有理数混合运算的方法技巧
七年级有理数的混合运算的技巧
一.懂得运算次序有理数混杂运算的运算次序：①从高等到低级：先算乘方,再算乘除,最后算加减;有理数的混杂运算涉及多种运算,肯定合理的运算次序是精确解题的症结 例1.盘算：3＋50÷22×(51-)－1②从内向外：假如有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.例2.盘算：()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--③从左向右：同级运算,按照从左至右的次序进行（或应用分派律.联合律）;例3：盘算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--388712787431二.应用四个原则：1.整体性原则： 乘除混杂运算同一化乘,同一进行约分;加减混杂运算按正负数分类,分离同一盘算,或把带分数的整数.分数部分拆开,分离同一盘算.2.简明性原则：盘算时尽量使步调简明,可以或许一步盘算出来的就同时算出来;运算中尽量应用轻便办法,如五个运算律的应用.3.口算原则：在每一步的盘算中,都尽量应用口算,口算是进步运算率的重要办法之一,习惯于口算,有助于造就反响才能和自负念.4、分段同时性原则：对一个算式,一般可以将它分成若干小段,同时分离进交运算.若何分段呢?重要有：(1)运算符号分段法.有理数的根本运算有五种：加.减.乘.除和乘方,个中加减为第一级运算,乘除为第二级运算,乘方为第三级运算.在运算中,低级运算把高等运算分成若干段. 一般以加号.减号把全部算式分成若干段,然后把每一段中的乘方.乘除的成果先盘算出来,最后再算出这几个加数的和．(2)括号分段法,有括号的应先算括号里面的.在实行时可同时分离对括号表里的算式进交运算.(3)绝对值符号分段法.绝对值符号除了本身的感化外,还具有括号的感化,从运算次序的角度来说,先盘算绝对值符号里面的,是以绝对值符号也可以把算式分成几段,同时进行盘算．(4)分数线分段法,分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分离运算. 例4.盘算：2÷(－12)4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2三.控制运算技能（1）.归类组合：将不合类数(如分母雷同或易于通分的数)分离组合;将同类数(如正数或负数)归类盘算.（2）.凑整：将相加可得整数的数凑整,将相加得零的数（如互为相反数）相消. （3）.分化：将一个数分化成几个数和的情势,或分化为它的因数相乘的情势. （4）.约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简. （5）.倒序相加：应用运算律,转变运算次序,简化盘算. （6）.正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化盘算.乘法分派律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化盘算．而反过来,ab+ac=a(b+c)同样成立,有时逆用也可使运算轻便.（7）绝对值和偶次幂的非负性.如,()0352=+++b a ,求a-b 的值;又如,盘算：514131412131-+-+-例5.盘算：(1) -321625 ÷2+(12 +23 －34 －1112)×24(2)(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415 )四.懂得转化的思惟办法有理数运算的本质是肯定符号和绝对值的问题.是以在运算时应掌控“遇减化加．遇除变乘,乘方化乘”,如许可防止因记忆量太大带来的一些凌乱,同时也有助于学生抓住数学内涵的本质问题.把所学的有理数运算归纳综合起来.可归纳为三个转化：一是经由过程绝对值将加法.乘法在先肯定符号的前提下,转化为小学里学的算法术的加法.乘法;二是经由过程相反数和倒数分离将减法.除法转化为加法.乘法; 三是将乘方运算转化为积的情势．若控制了有理数的符号轨则和转化手腕,有理数的运算就能精确.快速地解决了．例6.盘算：（1）(-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) (2)(-212 )÷114 ×(-4)(3)22+(2-5)×13×[1-(-5)2]五.会用三个概念的性质假如a ．b 互为相反数,那么a+b=O,a= -b; 假如c,d 互为倒数,那么cd=l,c=1/d; 假如|x|=a(a ＞0),那么x=a 或-a.例7.已知 a.b 互为相反数,c.d 互为倒数,x 的绝对值等于2,试求x 2-(a+b+cd)x+(a+b)2016+(-cd)2017的值有理数的混杂运算习题一．选择题1. 盘算3(25)-⨯=（ ）A.1000B.－1000C.30D.－30 2. 盘算2223(23)-⨯--⨯=( )A.0B.－54C.－72D.－18 3. 盘算11(5)()555⨯-÷-⨯=4. 下列式子中精确的是（ ）A.4232(2)(2)-<-<- B. 342(2)2(2)-<-<- C. 4322(2)(2)-<-<- D. 234(2)(3)2-<-<- 5. 422(2)-÷-的成果是（ ）A.4B.－4C.2D.－26. 假如()0312=++-b a ,那么1ba +1.2(3)2--⨯ 2. 12411()()()23523+-++-+-3.11( 1.5)4 2.75(5)42-+++- 4. 8(5)63-⨯-- 5. 3145()2-⨯- 6. 25()()( 4.9)0.656-+----7. 22(10)5()5-÷⨯- 8. 323(5)()5-⨯- 9.25(6)(4)(8)⨯---÷- 10. 1612()(2)472⨯-÷-11.2(16503)(2)5--+÷- 12. 32(6)8(2)(4)5-⨯----⨯13. 21122()(2)2233-+⨯-- 14.199711(10.5)3---⨯ 15. 2232[3()2]23-⨯-⨯-- 16. 232()(1)043-+-+⨯ 17.4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯-- 18. 4(81)( 2.25)()169-÷+⨯-÷19. 215[4(10.2)(2)]5---+-⨯÷- 20.666(5)(3)(7)(3)12(3)777-⨯-+-⨯-+⨯- 21. 235()(4)0.25(5)(4)8-⨯--⨯-⨯- 22.23122(3)(1)6293--⨯-÷-。
初一数学《有理数的混合运算》知识点精讲
