231212+=+=+-⋅-y y .当且仅当112-=-y y ,即21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为322+,即xy ≥()223122+=+.∴选择答案【 A 】.5. 若正数y x ,满足yx y x 9115+=++,且y x +≤1,则 【 】 （A ）x 为定值,但y 定值不确定 （B ）x 不为定值,但y 是定值 （C ）x ,y 均为定值 （D ）x ,y 定值均不确定解析: ∵正数y x ,满足yx y x 9115+=++ ∴()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=+++y x y x y x y x 9115∴()()y x x y y x y x 910152++=+++≥169210=⋅+yx x y 当且仅当yxx y 9=,即x y 3=时,等号成立. ∴()()16152-+++y x y x ≥0 ∴()()151++-+y x y x ≥0∵0>+y x∴1-+y x ≥0,即y x +≥1. ∵y x +≤1∴1=+y x ,此时,x y 3=.解方程组⎩⎨⎧==+x y y x 31得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4341y x . ∴选择答案【 C 】. 6. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4解析: ∵y yx x -=-812 ∴yx y x 812+=+. ∵0,0>>y x∴()()y x x y x y y x y x y x y x 1610816281222++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥1816210=⋅+yxx y . 当且仅当yxx y 16=,即22,22==y x 时,等号成立. ∴()182min2=+y x .∴()()231822min2min ==+=+y x y x .∴选择答案【 C 】.7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,当y x 43+取得最小值时,y x 2+的值为 【 】 （A ）524 （B ）2 （C ）528（D ）5 解析: ∵xy y x 53=+∴113515351=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y . ∵y x ,为正数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x y x y x 3125151343135143≥5312251513=⋅⨯+yxx y .当且仅当y x x y 312=,即21,1,2===y x y x 时,等号成立. 此时,221212=⨯+=+y x . ∴选择答案【 B 】.8. 已知正数y x ,满足22=+y x ,则xyyx 8+的最小值为_________. 解析: ∵正数y x ,满足22=+y x∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+=+x y y x y x y x y x xy y x 1621518221188 ≥9162215=⋅⨯+xyy x .当且仅当x y y x 16=,即31,34==y x 时,等号成立. ∴xyyx 8+的最小值为9. 9. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为_________. 解析: ∵062=-+b a ,∴62=+b a .∴()()2212=-+-b a ,∴()1221=-+-b a . ∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a .∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-+-2212211b a b a ()()112221212211+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a b b a b a ()()1222122--+--+=a b b a ≥()()412221222=--⋅--+a b b a . 当且仅当()()122212--=--a b b a ,即3,23,2===b a a b 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 另解: ∵2,1>>b a ,062=-+b a∴02,01>->-b a ,62=+b a .∴()()()04262221>-=+-=++-=--ab ab b a ab b a ∴4>ab .∵62=+b a ≥ab b a 2222=⋅ ∴ab 22≤6,解之得:ab ≤29.（当且仅当b a =2时,等号成立） ∴ab <4≤29. ∴()()()42211222211-=---+-=-+-ab b a a b b a ≤44292=-.（注意04>-ab ）当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==292ab b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧==323b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 10. 若∈b a ,R ,且13222=-+b ab a ,则22b a +的最小值为_________.解析: ∵13222=-+b ab a∴()()13=+-b a b a .设⎩⎨⎧=+=-y b a x b a 3,则1=xy ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=443xy b y x a .∴16421016241044322222222++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x y xy x x y y x b a 82522++=y x ≥41582528252+=+=+xy . 当且仅当x y 5=,即5,5522==y x 时,等号成立. ∴22b a +的最小值为415+. 11. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解析: ∵4=+b a∴()()831=+++b a ∵b a ,为正数 ∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3,2==+=b a b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 另解: ∵b a ,为正数,且4=+b a∴04>-=b a ,∴40<<b . ∴()161815283151311122+--=++-=++-=+++b b b b b b a . 令01522>++-b b ,解之得:53<<-b . ∴当40<<b 时,01522>++-b b 恒成立. 且当1=b （此时3=a ）时,()[]16161max 2=+--b .∴()16182+--b ≥21168=,即3111+++b a ≥21.∴当1,3==b a 时,3111+++b a 的最小值为21. 12. （1）设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m -恒成立,求m 的取值范围; （2）记()xy x a y x F 22+-+=,0,0>>y x ,若对任意的0,0>>y x ,恒有F ≥0,请求出a 的取值范围.