八年级数学上册 2_6 实数学案(无答案)(新版)北师大版
2021 2021年(秋)八年级数学上册2.6实数教案新版北师大版 doc
2021 2021年（秋）八年级数学上册2.6实数教案新版北师大版doc----278cdb59-6ea1-11ec-97e1-7cb59b590d7d2021-2021年（秋）八年级数学上册2.6实数教案新版北师大版doc2022-2022（秋季）八年级数学第1卷2.6实数教案新版北京师范大学版【知识与技能】1.理解实数的含义、对数值、倒数和实数范围内的绝对值的含义，并能按要求对实数进行分类2.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.3.理解数轴上的点逐个对应实数，并能够使用数轴上的点来表示无理数[过程和方法]在学习有理数的基础上用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.【情感态度】通过复习旧知识和探索新知识，学生可以生动地学习，大胆地猜测，并与同学有合作意识【教学重点】理解实数的含义，能够对实数进行分类，明确数字轴上的点与实数一一对应，并能够使用数字轴上的点来表示无理数【教学难点】无理数由数轴上的点表示一、创设情境，导入新课我们以前学过有理数和无理数。
什么是有理数？什么是无理数？请给出一个例子，在相应的集合中填入以下数字：【教学说明】在已学的有理数和无理数的基础上，顺其自然地得出实数的概念.学生很容易接受.[结论]有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。
2.思考、探索和获取新知识1.在实数概念基础上对实数进行不同分类.和有理数一样，无理数也可以分为正数和负数。
例如，3是正反射，-π是负反射：正有理数：负有理数：有理数：无理数：（2）0属于正数吗？0属于负数吗？（3）除了被划分为有理数和无理数之外，实数如何被划分？【教学说明】“思考”是使学生明确实数有两种不同的分法，加深了对概念的理解.【归纳结论】实数还可以分为正实数、0、负实数.2.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义.在实数范围内，对数值、倒数和绝对值的含义是否与有理数范围内的含义完全相同？【教学说明】在有理数的相反数、倒数、绝对值意义的基础上学习实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，毫无疑问地给了学生一把拐杖，为后面的学习起了导航作用.3.有理数的算法和运算法则仍然适用于实数范围我们学习了有理数范围内的算法和算法。
八年级数学上册2.6实数教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.6实数教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的主题是实数，是北师大版八年级数学上册第2.6节的内容。
实数是数学中的基础概念，包括有理数和无理数。
学生在学习实数之前已经掌握了有理数的相关知识，本节课主要是让学生了解无理数的概念，以及实数的分类。
教材内容由浅入深，从实数的定义到实数的分类，再到实数的运算，有助于学生系统地掌握实数的相关知识。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了有理数的相关知识，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于无理数的概念和性质，学生可能比较难理解，需要通过实例和生活中的实际问题来进行解释。
此外，学生可能对实数的分类和运算有一定的困惑，需要通过大量的练习来进行巩固。
三. 教学目标1.了解无理数的概念，知道无理数和有理数的区别。
2.掌握实数的分类，能够正确判断一个数是实数还是非实数。
3.掌握实数的运算规则，能够进行实数的加减乘除运算。
四. 教学重难点1.无理数的概念和性质。
2.实数的分类。
3.实数的运算规则。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、练习法、小组合作法等教学方法。
通过讲解实数的定义和性质，让学生了解无理数和有理数的区别；通过案例分析，让学生理解实数的分类；通过大量练习，让学生掌握实数的运算规则。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板、粉笔等教学用具。
2.相关的案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实际问题来引入本节课的主题——实数。
例如：“小明家距离学校2.5公里，他每分钟走50米，问小明需要多少分钟才能到学校？”让学生思考，引出实数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解实数的定义和性质，让学生了解实数包括有理数和无理数。
通过PPT展示实数的分类，让学生掌握实数的分类。
3.操练（10分钟）让学生进行实数的运算练习，例如：2+3√2、5-√3等。
让学生在练习中掌握实数的运算规则。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生讨论实数的运算规则，以及实数的分类。
八年级数学上册2.6.1实数教学案(新版)北师大版
。 ，它的绝对值是 ，
2．想一想：a 是一个实数，它的相反数是 当 a≠0 时，它的倒数是 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： （1） 7 ； （2） 3 8 ； （3） 49 ．
B （三）如图所示，认真观察，探讨下列问题： A -2 -1 0 1 2
2
议一议： （1）如图，OA=OB，数轴上 A 点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？ （2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？ 总结： （1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每 一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的； （2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