知识点总结知识点1 常规计算有理数混合运算的运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．注意：绝对值符号有括号的作用.知识点2 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律. 【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．知识点3 求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；有理数的混合运算:1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先做括号内的运算。
2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。
有理数混合运算的四种运算技巧：(1)转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.(2)凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.(3)分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.(4)巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.知识要点1.计算的基本法则：包括:有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数。
初一数学有理数混合运算解题方法与技巧
初一数学有理数混合运算解题方法与技巧板块一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.示例：a+b=b+a(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.示例：(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.示例：a-b=a+(-b)有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.示例：(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是求正3，负0.15，负9，正5，负11的和.板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.示例：ab=ba (乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.示例：abc=a(bc)(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.示例：a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.板块三、有理数混合运算的顺序在进行有理数运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的数.-----------------------------------------------------------------------------------------------------有理数运算所需的小学知识储备：整数、小数和分数的四则运算；约分和通分；常用的小数与分数的互化；基本的运算律和运算性质；在进行有理数运算之前，必须要掌握相反数、倒数和绝对值等相关概念：相反数：倒数：绝对值：要想学好有理数运算，必须要熟练掌握有理数运算法则：加法：减法：乘法：除法：乘方：有理数运算要点：有理数的运算顺序:先乘方和绝对值，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
有理数的混合运算技巧精讲
有理数的混合运算技巧精讲1.加法和减法的混合运算：在进行加法和减法的混合运算时，可以先按照运算的优先级逐步进行计算。
具体步骤如下：a)首先计算同符号的有理数相加或相减，即进行整数部分的加法或减法运算。
例如，计算2.5+3-1.2-0.8：2.5+3=5.5；5.5-1.2=4.3；4.3-0.8=3.5b)然后计算异符号的有理数相减，即进行小数部分的减法运算，注意保持减数不变，被减数取相反数。
例如，计算4.3-1.2：4.3-1.2=4.3+(-1.2)=3.12.乘法和除法的混合运算：在进行乘法和除法的混合运算时，同样需要按照运算的优先级逐步进行计算。
具体步骤如下：a)先进行乘法运算，按照整数部分和小数部分分别计算。
例如，计算2.5×1.2÷0.5：2.5×1.2=3；0.5×3=1.5b)最后计算整数和小数的除法运算。
例如，计算1.5÷0.5：1.5÷0.5=33.混合运算的技巧：a)遇到括号时，首先计算括号内的运算。
例如，计算2×(3+4)：先计算括号内的运算，得到2×7=14b)在进行加法和减法运算时，可以将有理数转化为同一个分数再进行计算。
例如，计算1/2+2/3-3/4：可以将1/2转化为3/6，2/3转化为4/6，3/4转化为4.5/6，然后进行分数的加减法运算。
4.需要注意的问题：a)在进行乘法和除法运算时，需要注意小数点的位置。
乘法和除法的运算结果的小数点的位数是所有运算数小数点位数之和的和，即应根据实际情况来调整小数点的位置。
例如2.5×0.3=0.75b)在进行除法运算时，除数不能为零，需要注意排除除数为零的情况。
例如，计算2.5÷0：除数为零，无法进行运算。
通过以上的讲解，能够使学生更好地理解和掌握有理数的混合运算技巧，提高解题的准确性和效率。
同时在实际应用中，学生需要根据具体情境灵活运用这些技巧，以解决实际问题。
有理数混合运算的解题技巧与策略
有理数混合运算的解题技巧与策略有理数混合运算是数学中常见的一种运算形式，它涉及到整数、小数、分数等多种数的运算。
为了解决这类题目，我们可以采用以下的解题技巧和策略。
一、熟悉有理数的基本运算规则在进行有理数的混合运算之前，我们需要熟悉有理数的基本运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。
例如，在进行混合运算时，我们需要注意乘法和除法的优先级高于加法和减法，可以利用括号改变运算顺序。
二、化简操作在有理数混合运算中，有时我们会遇到复杂的表达式，这时可以通过化简操作来简化计算过程。
例如，我们可以对分数进行通分，将小数和分数化为同一类型的有理数，以便进行运算。
此外，我们还可以利用分配律、结合律和交换律等数学性质，通过合并同类项、化简分子分母等方式来简化运算。
三、借位与借位还原在进行有理数减法时，可能会出现被减数小于减数的情况。
这时，我们可以利用借位的方法，将减法问题转化为加法问题。
具体操作为，从相邻的高位向低位借位，将被减数的某一位的值增加10，然后进行加法运算。