解析: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a . ∵c b b a -+-11≥c a m -恒成立 ∴c b c a b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可. ∵cb b a b ac b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+c b b a b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.（2）∵对任意的0,0>>y x ,()xy x a y x F 22+-+=≥0恒成立 ∴a ≤xy x yx 22++恒成立,只需a ≤min 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy x y x 即可. ∵0,0>>y x ,∴y x 2+≥xy 22 ∴xy x yx 22++≥()()2122=++=+++y x y x y x x y x .（当且仅当y x 2=时,等号成立） ∴2122min=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy x y x . ∴a ≤21,即a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.或者:∵0,0>>y x ∴y x +21≥xy xy 2212=. ∴y x y x x +=++2121≥xy x 221+ ∴xy x y x 22++≥212222222221=++=++xy x xy x xy x xy x . 当且仅当y x =21,即y x 2=时,等号成立. ∴2122min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy x y x . ∴a ≤21,即a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.。
基本不等式专练(含答案)
基本不等式专练一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 若x ，y ∈R +，且3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是( )A. 5B. 245C. 2√35D. 1952. 已知直线kx −y +2k −1=0恒过定点A ，点A 也在直线mx +ny +2=0上，其中m ，n 均为正数，则1m +2n 的最小值为( )A. 2B. 4C. 8D. 63. 若x >1，则4x +1+1x−1的最小值等于( )A. 6B. 9C. 4D. 14. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为( )A. 10B. 11C. 13D. 215. 当x >4时，不等式x +4x−4≥m 恒成立，则m 的取值阀内是( )A. m ≤8B. m <8C. m ≥8D. m >86. 正实数x,y 满足1x +1y =2，则x +2y 的( )A. 最小值为32+√2 B. 最大值为32+√2 C. 最小值为3+2√2D. 最大值为3+2√27. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为( )A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√28. 实数a,b 满足a >0,b >0，a +b =4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是( )A. 4B. 6C. 32D. 839.两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为()A. 49B. 109C. 1D. 3二、多选题（本大题共7小题，共35.0分）10.若正实数a，b满足a+b=1，则下列选项中正确的是()A. ab有最大值14B. √a+√b有最大值√2C. 3a−b>13D. 2a+1b有最小值9211.下列命题正确的有()A. 若a>b>c，ac>0，则bc(a−c)>0;B. 若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4C. 若x>0，y>0，x+y=xy，则x+2y+xy的最小值为5+2√6;D. 若实数a≥2，则log a+1(a+2)<a+2a+112.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A. 1a +1b≥1 B. √ab≤2 C. 1a2+b2≤18D. 0<1ab≤1413.已知a>0，b>0，下面四个结论正确的是()A. 2aba+b ≤a+b2；B.2222baba+≤+C. 若a>b，则c2a ≤c2b；D. 若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；14.下列各式中，最小值为4的是()A. y=x2+8xB. y=sinx+4sinx(0<x<π)C. y=e x+4e−xD. y=√x2+1+√x2+115.已知a>0，b>0，且a2+b2=1，则()A. a+b⩽√2B. 12<2a−b<2C. log2√a+log2√b⩾−12D. a2−b2>−116.下列命题为真命题的是A. 若a>b，则2a−b>12>1B. 若a>b>0，则lgalgbC. 若a>0，b>0，则√ab≥2aba+bD. 若a>b，则ac2>bc2三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）+2(x>0)的最小值为______．17.函数y=x+4x18.已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）(x>3)．19.已知函数f(x)=x+9x−3(1)求函数f(x)的最小值．(2)若不等式f(x)≥t2−t+7恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.C解：分别过A ，B 向准线作垂线，垂足分别为A′，B′，由抛物线定义可知AA′=AF ，BB′=BF ， 不妨设A 在P ，F 之间，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1>0，λ2<0，且PA =λ1AA′，PB =−λ2BB′， ∴λ1=PA AA′=1sin∠APA′，λ2=−PB BB′=−1sin∠BPB′， ∴λ1+λ2=0．2.A解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 为抛物线E 的准线上一点得： x A =−p2，x B =0， ∴x C =p 4； ∴y C =±√22p ； 又F(p2,0)， ∴k AF =k CF =±√22p−0p 4−p 2=±2√2；∴直线AF 的斜率为±2√2．3.D解：依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x =−4的距离， 因此点M 的轨迹是抛物线，且p =8，顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上， 则点M 的轨迹方程为y 2=16x ． 故选D ．4.A解：∵x ，y ∈R +，且3x +1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y)(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4yx)≥135+35⋅2√xy ⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1,y =12时等号成立，5.B解：已知直线kx−y+2k−1=0整理得：y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(−2,−1)．点A也在直线mx+ny+2=0上，所以：2m+n=2.整理得：m+n2=1．