北航数值分析大作业二

北航数值分析大作业二

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：

数值分析大作业

（二）

学院名称宇航学院

专业名称航空宇航推进理论与工程学生姓名段毓

学号SY161５306

20１6年１1月5日

１ 算法设计方案

首先将矩阵A 进行拟上三角化,把矩阵A 进行QR 分解，计算出RQ 。 要得出矩阵A 的全部特征值，首先对A 进行QR 的双步位移得出特征值。 最后，采用列主元的高斯消元法求解特征向量。

１.1 A 的拟上三角化

因为对矩阵进行QR 分解并不改变矩阵的结构,因此在进行ＱR 分解前对矩阵A 进行拟上三角化可以大大减少计算机的计算量，提高程序的运行效率。具体算法如下所示,

记A A =)

1(，并记)(r A 的第r 列至第n 列的元素为

()n r r j n i a r ij

,,1,;,,2,1)

( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 若

()n r r i a r ir

,,3,2)

( ++=全为零,则令)()1(r r A A =+,转５;否则转2。

计算

()∑+==

n

r

i r ir r a d 1

2

)(

()()r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn )(,1)(,1若

)(,12r r

r r r r a c c h +-=

令

()

n

T

r nr

r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++)()(,2)(,1,,,,0,,0 。

计算

r r T r r h u A p /)(=

r r r

r r T

r r h u p t /=

r r r r u t q -=ω

T r

r T r r r r p u u A A --=+ω)()1(

继续。

1.2 A 的ＱＲ分解

具体算法如下所示,

记)

1(1-=n A A ,并记[]

n

n r ij r a A ⨯=)(，令I Q =1 对于1,,2,

1-=n r 执行 1．若

()n r r i a r ir ,,3,1)

( ++=全为零，则令r r Q Q =+1r r A A =+1，转5；否则转2。

2.计算

()∑=

=

n

r

i r ir r a d 2

)(

()()r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn )

(,1)(,1若

)(,2r r r r r r a c c h -=

３.令

()

n T

r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=+)()(,2)(,,,,,0,,0 。

4.计算

r r T r r h u A p /)(=

r r r

r r T

r r h u p t /=

r r r r u t q -=ω

T r

r T r r r r p u u A A --=+ω)()1(

5．继续。

1. 3 A 的特征值

为了加快收敛速度，采用带双步移位的QR 分解求解A 的全部特征值，具体算法如下，

使用矩阵的拟上三角化算法把矩阵A 化为你上三角阵；给定经度水平和最大迭代次数L 。

记,令k=1,m=n 。

如果，则得到Ａ的一个特征值,置m:＝m －1（降阶),转（5)，否则转(4)。 如果，则得到矩阵Ａ的两个特征值,为二阶子阵

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=----)

()(1,(k),1)

(1,1 k mm k m m m m k m m k

a a a a D

的两个特征根，置m:＝ｍ-1（降阶),转(５);否则转（6)。

如果m=1,则得到A 的一个特征根，转(9),如果ｍ=0,转（9)。否则转(3）。 如果k ＝Ｌ,则计算失败。否则转(７)。 记，计算

k

k T k k k k k k k k k k m

m k m m k mm k m m k mm

k m m Q A Q A QR M R Q M I tI sA A M a a a a t a a s ==+-=-=+=+------12)(,1)(1,)()(1,1)

()(1,1)

分解作对阶单位矩阵是( )m (

,转(3）。

Ａ的全部特征值以计算完毕,停止计算。 其中，k

M 的QR 分解与

1

+k A 的计算用下列算法实现:

记

k

m m r ij r m m ij k A C b B b M B ====⨯⨯1)()1(1,][,][。

对于1,,2,1-=m r 执行 若

()m r r i b r ir

,,2,1)

( ++=全为零，则令r r r r C C B B ==++11,,转5;否则转2。

计算

()

∑==

m

r

i r ir

r b d 2

)(

()()

r r r r r r r rr r d c a d b c ==-=+则取若,0sgn )(,1)(

)(2r rr

r r r b c c h -=

令

()

m

T

r mr

r r r r r rr r R b b c b u ∈-=+)

()(,1)(,,,,0,,0 。

计算

r r T r r h u B v /=

T r r r r v u B B -=+1

r r T r r h u C p /=