椭圆焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用

定理 在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.

y

F1 O F2 x

P

P

证明：记，由椭圆的第一定义得

在△中，由余弦定理得：

配方得：

即

由任意三角形的面积公式得：

.

同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立.

典题妙解

例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求

△的面积.

解法一：在椭圆中，而记

点P在椭圆上，

由椭圆的第一定义得：

在△中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

解法二：在椭圆中，，而

解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ）

A. B. C. D.

解：设，则，

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上.若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）

A. B. C. D. 或

解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又

，故答案选D.

金指点睛

1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（

）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为

（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6

3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值

为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D.

4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）

A．1 B． C． D．

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆

上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.

6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.

参考答案

1. 解：，.

故答案选D.

2. 解：设， ，，.

故答案选A.

3. 解：，设， ，

当△的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，，

.

故答案选D.

4． 解：，，，

又，

，从而.

故答案选C.

5. 解：设，则. ，

又，

，即.

解得：.

所求椭圆的标准方程为或.

6．解：设，.

，.

又，即.

或.

当时，，这时椭圆的标准方程为；

当时，，这时椭圆的标准方程为；

但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意.

故所求的椭圆的标准方程为.