1
有理数 实数 无理数
练习 2．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？
…
…
正数集合
负数集合
练习 3： 把下列各数填在相应的集合里：
1 3
3.1 .02020020002…， 2 ，－π ， 3 8 ， 36 ， 3 25 ， … … … … …
π 。 2
整数集合 ｛ 分数集合｛ 负分数集合｛ 有理数集合｛ 无理数集合―｛
｝ ｝ ｝ ｝ ｝
（二） 、 在有理数中，有理数 a 的的相反数是什么，不为 0 的数 a 的倒数是什么。 在实数范围内，相反数、倒数、绝对 值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、 绝对值的意义完全一样。 例如， 2 和
2 是互为相反数， 3 5 和 3
1 5
互为倒数。
练习： 1．3—π 的绝对值是
实数
学 科 数学 课题 实数（一） 授课教师 了解实数意义，能对实数进 行分类，明确数轴上的点与 实数一一对应并能用数轴 上的点来表示无理数 了解实数的意义，能对实数按要求进 教学 目标 行分类。了解实数范围内，相反数、倒数、 重点 绝对值的意义。了解数轴上的点与实数一 一对应，能用数 轴上的点来表示无理数 德育 目标 训练学生多角度思维，培养和发展学生的 合作意识。 用数轴上的点来表示无理 数。
2.6实数2-2021-2022学年八年级上册初二数学(教案)(北师大版)
在今天的实数教学中，我发现学生们对于实数的概念和性质的理解存在一些困难。首先，实数的定义特别是无理数的概念对于他们来说较为抽象，需要通过更多的实例和直观的演示来帮助他们形象地理解。例如，我可以通过展示无限不循环小数的具体例子，让学生们更直观地感受到无理数的特性。
在讲授过程中，我注意到实数运算的规则和大小比较是学生们容易混淆的地方。针对这一点，我采用了分类讲解和典型例题的方式，希望这样能够帮助他们理清思路，但效果似乎并不如预期。未来，我可能需要设计更多的互动环节，让学生们在实际操作中掌握这些规则。
最后，我意识到在课程结束时，学生们的疑问并未完全解决。在未来的教学中，我需要更加注重课堂上的即时反馈，及时解答学生们的疑问，确保他们能够真正理解并掌握实数的知识。
（2）无理数的认识：理解无理数的概念，掌握无理数的表示方法，如无限不循环小数。
举例：整数之比，且其小数部分是无限不循环的。
（3）实数的性质和运算：熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，以及运算规律。
举例：讲解实数运算时，通过具体例题演示运算方法，强调实数运算的法则和性质。
3.增强学生的数学应用意识：通过实数在实际问题中的应用，引导学生学会用数学知识解决生活中的问题，培养数学应用意识。
4.培养学生的数形结合观念：让学生在数轴上表示实数，理解实数与数轴的关系，培养数形结合的数学观念。
5.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和课堂互动中，鼓励学生积极参与，学会倾听他人意见，提高合作交流能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解实数的基本概念。实数包括有理数和无理数，它是数学中最为广泛的一类数。实数在解决实际问题中具有重要作用，如在测量、计算等方面。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以圆的周长和面积为实例，展示无理数π在实际中的应用，以及实数如何帮助我们解决问题。
北师大版八年级数学 上册导学案：2.6-1实数(无答案)
丹东市二十四中学八年级数学上导学案2.6实数（1）一、学习准备：1．数轴的三要素有、、。
2．-19的相反数是，绝对值是，倒数是；π的相反数是，绝对值是，倒数是；-的相反数是，绝对值是，倒数是；73．一个正方形的边长为1厘米，则它的对角线长为厘米。
4．用尺规作图作一条线段AB等于已知线段cC二、学习目标：1、了解实数的概念和意义，能按要求对实数进行分类。
2、了解有理数的运算规律在实数范围内仍然适用。
三、学习提示：1 、活动一：合作探究（1）、小组讨论，完成书P38引例，得出实数的概念。
（2）、“议一议”在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗？结合预备知识中的第２题寻求答案并完成“想一想”。
2、活动二：合作探究以同桌为单位，利用尺规作图在数轴上找到2的位置，并小组讨论探索实数与数轴上点之间的关系。
练习1、P39随堂练习1~3四、学习小结：你有哪些收获？五、夯实基础：1、判断正误（1）、不带根号的数都是有理数……………………………………（ ） （2）、带根号的数都是无理数………………………………………（ ） （3）、无理数都是无限小数…………………………………………（ ） （4）、无限小数都是无理数…………………………………………（ ） 2、在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________. 3、下列各组数互为相反数的是（ ）A.-2与22）（-B.-2与-21C.-2与38-D.2-与２ 4、任何一个实数在数轴上都有一个___与它对应，数轴上任何一个点都对应着一个_______.5、下面说法中正确的是( )(1)任何实数都有它的倒数 (2)不论a 是什么实数,2a 永远大于零 (3)一个实数的平方,不一定大于原数 (4)有理数不包含无理数，无理数也不包含有理数 A ，0个 B,1个 C ，2个 D ，3个 6、已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________. 六、能力提升：在数轴上作出表示5的点：评价反思 ： 自我 评价 反思学习态度 A B C D 学习效果 A B C D 合作情况 ABCD尚需改进书海浩瀚，扑进去其乐无穷。