由于m，n均为正数，则1m +2n=(m+n2)(1m+2n)=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m⋅2mn=4．6.B解：由x>1，得x−1>0，∵4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时，等号成立．7.B解：正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，=2+(1a +4b)(a+b)，=7+ba +4ab≥7+4=11，当且仅当ba =4ab且a+b=1即b=23，a=13时取等号，8.A解：∵x>4，∴x−4>0，∴x+4x−4=x−4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x=6时取等号，∵当x>4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤(x+4x−4)min=8．∴m的取值范围为：(−∞,8]．9.A解：∵正实数x、y满足1x +1y=2，，当且仅当xy y x2 ，即x =√2y 时，等号成立， 所以x +2y 的最小值为32+√2，10.A解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．11.D解：令a +1=m ，b +1=n ，则m >1,n >1，m +n =6． a 2a+1+b 2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m +n +1m +1n −4=2+6mn ⩾2+6(m+n 2)2=83，当且仅当m =n =3时取等号．12.C解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x +a)2+y 2=4，x 2+(y −2b)2=1，圆心分别为(−a,0)，(0,2b)，半径分别为2和1，故有√a 2+4b 2=3，∴a 2+4b 2=9， ∴a 2+4b 29=1，∴1a 2+1b 2=a 2+4b 29a 2+a 2+4b 29b 2=19+49+4b 29a 2+a 29b 2≥59+2√481=1，当且仅当4b 29a =a 29b，并且a 2+4b 2=9时，等号成立， 13.ABC解：对于选项A ：∵ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取“= “)，故选项A 正确；对于选项B：∵(√a+√b)2=a+b+2√ab⩽a+b+a+b=2，∴√a+√b≤√2(当且仅当a=b=12时取“=“)，故选项B正确；对于选项C：∵正实数a，b满足a+b=1，∴a−b=2a−1>−1，∴3a−b>3−1=13，故选项C正确；对于选项D：∵a+b=1，∴2a+1b=(2a+1b)(a+b)=3+2ba+ab⩾3+2√2(当且仅当{a+b=12ba=ab时取“=“)，故选项D错误．14.【答案】ACD解：由a>b>c，ac>0，可得a，b，c同号且a−c>0，所以bc(a−c)>0;故A正确；若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y⩾2√2x·2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2x+2y的最小值为4，故B错误；若x>0，y>0，x+y=xy，则1x +1y=1，所以x+2y+xy=2x+3y=(2x+3y)(1x +1y)=5+3yx+2xy⩾5+2√3yx·2xy=5+2√6，当且仅当3y2=2x2时等号成立，故C正确；令f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2<0在x∈(e,+∞)上恒成立，所以函数f(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减，因为a≥2，a+1≥3，所以log a+1(a+2)<a+2a+1⇔ln(a+2)ln(a+1)<a+2a+1⇔ln(a+2)a+2<ln(a+1)a+1;故选项D正确．15.ABC解：由题意得4=a+b⩾2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)则√ab⩽2，故B正确，则1ab ⩾14，故D错误；因为1a +1b=a+bab=4ab⩾1，故A正确；因为a2+b2=(a+b)2−2ab⩾8，则1a2+b2≤18，故C正确．故选ABC ．16.ACD解：对于A.∵a 2+b 2⩾2ab,∴(a +b )2⩾4ab,a >0,b >0,∴2aba+b ⩽a+b 2，A 成立；对于B.当a =b =1时1>1不成立，B 错误； 对于C ．a >b >0⇒0<1a<1b,c 2⩾0,∴c 2a⩽c 2b，C 成立；对于D.∵a +2b +3=(a +1)+2(b +1)=[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1) =1+2+a+1b+1+2(b+1)a+1⩾3+2√2，当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时,即a =√2,b =√22时等号成立，故a +2b 的最小值为2√2.故选ACD ．17.CD解： 对于A ，当x <0时，y <0，则y =x2+8x 无最小值，A 不符合题意; 对于B ，由0<x <π，得0<sinx ≤1， 又，当即sinx =2时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C ，y =e x +4e −x ≥2√e x ×4e −x =4，当且仅当e x =4e −x 即x =ln2时，取等号， 所以y =e x +4e −x 最小值为4，C 符合题意; 对于D ，y =√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1×4√x 2+1=4，当且仅当√x 2+1=√x 2+1，即x =±√3时，取等号， 所以y =√x 2+1+√x 2+1 的最小值为4，所以符合题意．18.ABD解：对于A ，，则a +b ⩽ √2，当且仅当a =b 时取“=”号，A 正确； B .(a −b)2=a 2+b 2−2ab <a 2+b 2=1， 故−1<a −b <1，由2−1<2a−b <21，即12<a −b <2，B 正确；对于C ，取a =14，b =√154，则log 2√b <0，故log 2√a +log 2√b =−1+log 2√b <−1，C 错误；对于D ，b 2<1，则−b 2>−1，故a 2−b 2>−1，D 正确．19.AC解：对A ，若a >b ，则a −b >0，由指数函数性质知2a−b >20=1>12，A 正确； 对B ，若a >b >0，取a =2，b =12，则lg alg b =−1，不满足lgalgb >1，故B 错误； 对C ，若a >0，b >0，则a +b ⩾2√ab ，则2aba+b ⩽2√ab =√ab ，当且仅当a =b 时，等号成立，C 正确；对D ，当c =0时，结论不成立，故D 错误．20.6解：∵x >0，∴函数y =x +4x+2≥2√x ⋅4x+2=2×2+2=6当且仅当x =4x ，x >0，即x =2时，上式取等号．21.18解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y =1， 则xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2=12×14=18，当且仅当2x =y =12，时等号成立， 即xy 的最大值为18；22.解：(1)因为x >3，所以x −3>0，所以f(x)=x +9x−3=(x −3)+9x−3+3， ≥2√(x −3)⋅9x−3+3=9，当且仅当x −3=9x−3，即(x −3)2=9时，上式取得等号， 又因为x >3，所以x =6，所以当x =6时，函数f(x)的最小值是9； (2)由(1)知f(x)的最小值是9，∴不等式f(x)≥t 2−t +7恒成立等价于9≥t 2−t +7， 即t 2−t −2≤0，解得：−1≤t ≤2，即实数t的取值范围是[−1,2]．。
