7.1空间立体几何体的机构及其三视图和直观图

第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图． 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式． 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求)．

1.对空间几何体的结构特征的考查，很少单独命题，多与命题真假判断相结合，在考查线面位置关系时，常以几何体为载体． 2.对三视图的考查一直是高考的考查重点，且有以下特点：

(1)多以选择题或填空题的形式考查． (2)单独考查三视图问题，如2012年福建T4，湖南T3等． (3)与空间几何体的体积、表面积的求法相结合，考查三视图的还原问题，如2012年新课标全国T7，安徽T12，广东T6，天津T10，辽宁T13等． 3.直观图的画法作为一种图技画法融合于三视图的还原问题中，高考几乎不单独命题.

[归纳·知识整合] 1．空间几何体的结构特征 多面体 ①棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形 ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形

旋转体 ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ②圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到 ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到

[探究] 1.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 提示：不一定．如图所示，尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行． 2．中心投影与平行投影 平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线相交于一点．在平行投影中投影线垂直于投影面的投影称为正投影． 3．三视图与直观图

三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等

直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是： ①画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，已知图形中平行x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴的线段．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． ②画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变

[探究] 2.正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗？ 提示：由于正视图的方向没确定，因此正视图、侧视图、俯视图不一定相同． [自测·牛刀小试] 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 解析：选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面． 2．(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有( )

A．②③⑤ B．③④⑤ C．③⑤ D．①③ 解析：选C 根据棱柱结构特征可知③⑤是棱柱． 3．(教材习题改编)已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为( )

A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱 C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱 解析：选C 由三视图可知，此几何体由上面的圆台和下面的圆柱组合而成的． 4．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有D正确． 5．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)． ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求． 答案：①②③⑤

空间几何体的结构特征 [例1] 下列结论中正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 [自主解答] A错误．如图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥． B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥。

C错误．若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六形．但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． [答案] D ——————————————————— 求解空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断． (2)反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的．

1．下列命题中，正确的是( ) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥 C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 解析：选D 对于A，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故A错误；对于B，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故B错误；对于C，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而C错误．

空间几何体的三视图 [例2] (1)(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

(2)(2012·厦门质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台 [自主解答] (1)A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D. (2)由三视图可知，该几何体是四棱锥(如图所示)，且其中一条棱与底面垂直． [答案] (1)D (2)B

——————————————————— 由三视图还原实物图应明确的两个方面 (1)首先要熟悉柱、锥、台、球的三视图，较复杂的几何体也是由这些简单几何体组合而成的． (2)要明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图．

2．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形)，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．

解析：几何体是四棱锥与四棱柱组成时，得①正确．几何体由四棱锥与圆柱组成时，得②正确．几何体由圆锥与圆柱组成时，得③正确．几何体由圆锥与四棱柱组成时，得④正确．故填①②③④. 答案：①②③④

空间几何体的直观图 [例3] 如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积． [自主解答] 建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中， 由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin 45°，

所以OC′＝sin 120°sin 45°a＝62a， 所以原三角形ABC的高OC＝6a， 所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.

本例若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积，”应如何求？ 解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为32a×12×22＝68a，

故其面积S△A′B′C′＝12a×68a＝616a2.

——————————————————— 平面图形的直观图与原图形面积的两个关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图． 记住上述关系，解题时能起到事半功倍的作用．

3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 解析：选C 将直观图还原得▱OABC，则

∵O′D′＝2O′C′＝22(cm)， OD＝2O′D′＝42(cm)， C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2 (cm)， OC＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 (cm)， OA＝O′A′＝6(cm)＝OC， 故原图形为菱形．

1种数学思想——转化与化归思想 利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想． 1个疑难点——三视图的还原问题 由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法，在明确三视图画法规则的基