八年级数学上册 实数二学案 北师大版
八年级数学上册实数二学案北师大版
二、小组学习：
1、以小组谈自己的收获并解决疑难（互帮互助）
2、讨论：①＝（ａ≥０，ｂ≥０的理由是什么？）②＝（ａ≥０，ｂ＞０的理由是什么？）
三、展示反馈(亮出你的风采！)
1、化简(1)
(2)
(3)（2＋2）（２－2）⑷（２－１）２⑸（-2）xx（+2）2、下列说法正确吗?若不正确，请说明理由、① ===6 （）② ==3（）
3、如图，小正方形的边长为1，求ABC面积
四、拓展提升（相信自己）① ②(+)2 ③-21 ④ ⑤(-3)(3+)学习目标：了解有理数的运算法则在实数范围内适用并用其计算重点：能够利用法则进行化简难点：熟练地运用运算法则
一、自主学习（有理数的运算法则和运算律在实数范围内适用吗？让我们一起研究吧！）
（一）自主指导（相信自己潜力无穷）
1、判断正误：
①３＋４＝（３＋４）（
）②=（）③＝（）（）若正确。
思考它们是什么运算律，并用字母表示：①
②
③
2、完成５７页的“做一做”并体会它们之间有什么运算规律
3、精读５８页的运算法则，并思考ａ，ｂ的取值范围
4、认真阅读５８页的例１、再次体会运算法则的应用注意书写过程
（二）尝试练习：化简下列各式(1)
(2)
(3)（１＋）（２－）⑷（２－１）２
（三）自我小结：整理一下，你学到了哪些知识？感悟到了什么？还存在哪些问题？写在中缝内、教学反思（疑惑）。
北师大版-数学-八年级上册-数学2.6实数 导学案
2.6实数学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类．2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义．3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数．【重点难点】1、了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数．2、用数轴上的点来表示无理数．知识概览图定义：有理数和无理数统称为实数分类：(1)按定义可分为有理数和无理数；(2)按性质符号可分为正实数、零、负实数实数与数轴的关系实数大小的比较法则实数的运算法则和运算律新课导引【问题链接】你能在数轴上找到表示2的点吗?【问题探究】如图(1)所示，将两个边长为l的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2．【点拨】2(2)所示．教材精华知识点1 实数实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类．①按定义分类：实数可分为有理数和无理数．实数正整数 正分数零负整数 负分数正无理数 负无理数②按实数的性质符号分类：实数可分为正实数、零、负实数．拓展 (1)无理数是指无限不循环小数，并不是带根号的数都是无理数，4，38-等都是有理数，无理数中不包括0．(2)数的范围从有理数扩充到实数后，要注意有理数与无理数的本质区别．探究交流 (1)任意一个有理数或无理数都是实数吗? (2)任意一个实数不是有理数就是无理数吗?点拨 有理数和无理数统称为实数. (1)任意一个有理数或无理数都是实数．(2)任意一个实数不是有理数就是无理数．知识点2 实数的有关概念和性质 有关概念． 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用．①相反数：a 与-a 5与5互为相反数． ②绝对值：a (a ＞0) 正实数的绝对值等于它本身．如330(a ＝0) 0的绝对值是0．如|0|＝0．-a (a ＜0) 负实数的绝对值等于它的相反数．如|3-π|＝π-3．③倒数：如果a 表示一个非零数，那么a 与1a (a ≠0)3737互为倒数．有关性质．①a 与b 互为相反数⇔a +b ＝0． ②a 与b 互为倒数⇔ab ＝1． ③|a |≥0．④互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a |＝|-a |．⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数． 知识点3 实数和数轴上的点的一一对应关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每——个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的．例如：如图2-5所示，四边形OCAD 是边长为l 的正方形，根据勾股定理我们知道它的对角线OA 2O 为圆心，OA 长为半径画弧，交数轴于点A ′，A ″，则A 2，A ″表示的数为2实数有理数 正有理数负有理有限小数或无限循环小数小数无理数无限不循环小数|a |＝拓展 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数． 知识点4 实数大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用．法则1：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．法则2：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．知识点5 实数的运算法则和运算律有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序.实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的．探究交流，对吗?点拨 不对．≈1.414 1.732≈2.236， 3.146．所.知识点6 无理数的乘除法法则（1a ≥0,b ≥0）.（a ≥0,b ＞0）.（2）ba =ba（a ≥0,b>0）.==2． 知识点7 最简无理数最简无理数必须同时满足下列条件：①被开方数的因数是整数；②被开方数中不含能开得尽方的因数；③分母中不含根号．