用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解

用数学归纳法证明不等式

1．用数学归纳法证明不等式

【知识点的认识】

1．数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：

（1）证明当n＝n0 时命题成立；

（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．

（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．

在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．

（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，

n0+2，…，是否正确．

在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．

完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．

3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）

②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．

③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．

④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．

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【解题方法点拨】

1、观察、归纳、猜想、证明的方法：

这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．

在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．

2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：

在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．

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