传染病的数学模型
基本数学模型-传染病模型
• 现有数据显示，天花的 值较小，麻疹等传染
病的 值较大，目前全世界已消灭天花疾病
17
模型验证
•
孟买某岛（1905.12.17-1906.7.21）
（
Kermack,McKendrick,1926）
• 该岛上80%－90%的感染者死亡，
dS dt dI dt
SI SI
I
视为移出者
• 在疾病传播期内所考察地区总人数 N 保持不变
• t 时刻易感者和感染者人数所占比例分别为 S(t)
和 I (t) ，S(t) I (t) 1 • 每个感染者单位时间内可使数量为 N 的人受到
感染，其中易感者数量为 NS ， 称为有效接触率
3
SI模型
N dI NSI dI I (1 I ) 1 dI dt
Jules Henri
Aleksandr
Poincaré
Mikhailovich
（1854－1912） 法国数学家、
Lyapunov （1857－1918）
物理学家
苏联数学家、 物理学家
11
自治系统
• 记 x (x1, x2 )T，F(t, x) ( f1(t, x), f2 (t, x))T，一阶常 微分方程组 dx F(t, x)称为自治（autonomous）
• III. Further Studies of the Problem of
电磁场理论，DNA双
Endemicity, 141, 94-122, 1933
螺旋结构等重要论文
均发表在该刊上
2
基本假设
• 人群分类
• 易感者（Susceptible）：易受疾病感染但尚未发病 • 感染者（Infective）：已感染且具传染性
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。
为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。
本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。
二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。
该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。
（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。
（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。
SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。
三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。
我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。
（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。
数学模型在传染病传播中的应用
数学模型在传染病传播中的应用传染病一直以来都是人类所关注的重要问题之一。
科学家们通过建立数学模型来研究传染病的传播规律和探索防控策略。
这些数学模型可以帮助我们更好地理解传染病的传播过程，并为疫情预测、防控决策提供科学依据。
本文将就数学模型在传染病传播中的应用进行探讨。
一、基本传染病模型在传染病传播的数学模型中，最经典的就是SIR模型。
SIR模型将人群分为易感染者(Susceptible)、感染者(Infectious)和恢复者(Recovered)，并假设人群之间的传染关系符合一定的规律。
通过建立这个动力学模型，可以研究传染病的传播速度、传播规律以及潜在的控制策略。
SIR模型的基本假设是人群之间的传染是随机发生的，并且传染速率和康复速率是常数。
这种模型虽然简单，但却能很好地描述一些常见的传染病，如流感和麻疹等。
二、改进的传染病模型尽管SIR模型在某些情况下可以很好地描述传染病的传播，但在现实中，很多传染病的传播机制并不完全符合SIR模型的假设。
因此，一些研究者提出了各种改进的传染病模型。
例如，SEIR模型将易感染者和感染者之间引入了潜伏期(Exposed)，即人群已感染但尚未具备传染性。
这种模型适用于研究一些具有较长潜伏期的传染病，如艾滋病和乙肝等。
此外，还有一些模型考虑了空间因素和人口流动的影响。
比如，扩散模型中引入了空间变量，可以研究传染病在不同地理区域的传播规律。
流行病学模型则可以通过分析人口流动的网络结构来研究传染病的传播路径和风险。
三、预测和控制利用数学模型可以对传染病的传播过程进行预测，为疾病防控提供决策依据。
研究人员通过对传染病模型的参数进行估计，结合实际疫情数据，可以预测疫情的发展趋势。
此外，数学模型还可以评估不同的防控策略的有效性。
例如，可以通过模拟研究来比较不同干预措施对传染病传播速度和规模的影响，以及个人防护和社区隔离等措施的有效性。