(a ≥0，b ≥0)(a ≥0，b ≥0)化简无理数．知识拓展 无理数的计算结果必须是最简无理数，如＝＝2，=知识点8 实数中的非负数的形式及性质(1)形式：①|a |≥0；②a 2≥00(a ≥0)．(2)性质：①非负数有最小值零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．b +2|+(c -3)2＝0，则a ＝1，b ＝-2，c ＝3．知识点9 实数中的无理数的常见类型(1) (2)圆周率π及含有π的数，如3π-1． (3)看似循环，但实质上不循环的无限小数，如0.12345678910111213…，0．1010010001…．拓展 带根号的数不一定是无理数，如 4是有理数；不带根号的数也可能是无理数，如π等．课堂检测基本概念题1、把下列各数填人相应的集合内.0，-π2，-4，0.31，-1.2345…．(1)有理数集合：{ …)； (2)无理数集合:{ …}；(3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{ …}．2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值．；(3)基础知识应用题3、比较下列各对实数的大小．-3.1；(2)π和3．14；．4、化简．)；2； 143÷综合应用题5、已知s ，t 为实数，且(4s -1)2+13|t +2|＝0，则实数s 3-1t 的倒数的相反数是多少?6、设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式x 2+2y y ，求x -y 的值．探索创新题7，你能从中找出计算的规律吗?如果将根号内的2换成10，那么这种规律是否仍然成立?体验中考1、如图2-7所示，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是 ( ) A ．a +b ＞0 B ．ab ＞0 C ．a -b ＞0 D ．|a |-|b |＞02 ( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间3、计算(16)-1-20090学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 由定义先找出无理数，填入无理数集合，其余是有理数．再按正、负分类，填入相应的集合，注意0既不是正数，也不是负数．解：（1）{0，-40.31，…} （2）π 1.23452⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪⎩⎭…，….（3）20.313⎫⎪⎬⎪⎭，， (4)π4 1.23452⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，，…，….【解题策略】归类法：把事物按某些特性进行归类．进行归类时要注意以下几点：(1)不重复，即同一事物不能归到两个类别中．(2)不遗漏，即某一事物在各类别中不能都找不到，如实数包括正实数、负实数，这种分类就把0给漏掉了．(3)非对等级别的事物不能并列在一起，如实数分为整数、分数、无理数，整数和分数与无理数不是同一对等级别上的数，所以不能这样分类．2、分析本题主要考查相反数、倒数和绝对值的意义．解：的相反数是.(3) -310，倒数是103，绝对值是310．3、分析按实数大小的比较法则进行比较，同时也要采取一些技巧．解：(1)∵3．12＝9．61＜10，∴＞|-3.1|，∴-3.1(2)∵在数轴上表示π的点在表示3．14的点的右边，∴π＞3.14．(3)∵12＜18，∴32．【解题策略】比较两个实数的大小，可以直接利用法则，也可以利用平方法、移动因式法、作商法、作差法等，至于选用哪种方法，取决于这两个数的特征．4、分析运用运算法则进行化简即可，但要注意书写步骤．解：(1)原式.(2)原式22=12-18=-6．(3)原式)2-2×2＝＝.(4)原式.规律·方法实数的运算可以运用公式，可在多种途径中选择较为简便的方法计算．5、解：因为s，t为实数，(4s-1)2+13|t+2|＝0，且(4s-1)2≥0，13|t+2|≥0，所以4s-1＝0，t+2＝0，所以s＝14，t＝-2，所以s3-1t=(14)3-12-=3364．所以s 3-1t 的倒数的相反数为-3364．【解题策略】 任意实数的平方是非负数，任意实数的绝对值是非负数．若几个非负数的和为零，则这几个非负数分别等于零．由此可求得s ，t 的值．6、解：因为x ，y 是有理数，由题意，得2217,x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩所以2217,4.x y y ⎧+=⎨=-⎩解得5,4.x y =⎧⎨=-⎩或5,4.x y =-⎧⎨=-⎩所以x -y =9或x -y ＝-1．【解题策略】 本题好像由一个等式不能求出两个未知数x ，y 的值，但实际上运用实数运算规律可求解．因为x ，y 都是有理数，它的加、减、乘、除、乘方运、算结果仍然是有理数，有理数与无理数的乘除的结果是无理数，而无理数的加、减、乘、除、乘方运算的结果不一声是无理数(如π-π＝0)，所以等式左边的有理数与右边的有理数一定相等，左边的无理数与右边的无理数一定相等．由此可得关于x ，y 的方程组，求解即可求得x ，y 的值，进而求得x -y 的值．7、分析 通过观察发现，这几个数的被开方数都是幂的形式，底数都是2，变化的是幂的指数和根指数，因此应从变化中寻找规律．解2362422222422822=======，，2336933322422822========= 通过以上计算可以看出，计算的规律是：被开方数的幂指数与根指数的比值为所得结果的幂指数(底数是被开方数的底数)．如果将2换成10，这种规律仍然成立． 体验中考1、分析 由图可知0＜a ＜l ，b ＜-1，从而可知C 正确．故选C.2、分析 ＋3＝12，∴3＜4．故选C ．3、解：(16)-1-20090＝5．规律·方法 实数的混合运算，要先通览全题，再选择适当的方法及运算律运算-。