基本不等式训练题(含答案)
基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400B．100C．40D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：244．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.∴12x＋4x≥212x•4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x• －4x ＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．－3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx•lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－(－xy)＋(－yx)]≤－2 －xy －yx ＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a•a＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64B．最大值164C．最小值64D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x•2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2x•4y＝4xy，∴xy≤116.答案：大1169．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2 x＋1 •4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋9x－1＋2≥2 x－1 •9x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)•(1b－1)•(1c －1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x•225x＋12000＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
利用基本不等式求最值提高训练(最新整理)
利用基本不等式求最值提高训练方法总结：1、创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2、常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a ＋≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．1a(2)＋≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．b a a b(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用对勾函数单调性法．一般地函数y ＝ax ＋，当a>0，b>0b x时函数在[－，0)，(0, ]上是减函数，在(－∞，－)，( ，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可b a b a b a b a作如下变形：y ＝－[(－ax)＋(－)]来解决最值问题．b x1、。
且且且且)0(22>+=x x x y 2、。
且且且且)210)(21(21)(<<-=x x x x f 3、。
.)2(4122且且且且>-+=x x x y 4、的最小值。
)1(11462->+++=x x x x y 5、的最大值。
)2(2122<-+-=x x x x y 6、设，求得最小值.0>>b a )(112b a a ab a -++7、且且且且且且且且y x y x R y x lg lg ,2052,,+=+∈+8、..)(log ,2,124lg 且且且且且且且且ab a a b =>9、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( C )1a 1bab A ．2 B ．2 C ．4 D ．52解析：因为＋＋2≥2＋2＝2(＋)≥4，当且仅当＝，且＝，1a 1b ab 1ab ab 1ab ab 1a 1b 1abab 即a ＝b 时，取“＝”号．10、已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则＋的最小值是( D )1x 1yA ．2B ．433C ．2＋ D ．4＋233解析：lg2x ＋3y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，而＋＝(＋)(x ＋3y)＝4＋＋≥4＋2.1x 1y 1x 1y x y 3y x311、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋)(y ＋)的最小值为________．1x 1y解一：因为对a>0，恒有a ＋≥2，从而z ＝(x ＋)(y ＋)≥4，所以z 的最小值是4.1a 1x 1y解二：z ＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z 的最小值是2(－1)．2＋x 2y 2－2xy xy 2xy 2xy ·xy 22【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋)(y ＋)＝xy ＋＋＋＝xy ＋＋＝＋xy －2，1x 1y 1xy y x x y 1xy x ＋y 2－2xy xy 2xy 令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤()2＝，由f(t)＝t ＋在(0，]上单调递减，故当t ＝时， f(t)＝t ＋有最小值x ＋y 2142t 14142t，所以当x ＝y ＝时z 有最小值.33412254应用基本不等式解决实际问题(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．1、围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】 (1)首先明确总费用y ＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y 与x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝，360x所以y ＝225x ＋－360(x>2)．3602x(2)∵x>2，∴225x ＋≥2＝10800.3602x225×3602∴y ＝225x ＋－360≥10440.当且仅当225x ＝时，等号成立．3602x 3602x即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．2、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如上图）。
基本不等式 Word版含答案(训练习题)