同样，在进行加法运算时，可能会出现需要借位还原的情况，我们可以利用借位还原法来进行运算。
四、小数的运算在有理数混合运算中，小数的运算也是常见的。
对于小数的加减法，我们需要将小数点对齐，然后按照整数的加减法运算规则进行计算；对于小数的乘法和除法，我们可以将小数转化为分数形式，然后进行分数的乘除法运算。
五、注意运算顺序在进行有理数混合运算时，我们需要遵循正确的运算顺序，例如，先进行括号内的计算，再进行乘法和除法，最后进行加法和减法。
如果没有括号，我们可以根据乘除法的优先级高于加减法的规则，将计算顺序进行调整。
六、画图与辅助线有时，我们可以通过画图或者辅助线的方式来解决有理数混合运算问题。
例如，在解决复杂的多步运算时，我们可以通过画图将问题拆解成多个简单的运算步骤，然后逐步解决；在解决几何问题或者应用题时，我们可以利用辅助线帮助我们理清思路，找到解题的关键点。
知识卡片-有理数的混合运算
有理数的混合运算能量储备● 有理数的混合运算有理数的混合运算是指一个有理数算式里含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算.● 有理数混合运算的顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的． ● 运算律在有理数混合运算中的应用有理数的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.在进行有理数的混合运算时，能用上述运算律的要尽量用运算律简化计算．通关宝典★ 基础方法点方法点1. 有理数混合运算的常用技巧(1)巧转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化．(2)巧分解：将一个数分解成几个数的和(或差)或分解为它的因数的积．(3)巧逆用：逆用分配律．(4)巧分段：借助混合运算中的加减号或括号分段计算．例：计算：(1)－72＋2×(－3)2＋(－6)÷⎝⎛⎭⎫－132； (2)－1－⎩⎨⎧⎭⎬⎫（－3）3－⎣⎡⎦⎤3＋0.4×⎝⎛⎭⎫－112÷（－2）. 解：(1)－72＋2×(－3)2＋(－6)÷⎝⎛⎭⎫－132＝－49＋2×9＋(－6)×9＝－49＋18－54＝－85. (2)－1－⎩⎨⎧⎭⎬⎫（－3）3－⎣⎡⎦⎤3＋0.4×⎝⎛⎭⎫－112÷（－2） ＝－1－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－27－⎣⎡⎦⎤3＋25×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－12 ＝－1－⎣⎡⎦⎤－27－⎝⎛⎭⎫3－35×⎝⎛⎭⎫－12 ＝－1－⎣⎡⎦⎤－27－125×⎝⎛⎭⎫－12 ＝－1－⎝⎛⎭⎫－27＋65＝－1－⎝⎛⎭⎫－2545 ＝－1＋2545＝2445.方法点2. 进行有理数加法的一般步骤（1）列式：将实际问题转化为数学问题，列出算式．（2）计算：进行有理数的混合运算．（3）结论：结合计算结果，确定问题的答案．例：根据实验测定：高度每增加1 km ，气温大约降低6 ℃.某登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息，报告他所在高度的气温为－15 ℃，如果当时地面温度为3 ℃，那么登山运动员所在位置的高度是多少？分析：地面温度是3℃，登山运动员所在高度的气温是－15℃，温度下降3－(－15)＝18(℃)．根据高度与气温变化的关系，可求得登山运动员所在位置的高度．解：[3－(－15)]÷6×1＝(3＋15)÷6×1＝3(km)．答：登山运动员所在位置的高度是3 km.方法点3. 倒数法有些含有分数的数学问题，直接求解计算较烦琐，而若将分子、分母上、下颠倒，则可能立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中是将被除数与除数的位置互换，先求原式的倒数，再求出原式的结果．例：请你认真阅读下列材料：计算：(－130)÷(23－110＋16－25)． 解：因为原式的倒数为(23－110＋16－25)÷(－130)＝(23－110＋16－25)×(－30) ＝23×(－30)－110×(－30)＋16×(－30)－25×(－30) ＝－20＋3－5＋12＝－10.所以原式＝－110. 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：(－142)÷(16－314＋23－27)． 解：因为原式的倒数为(16－314＋23－27)÷(－142)＝(16－314＋23－27)×(－42) ＝16×(－42)－314×(－42)＋23×(－42)－27×(－42) ＝－7＋9－28＋12＝－14.所以原式＝－114. 蓄势待发考前攻略有理数的混合运算，多与实数运算、特殊角的三角函数值(以后学)综合，考查计算能力，多以填空题或解答题的形式出现．完胜关卡。
七年级有理数的加减法混合运算
七年级有理数的加减法混合运算一、有理数加减法混合运算的概念1. 有理数的加法法则- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：3 + 5=8，( - 3)+(-5)=-(3 + 5)=-8。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0），如3+( - 3)=0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如5+( - 3)=+(5 - 3)=2，( - 5)+3=-(5 - 3)=-2。
- 一个数同0相加，仍得这个数，如0 + 5=5。
2. 有理数的减法法则- 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a - b=a+( - b)。
例如5-3 =5+( - 3)=2，5-( - 3)=5+3 = 8。
3. 有理数加减法混合运算的顺序- 没有括号时，按照从左到右的顺序依次计算。
例如：3 - 5+2=(3 - 5)+2=-2 + 2=0。
- 有括号时，先算括号里面的。
例如：(3 - 5)+(2 - 1)=(-2)+1=-1。
二、有理数加减法混合运算的技巧- 将互为相反数的数相加，或者将和为整数的数相加。
例如：1+( -1)+2+3=(1+( - 1))+2 + 3=0+2+3 = 5；2.5+3.5+( - 1)=6+( - 1)=5。
2. 同号结合法- 把正数与正数相加，负数与负数相加，最后再把结果相加。
例如：3+2+( - 5)+( - 1)=(3 + 2)+(( - 5)+( - 1))=5+( - 6)=-1。
3. 拆分法- 对于带分数，可以将其拆分为整数部分和分数部分分别进行计算。