八年级数学上册2实数教学案新版北师大版
第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?探究活动[过渡语]我们研究一下下面的问题.1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方 ,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.[过渡语]前面的问题中,我们都不能用有理数来表示,再看下面的问题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[过渡语]我们所学的有理数已经不够用了,需要再扩大数的范围,先在数轴中感受一下.轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数.假设a,b是两个有理数,且a<b,在a,b两数之间插入一个数为.【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.;(3)0..4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB,BC,AC 略(解析:AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.)2.(解析:答案不唯一,如插入a和b正中间的数.)3.解析:(1)0.6=; (2)设0.=x,则10x=7.,∴9x=7,从而x=;(3)设0.=x,则100x=34.,∴99x=34,从而x=.解:(1)0.6=. (2) 0.. (3) 0..4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE 的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.[过渡语] 上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示. 一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a 面积S 1<a <2 1<S <4 1.4<a <1.5 1.96<S <2.25 1.41<a <1.42 1.9881<S <2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<S <2.0022251.4142<a <1.41431.99996164<S <2.00024449【思考】 a 的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数. 【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,,,-,.【答案】3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0..分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图]通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-, 0.,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-,0.;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数的形式(q≠0,p,q为整数且互质),而无理数不能.[设计意图]通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展]确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:1.确定正数x的整数部分.根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<5<32,即22<x2<32,所以2<x<3,因此x的整数部分为2.2.确定x的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为=6.5>5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.(2)设误差为k(k必为一个纯小数,且k可能为负数),则x=2.2+k,所以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x2<2.32,所以2.2<x<2.3,所以十分位上的数字为2.数1.下列说法中正确的是()A.无限小数都是无理数B.有限小数是无理数C.无理数都是无限小数D.有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是()A.面积为25的正方形B.面积为的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形解析:52=25,,(1.2)2=1.44.故选C.3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?解:由勾股定理得: a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.4.已知-,5,-1.,π,3.1416,,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-,5,-1.,3.1416,,0,42,(-1)2n.(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.,-,18.无理数有:-π.习题2.2(教材第25页)1.解:-,3.9,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.2.提示:(1)x不是有理数. (2)x≈3.2. (3)x≈3.16.3.(1)✕(2) (3)✕(4)✕4.解:,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.1.通过与“加法的逆运算是减法、乘法的逆运算是除法”作类比,让学生体会平方和开方互为逆运算的同时,领会数学中处处蕴含着辩证法.2.使学生通过开方运算的学习,解决实际生活中的一些具体问题.【重点】1.数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.()2=a(a≥0)的得出和应用.【难点】1.利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根和平方根.2.()2=a(a≥0)和=|a|的区别和联系.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.。
