安徽省高考理科数学之概率统计大题集锦

安徽省高考理科数学之概率大题集锦

1（2006•安徽18）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．（Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．（要求写出计算过程或说明道理）

解：（Ⅰ）ξ的分布列：

（Ⅱ）由前一问的分布列可知每一个变量和变量所对应的概率，用期望的公式写出期望的表达式，计算出结果

2（2007•安徽20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；

（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）．

解：（Ⅰ）由题意知以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，6，得到ξ的分布列为：

ξ0 1 2 3 4 5 6

P

∴数学期望为Eξ=（1×6+2×5+3×4）=2．

（II）所求的概率为P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥2）=．

3（2008•安徽19）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳

的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为．

（Ⅰ）求n，p的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

解：（1）由题意知本题符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到，

Eξ=np=3，（σξ）2=np（1﹣p）=，得1﹣p=，从而n=6，p=

∴ξ的分布列为

（2）记”需要补种沙柳”为事件A，则P（A）=P（ξ≤3），得。

4（2009•安徽17）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受

A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，

B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．

解：由题意知X 的可能取值为1 1 2 3

X 的均值为EX=1×+2×+3×=．

5（2010•安徽21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为．

现设n=4，分别以a 1，a 2，a 3，a 4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a 1|+|2﹣a 2|+|3﹣a 3|+|4﹣a 4|，

则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．

（Ⅰ）写出X 的可能值集合；

（Ⅱ）假设a 1，a 2，a 3，a 4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；

（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，

① 试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ② 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

解：（1）X 的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个， ∴a 2，a 4中的奇数个数等于a 1，a 3中的偶数个数，∴|1﹣a 1|+|3﹣a 3|与|2﹣a 2|+|4﹣a 4|的奇偶性相同，∴X=（|1﹣a 1|+|3﹣a 3|）+（|2﹣a 2|+|4﹣a 4|）必为偶数，X 的值非负，且易知其值不大于8，∴X 的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X 的值，在等可能的假定下，得到P （X=0）=，P （X=2）=，P （X=4）=，P （X=6）=，P （X=8）=。

（3）①首先P （X ≤2）=P （X=0）+P （X=2）==

，

将三轮测试都有X ≤2的概率记做P ，有上述结果和独立性假设得P=

=， ②由于P=＜是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X ≤2的结果的可能性很小，∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．

6（2011•安徽20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p 1，p 2，p 3，假设p 1，p 2，p 3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q 1，q 2，q 3，其中q 1，q 2，q 3是p 1，p 2，p 3的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数学期望）EX ； （Ⅲ）假定l ＞p 1＞p 2＞p 3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为（1﹣p 1）（1﹣p 2）（1﹣p 3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．任务能被完成的概率为1﹣（1﹣p 1）（1﹣p 2）（1﹣p 3） （Ⅱ）X 的取值为1，2，3，P （X=1）=q 1，，P （X=2）=（1﹣q 1）q 2，P （X=3）=（1﹣q 1）（1﹣q 2）。EX=q 1+2（1﹣q 1）q 2+3（1﹣q 1）（1﹣q 2）=3﹣2q 1﹣q 2+q 1q 2