四、数学模型的局限性尽管数学模型在研究传染病传播中发挥了重要作用，但也存在一些局限性。
传染病数学建模
传染病数学建模
传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。
通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。
在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。
这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。
然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。
在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。
在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。
而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。
除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。
这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。
总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮
助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。
通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。
数学建模传染病模型例题
以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。
初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。
其他人也不知道有传染病源在岛上。
假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。
另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。
假设在t天后，岛上有x个人被感染。
我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。
假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。
2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。
3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。
4. 初始时，只有1个人是患病者。
5. 没有新的外来感染者进入岛上。
模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。
求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。
由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。
然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。
通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。
这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。
传染病流行趋势的数学模型分析
传染病流行趋势的数学模型分析传染病是人类社会面临的重大公共卫生问题之一。
了解传染病的流行趋势对预防和控制传染病具有重要意义。
数学模型是研究传染病流行趋势的一种重要方法。
本文将通过数学模型的分析，探讨传染病流行的趋势。
一、基本概念在分析传染病流行趋势之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 传染病的基本参数：a. 感染率：表示一个人患病的概率；b. 感染周期：表示病程的时间长度；c. 接触率：表示一个人单位时间内接触到感染源的人数；d. 移动率：表示一个人单位时间内改变居住地的概率。
二、数学模型数学模型通常采用微分方程模型来描述传染病的传播过程。
最常用的数学模型有SIR模型和SEIR模型。
1. SIR模型SIR模型是一种基本的传染病模型，将人群分为三个互相转化的类别：易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
模型中的人群总量不变，符号表示如下：- S：易感者的数量；- I：感染者的数量；- R：康复者的数量。