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-6实数教学详案
第二章 实 数6 实 数教学目标1.了解无理数和实数的概念，能按要求对实数进行分类.2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数,进一步领会数形结合的思想.3. 了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法. 教学重难点重点：1．了解实数意义，能对实数进行分类；2．在实数范围内求相反数、倒数和绝对值，明确实数的运算规律. 难点：利用数轴上的点表示无理数.教学目标导入新课（1）把下列各数分别填入相应的集合内：32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0， 0.373 773 777 3（20属于正数吗？0属于负数吗？【正数】大于 0 的数，包括所有的正有理数和正无理数.【负数】小于 0 的数，包括所有的负有理数和负无理数. 探究新知活动1:实数的定义及分类无理数和有理数一样，也有正负之分，有理数和无理数统称为实数.1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数02．另外从实数的概念也可以进行如下分类：⎩⎨⎧无理数有理数实数活动2：实数范围内的相关概念（1）在有理数中，数a 的相反数是什么？绝对值是什么？当a 不为0时，它的倒数是什么？1,||,a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）√2的相反数是什么？√53的倒数是什么？√3，0，-π的绝对值分别是什么？(-√2,√53, √3,0, π) 想一想：1．3-π的绝对值是π−3；2．a 是一个实数，它的相反数是-a ，它的绝对值是｜a ｜，当a ≠0时，它的倒数是1a . 结论：（1）相反数：a 与-a 互为相反数；0的相反数仍是0.（2）倒数：当a ≠0时，a 与1a 互为倒数（0没有倒数）.（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 活动3：实数的运算及运算律（1）在有理数范围内，能进行哪些运算？（加、减、乘、除、乘方），能使用哪些运算律？（2）判断下列各式成立吗？;2552⋅=⋅;(47=+结论：有理数的运算及运算律对实数仍然适用.【例1】计算下列各式：（1）√7+（-√7）； （2）√7√7.【解】（1）0；（2）1.对于任意实数来说：（1）互为相反数的两个数和为0;（2）互为倒数的两个数积为1.活动4：探究——实数与数轴上点的对应关系如图所示，认真观察，探讨下列问题：（1）如图，OA=OB，数轴上A点表示的数是什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？老师总结：(1)点A 对应的数是√2，它介于1，2之间.(2)填不满.数轴上还有无数多个无理数对应的点.结论：（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的.（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.【例2】在数轴上作出√10对应的点.【解】课堂练习1.下列说法正确的有 ()①不存在绝对值最小的无理数;②不存在绝对值最小的实数;③不存在与本身的算术平方根相等的数;④比正实数小的数都是负实数;⑤非负实数中最小的数是0.A.2个B.3个C.4个D.5个2.数轴上点A所表示的数为√3,点B到点A的距离为1,则点B所表示的数是( )A.√3-1B.√3+1C.√3-1或√3+1D.1-√3或1+√3 3.如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是( )A.pB.qC.mD.n4.如图,以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是( )A.-√2 B.1-√2 C.-1+√2 D.-1-√2 5.√3−√2的相反数是 ,绝对值是 .6.实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,化简a+|a+b|-√c2-|b-c|.参考答案1.A2.C3.A4.B5. √2−√3 √3−√26.解：由题图知c <0,a +b <0,b -c <0,∴ a +|a +b |-√c 2-|b -c |=a -(a +b )-(-c )+b -c =a -a -b +c +b -c =0.课堂小结1.有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类:⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数03.实数的性质：（1）相反数：a 与-a 互为相反数；0的相反数仍是0.（2）倒数：当a ≠0时，a 与1a 互为倒数（0没有倒数）.（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.4.实数与数轴上的点是一一对应的. 布置作业习题2.8第1，2，3，4题板书设计6 实 数1.有理数和无理数统称为实数；2.实数的分类；3.实数的性质；4.实数与数轴上的点是一一对应的.。
