典型例题12

典型例题

例1 已知，试用表示其他五种三角函数．

分析：本题首先应注意对进行分类，再利用同角三角函数的关系求之．

解：由于，且，所以其他五种三角函数都有意义．

（1）当在第一、二象限时，

，，，

，．

（2）当在第三、四象限时，

，

，，

，．

说明：解决此类问题时，应注意尽可能地确定所在的象限，以便确定三角函数的符号．另外，在用一个角的三角函数值表示其他几个三角函数值时，应尽可能少地使用平方关系．

例2 已知，求的值．

分析：本题的解题思路入口处较宽，下面给出一种化切为弦的求法．

解：将已知等式两边平方得．

由于，所以，，从而，故

．

解方程组解得

故．

说明：对于本题还可以有其他多种解法，有兴趣的读者不妨一试，但值得注意的是，对本题如若解题时不很细主，则很容易发生误解，如以下这种解法：

由．

即，解得或．

你能看出其中的错误吗？

例3 化简．

分析：对本题一般可采取化切为弦的办法进行化简．

解：原式

说明：化简三角函数式所得的最后结果，应满足以下要求：①函数的种类要最少；②项数要最少；③函数次数要最低；④能求出数值的要求出数值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．

例4 求证．

分析：对本题，可多角度地探究其证法．

证法一：左边

右边．

证法二：右边－左边

证法三：命，，消得，即，

左边右边．

证法四：构造关于的方程，即，解之得，将其一根代入第一个方程，即有

．

说明：在本题的上述四种不同的证法当中，均体现了一种转化与化归的数学思想方法．