SIR模型的微分方程如下：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，β表示感染率，γ表示康复率。
该模型假设人口是均匀分布的，且感染者在康复之后具有部分免疫力。
2. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上引入了潜伏者（Exposed）的概念，即已被感染但尚未发病的人。
符号表示如下：- S：易感者的数量；- E：潜伏者的数量；- I：感染者的数量；- R：康复者的数量。
SEIR模型的微分方程如下：dS/dt = -βSIdE/dt = βSI - αEdI/dt = αE - γIdR/dt = γI其中，α表示潜伏者的发病率。
SEIR模型对于具有潜伏期的传染病更为适用，如艾滋病和流感等。
三、数学模型分析通过建立数学模型，可以通过参数的设定来分析传染病的流行趋势。
主要从以下几个方面进行分析：1. 临界条件临界条件是指传染病流行的转折点，也称为疫情爆发点。
传染病的传播模型与分析
传染病的传播模型与分析传染病是指通过接触、空气传播、飞沫传播等途径从一个人传播到另一个人的疾病。
了解传染病的传播模型以及相应的分析方法对预防与控制传染病具有重要意义。
本文将探讨传染病的传播模型以及常用的分析方法。
一、传染病的传播模型1. SIR模型SIR模型将人群分为易感者(Susceptible)、感染者(Infectious)和康复者(Recovered)三个互不重叠的类别，描述了传染病在人群中的传播过程。
在这个模型中，一个人从易感者状态转变为感染者状态后再转变为康复者状态，整个过程是一个动态的流程。
2. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了一个潜伏期状态(Exposed)，即感染者已经被病原体感染但尚未表现出明显症状。
该模型可以更准确地描述某些疾病的传播特征，例如新冠病毒。
3. 网络传播模型网络传播模型基于人与人之间复杂的联系，将人与人之间的接触关系表示为网络结构，从而可以更好地研究疾病在社交网络中的传播过程。
该模型为防控传染病提供了新的思路和方法。
二、传染病的分析方法1. 流行病学调查流行病学调查是研究传染病传播规律的核心方法之一。
通过对患者、病原体、传播途径等进行全面的调查，可以了解感染源、传播途径、传染力大小等信息，从而为疫情防控提供科学依据。
2. 数学模型数学模型是传染病研究中常用的工具之一。
基于传染病的传播机理以及传染力大小等参数，可以建立相应的数学模型，并通过模型推导出预测结果，如疫情的发展趋势、传播速度等。
常用的数学模型包括微分方程模型、积分方程模型、格点模型等。
3. 统计分析统计分析是对大量传染病数据进行处理和分析的重要手段。
通过对病例数据进行整理、汇总和统计，可以得到病例分布、死亡率、复发率等重要指标。
同时，还可以运用统计学方法对数据进行建模和预测。
4. 传播网络分析传播网络分析是一种基于网络结构的方法，可以研究传染病在社交网络中的传播特征。
通过分析网络拓扑结构、节点特征以及传播路径等信息，可以发现传播的薄弱环节和高风险群体，并制定有针对性的防控策略。
数学模型 数学论文指导 传染病模型1
数学模型数学论文指导传染病模型1数学模型：传染病模型 1在当今社会，传染病的爆发和传播对人类的健康和社会的稳定构成了严重的威胁。
为了更好地理解和预测传染病的发展趋势，数学模型成为了一种强大的工具。
本文将深入探讨传染病模型中的一种常见类型，帮助您更好地理解其原理和应用。
传染病的传播是一个复杂的过程，受到多种因素的影响，如人口密度、接触频率、传染率、康复率等。
数学模型通过将这些因素进行量化和整合，试图模拟传染病在人群中的传播动态。
常见的传染病模型之一是 SIR 模型（SusceptibleInfectedRecovered）。
在这个模型中，人群被分为三类：易感者（S）、感染者（I）和康复者（R）。
易感者是指尚未感染疾病但有可能被感染的人群。
感染者则是已经感染了疾病并且具有传染性的人群。
康复者是指已经从疾病中恢复并且获得了免疫力，不再容易被感染的人群。
SIR 模型基于以下几个假设：首先，人群总数是固定的，不考虑人口的出生和死亡。
其次，传染率是恒定的，即每个感染者在单位时间内接触并感染易感者的概率是固定的。
再者，康复率也是恒定的，即感染者在单位时间内恢复并获得免疫力的概率是固定的。
通过这些假设，我们可以建立一组微分方程来描述 SIR 模型中三类人群数量随时间的变化。
假设 S(t)、I(t)和 R(t)分别表示 t 时刻易感者、感染者和康复者的数量，N 表示人群总数，则有：dS/dt ＝βSI （1）dI/dt ＝βSI γI （2）dR/dt ＝γI （3）其中，β 表示传染率，γ 表示康复率。
方程（1）表示易感者数量的减少速度等于易感者与感染者接触并被感染的速度。
方程（2）表示感染者数量的增加速度等于新感染的人数减去康复的人数。
方程（3）表示康复者数量的增加速度等于感染者的康复速度。