例如：2(1)/(3)+(-3(1)/(3))=(2 +(1)/(3))+(( - 3)-(1)/(3))=(2+( - 3))+((1)/(3)-(1)/(3))=-1+0=-1。
三、有理数加减法混合运算的例题1. 计算1 - 2+3 - 4+5 - 6+·s+99 - 100- 解法：- 可以将相邻的两项结合起来，(1 - 2)+(3 - 4)+(5 - 6)+·s+(99 - 100)。
第5讲 有理数的混合运算--尖子班
第5讲 有理数的混合运算⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩常规计算计算规律型有理数的混合运算实际应用应用流程图新定义知识点1 常规计算有理数混合运算的运算顺序： 1、 先乘方，再乘除，最后加减； 2、 同级运算，从左到右进行；3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.【典例】1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×； （3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|.【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 注意：绝对值符号有括号的作用.【随堂练习】1．（2017秋•罗平县期末）计算 （1）[1﹣（﹣+）×24]÷（﹣5）；（2）﹣12018+|2﹣11|×（﹣）2﹣（﹣2）÷2．（2017秋•江阴市期末）计算：（1）（+）+（﹣）﹣|﹣3|（2）﹣22+3×（﹣1）2017﹣9÷（﹣3）3．（2017秋•滨海新区期末）计算：（Ⅰ）4×（）×5；（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）4．（2017秋•鄂城区期末）计算：（1）×（﹣9）﹣36×（）（2）（）×（﹣6）+（﹣）2÷（﹣）3知识点2 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.【典例】1.计算：（1）﹣14﹣（﹣+）×24；（2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）．【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52;（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.【方法总结】通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．【随堂练习】1．（2018•合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值解：设S=31+32+33+34+35+36①则3S=32+33+34+35+36+37②用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：（一）棋盘摆米这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S（二）拓广应用：1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）2．计算：+++…+=________（直接写出结果）3．（2017秋•宿州期末）观察下列计算，，，……（1）第5 个式子是_________；（2）第n 个式子是_________；（3）从计算结果中找规律，利用规律计算3．（2017秋•娄星区期末）观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣．可得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=_____﹣_______．（2）利用上述猜想计算：+++…+．（3）探究并计算：+++…+．知识点3 求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；【典例】1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．【方法总结】首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.【随堂练习】1．（2017秋•虎林市校级期中）已知a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数，求m2﹣﹣cd的值．2．（2017秋•泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数．求代数式（ab）2017﹣﹣m3的值．知识点4 实际应用利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：1. 审：审清题意,找出数量关系；2. 列：根据所找的数量关系列出算式；3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；4. 答：给出题目要求的答案.【典例】1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．【方法总结】（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．【随堂练习】1．（2017秋•无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．2．（2017秋•简阳市期中）“十•一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？3．（2017秋•天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加100米，气温就降低大约0.6℃．（1）若测得该地区某山在山脚的气温是2℃，则距离山脚有600米高的山腰气温是____℃．（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进行实地测量，小明在山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量的数据，请你列式计算该山顶的海拔高度．知识点5 流程图计算初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.【典例】1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.