第四节 基本不等式 1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”) 易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论 活用几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． [自测练习]1．下列不等式中正确的是( )A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6aB ．若a ，b ∈R ，则a ＋b ab≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b D ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab . ∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lg B. 答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立． 答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1 解析：∵y ＝x ＋4x中x 可取负值， ∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴y ＝sin x ＋4sin x >2sin x ·4sin x＝4， 其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号，∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立． 答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2. [证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a b. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”． 于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，。
基本不等式应用练习
基本不等式应用练习班级______________姓名______________一、填空题1、函数y ＝x ＋12x(x >0) 的最小值是_________此时x 为____ 2、函数),21(,1216)(+∞-∈++=x x x x f ，则)(x f 最小值为_____,此时x 为____ 3、函数y ＝x ＋6x ＋1 的最小值为_______此时x 为____ 4、)0(322>++=x xx x y 函数的最小值为__________此时x 为____ 5、若ab <0，则b a ＋a b的取值范围是_________ 6、 已知)5(,40x x x -≤≤的最大值为_______,此时x 为____)5(x x +最大值为_______此时x 为____7、函数34-+=x x y 的值域为________ 8、函数y ＝x 2x －1(x >1)的的最小值为________此时x 为____ 9、已知ax x a x -+>1,的最小值为5，则a 的值为________ 10、函数y ＝2122++x x 的最小值是___________此时x 为____ 11、)1(221)(2>-+-=x x x x x f 的最大值为_______此时x 为____ 12、若x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝5，则3x ＋9y 的最小值是___________13、已知x ，y 是满足2x ＋5y ＝20的正数， lg x ＋lg y 的最大值为_____14、已知x ，y 是正数, 且3x 2＋y 2＝1, 则x 1＋y 2的最大值_____________二、解答题15、已知lg x ＋lg y ＝1 求(1)y x +最小值 (2)y x 2+最小值 (3)yx 52+最小值16、已知x ＞0，y ＞0，09=-+xy x y ,求y x +的最小值17、两个正数a ，b 满足4ab ＋a ＋b ＝12求ab 的取值范围18、 在周长为定值P 的扇形中，半径是多大时，扇形的面积最大?最大面积是多少?19、如图，某农场要修建3个相同矩形的养鱼池，每个面积为10000m 2，鱼池前面要留4m 宽的运料通道，其余各边为2m 宽的堤埂，问每个鱼池的长宽各为多少米时，占地面积最小？。
基本不等式练习题
1、设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．822、若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53、若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 4、函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45、若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)4326、设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1 D.14 7、若x, y 是正数，且，则xy 有 （ ）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值8、已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1y的最小值是( ) A ．23 B ．43 C ．2＋3 D ．4＋239、若x>0,则9()4f x x x=+的最小值为______． 10、已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 11、已知0,0>>y x ，且1=+y x ，则yx 94+的最小值_____ 12、若0x <，则21x x y x++=的最大值为______．。
13、若2x >，求1252y x x =-+-的最小值______14、已知函数f (x )＝x ＋a x －2(x >2)的图象过点A (3,7)，则此函数的最小值是________．15、函数1 (3)3y x x x =+>-的最小值为______．. 16、函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n 2的最小值为 ．。
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1 基本不等式
一、选择题
1、已知正数,x y 满足1x y +=，则11x y
+的最小值为（ ） .A 2 .4B .C 14 1.2D 2、函数4(0)y x x x
=+≠的值域 （ ） .A {|44}y y -<< .B {|4}y y ≥ .C {|4
y y ≤-或4}y ≥ .D {|4}y y ≤- 3. 若且，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．
Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
4、建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )元.
A.1000
B.1500
C.2000
D.2500
二、填空题
5、1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值是 。
6、设1x >时，则函数411
y x x =++-的最小值 。
7.已知x ＞0，函数y ＝2－3x －4x
有 值是 . 8、若0>x ，则21x x y x ++=
的最小值是 。
8.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿
5.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。
三、解答题
14、（1）若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值 （2）若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
28（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?。