通过求解这组微分方程，我们可以得到S(t)、I(t)和R(t)的变化曲线，从而了解传染病的传播过程。
例如，当传染率较高而康复率较低时，传染病可能会迅速传播，导致大量的人感染。
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For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。
建立的平均场方程：()()()()()()()()()()[()()]()()()[()()]di t k i t s t dtds t k i t s t k s t s t r t dt dr t k s t s t r t dt λλαα⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。
Moreno 等人将此模型推广到幂率分布的网络，考察了R 态的稳定值和耗散时间，得出 R 态稳定值与感染概率()k α有着紧密联系，而与传播源的度i k 无关。
这与一般意义下的病毒传播的结论“传播各状态的密度与传染源节点的度紧密相连”有很大不同。
SIS 模型与 SIS 模型的区别就在于节点成为传播态之后的恢复的状态不同。
在 SIR 模型中，传播态节点在传播过程中会根据概率成为免疫状态，而在 SIS 模型中每一个传播节点会以恒值γ成为 I 态，如图 2.10。
从而得到 SIS 模型的微分方程： ds i si dt di si i dtγββγ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 化简得到：)0()0()()t ti e i t i e βγβγβγβγβ---=-+（ 从而得到其稳态值为11i βγβλ-==-。
若1λ<，那么()i t 指数下降区域零，意味着谣言不再扩散。
在这之后，许多学者在这些经典模型的基础上提出了改进的模型。
如周苗苗等人在经SIR谣模型的基础上研究了社会网络上的谣言传播并构建了数学模型，得出了最终集合As 的期望值的相关结论。
孙庆山等人在经典SIS和SI模型的基础上，研究了社会网络的谣言传播，首次将信息的吸引力作为传播因素引入传播模型中。
Vespignani 提出了网络动力学传播模型，详尽分析了单种群中的动力学过程[31]。
这些模型有的已经摆脱了平均场方程的表达传播过程方法，采用元胞自动机以及随机过程的方法表达，但是思想仍是采用SIR 这样的传播状态和规则。
国内外关于建立网络谣言传播模型方面和网络免疫策略方面的研究已取得了一些有益进展。
Zanette D H率先在小世界网络上建立谣言传播模型。
Moreno Y等人在无标度网络上建立了谣言传播模型，通过随机分析方法以及计算机仿真得出结论。
文献利用构建改进的Potts 自旋系统来量化谣言传播因素并建立起基于Potts 谣言传播模型。
元胞自动机作为研究传播的方法之一也取得了较多成果。
宣慧玉和张发利用元胞自动机研究了谣言在个体之间流传的的局部交互的过程。
刘常昱等人利用元胞自动机和Agent 设计个体的局部相互作用规则来研究了基于小世界模型构建的人际关系网络中的舆论传播。
除此以外，人们发现谣言传播与网络的拓扑性质也有着密切的联系，汪小帆团队发现网络的聚类系数对传播的影响并给出了相应抑制谣言的策略。
针对各种谣言传播模型的免疫干扰研究也是相对比较成熟。
免疫策略可分为随机免疫，熟人免疫和目标免疫。
随机免疫方法就是完全随机的选取网络中的节点进行免疫。
但在无标度网络中使用随机免疫策略的话，几乎要对网络中所有的节点进行免疫才可能使谣言不得扩散出去。
相对随机免疫的缺陷，目标免疫通过去除网络中少量度大的节点的连边，切断传播的途径来降低谣言的散步范围就更有实际意义，。
虽然目标免疫的效果比较明显，但是要是想目标免疫能够发挥威力就必须知道网络的全局信息从而选择目标节点，而在庞大且复杂的社会网络中获取全局信息是难以做到的。
熟人免疫策略巧妙的回避了这一点，它从N 个节点中随机选取一部分节点，在从每个一个被选出来的节点中随机选取一个邻居节点进行免疫。
但是熟人免疫也存在着局限性，比如随机选取的节点可能会拥有部分共同好友，就会导致免疫的重复和浪费，因此，免疫策略的进一步研究离不开对网络深层次拓扑特征的探索。
近年来网络中重要节点排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagerank 的重要节点算法以及K-核算法的提出为网络拓扑结构的进一步研究打下了坚实的基础。
虽然SIR 传播模型在许多网络中得到了扩展和研究，也是当前研究的热点，然而却不能准确的表达当前在线社交网络的传播现实，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等，因此根据传播关键因素建立合理的传播模型是当前研究的重点。
第四章基于SIR 改进的SHKR 谣言传播模型4.1 问题描述与建模4.1.1 问题描述在SNS 中，当一个好友发布了某消息，好友往往就会以一定的概率将此消息传播出去。