【方法总结】此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.【随堂练习】1．（2017秋•港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输．出的数是12，则最初输入的数是_____．2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是______3．（2017秋•安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为_____．3.（2017秋•台州期中）如图所示的运算程序中，用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填___；（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月用电量不超过190度时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用电量超过100度时，其中100度以0.5元/度的价格收费，超过部分以0.8元/度的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量x（度），输出数为电费y（元）知识点6 新定义定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.【典例】1.阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”【方法总结】（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈（b❈c））即可．此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．【随堂练习】1．（2017秋•余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为a n（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：a n）=a1+a2+a3+…+a n．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3=___，sum （a1：a10）=_____．（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018=____，sum（a1：a2018）=______．（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：a n）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由．2．（2017秋•朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．（1）求（﹣2）⊙3的值；（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3=20，写出你定义的运算：m⊕n=______（用含m，n的式子表示）．综合集训1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________.4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；（2）（）÷（﹣）×；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；（4）.5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……那么：（1）=；（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；（3）计算：+++……．6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…（1）请写出第5条等式；（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：根据以上材料解决问题：若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．8.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把n a a a a a ÷÷÷÷个相除（a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③= ，（﹣）⑤= ；（2）关于除方，下列说法错误的是 ，【选项A 】任何非零数的圈2次方都等于1； 【选项B 】对于任何正整数n ，1ⓝ=1； 【选项C 】3④=4③；【选项D 】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． （﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于_____________________； （3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．。
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有理数混合运算的方法技巧一、有理数混合运算的原则有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算.二、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例1：3＋50÷22×(51-)－1 解：原式=3＋50÷4×(51-)－1············(先算乘方) =15141503-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+···············(化除为乘) =21125315141503-=--=-⨯⨯-···(先定符号，再算绝对值) ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.例2：计算：()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-- 解原式[]926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=[]926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()()677617651-=-⨯=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 也可这样来算：解原式==()926111-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()67761-=-⨯。
