2017年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）

一、选择题

1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x

轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32

1．【答案】D

【解析】因为F 是双曲线

C ：x 2－

y 2

＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P

3＝1，解得y P ＝±3，

所以P (2，±3)，|PF |＝3.

又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.

故选D.

2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2

m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M

满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)

2．【答案】A

【解析】方法一设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．

故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x

|y |1－3＋x |y |·

3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.

又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2

＝3－3y 2

m ，

则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m

2＝－ 3.

解得|y |＝2m

3－m

又0＜|y |≤m ，即0＜2m

3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.

对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.

方法二当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即3

m ≥3，解得0＜m ≤1.

当m ＞3时，焦点在y 轴上，

要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即m

3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.

3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(2，2)

C ．(1，2)

D ．(1,2)

3．【答案】C

【解析】由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1

a .

∴e 2＝

a 2＋1a 2＝1＋1

a 2

. ∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1

a 2＜2，

∴1＜e ＜ 2. 故选C.

4．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )

A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3 4．【答案】C

【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．

联立得方程组???

y ＝3(x －1)，

y 2＝4x ，

解得???

x ＝13

，y ＝－23

或???

x ＝3，y ＝2 3.

∵点M 在x 轴的上方，

∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，

∴N (－1,23)．

∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.

∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C.

5．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以

线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A ．

63 B ．33 C ．23 D ．13

5．【答案】A

【解析】由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab

a 2＋b

＝a ，解得a ＝3b

， ∴b a ＝13

，

∴e ＝c

a ＝a 2－

b 2a ＝

1－????b a 2

＝

1－??

??132＝6

. 6．(2017·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近

线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2

12＝1

B ．x 212－y 2

4＝1

C ．x 23－y 2

＝1

D ．x 2－

y 2

＝1 6．【答案】D

【解析】根据题意画出草图如图所示?

???不妨设点A 在渐近线y ＝b

a x 上.

由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b

a ＝tan 60°＝ 3.

又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－

y 2

＝1. 故选D.

7．(2017·浙江，2)椭圆x 29＋y 2

4＝1的离心率是( )

A ．

133

B ．

C ．23

D ．59

7．【答案】B

【解析】∵椭圆方程为x 29＋y 2

4＝1，

∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53.

故选B.

8．(2017·全国Ⅰ理，10)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为

( )

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10 8．【答案】A

【解析】因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．

由题意知直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1

k ，故直线

l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1

(x －1)．

由?????

y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，

得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4

k 2，x 1x 2＝1，

所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

1＋k 2·

???

?2k 2＋4k 22－4

＝4(1＋k 2)k 2

同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．

所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)

k 2＋4(1＋k 2)

＝4????1k 2＋1＋1＋k 2

＝8＋4?

???k 2＋1

k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1

k 2，即k ＝±1时，取得等号．

故选A.

9．(2017·全国Ⅱ理，9)若双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4

所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2

B ． 3

C ． 2

D ．233

9．【答案】A

【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b

a x ，

圆的圆心为(2,0)，半径为2，

由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式，得|2b |

a 2＋

b 2

＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝c

a ＝

c 2a 2

＝1＋b 2

2＝2. 故选A.

10．(2017·全国Ⅲ理，5)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝

2x ，且与椭圆x 212＋y 2

3＝1有公共焦点，则C 的方程为( )

A ．x 28－y 2

10＝1

B ．x 24－y 2

5＝1

C ．x 25－y 2

4＝1

D ．x 24－y 2

＝1

10．【答案】B 【解析】由y ＝

52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 2

3＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，

可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 2

5＝1.

故选B.

11．(2017·全国Ⅲ理，10)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以

线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．

B ．

C ．

D ．13

11．【答案】A

【解析】由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，

∴圆心到直线的距离d ＝2ab

a 2＋

b 2

＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝

1－????b a 2＝

1－??

??132＝6

. 故选A.

12．(2017·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过

F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2

4＝1

B ．x 28－y 2

8＝1

C ．x 24－y 2

8＝1

D ．x 28－y 2

＝1

12．【答案】B

【解析】由题意可得c

a ＝2，即c ＝2a .

又左焦点F (－c,0)，P (0,4)，

则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c 0＋c

，化简即得y ＝4

c x ＋4.

