初一有理数运算

有理数基本运算中考要求知识点睛板块一有理数加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a+=+(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.++=++(加法结合律)a b c a b c()()有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：()()()()()30.15951130.159511++-+-+++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.板块二有理数乘、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba=(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc=(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.()a b c ab ac+=+(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b ab÷=⋅，(0b≠)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.Ⅲ：倒数、负倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数. a，b互为倒数，则1a b⋅=；反之亦然.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可(正整数可以看作分母为1的分数)负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数.a，b互为负倒数，则1a b⋅=-.反之亦然.板块一 有理数加、减混合运算【例1】计算：⑴5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++⑵11(0.75)0.375(2)84+-++-【巩固】⑴21(4)(3)33-+- ⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++- ⑷111(8.5)3(6)11332-++-+⑸5317(9)15(3)(22.5)(15)124412-++-+-+-【巩固】⑴0a >，0b <则a b - 0； ⑵0a <，0b >则a b - 0；⑶0a <，0b <，则()a b -- 0；⑷0a <，0b <，且||||a b <，则a b - 0.【例2】1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中( )A ．至少有一个是零B ．至少有998个正数C ．至少有一个是负数D ．至多有995个是负数【巩固】若0a b c d <<<<，则以下四个结论中，正确的是( )A ．a b c d +++一定是正数．B ．d c a b +--可能是负数．C ．d c b a ---一定是正数．D ．c d b a ---一定是正数．【例3】北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A . 28ºCB . 29ºCC . 30ºCD . 31ºC【例4】出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下:15+，2-，5+，1-，10+，3-，2-，12+，4+，5-，6+， ⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?【例5】数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点． ① 求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）． ② 若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？ ③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？【巩固】电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【补充】在整数1，3，5，7，…，21k ，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【巩固】在1，3，5，…，101这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？【巩固】在数1，2，3，……，1998前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？板块二有理数乘、除法【例6】看谁算的又对又快: ⑴()()()345826-⨯--⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⑵4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶1571(8)16-⨯- ⑷()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑸111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【巩固】计算下列各题：⑴()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭； ⑵()110.0333323⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑶735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦； ⑷111(0.25)(5)( 3.5)()2244-⨯-+⨯-+-⨯；【例7】1111(1)(1)(1).....(1)_______1998199719961000----=【巩固】计算：11111 (1)(1)(1)(1)(1) 4916252500-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-【例8】若a，b，c，d是互不相等的整数，且9abcd=则a b c d+++的值为( ) A．0B．4C．8D．无法确定．【巩固】如果4个不同的正整数m，n，p，q满足(7)(7)(7)(7)4m n p q----=，那么m n p q+++的值是多少？【例9】若19980a b+=，则ab是（）A. 正数B. 非正数C. 负数D. 非负数【巩固】奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.【补充】若a b c，，三个数互不相等，则在a b b c c ab c c a a b------，，中，正数一定有( )A．0个B．1个C．2个D．3个Ⅱ：有理数除法【例10】计算：⑴111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⑵()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【巩固】⑴231(4)()324+÷⨯÷-；⑵71()2(3)93-÷⨯+；⑶11111()()234560-+-÷-；⑷44192()77÷-；⑸19(7)128(7)33(7)÷--÷-+÷-；⑹5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-.【例11】如果0acb>，0bc <，且()0a b c ->，试确定a 、b 、c 的符号.【巩固】如果0a b<，0bc <，试确定ac 的符号.【例12】a 和b 是满足0ab ≠的有理数，现有四个命题：①224a b -+的相反数是224a b -+； ②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个家庭作业 【巩固】若(2)3x =-⨯，则x 的倒数是（ ）A ．16-B ．16C ．6-D ．6【巩固】正数的倒数是 数，负数的倒数是 数；正数的负倒数是 数，负数的负倒数是 数； 没有倒数， 的倒数等于它本身.【补充】若大于1的整数n 可以表示成若干个质数的乘积，则这些质数称为n 的质因数．则下面四个命题中正确的是( )A ．n 的相反数等于n 的所有质因数的相反数之积．B ．n 的倒数等于n 的所有质因数的倒数之积．C ．n 的倒数的相反数等于n 的所有质因数的倒数的相反数之积．D ．n 的相反数的倒数等于n 的所有质因数的相反数的倒数之积．【习题1】计算下列各题⑴23132[(12)()]273424273---+--+⑵212(738)(78.36)(53)(13.64)(43)2323+-+--+---⑶11110()()()()3462-----+--⑷9.3712.84 6.24 3.12--+- ⑸18961713142114735++--- ⑹112.75(3)(0.5)(7)42---+-+ ⑺1111|||0|||()||2394---+-----⑻11121717142412318-+--⑼11211 4.5352553-+-+- ⑽1223|()()||()|5532--+----+【习题2】有一串数：2003-，1999-，1995-，1991-，…，按一定的规律排列，那么这串数中前 个数的和最小．【习题3】超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg ，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【习题4】计算：1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)246810357911+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-【习题5】a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A ．0a >，b 、c 同号B ．0b >，a 、c 异号C ．0c >，a 、b 异号D ．a 、b 、c 同号【习题6】用“＞”或“＜”填空⑴如果0ab c >，0ac <那么b 0 ； ⑵如果0a b>，0bc <那么ac 0 .【习题7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：①0abc <； ②||||||a b b c a c -+-=-；③()()()0a b b c c a --->； ④1a b c >-．其中正确的命题有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ． 1个【习题8】a 为有理数，下列说法中正确的是（ ）A .21()2003a +为正数B .21()2003a --为负数C .21()2003a +为正数 D .212003a +为正数【习题9】已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，x 的绝对值等于它相反数的2倍.求3x abcdx a bcd ++- 的值.。