排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）

插板法（m为空的数量）

【基本题型】

有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？

”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，

【总结】

需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。

注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：

（1）这n个元素必须互不相异

（2）所分成的每一组至少分得一个元素

(3) 分成的组别彼此相异

举个很普通的例子来说明

把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?

问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36

下面通过几道题目介绍下插板法的应用

e 二次插板法

例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?

-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc

可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位

所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种

【基本解题思路】

将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

【基本题型例题】

【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？

解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。

【基本题型的变形（一）】

题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？

解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.

A．35 B．28 C．21 D．45

解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。

【基本题型的变形（二）】

题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s 值可以不同），问有多少种不同的分法？

解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。

【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？

解析：

编号1：至少1个，符合要求。

编号2：至少2个：需预先添加1个球，则总数-1

编号3：至少3个，需预先添加2个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2

则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里

所以C（11，2）=55（种）

【例】10 个学生中，男女生各有5 人，选4 人参加数学竞赛。

（1）至少有一名女生的选法种数为_______________。

（2）A、B 两人中最多只有一人参加的选法种数为___________

解法1：10 名中选4 名代表的选法的种类：C104, 排除4名参赛全是男生：C54 (排除法)C104 ----C54=205

解法2：选1女生时，选2个女生时，选3、4个女生时的选法，分别相加

真题

（2010年国考真题）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（） A.7 B.9 C.10 D.12

解析：每个部门先放8个，后面就至少放一个，三个部门则要先放8×3=24份，还剩下30-24=6份来放入这三个部门，且每个部门至少发放1份，则C（5,2）=10

插空法

插空法就是对于解决某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。首要特点就是不相邻。下面举例说明。

一. 数字问题

【例】把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？

解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有

二. 节目单问题

【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

解析：-o - o - o - o - o - o - 六个节目算上前后共有七个空位，那么加上的第一个节目则有种方法；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有种方法；此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。

三. 关灯问题

【例】一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位（用不亮的3盏灯去插剩下亮的6盏灯空位，就有7个空位）共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。

四. 停车问题

【例】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起（剩下4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。

五. 座位问题

【例】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？

解法：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。