结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝b a x 平行，则4c ＝b

，即4a ＝bc .

由????

c ＝2a ，

4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，

解得?

????

a 2＝8，

b 2＝8，

故双曲线方程为x 28－y 2

8＝1.

故选B. 二、填空题

1．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝3

5x ，则a ＝________.

1．【答案】5

【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

＝1(a ＞0)，

∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3

x .

又双曲线的一条渐近线方程为y ＝3

x ，∴a ＝5.

2．(2017·北京文，10)若双曲线x 2

－y 2

＝1的离心率为3，则实数m ＝________.

2．【答案】2

【解析】由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c

a ＝1＋m ＝3，

∴1＋m ＝3，∴m ＝2.

3.(2017·北京文，12)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 3．【答案】6

【解析】方法一根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．

由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →

|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ

AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2，

所以AO →·AP →

＝2(x ＋2)＝2x ＋4.

点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.

方法二如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →

＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，

当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．

4．(2017·天津文，12)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________．

4．【答案】(x ＋1)2＋(y －3)2＝1

【解析】由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.

由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠F AC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.

所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.

5.(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点

为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 5．【答案】y ＝±2

【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由?????

x 2

a 2－y 2

b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.

又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，

∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p

2，∴y 1＋y 2＝p ，

∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22

，

∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2

x .

6.(2017·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2

＝1的右准线与它的两条渐近线

分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 6．【答案】2 3

【解析】如图所示，双曲线x 23

－y 2

＝1的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以|F 1F 2|＝4.

双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝a 2c ＝32，

渐近线方程为y ＝±3

x .

由???

x ＝32

，y ＝3

得P ???

?32，32.

同理可得Q ????32，－3

∴|PQ |＝3，

∴S 四边形12F PF Q ＝12·|F 1F 2|·|PQ |＝1

×4×3＝2 3.

7．(2017·江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →

≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 7．【答案】[－52，1]

【解析】方法一因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．因为A (－12,0)，B (0,6)，

所以P A →＝(－12－x ，－50－x 2)或P A →

＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →

＝(－x,6＋50－x 2)．因为P A →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，

即2x ＋5≤50－x 2.当2x ＋5＜0，即x ＜－5

2时，上式恒成立．

当2x ＋5≥0，即x ≥－5

2时，(2x ＋5)2≤50－x 2，

解得－5

≤x ≤1，故x ≤1.

同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．方法二设P (x ，y )，

则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →

＝(－x,6－y )． ∵P A →·PB →≤20，

∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.

如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，

∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．

由?????

x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0

得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，

∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．

8．(2017·全国Ⅰ理，15)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，

b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________． 8．【答案】233

【解析】如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b

x ，即bx －ay ＝

0，

∴点A 到l 的距离d ＝

a 2＋b

. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝

32MA ＝32b ，即ab a 2＋b

2＝3

2b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c

＝

a 2＋

b 2a 2＝23

9．(2017·全国Ⅱ理，16)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 9．【答案】6

【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .

由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝1

2|FO |＝1.

又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.

由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 10．(2017·北京理，9)若双曲线

x 2－

y 2

＝1的离心率为3，则实数m ＝________.

10．【答案】2

【解析】由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c

a ＝1＋m ＝3，

∴1＋m ＝3，解得m ＝2.

11．(2017·北京理，14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.

①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________． ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．

11．【答案】Q 1 p 2

【解析】设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.

因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．

又p 1＝yA 1＋yB 1xA 1＋xB 1＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜

率，

因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．

12．(2017·山东理，14)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与

焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 12．【答案】y ＝±2

【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????

x 2a 2－y 2

b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.

又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，

∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p

2，即y 1＋y 2＝p ，

∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22

x .

三、解答题

1．(2017·全国Ⅰ文，20)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2

4上两点，A 与B 的横坐标之和为4.

(1)求直线AB 的斜率；

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．

1．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22

4，x 1＋x 2＝4，

于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2

4＝1.

(2)由y ＝x 24，得y ′＝x

设M (x 3，y 3)，由题设知x 3

2＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．

设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，

故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2

4，得x 2－4x －4m ＝0.

当Δ＝16(m ＋1)>0，

即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).

由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.