北师大版八年级数学上册：2-6实数(教案)
-难点解释：学生可能会在实际问题中不知道如何选择合适的实数进行计算，或者无法将问题转化为数学表达式。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用直观演示、例题讲解、互动提问、小组讨论等多种教学方法，帮助学生深入理解实数的概念和性质，掌握实数的运算规则，并能够灵活运用实数知识解决实际问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与实数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，测量一个物体的长度，并计算其无理数值。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
-举例：理解无理数相乘的结果可能是有理数，如√2 * √2 = 2。
-实数与数轴的关系：明确数轴上的点与实数的一一对应关系；
-举例：数轴上点A对应的实数是3，点B对应的实是-1.5。
-实数在实际问题中的应用：掌握实数在解决实际问题时的一般步骤和方法；
-举例：计算一个正方形的对角线长度，需要使用无理数√2。
1.讨论主题：学生将围绕“实数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
1.理论介绍：首先，我们要了解实数的基本概念。实数包括有理数和无理数，它们是构成数轴上所有点的数。实数在解决几何、物理等学科问题时具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.6 实数
学习目标：
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。
3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。
重点、难点：
重点：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
难点：用数轴上的点来表示无理数。
学习过程：
一、创设问题情景，引出实数的概念
1、什么叫无理数，什么叫有理数，举例说明。
2、把下列各数分别填入相应的集合内。
32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，9
4，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数（real number ）。
教师点明：实数可分为有理数与无理数。
二、议一议
1、在实数概念基础上对实数进行不同分类。
无理数与有理数一样，也有正负之分，如3是正的，π-是负的。
教师提出以下问题，让学生思考：
（1）你能把32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，9
4，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？ 正有理数：
负有理数：
有理数：
无理数：
（2）0属于正数吗？0属于负数吗？
（3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？
让学生讨论回答后，教师引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数。
2、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：
在有理数中，有理数a 的的相反数是什么，不为0的数a 的倒数是什么。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如，2和2-是互为相反数，35和351互为倒数。
33=，00=，ππ=-，33-=-ππ。
三、想一想
让学生思考以下问题
1、a 是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；
2、如果0≠a ，那么它的倒数为 。
让学生回答后，教师归纳并板书：实数a 的相反数为a -，绝对值为a ，若0≠a 它的倒数为a
1（教师指明：0没有倒数） 四、议一议。
探索用数轴上的点来表示无理数 1、复习勾股定理。
如图在Rt△ABC 中AB= a ，BC = b ，AC = c ，其中a 、b 、c 满足什么条件。
当a=1，b=1时，c 的值是多少？ 2、出示投影（1）P45页图2—4，让学生探讨以下问题：
（A ）如图OA=OB ，数轴上A 点对应的数是多少？
（B ）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴上被填满
了吗？
让学生充分思考交流后，引导学生达成以下共识：
（1）A 点对应的数等于2，它介于1与2之间。
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满，在数轴上还可以表示无理数。
（3）每一个褛都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
（4）一样地，在数轴上，右边的点比左边的点表示的数大。
五、随堂练习
1、判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数。
2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1）3.8 （2）21- （3）π- （4）3 （5）3
100
27
3、在数轴上作出5对应的点。
六、小结
1、实数的概念
2、实数可以怎样分类 A
C
B 1
3、实数a 的相反数为a -，绝对值a ，若0≠a ，它的倒数为a
1。
4、数轴上的点和实数一一对应。
七、作业
课本P46习题2—8
板书设计：略
学习反思：本节内容并不复杂，大部分同学都能很好的掌握。
很大部分是借助新知识回顾旧内容。