万有引力与航天专题复习

专题： 万有引力与航天

1.内容:２．公式：F =,其中G ＝Ｎ·m 2／ｋg 2,叫引力常量． 3．适用条件:

宇宙 速度 数值(km/s)

意义

第一宇宙速度 ７.９

卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度(最大环绕速度)．若７．9 km/ｓ≤ｖ

＜11．2 km/ｓ，物体绕运行(环绕速度)gR R

GM

v ==

1

第二宇宙速度 11.2

物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若１1.2 ｋm/s ≤v <16.7 km/ｓ,

物体绕运行(脱离速度)gR R

GM

v v 22212==

=

第三宇 宙速度

1６.７

物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km ／s ，物体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度)

1．轨道平面一定：轨道平面与共面.２．周期一定:与周期相同，即T =2４ ｈ. ３.角速度一定：与的角速度相同．

４．高度一定：由G 错误!＝m 错误!(Ｒ+ｈ）得同步卫星离地面的高度h ＝错误!－Ｒ.≈３.５6×107m

5．速率一定：v ＝错误! 6. 向心加速度大小一定()h R T v a n +⎪⎭

⎫

⎝⎛==2

2πω

万有引力定律应用的基本方法：

(1)把天体的运动看成匀速圆周运动,所需向心力由万有引力提供．

“万能”连等式:G ＼f(Mm,ｒ2)＝ma ｎ=ｍv

２ｒ

=mω2r ＝m (错误!)2r ＝m (2πｆ)2r

（2）不考虑中心天体的自转。 黄金代换式：

mg R GMm =2

(表面）， ()

/

2mg h R GMm =+（ｈ高处） 考向一：天体的质量M 、密度ρ的估算

(1)测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由G M ｍ

r

２＝ｍ(＼ｆ(２π,T ））2r ，可得

天体质量为:M ＝错误!.

该中心天体密度为：ρ＝错误!＝错误!=错误!（R 为中心天体的半径）． 当卫星沿中心天体表面运行时,r =R ，则ρ＝＼f(3π,G Ｔ2)． (２)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G 错误!＝mg ,故天体质量M =错误!, 天体密度ρ=错误!＝错误!＝错误!.

【例４】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.７倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为１.4小时，引力常量G ＝６．67×10-11 N·ｍ2/k ｇ2，由此估算该行星的平均密度约为（ ）

A.１.8×10３ k ｇ／m 3

B.5.6×1０3 ｋｇ／m 3Ｃ．1.1×104 ｋg ／m 3 D.2.９×10４

kg/m 3 考向二:卫星的运行和变轨问题 1．人造卫星的动力学特征

万有引力提供向心力.即G ＼f(Mm,ｒ2)ma ==m ＼f(v 2,r )=ｍrω２

=m （２πＴ

)2ｒma =

2.人造卫星的运动学特征 (1）向心加速度a :由ma r Mm G

=2得2

r GM

a =

,随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。 (2）由线速度v :由Ｇ＼f(M ｍ,r 2)=m v

２

r 得v = ＼r （＼f （GM,r )),随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。

（３）角速度ω:由G ＼f(Mm,r 2)=ｍω２

r 得ω=错误!，随着轨道半径的增加,卫星的角速度减小。 (4）周期T :由Ｇ错误!=ｍ错误!r 得T ＝2π错误!，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。

【例5】如图所示,a 、ｂ是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R 和2R （R 为地球半径)．下列说法中正确的是( )

A.a 、ｂ的线速度大小之比是 错误!∶1

B.a 、b 的周期之比是1∶2 2

Ｃ．ａ、b 的角速度大小之比是３ 错误!∶４ D.a 、b 的向心加速度大小之比是9∶4 ３．卫星的环绕速度和发射速度

不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度r

GM

v =

，其大小随半径的增大而减

小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大，即v 发射＞v 环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度. 4．人造地球卫星的超重和失重

(１)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动;在返回地面时，有一段减速运动.这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态.

(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时,由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态.在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生.因此,在卫星上的仪器,凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如:天平、水银气压计等）

５.卫星的变轨

卫星做匀速圆周运动时满足:G 错误!＝ma = m 错误!＝mrω２＝mr (错误!)２

当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力,卫星将做变轨运行.

（1)当ｖ增大时,所需向心力m 错误!增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动,脱离原来的

圆轨道,轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v = ＼r(GM

ｒ

）知其运行速度要减小,但重力势能、

机械能均增加.

(２)当卫星的速度突然减小时,向心力＼f （mv 2

,r ）减小,即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,进入新轨道运行时由v = ＼f （ＧM

r )知运行速度将增大,但重力势能、机械能均减少.（卫星的发射和回收就是利用了这一原理)

【例6】如图4-4-2所示,ａ、ｂ、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是（)

A.b 、c 的线速度大小相等,且大于a 的线速度

B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度