2014河北省石家庄市高三二模考试数学文试题和答案

2014年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试

数学文科答案

一、选择题

1-5 DCBAA 6-10ABADA 11-12CB

二、填空题

13． __(1,2)-___． 14． 230x y -+=

15． 503(61)5- 16． 43

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）由已知的等差中项和是A c a B b cos C cos cos 得

2bcosB=acosC+ccosA ……………………………2分

代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ,化简得

2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ，……………………………4分

所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在ABC ∆中，

sinB ,0≠3,21cos π==

B B 所以.…………………………………6分 （Ⅱ） 由b=3，及b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号。所以ac ≤3……………………………9分 所以4

33ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC …………………12分 18. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A 型节能灯的一级品的频率为0.04450.01650.3⨯+⨯= 所以生产A 型节能灯的一级品率的估计值为0.3。…………………4分

（Ⅱ）由条件知，生产B 型节能灯一个产品的利润大于0的概率当且仅当75≥k ,

由频率分布直方图知，75≥k 的频率为0.96，

所以生产B 型节能灯一个产品的利润大于0的概率估计值为0.96. …………………8分 生产100个B 型节能灯的平均利润为

()[]4422542-41001⨯+⨯+⨯⨯=2.68（元）…………………12分

19． 解：（Ⅰ）连接BD ，

在BCD ∆中，2BD AD =，

所以ABD ∆为等腰三角形，

又因为点E 是线段AB 的中点，

所以,DE AB ⊥所以,DE PE ⊥

又因为PE EB ⊥，所以PE ⊥平面BCDE ，

因为CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥， (2)

分

因为EG 为梯形ABCD 的中位线，且CD AD ⊥，

所以CD EG ⊥，

又PE EG E =，

所以CD ⊥平面PEG ，…………4分

又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PEG ⊥平面PCD ．…………5分

（Ⅱ）连接PA 、AC ，

易求得ACD S ∆=1PE =，

则==--ACD P PCD A V V 13ACD S PE ∆⋅3

3=…………7分 在PED ∆中，2PD AD ==，

连接EC ，则E C E ==，在PEC ∆中

2PC ==，

所以PD PC =，PCD ∆为等腰三角形，

在PCD ∆中，又知3=DC ，

所以PG ==

所以4

3921=⋅⋅=∆PG DC S PCD ，…………10分 记点A 到平面P D C 的距离为d ，由

d S V P C D P C D A ⋅⋅=∆-31得

13

1343==-PCD PCD A S V d ．…………12分 法2：由（1）知平面PEG ⊥平面PCD ，

且平面PEG 平面PCD PG =，

所以在Rt PEG ∆中点E 到PG 的距离EM 等于点E 到平面PDC 的距离，……7分

EP EG EM PG ⋅=22

3

123131()2⨯

==+，……9分 点A 到平面PDC 的距离413AD d EM EG =

⋅=．…12分 20.

解：（Ⅰ）设动点(,)P x y 因为3t a n t a n 4

P A B P B A ∠⋅∠= 所以3224

y y x x =+- ……………………2分 整理得22

1(2)43

x y x +=≠± 所以动点P 的轨迹方程为：22

1(2)43x y x +=≠±……………………..4分（无限制减1分） （Ⅱ）设点00(,)P x y 则220001(20)43x y x +=-<< 设过点P 的圆C 的两条切线的方程是:l 即

()020x -<<

令0x = 得……………………………………6分 因为直线l 与圆

相切，所以

即 所以

（*）…………………………………….8分 因为

（将（*）式代入，）.

………………………………………..10分

因为020x -<< 所以的取值范围)

2,3 …………………………..12分 21.解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0,)+∞

由21ln ()x f x x -'=

，令21ln 0x x

-=得ln 1x =，所以x e =。 当0x e <<时，21ln ()0x f x x -'=>；

当x e >时，2

1ln ()0x f x x -'=< 所以函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞上恒有

ln 1()11x f x x e =

-≤- 所以ln 1x x e ≤，故ln x x e ≤，当且仅当x e =时等号成立。 令2

21

e x e k =+，带入整理得222

112()ln()e e e k k k +⋅+>+ 方法2：欲证上式，只需证ln 2x x x e >-，即证ln 20x x x e -+>

令()ln 2g x x x x e =-+，则()ln 12ln 1g x x x '=+-=-

令()0g x '=得x e =，当x e >时()0g x '>，当0x e <<时()0g x '<

()ln 20g e e e e e =-+=

所以ln 2x x x e ≥-(当且仅当x e =时等号成立)

又对于k N *∈，2

1e e k +

>， 所以不等式222112()ln()e e e k k k +⋅+>+恒成立 22. 解：(Ⅰ) 因为四边形ACED 为圆内接四边形,所以,BDE BCA ∠=∠

又,DBE CBA ∠=∠所以BDE △∽BCA △，则BE DE BA CA

=. 在圆内接四边形ACED 中，CD 是ACE ∠的平分线，所以DE=AD ，

CA AD BA BE =， 而AD BE 3=，所以CA BA 3=.即AC AB 3=……………….5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 123==AC AB .而,3=AD 所以3=DE ，9=BD . 93==AD BE . 根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，所以12=BC ，3=-=BE BC EC .

在圆内接四边形ACED 中由于EC AD =，所以ACD EDC ∠=∠，DE//AC.

在等腰梯形ACED 中，易求得CD=21…………………………….10分

23.解：（1）l

的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为224x y +=，圆心(0,0)到直线l

的距离为2

，半径2

，由勾股关系得AB =………………5分