2019-2020年初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

2019-2020年初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题

15．已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=，

210ab c +-=，求a b c ++的值．

16．做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一Array段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每

售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元

和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．某日王老板

进货A款式服装35件，B款式服装25件．怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在

保证乙店铺获毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总

毛利润是多少？

17．如图所示，⊙O沿着凸n边形A1 A2 A3…A n-1A n的外侧Array (圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置．

(1) 当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了

两圈．

(2) 当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时⊙O自身转动的圈数．

A3

n-1

（第17题）

18．已知二次函数1)1(22+-++=m x m x y ．

(1) 随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

(2) 如果直线1+=x y 经过二次函数1)1(22+-++=m x m x y 图象的顶点P ，求此时m

的值．

B

C

（第2题）

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．答案：D

解：解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.5

26,543a y a x 只需⎩⎨⎧>-<-;026,043a a 或⎩

⎨⎧<->-.026,043a a 即a ＜34

或a ＞3．

2．答案：B

解：连结BE ，分别过E ，F 作A C 的平行线交BC 于点M 和N ，则EM =1，BM =3，

MN =33134-=--．∴ 小三角形的周长是632=++MN MN MN cm ． 3．答案：C

解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、 （4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种．

4．答案：D

解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线1)1(22-+=x y 向下平移1个单位，

再向右平移2个单位，得到抛物线2)1(22--=x y ，而抛物线2)1(22--=x y 关

于x 轴对称的抛物线是2)1(22+--=x y ．

5．答案：A

解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同

的取法，故所求概率是3

2

64=．

6．答案：A

解： 经实验或按下述方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．

设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，

3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()12

1

321+=++++k k k ，应停在第

()p k k 7121

-+格，这里p 是整数，且使0≤()p k k 712

1

-+≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7，时，()p k k 712

1

-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜

k ≤10，设t k +=7（t =1，2，3）代入可得，

()p k k 7121

-+=()12

17++t t m ，由此可知，停棋的情形与t k =时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．

7．答案：B

解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k +1（k 为整数），分别代入原方程得方程

两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D ．

8．答案：C

解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2

×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图案个数是12×4=48．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．答案：5

12

解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h )，则5h =3×4，h =5

12

．

10．答案：35％或65％（答对一个给3分）

解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位

数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％．

11．答案：10

解：不难验证，a 2=b 2+c 2．所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边．

b sin B +

c sin C =a b b ⋅+a

c c ⋅=a b c 22+=a a 2

=a =10．

12．答案：007

2003

1

解：方程组()⎩⎨⎧++=-+=k x k y k kx y 1,1的解为⎩

⎨⎧-=-=.1,1y x 直线的交点是()1,1--． 直线1y kx k =+-，1y k x k =++（）与x 轴的交点分别是（

k

k

-1，0）、 （1

+-k k

，0）．11121+---⨯-⨯=k k k k S k =11121+-

k k ．所以 1232006S S S S +++

+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-++-+-+-00721006214131312121121 =

007

2003

100721121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 13．答案：

2

2

解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，

E

C

（第13题）

(第8题)