③从左向右：同级⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--388712787431运算，按照从左至右的顺序进行；例3：计算： 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3887241424212442原式==⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯3878247=33831-=--。
三、应用四个原则：1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。
如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。
有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。
在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。
一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法．(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。
在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。
(3)绝对值符号分段法。
绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。
例2计算：÷(－12)4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2解：原式=－116×16-(-1)+4×9=-1+1+36=36说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。
四、掌握运算技巧（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。
（2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
（3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
（4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
（5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。
例计算2+4+6+…+2000分析：将整个式子记作S=2+4+…+1998+2000．将这个式子反序写出．得S=2000+1998+…+4+2，两式相加，再作分组计算．解： (1)令S=2十4+…+1998+2000，反序写出，有S=2000+1998+…+4+2，两式相加，有2S=(2+2000)+(4+1998)+…+(1998+4)+(2000+2)=2002+2002+…+2002l000个2002=2002×1000=2002000S=1001000（6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。
乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便.例3计算：(1) -321625÷(-8×4)++(12+23－34－1112)×24(2)(－32)×(－1115)－32×(－1315)＋32×(－1415)分析： -321625化成假分数较繁，将其写成(-32－16 25)的形式．对(12+23－34－1112)×24，则以使用乘法分配律更为筒捷,进行有理数混合运算时，要注意灵活运用运算律，以达到筒化运算的目的．解：（1）原式=(-32－1625)×(-132)++(12+23－34－1112)×24=1+150++12+16-18-22=+ =－（2）原式=32×1115＋32×1315－32×1415=32×（1115＋1315－1415）=32×1015=1五、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。
有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算．其关键是注意两个变：(1)变减号为加号；(2)变减数为其相反数。
另外被减数与减数的位置不变．例如（-12）-(+18)+(-20)-(-14)．有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。
转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幂)。
因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。
总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。
把我们所学的有理数运算概括起来。
可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．例计算：（1） (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)(2) (-212)÷114×(-4)(3)22+(2-5)×13×[1-(-5)2]解：（1）原式=(-6) +(-5)+(-9)+(-4)+(+9) =-6-5-9-4+9=-15(2) 原式=(－52)×45×(-4)=8(3) 原式=4+(-3) ×13×(-24)=4+24=28六、会用三个概念的性质如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.例6 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；又∵c、d互为倒数，∴cd=l；|x|=2, ∴x=2或-2。
∴x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001= x2-x-1当x=2时,原式= x2-x-1=4-2-1=1当x=一2，原式= x2-x-1=4-(-2)-1=5。