若该好友对其内容不具有传播意愿则成为知道谣言但不会传播的人；若该好友对这则内容相信或感兴趣则会分享，那么此好友就成为传播者；有部分好友，一开始不相信，后来在周围好友多次的传播分享下，意愿受到强化而成为传播者也是很常见的。
考虑到以上的传播规则，本文对传统的谣言传播模型将人群分为传播，免疫和未感染三类进行了改进。
我们把网络中的节点分为传播节点S，健康节点H，知道谣言但不传播的节点 K ，免疫节点 R 四种状态。
传播节点表示该节点接受信息并具有传播能力的节点。
健康节点表示没有接触到谣言的 节点，对谣言处于未知状态。
知道信息但不传播的节点表示知道了谣言但对谣言没有传播的 人。
免疫节点表示永远不会传播谣言的人。
可见，谣言在传播过程中，不仅与节点自身的状 态有关，也与节点的邻居节点的状态相关。
传播的规则如下，如图 4.1 所示：（1）当谣言传播节点与健康节点接触时，健康节点以概率1P 变为传播节点 S ，以概率2P 变为接受谣言但不传播的节点 K ，以概率3P 成为免疫者 R ；（2）当谣言传播节点与知道谣言但不传播的节点接触，作传播节点则以概率4P 变为传 播节点。
3）传播节点不会一直传播谣言，会以速度v 转化为免疫者，v 就为遗忘率。
在第二章提到，SIR 传播模型虽然应用的比较广研究也较多但是对于当前在线社交网络的中的传播现实却不能准确的表达，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等。
此外，谣言传播与病毒传播明显的区别就在于其多次传播对节点的影响，这点在 MIT 斯隆管理学院的博士的实验结果也得到了体现。
斯隆管理学院的博士等在两个不同网络中，每个志愿者分别以邮件的方式邀请好友注册论坛，如果好友完成了注册即会以邮件的方式向他（她）的好友继续发邮件邀请他们注册论坛。
在这次实验中，网络中的一个用户往往会被其周围的好友多次邀请而强化了其注册的意愿。
可见在谣言传播过程中，本来不传播的节点受到社会强化作用变为传播者，所以本文提出了一个新的状态，即知道谣言不传播的状态且在一定的概率作用下会改变为传播节点。
那么在这样的传播机制下，每个节点都会对谣言的传播及相信与否做出自己的选择，这更贴近现实的真实情况，因为并不是每个人听到谣言都会传播。
则基于以上定义：（1）分别定义 H(t)，S(t)，K(t)，R(t)为健康者，传播者，知道谣言但不传播者和免疫者的比重。
显然 H(t)+ S(t)+K(t)+ R(t)=1。
（2）在消息传播过程中，不考虑人数的迁入迁出及出生和死亡，即总人数不随时间的改变而改变。
（3）假设总人数为 N 。
4.1.2 数学建模（1）健康者 H考察t 到t t +∆时间按内各人数的变化情况：这段时间内，健康者的人数增加了*[(()]N H t t H t +∆-，而每个传播者可以让 123*()*()*()*N S t P P P H t t ++∆由健康者变为其他状态的节点，则可列出满足条件的方程：123*[()()]*()*()*()*N H t t H t N S t p p p H t t +∆-=-++∆两边同除t ∆，则得到微分方程：123()()()()dH t p p p H t S t dt =-++（2）免疫者 R这段时间内，免疫者增加的人数*[()()]N R t t R t +∆-，每个传播者可以让**()N v S t 成为免疫者，则可得到微分方程：4()()()()(())k k k dR t vS t p S t H t H t dt η=+（3）传播者 S这段时间内，传播者增加的人数为*[()()]N S t S t t -+∆，健康者变为传播者的人数为1*()**()N S t p H t ，传播者变为免疫者的人数为**()N v S t ，知道谣言并不传播者变为传播者的人数为4*(**()N S t p K t ），则可得到微分方程为：14()()()()()()dS t p S t H t p S t K t vS t dt=+- 4）知道但不传播谣言者 K这段时间内，增加的人数为*[()()]N K t t K t +∆-，而健康者变为知道但不传播者的人数为2*)**()N St p H t （， 而 知 道 谣 言 但 不 传 播 者 在 这 段 时 间 内 变 为 传 播 者 的 人 数 是4*()**()N S t p K t ，则得到微分方程为：24()()()()()dK t p S t H t P S t K t dt =-12341424()(+)()()(()()()()()()()()()()()()()()dH t p p p S t H t dt dR t vS t p S t H t dt dS t p S t H t p S t K t vS t dt dK t p S t H t p S t K t dt⎧=-+⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=-⎩） 考虑到传播节点和未感染节点之间不可能始终是均匀分布。