26.1二次函数复习
26.1_二次函数的一般式(3
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 2 0.5 4
4 0.53 42
y顶
4 0.5
5
顶点坐标为4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝-5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
y x2
8 6
4 2
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
顶点式 y=a(x-h)2+k
顶点坐标(h , k) 对称轴 x=h 当a>0, x=h时,y有最小值为k 当a<0, x=h时,y有最大值为k x>h表示在对称轴的右侧 x<h表示在对称轴的左侧
当h=0时,顶点在y轴上； 当k=0时顶点在x轴上
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对称轴 2
是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
7.5 x
y 1 x2 6x 21 2
·· ·
··
3
45
5 3.5
6
3
7
3.5
8
9
·· ·
y
y
o
x
o
x
y
o y
x y
o
x
o
x
与y轴交点的求法：令x=0,得到y=c 即（0，c）
y
与y轴始终有一个交点（0，c）
C
x1 o
x2 x
二次函数全章导学案(不分版本,通用)
26.1二次函数§26.1.1《二次函数》导学案【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念.2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。
【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________.3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________.【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-.这六个式子中二次函数有 。
二次函数的图像和性质说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
( 1 )2a b 1
1
0.5
( 2 )3a b 0
-4
-3
-2
-1
11
22
x3
( 3 )a b 2
-0.5
1-1
( 4 )a 1其中正确
-1.5
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐
标的值为0．因此应满足下列的条件组．
m 1 0， ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4m 1
0
②
由②解方程得 m1
1 2
,
m2
2 不合题意，舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x
2
2
1 2
x
3
1 2
2
,
即y 1 x2 x 1
2
2
。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
3． y ax2 bx c 图象的画法．
环节：1．运用配办法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
2．拟定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，运用函 数图像回答：
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 2
x2
6x
9
9
5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
26.1.1二次函数 应用
讨论与思考：
n
n-3
20(1+x)
20(1+x) 即两年后的产量为 y=20(1+x) 整理得：
2
2
认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 自变量 函数
y=6x2
d=
1 2 3 nn 2 2
x
n x
y
d y
这些函数有什 么共同点？ 这些函数自变 量的最高次项 都是二次的！
y
b 3. 形如， y ___________ （ k,b为常数，k≠0 ）的函数是一次函数。当 ______ 0 时 正比例函数 原点 k ， 它是_____________ 函数，图像是经过______的直线；形如
k为常数，k≠0 反比例 （_____________）的函数是__________函数，它的表达式还可以写成：
驶向胜利 的彼岸
回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形 式是怎样的？ 1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都 自变量 有唯一的值与它对应，那么就说y是x的_______，x叫做_________ 。 函数
一次函数 2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中________ 反比例函数 的图像是直线，_________的图像是双曲线。我们得到它们图像的方 连线 列表 描点 法和步骤是：① __________、②__________、③__________。 kx+b
26.1.6二次函数(6)
7、已知：一次函数 y kx m 的图象和二次 2 函数 y ax bx c 的图象交于点 A(2,1) 和 B(6,3) . ①求一次函数解析式； ②若二次函数开口向上，与y轴交于点C， 且 ABC 的面积为12，求二次函数的解析式.
答案:
1 2 1 1 ①y x ② y x x 3 4 2 2
1、已知函数 y ax bx c 的图像如 图所示，则函数 y ax b 的图像可能是( B ).
2
2、函数y＝x2＋bx＋c与y＝bx＋c在同一坐标系中的图 象大致是（ C ）.
3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示， 则下列6 个代数式 ab、ac、a＋b ＋c 、a －b＋c、2a＋b 、 2a－b中，其值为正的式子的个数为（ A ）. Ａ.2个 ; Ｂ.3个; Ｃ
1。已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交 于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)与y轴交于 点C，如果x1、x2是方程x2-x-6=0的两根 （x1<x2),且△ABC的面积为15/2。 ⑴求此抛物线的解析式； ⑵求直线AC的解析式。
•
只有不断的思考,才会有新 的发现;只有量的变化,才会 有质的进步.
b 2 4ac b a( x ) 一般地，我们可以用配方法 2a2 4a
2
归纳
一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的 顶点是最低(高)点,所以当x=-b/2a 时,二次函数y=ax2+bx+c有最小 (大)值(4ac-b2)/4a.
?
练习: 1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点 坐标.当x为何值时,y的值最大(小)? (1) y=3x2+2x (2) y=-x2-2x (3) y=-2x2+8x-8 (4) y=1/2 x2-4x+3
26.1.3二次函数及其图象(3)
总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0 ,向右平移, h 0 ,向左平移,平移
h个单位.