2．(2017·全国Ⅱ文，20)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22

＋y 2＝1上，过M 作x 轴的

垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →

. (1)求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →

＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

2．(1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →

＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →

得x 0＝x ，y 0＝22y .

因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2

2＝1.

因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明由题意知F (－1,0)．

设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →

＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →

＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，

所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

3．(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；

(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 3．(1)解不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，

故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，

所以不能出现AC ⊥BC 的情况．

(2)证明 BC 的中点坐标为????x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －1

2＝x 2????x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，

所以AB 的中垂线方程为x ＝－m

联立???

x ＝－m 2

，

y －12＝x 2

???

?x －x 2

2，

又x 2

＋mx 2

－2＝0，可得???

x ＝－m

2，

y ＝－1

所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为????－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.

故圆在y 轴上截得的弦长为2

r 2－????m 22

＝3，

即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．

4．(2017·北京文，19)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 4．(1)解设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

由题意得????

a ＝2，c a ＝3

2，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)证明设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝

m ＋2

，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2

n ，

所以直线DE 的方程为y ＝－

m ＋2

(x －m )，直线BN 的方程为y ＝n

2－m

(x －2)．

联立???

y ＝－m ＋2

(x －m )，y ＝

2－m (x －2)，

解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)

4－m 2＋n 2

由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－4

5n .

又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝2

5|BD |·|n |，

S △BDN ＝1

|BD |·|n |，

所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.

5．(2017·天津文，20)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E

的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 2

(1)求椭圆的离心率；

(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c

2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，

PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . ①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．

5．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b 2

又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝1

又因为0

(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1

由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y

c ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联

立，

可解得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c

m ＋2，

即点Q 的坐标为?

??(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.

由已知|FQ |＝3c 2，有??????(2m －2)c m ＋2＋c 2＋????3c m ＋22＝????3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为3

②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 2

2＝1.

由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立????

3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整

理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，

解得x ＝－13c

7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ????c ，3c 2，进而可得|FP |＝

(c ＋c )2＋????3c 22＝5c

2，

所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c

＝c .

由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .

因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan ∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN 的面积为1

2|FQ ||QN |＝

27c 2

. 同理△FPM 的面积等于75c 2

由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 2

32＝3c ，

整理得c 2＝2c ，又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 2

＝1.

6．(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率

为

，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2. (1)求椭圆C 的方程；

(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．

6．解 (1)由椭圆的离心率为2

，得a 2＝2(a 2－b 2)，又当

y ＝1时，x 2＝a 2－

a 2

b 2，得a 2

－a 2

2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 因此椭圆方程为x 24＋y 2

2＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得????

y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，

得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0. 由Δ>0，得m 2<4k 2＋2，(*) 且x 1＋x 2＝－4km

2k 2＋1，

因此y 1＋y 2＝2m

2k 2＋1，

所以D ???

?－2km 2k 2＋1，m

2k 2＋1.

又N (0，－m )，

所以|ND |2＝????－2km 2k 2＋12＋???

2k 2＋1＋m 2，

整理得|ND |2＝

4m 2(1＋3k 2＋k 4)

(2k 2＋1)2

因为|NF |＝|m |，

所以|ND |2|NF |2＝4(k 4＋3k 2＋1)

(2k 2＋1)2＝1＋8k 2＋3(2k 2＋1)2.

令t ＝8k 2＋3，t ≥3，故2k 2＋1＝t ＋14

所以|ND |2|NF |2

＝1＋16t (1＋t )2

＝1＋16t ＋1t

＋2.

令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1

t 2.

当t ≥3时，y ′>0，

从而y ＝t ＋1

t 在[3，＋∞)上单调递增，

因此t ＋1t ≥10

，

当且仅当t ＝3时等号成立，此时k ＝0，所以|ND |2

|NF |2

≤1＋3＝4.

由(*)得－2

. 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥1

2，

所以θ的最小值为π

6，

从而∠EDF 的最小值为π

3，

此时直线l 的斜率是0.

综上所述，当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π

7．(2017·浙江，21)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ????－12，14，B ????32，9

4，抛物线上的点P (x ，y )????－12

＜x ＜3

2，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .

(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．

7．解 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－

4x ＋12＝x －1

2，

因为－12＜x ＜32

所以直线AP 斜率的取值范围为(－1,1)．