(2)抛物线 y a( x h)的性质：
2
① a 0时,开口向上；a 0 时，开口向下； ②对称轴是直线 x
h；
③顶点坐标是 ( h,0).
练习二
1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：
1 2 y x , 2
1 y ( x 2) 2 , 2
y
1 ( x 2) 2 . 2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
一、复习 用描点法画出函数 向、对称轴与顶点坐标. 图象， 并根据图象指出抛物线
yx
yx
2
2
的开口方
对于二次函数y ax
a>0时 顶点坐标 对称轴 位置
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外） 向上
2
a< 0时
（0，0）
y轴 在x轴的下方 （除顶点外） 向下
开口方向 当x=0时,y最小值=0。 当x=0时,y最大值=0 最值
2.抛物线y=
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物线. 向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指出 抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值 还是最小值?是多少?
点，当x=
，与y轴交点坐标 直线x=3
26.1二次函数(第2课时)
y= x
2
当a>0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 减小。 减小。 当a>0时，在对称轴的 时 右侧， 随着 随着x的增大而 右侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当a<0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当x=-2时，y=4 时 当x=1时，y=1 时 当x=-1时，y=1 时 当x=2时，y=4 时
1 y = x 2 , y = 2 x 2 的图象． 在同一直角坐标系中， 的图象． 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 2 分别填表，再画出它们的图象， 解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
··· ··· ··· ···
1 2 ··· y= x 2
x
8
··· －2 ···
9 6 3 －3 3
y轴是抛物线 = x 2 的对称轴，抛物线 = x 2 与它的对称轴的交点（0， 轴是抛物线y 的对称轴，抛物线y 与它的对称轴的交点（ ， 轴是抛物线 0）叫做抛物线 = x2 的顶点，它是抛物线 = x 2 的最低点． 抛物线y 的顶点，它是抛物线y 最低点． ）叫做抛物线 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 都有对称轴 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点 最低点或最高点． 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
相同点：开口都向上，顶 相同点：开口都向上， 点是原点而且是抛物线的 最低点， 最低点，对称轴是 y 轴 不同点： 要越大， 不同点：a 要越大，抛 物线的开口越小． 物线的开口越小．
二次函数(第2课时)
26.1 二次函数（第2课时）
教学任务分析
教学流程安排
教学设计说明
本节内容是在学生学习了一次函数、反比例函数、2
ax
y=函数的基础上学习的．这节课的主要内容是：通过画出具体的函数图象，与2
ax
y=类比，探讨
ax
=2这类函数的
y+
y=的图象的关系并且得到k
ax
k
ax
y+
=2这类函数图象与2
性质．
本节课从学生已有的一次函数知识入手，通过动手画图，课件演示、问题递进、例题的学习由特殊到一般，再由一般到特殊研究k
y+
=2的图象和性质．通
ax
过组织学生积极参与和教师的有效指导，实现知识和能力、过程和方法、情感态
度和价值观三维目标的全面落实．。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的性质的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，以及如何运用二次函数解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决函数问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。
2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体课件和数学软件，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，总结规律。
3.巩固新知：通过一系列的练习题，帮助学生巩固二次函数的知识。
4.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决，提高学生的应用能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的思维能力。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数的图象和性质。
y=a(x-h)2的图像和性质
问题2： 你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2 的图象，并比较它们的联系和区别吗?
你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2 y 的图象，并比较它们的联系和区别吗 ?
5
y=2x2
y=2(x+1)2
4. 3.
y=2(x-1)2
2.
1.
-3.
-2
-1
画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察
问题1： 在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与 y＝2(x－1)2的图象 .观察两个图象的开口方向、 对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图 象之间有什么关系?
x
y＝2x2 y＝2(x－1)2
…
－ 3 －2 －1 18 32 8 18 2 8
26.1二次函数（4）
课前复习:
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数 y＝
1 1 1 2 2 2 2 x ，y＝ 2 x +2，y＝ 2 x -2的图象，并回答：
(1)三条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。
2、在同一直角坐标系中， 二次函数y＝ax2＋k 与y＝ax2的图象有什么关系？
＜3 3.函数y= 时,y随x的增大而增大； 当x ＞3 时 ,y 随x的增大而减小。
4 y=4(x+1)2的图象是由 抛物线__________
2 y=4x
2 –5(x–3) ,当x
1 个单位得到. 左 平移_____ 向_____
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位 得到抛物线 y=-2 x -2 ，再向上平 移3个单位得到抛物线 y=-2 x +1 ， 若向左平移2个单位得到抛物 线 y=-2 （x+2） ，向右平移2个单 位得到抛物线 y=-2 （x-2）